2024高考数学专项练习解析几何题型解题技巧讲义.pdf

第 1 页 共 115 页 解析几何题型解题技巧讲义 第 1 讲 秒杀解析几何题型之直线方程.3【题型 1】：直线方程的五种形式及其局限性.3【题型 2】：三点共线.3【题型 3】：两直线平行.4【题型 4】：两直线垂直.4【题型 5】：距离.5【题型 6】：对称.5 第 2 讲 秒杀解析几何题型之圆的方程.7【题型 1】：圆的方程.7【题型 2】：点与圆、线与圆、圆与圆位置关系.9【题型 3】：圆上的点到直线距离为定值的点的个数.10【题型 4】：圆中弦中点性质.11【题型 5】：圆的切线.11【题型 6】：切线长、弦长.13【题型 7】：最值问题.15【题型 8】：对称问题.17 第 3 讲 秒杀解析几何题型之圆锥曲线方程.19【题型 1】：确定圆锥曲线的形状.20【题型 2】：求圆锥曲线方程.21【题型 3】：求圆锥曲线方程中的量.22 第 4 讲 秒杀解析几何题型之椭圆的定义.25【题型 1】：焦半径.25【题型 2】：焦点三角形周长.26【题型 3】：利用双曲线定义解题.27【题型 4】：双曲线焦点三角形.28【题型 5】：利用抛物线定义解题.29 第 5 讲 秒杀解析几何题型之焦点三角形.34【题型 1】：焦点三角形周长及顶角的范围.34【题型 2】：焦点三角形面积.35【题型 3】：焦点直角三角形个数.35 第 6 讲 秒杀解析几何题型之离心率.39【题型 1】：利用焦点三角形求离心率.39【题型 2】：寻找a、b、c的关系求离心率.45【题型 3】：黄金椭圆.51【题型 4】：求离心率范围.52 第 7 讲 秒杀解析几何题型之双曲线的渐近线.53【题型 1】：由双曲线的方程求渐近线.53【题型 2】：有共同渐近线的双曲线方程的设法.55【题型 3】：由已知渐近线方程设双曲线方程.55【题型 4】：双曲线的焦点到渐近线的距离.56 第 8 讲 秒杀解析几何题型之直线与圆锥曲线.60 2024高考数学专项练习 第 2 页 共 115 页【题型 1】：直线与椭圆的位置关系.61【题型 2】：直线与双曲线的位置关系.63【题型 3】：直线与抛物线的位置关系.64 第 9 讲 秒杀解析几何题型之圆锥曲线直角弦.66【题型 1】：椭圆中的直角弦.66【题型 2】：相对于椭圆中心的直角弦.67【题型 3】：相对于其它点的直角弦.68【题型 4】：抛物线相对于原点的直角弦.71【题型 5】：相对于其它点的直角弦.73 第 10 讲 秒杀解析几何题型之圆锥曲线焦点弦.74【题型 1】：焦点弦长公式.74【题型 2】：焦点弦中的定值.75【题型 3】：离心率与焦点弦的关系.76【题型 4】：焦点弦两端点坐标定值关系.78【题型 5】：焦点弦长。.79【题型 6】：焦点弦被焦点分成两段焦半径的关系及焦半径公式.79【题型 7】：由焦点弦围成图形的面积.80【题型 8】：以焦点弦为直径的圆的性质.80【题型 9】：如图两圆的性质.81 第 11 讲 秒杀解析几何题型之圆锥曲线中点弦.82【题型 1】：求值，利用结论求 k 或斜率乘积定值.83【题型 2】：求当为定值时，平行弦中点轨迹.85【题型 3】：求当直线 恒过一定点时，得定点弦中点轨迹：利用消去.87【题型 4】：求值(求 k 或 p).89 第 12 讲 秒杀解析几何题型之圆锥曲线最值.90【题型 1】：定点与椭圆上动点的距离的最值问题.90【题型 2】：椭圆或双曲线上的动点到一个定点与一个焦点的距离的和或差的最值问题.92【题型 3】：抛物线上的动点到定点(定直线)与焦点（或准线或 y 轴）的距离之和的最值问题.93【题型 4】：抛物线上的动点到定点或定直线的距离的最值问题.94【题型 5】：弦长或面积最值问题.96 第 13 讲 秒杀解析几何题型之圆锥曲线定值与定点.99【题型 1】：圆锥曲线中的定值与定点.99 第 14 讲 秒杀解析几何题型之圆锥曲线的切线.106【题型 1】：过曲线上一点作曲线的切线.107【题型 2】：过曲线外一点作曲线的切线.108【题型 3】：阿基米德三角形.108【题型 4】：蒙日圆.109 第 15 讲 秒杀解析几何题型之圆锥曲线的轨迹问题.111【题型 1】：定义法求轨迹.111【题型 2】：直接发求轨迹.113【题型 3】：代换法（相关点法）求轨迹.114【题型 4】：参数法求轨迹.114 ABkl(),e fAByfkxe=中中ABk 第 3 页 共 115 页 第 1 讲 秒杀解析几何题型之直线方程【题型【题型 1】：直线方程的五种形式及其局限性】：直线方程的五种形式及其局限性 秒杀策略：秒杀策略：直线的点斜式或斜截式不能表示斜率不存在的直线，如果写成xkyb=+就可以表示斜率不存在的直线。