高考数学复习- 不等式.pdf

第一章集合与简单逻辑1.3不等式3命题探究高考试题不等式的考查有两类，一是涉及不等式的性质、不等式的解法、绝对值不等式；二是基本不等式及其应用