两点式不能表示斜率不存在或斜率为 0 时的直线，写成121121()()()()yyxxxxyy=表示任意直线。截距式不能表示截距为 0 与截距不存在的直线，所以要注意设成截距式时出现丢根问题，注意区别截距 相等与截距绝对值相等是两个不同的概念(截距是直线与坐标轴交点的坐标,可正、负、0)。1.(高考题)下列命题中的真命题是 ()A.经过定点000(,)P xy的直线都可以用方程00()yyk xx=表示 B.经过任意两个不同的点111222(,),(,)P x yP xy的直线都可以用方程121121()()()()yyxxxxyy=表示 C.不经过原点的直线都可以用方程1xyab+=表示 D.经过定点(0,)Ab的直线都可以用方程ykxb=+表示【解析】【解析】：A 答案不能表示斜率不存在的直线，C 答案不表示平行于x轴与平行于y轴的直线，D 答案不表示斜率不存在的直线，选 B。【题型【题型 2】：三点共线】：三点共线 秒杀策略：秒杀策略：利用两边之和等于第三边 利用斜率相同且过同一点 第 4 页 共 115 页 利用两点求出直线方程，把第三点代入加以验证；利用向量ab=。1.(高考题)若三点(2,2)A、(,0)B a、(0,)(0)Cb ab 共线,则11ab+=。【解析】【解析】：由(,0)B a、(0,)Cb两点确定的直线方程为：1xyab+=，代入(2,2)A，得12。【题型【题型 3】：两直线平行】：两直线平行 秒杀策略：秒杀策略：斜率相等，但截距不等。在一般式中：直线0:1111=+CyBxAl。0:2222=+CyBxAl，平行：111222ABCABC=；重合：111222ABCABC=。平行直线系方程：:l0AxByC+=，与之平行的直线可设为:0AxByC+=。1.(高考题)设Ra,则“1=a”是“直线02:1=+yaxl与直线:2l04)1(=+yax平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】【解析】：选 A。【题型【题型 4】：两直线垂直】：两直线垂直 秒杀策略：秒杀策略：利用斜率乘积等于1 在一般式中：直线0:1111=+CyBxAl,0:2222=+CyBxAl，垂直的充要条件是：02121=+BBAA。垂直直线系方程：:l0AxByC+=，与之垂直的直线可设为：0BxAyC+=。1.(2013 年辽宁卷)已知点)0,0(O,),0(bA,()3,aaB，若OAB为直角三角形，则必有 ()第 5 页 共 115 页 A.3ba=B.31baa=+C.()3310babaa=D.3310babaa+=【解析】【解析】：若 A 为直角,A、B 纵坐标相等，30ba=；若 B 为直角，由1=ABOBkk，得310baa=,选 C。【题型【题型 5】：距离】：距离 秒杀策略：秒杀策略：点()00,xy到直线0AxByC+=的距离：0022AxByCdAB+=+。平行直线1:l10AxByC+=;2:l20AxByC+=间的距离：1222CCdAB=+。1.(高考题)若直线m被两平行线1:10lxy+=，2:30lxy+=所截得的线段的长为2 2，则m的倾斜角可以是 15；30；45；60；75。其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）【解析】【解析】：21,ll间的距离为2，而直线m被两平行线截得的线段长为2 2，可知直线m与两平行线的夹角为30，直线的倾斜角为45，m的倾斜角为：453075,453015+=，选。2.(2020 年新课标全国卷 III8)点(0)1，到直线()1yk x=+距离的最大值为 ()A.1 B.2 C.3 D.2【解析】【解析】：选 B。【题型【题型 6】：对称】：对称 秒杀策略：秒杀策略：点关于点对称：点00(,)P xy关于点(,)O a b(中点)的对称点Q的坐标为00(2,2)axby。第 6 页 共 115 页 点关于线对称：利用中、垂两条件建立方程组,(注意特殊点的对称)点00(,)xy关于直线 0AxByC+=的对称点：0000002222(2,2)AxByCAxByCxAyBABAB+。线关于点对称：:l0AxByC+=关于点(,)a b对称的直线方程为：(2)(2)0AaxBbyC+=。线关于线对称：(转化为特殊点对称)在直线上取一个特殊点，求这个点关于直线的对称点，再求两条直 线的交点，利用两点式可求对称线的方程。特例：角的两边关于角分线对称，线关于特殊线(x轴、y轴、yx=、yx=)对称，直接交换坐标即可。反射问题均转化为对称问题解决。1.(高考题)已知直线1:10,:220l xylxy=，若直线21,l l关于直线l对称，则2l的方程为()A.210 xy+=B.210 xy=C.10 xy+=D.210 xy+=【解析】【解析】：因为对称轴的斜率为 1，由=+=11xyyx，得()()02112=+xy，选 B。【高考母题】：【高考母题】：1.如果0,0,ACBC那么直线0AxByC+=不通过 ()A.第一象限 B.第二角限 C.第三象限 D.第四象限【解析】【解析】：选 B。2.已知两条直线1110a xb y+=和2210a xb y+=都过点(1,2)A,求过两点111222(,),(,)P a bP a b 的直线的方程.【解析】【解析】：012=+yx。第 7 页 共 115 页 第 2 讲 秒杀解析几何题型之圆的方程【题型【题型 1】：圆的方程】：圆的方程 秒杀策略：秒杀策略：标准方程：222()()xaybr+=，圆心(),a b，半径r。一般方程：220,xyDxEyF+=圆心,22DE，2242DEFr+=。1.(高考题)圆心在y轴上，半径为 1，且过点()1,2的圆的方程为 ()A.22(2)1xy+=B.22(2)1xy+=C.22(1)(3)1xy+=D.22(3)1xy+=【解析】【解析】：在y轴上找一点到()1,2的距离为 1，可知圆心为()0,2，选 A。2.(2009 年辽宁卷)已知圆C与直线0=yx及04=yx都相切，圆心在直线0=+yx上，则圆C的方程为 ()A.22(1)(1)2xy+=B.22(1)(1)2xy+=C.22(1)(1)2xy+=D.22(1)(1)2xy+=【解析】【解析】：设圆心为()aa,，利用圆心到两条直线距离相等，选 B。3.(2015 年新课标全国卷 I14)一个圆经过椭圆141622=+yx的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 。【解析】【解析】：4252322=+yx。4.(2016 年新课标全国卷 II4)圆的圆心到直线的距离为 1，则=a A.34 B.C.D.2【解析】【解析】：选 A。5.(高考题)已知圆C经过A()1,5，B()3,1两点，圆心在x轴上，则C的方程为 。【解析】【解析】：22(2)10 xy+=。2228130 xyxy+=10axy+=343 第 8 页 共 115 页 6.(高考题)已知Ra，方程表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 。【解析】【解析】：()4,2，5。7.(2018 年天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点()()()0,21,10,0，的圆的方程为 。【解析】【解析】：()1122=+yx。8.(2019 年新高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r，若直线230 xy+=与圆 C 相切于 点(2,1)A，则m=_，r=_【解析】【解析】：2，5。9.(2010 年新课标全国卷 15)过点()1,4A的圆C与直线01=yx相切于点()1,2B，则圆C的方程为 。【解析】【解析】：圆心在直线03=+yx与直线3=x上，即圆心为（3,0），2=r，:C22(3)2xy+=。10.(2020 年新课标全国卷 II8)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为 A.55 B.2 55 C.3 55 D.4 55 【解析】【解析】：选 B。【高考母题【高考母题 1】：】：1.求圆心在直线2yx=上，并且经过点(2,1)A，与直线1xy+=相切的圆的方程。【解析】【解析】：设圆心为()aa2,，利用到点 A 的距离等于到直线的距离得圆的方程为：22(1)(2)2xy+=。2.设圆满足条件:（1）截y轴所得的弦长为 2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3:1；（3）圆心到直线:20l xy=的距离为55，求这个圆的方程。【解析】【解析】：22(1)(1)2xy+=或22(1)(1)2xy+=。3.求与圆22:(5)3C xy+=相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线的方程。【解析】【解析】：663yx=或560 xy+=。【高考母题【高考母题 2】：】：1.求由曲线22xyxy+=+围成的图形的面积。【解析】【解析】：2+。222(2)4850a xayxya+=第 9 页 共 115 页 2.方程21yx=表示什么曲线?【解析】【解析】：上半圆。3.画出方程211xy=表示的曲线?【解析】【解析】：右半圆。【题型【题型 2】：点与圆、线与圆、圆与圆位置关系】：点与圆、线与圆、圆与圆位置关系 秒杀策略：秒杀策略：点与圆：点到圆心距离为d：.dr=，在圆上；.dr，在圆外；.dr，相离；.dr，相离；.21rrd+=，外切；.2121rrdrr+，相交；iv.21rrd=，内切；v.21rrd若AB中有且只有一个元素,则r的值是 。【解析】【解析】：3 或 7。9.(高考题)圆4)2(22=+yx与圆9)1()2(22=+yx的位置关系为 ()A.内切 B.相交 C.外切 D.相离【解析】【解析】：选 B。【题型【题型 3】：圆上的点到直线距离为定值的点的个数】：圆上的点到直线距离为定值的点的个数 秒杀策略：秒杀策略：到直线距离为定值的点的轨迹是与已知直线平行的两条直线，这两条直线与圆的交点的个数即所求点的个数，即最多四个交点，可能是 0、1、2、3、4，首先计算圆心到直线的距离，再考虑这个距离与半径的关系，第 11 页 共 115 页 从直观上得到答案。1.(高考题)圆222430 xyxy+=上到直线10 xy+=的距离等于2的点有 个。【解析】【解析】：222430 xyxy+=配方得：22(1)(2)8xy+=，圆心()1,2 到直线的距离为2，而半径为2 2，可知两条直线一条过圆心，一条与圆相切，即满足条件的点有 3 个。2.(高考题)已知圆O:225xy+=，直线l:cossin1xy+=(02)，设圆O上到直线l的距离等于 1 的点的个数为k，则k=。【解析】【解析】：4。【高考母题】：【高考母题】：已知圆224,xy+=直线:l yxb=+，当b为何值时，圆224xy+=上恰有 3 个点到直线l的距离都等于 1。【解析】【解析】：2b=。【题型【题型 4】：圆中弦中点性质】：圆中弦中点性质 秒杀策略：秒杀策略：弦中点与圆心连线与弦垂直 弦的中垂线过圆心。1.(高考题)直线l与圆04222=+ayxyx()3a 与圆221xy+=和圆22(4)1xy+=均相切，则k=，b=。【解析】【解析】：332,33=bk。【题型【题型 6】：切线长、弦长】：切线长、弦长 秒杀策略：秒杀策略：过圆外一点P00(,)xy作圆的切线，切点为T，则22222000000()()PTxyDxEyFxxyyr=+=+；弦长=22(r 2弦心距)。1.(高考题)已知圆O的方程是2220 xy+=，圆O的方程是228100 xyx+=，由动点P向圆O和圆O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 。【解析】【解析】：设(,)P x y，因为切线长相等，即22222810 xyxyx+=+，得32x=。2.(2013 年新课标全国卷 II)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 2，在y轴上截得线段长为2 3。（1）求圆心P的轨迹方程；（2）若P点到直线yx=的距离为22，求圆P的方程。【解析】【解析】：（1）22222,3ryrx=+=+，作差得：122=xy；（2）3)1(22=+yx。3.(2015 年新课标全国卷 II7)过三点()3,1A,()2,4B,()7,1C的圆交y轴于NM,两点，则MN=()A.26 B.8 C.46 D.10 第 14 页 共 115 页【解析】【解析】：得圆心为()5,2,1=r，选 C。4.(2016 年新课标全国卷 III16)已知直线033:=+mymxl与圆1222=+yx交于BA,两点，过 BA,分别作l的垂线与x轴交于DC,两点,若32=AB,则CD=_.【解析】【解析】：代入弦长公式得33=m，直线的倾斜角为30，430cos32=CD。5.(2018 年新课标全国卷 I)直线1+=xy与圆03222=+yyx交于BA,两点，则AB 。【解析】【解析】：22。6.(高考题)在平面直角坐标系xOy中,直线3450 xy+=与圆224xy+=相交于,A B两点，则弦AB的 长等于 ()A.3 3 B.2 3 C.3 D.1【解析】【解析】：选 B。7.(高考题)直线32+=xy被圆08622=+yxyx所截得的弦长等于 。【解析】【解析】：54。8.(高考题)在平面直角坐标系xOy中,直线230 xy+=被圆()()41222=+yx截得的弦长为 。【解析】【解析】：5552。9.(高考题)已知直线02=+yax与圆心为C的圆()()4122=+ayx相交于BA，两点,且ABC为 等边三角形,则实数=a_.【解析】【解析】：154=a。10.(高考题)已知圆)0(02:22=+aayyxM截直线0=+yx所得线段的长度是22,则圆M 与圆()()111:22=+yxN的位置关系是 ()A.内切 B.相交 C.外切 D.相离【解析】【解析】：选 B。11.(2020 年新高考天津卷 12)已知直线380 xy+=和圆222(0)xyrr+=相交于,A B两点若|6AB=，则r的值为 。【解析】【解析】：5。第 15 页 共 115 页【题型【题型 7】：最值问题】：最值问题 秒杀策略：秒杀策略：定点与圆上点距离最值问题：点的确定：点与圆心连线与圆有两交点，靠近为最小值点，远离为最大值点；最值确定：max:,min:,:drdr d+定点与圆心距离。1.(高考题)已知2224200,xyxy+=则22xy+最小值为 。【解析】【解析】：30 10 5。2.(2020 年新高考北京卷 5)已知半径为 1 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】【解析】：选 A。线与圆距离最值问题：点的确定：过圆心作线的垂线交圆于两点，靠近为最小值点，远离为最大值点；平行移动直线与圆有两切点；最值确定：max:,min:,:drdr d+圆心到直线距离。1.(2018 年北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点)sin,(cosP到直线20 xmy=的距离，当m,变化时，d的最大值为 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】【解析】：P 为单位圆上一点，而直线恒过点 A（2,0），几何意义是 d 的最大值为 OA+1=3。2.(高考题)圆2244100 xyxy+=上的点到直线140 xy+=的最大距离与最小距离的差是()A.36 B.18 C.6 2 D.5 2【解析】【解析】：选 C。3.(2018 年新课标全国卷 III)直线02=+yx分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆()2222=+yx上,则ABP面积的取值范围是 ()A.26，B.48，C.23 2，D.2 23 2，【解析】【解析】：选 A。4.(高考题)在平面直角坐标系xOy中，以点()0,1为圆心且与直线)(012Rmmymx=相切的所有圆 中，半径最大的圆的标准方程为 。【解析】【解析】：直线恒过定点()1,2，当点()0,1与()1,2 的距离为半径时半径最大，2max=r,()2122=+yx。第 16 页 共 115 页 5.(高考题)在平面直角坐标系中，,A B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线 240 xy+=相切，则圆C面积的最小值为 ()A.45 B.34 C.(62 5)D.54【解析】【解析】：动圆恒过原点，当原点到直线距离为直径时面积最小，选 A。构造斜率求最值：形如00yyzxx=最值的求法，可看作是圆上的点(,)x y 00(,)xy的斜率的范围。1.(高考题)如果实数,x y满足:22(2)3,xy+=则yx的最大值为 。【解析】：【解析】：3。构造截距求范围：形如:axby+范围，可设,axbyz z+=可看作是直线平行移动的截距。【高考母题】：【高考母题】：若直线yxb=+与曲线21xy=恰有一个公共点，求实数b的取值范围。【解析】【解析】：11b 表示焦点在表示焦点在 x 轴的椭圆标准方程；轴的椭圆标准方程；22221(0)yxabab+=表表 示焦点在示焦点在 y 轴的椭圆标准方程。轴的椭圆标准方程。判断焦点所在轴秒杀方法：分母大的为焦点所在轴。判断焦点所在轴秒杀方法：分母大的为焦点所在轴。几何性质：几何性质：关关于于 x 轴、轴、y 轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形。轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形。222abc=+，下图中对应的特征直角三角形下图中对应的特征直角三角形22OFB。应用：作图法找椭圆的焦点：应用：作图法找椭圆的焦点：以短轴的两个端点为圆心，以半长轴为半径作圆，与长轴的两个交点为椭圆以短轴的两个端点为圆心，以半长轴为半径作圆，与长轴的两个交点为椭圆 的焦点。的焦点。双曲线：双曲线：22221(0,0)xyabab=表示焦点在表示焦点在 x 轴上双曲线的标准方程；轴上双曲线的标准方程；22221(0,0)yxabab=表示表示焦点在焦点在 y 轴的双曲线标准方程。轴的双曲线标准方程。判断焦点所在轴秒杀方法：系数为正的为焦点所在轴。判断焦点所在轴秒杀方法：系数为正的为焦点所在轴。几何性质：几何性质：关于关于 x 轴、轴、y 轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形。轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形。第 20 页 共 115 页 222cab=+，特征三角形：原点、虚轴端点、实轴端点构成的直角三角形；，特征三角形：原点、虚轴端点、实轴端点构成的直角三角形；抛物线：抛物线：焦点在焦点在x轴上：轴上：22ypx=;焦点在焦点在y轴上：轴上：22xpy=(0)p，p表示焦点到准线的距离。表示焦点到准线的距离。判断焦点所在轴秒杀方法：一次对应焦点所在轴。判断焦点所在轴秒杀方法：一次对应焦点所在轴。焦点坐标焦点坐标:,02p或或0,2p。准线方程准线方程:2px=或或2py=。【题型【题型 1】：确定圆锥曲线的形状】：确定圆锥曲线的形状 1.(高考题)“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的 ()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】【解析】：椭圆方程可化为：11122=+nymx，如焦点在y轴上，只需011mn，即0 nm，所以是充要条件，选 C。2.(高考题)若Rk，则“3k”是“方程13322=+kykx表示双曲线”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】【解析】：方程表示双曲线只需()()033+kk，即3k或3221mxny+=第 21 页 共 115 页【解析】【解析】：可知焦点在x轴上，1,4432222=+mmnmnm，需03,01+nn，选 A。4.(2020 年新高考全国卷 9)已知曲线22:1C mxny+=()A.若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B.若 m=n0，则 C 是圆，其半径为n C.若 mn0，则 C 是两条直线 【解析】【解析】：选 A、C、D。【题型【题型 2】：求圆锥曲线方程】：求圆锥曲线方程 1.(2017 年新课标全国卷 III5)已知双曲线C：22221xyab=(0,0ba)的一条渐近线方程为52yx=,且与椭圆221123xy+=有公共焦点，则C的方程为 ()A.221810 xy=B.22145xy=C.22154xy=D.22143xy=【解析】【解析】：由椭圆方程得3=c，由渐近线得25=ab，2,5=ab，选 B。2.(高考题)已知双曲线12222=byax和椭圆191622=+yx有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 。【解析】【解析】：由椭圆方程得72=c，47=e，所以双曲线的离心率为27，3,422=ba，由双曲线的方程为：13422=yx。第 22 页 共 115 页 3.(高考题)已知抛物线xy82=的准线过双曲线)0,0(12222=babyax的一个焦点，且双曲线的离心率 为 2，则该双曲线的方程为 。【解析】【解析】：抛物线的准线为2=x，所以双曲线中2=c，由离心率为 2 得1=a，焦点在x轴上，所以双曲线的方程为1322=yx。4.(高考题)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽 米。【解析】【解析】：设拱桥所在抛物线的方程为pyx22=，将点()2,2 代入得1=p，转化为求点()3,x中的x，将点()3,x代入抛物线yx22=中可得6=x，即水面宽为62米。【题型【题型 3】：求圆锥曲线方程中的量】：求圆锥曲线方程中的量 1.(2019 年新课标全国卷 II8)若抛物线pxy22=的焦点是椭圆1322=+pypx的一个焦点，则p=()A.2 B.3 C.4 D.8【解析】【解析】：432ppp=，8=p，选 D。2.(2012 年新课标全国卷 8)已知等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线xy162=的准线交 于 A、B 两点，34=AB，则 C 的实轴长为 ()A.2 B.22 C.4 D.8【解析】【解析】：设等轴双曲线方程为222ayx=，抛物线的准线方程为：4=x，联立解得2=a，选 C。第 23 页 共 115 页 3.(高考题)设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且4=CBA，若2,4=BCAB，则椭圆的两个焦 点之间的距离为 。【解析】【解析】：由4=AB得2=a，由4=CBA与2=BC得C()1,1，634代入椭圆14222=+byx得342=b，382=c，c2=634。4.(高考题)曲线221(6)106xymmm+=与曲线221(59)59xymmm+=的 ()A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同【解析】【解析】：221(6)106xymmm+=表示焦点在x轴上的椭圆，221(59)59xymmm+=表示焦点在y轴上的双曲线，化简为221(59)59xymmm+=，可知焦距相等，选 A。5.(高考题)已知04，则双曲线22122:1cossinxyC=与222222:1sinsintanyxC=的()A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等【解析】【解析】：由方程得11cose=，()222sin1tan1sincose+=，选 D。6.(高考题)若实数k满足，则曲线与曲线的 ()A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等【解析】【解析】：表示焦点在x轴上的双曲线，表示焦点在x轴上的双曲线，可知焦距相等，选 A。【高考母题】：【高考母题】：曲线221259xy+=与曲线221259xykk+=的 ()A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 09k221259xyk=221259xyk=221259xyk=221259xyk=第 24 页 共 115 页【解析】【解析】：当9 k时，221259xykk+=可化为192522=kykx，表示焦点在x轴上的双曲线，两曲线焦距相等，选 D。7.(2020 年新课标全国卷 II9)设 O 为坐标原点，直线 x=a 与双曲线 C：2222xyab=l(a0，b0)的两条渐近线分别交于 D，E 两点若ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为 ()A.4 B.8 C.16 D.32【解析】【解析】：8221=abbaS,162222=+=abbac,8)2(min=c，选 B。第 25 页 共 115 页 第 4 讲 秒杀解析几何题型之椭圆的定义 秒杀策略：秒杀策略：动点到两定点动点到两定点(距离为距离为2c)距离之和为定值距离之和为定值(2a)的点的轨迹。的点的轨迹。ca22，椭圆，椭圆 ca22=，两定点确定的线段，两定点确定的线段 ca22 的左、右焦点为1F、2F，离心率为33，过2F的直线l交C于BA,两点，若1AFB的周长为4 3，则C的方程为 ()A.22132xy+=B.2213xy+=C.221128xy+=D.221124xy+=【解析】【解析】：344=a，3=a，2,1=bc，选 A。【高考母题】：【高考母题】：已知经过椭圆2212516xy+=的右焦点2F作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于BA,两点，1F是椭圆的左焦点。（1）求1AFB的周长；（2）如果AB不垂直于x轴，1AFB的周长有变化吗？为什么？21FF、192522=+yx1F1222=+BFAFAB 第 27 页 共 115 页【解析】【解析】：（1）20；（2）不变。【题型【题型 3】：利用双曲线定义解题】：利用双曲线定义解题 秒杀策略：秒杀策略：1.双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数2a。2.注意定义中两个加强条件：注意定义中两个加强条件：绝对值；绝对值；22ac。3.加绝对值表示两支加绝对值表示两支(或两条或两条),不加绝对值表示一支不加绝对值表示一支(或一条或一条)。4.当当22ac时，时，无轨迹。无轨迹。5.当当20a=时，表示两定点的中垂线。时，表示两定点的中垂线。1.(2012 年辽宁卷)已知双曲线122=yx，点21,FF为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若21PFPF，则21PFPF+的值为 。【解析】【解析】：,8,2222121=+=rrrr得21PFPF+=32。2.(高考题)设椭圆1C的离心率为135，焦点在x轴上且长轴长为 26，若曲线2C上的点到椭圆1C的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线2C的标准方程为 ()A.1342222=yx B.15132222=yx C.1432222=yx D.112132222=yx【解析】【解析】：由双曲线定义得4=a，5=c，3=b，选 A。3.(高考题)已知双曲线C的离心率为 2，焦点为1F、2F，点A在C上，若122F AF A=，则21cosAF F=()A.14 B.13 C.24 D.23【解析】【解析】：由双曲线定义得：aAFAF221=，122F AF A=，aAFaAF2,421=，acFF4221=，由余弦定理得：21cosAF F=41，选 A。4.(高考题)若双曲线 的左、右焦点分别为1F、2F，点在双曲线上，且31=PF，则 22:1916xyE=PE2PF 第 28 页 共 115 页 等于 ()A.11 B.9 C.5 D.3【解析】【解析】：由双曲线定义得：92=PF，选 B。5.(2020年新高考浙江卷8)已知点O（0，0），A（2，0），B（2，0）设点P满足|PA|PB|=2，且P为函数23 4yx=图象上的点，则|OP|=()A.222 B.4 105 C.7 D.10【解析】【解析】：利用定义知 P 是双曲线1322=yx右支与椭圆()0143622=+yxy的交点，联立得选 D。【题型【题型 4】：双曲线焦点三角形】：双曲线焦点三角形 秒杀公式：秒杀公式：过双曲线的一个焦点作弦过双曲线的一个焦点作弦AB（交到同一支上），与另一个焦点（交到同一支上），与另一个焦点 F构造三角形构造三角形FAB ，则，则FAB 的周的周 长等于长等于4a+2AB 。1.(2013 年辽宁卷)已知F为双曲线1169:22=yxC的左焦点，QP,为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的 2 倍，点()0,5A在线段PQ上，则PQF的周长为 。【解析】【解析】：4424=+PQa。2.(高考题)过双曲线22143xy=左焦点1F的直线交双曲线的左支于NM,两点，2F为其右焦点，则22MFNFMN+的值为 。【解析】：212MFMFa=，212NFNFa=，+可得22MFNFMN+=4a，而2a=，等于 8。【高考母题】：【高考母题】：已知双曲线22221xyab=()0,0ab的左、右焦点分别为12,F F，过1F的直线与左支相交于,A B两点，如果222AFBFAB+=，那么AB=。【解析】【解析】：a4。第 29 页 共 115 页【题型【题型 5】：利用抛物线定义解题】：利用抛物线定义解题 秒杀策略：秒杀策略：抛物线：到定点抛物线：到定点(焦点焦点)距离等于到定直线距离等于到定直线(准线准线)距离。距离。图形图形 标准标准 方程方程 22(0)ypx p=)0(22=ppxy 22(0)xpy p=)0(22=ppyx 对称轴对称轴 x轴轴 x轴轴 y轴轴 y轴轴 焦半径焦半径 02pPFx=+20pxPF+=02pPFy=+02pPFy=+参数参数p的几何的几何 意义意义 参数参数p表示焦点到准线的距离，表示焦点到准线的距离，p越大，开口越开阔。越大，开口越开阔。1.(2016 年新课标全国卷 I10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于BA,两点，交C的准线于ED,两点，已知AB=4 2，DE=2 5，则C的焦点到准线的距离为 ()A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】【解析】：AApxyAM28,22=，pxA4=，8162+p=45222pONDN+=+，4=p，选 B。第 30 页 共 115 页 2.(高考题)抛物线24yx=上的一点M到焦点的距离为 1，则点M的纵坐标是 ()A.1617 B.1615 C.87 D.0【解析】【解析】：由抛物线定义可知：1161=+y，选 B。3.(高考题)设抛物线28yx=上一点P到y轴的距离是 4，则点P到该抛物线焦点的距离是 ()A.4 B.6 C.8 D.12【解析】【解析】：选 B。4.(高考题)已知F是抛物线2yx=的焦点，,A B是该抛物线上的两点，=3AFBF+，则线段AB的中点到y轴的距离为 ()A.34 B.1 C.54 D.74【解析】【解析】：由抛物线定义可知：3414121=+xx，选 C。5.(2020年新课标全国卷I4)已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=()A.2 B.3 C.6 D.9【解析】【解析】：12=9+2p，6=p，选C。6.(2020 年新高考北京卷 7)设抛物线的顶点为 O，焦点为F，准线为lP是抛物线上异于O的一点，过P 作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线 ()A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP【解析】【解析】：选 B。7.(2020 年新课标全国卷 II19)已知椭圆 C1：22221xyab+=(ab0)的右焦点 F 与抛物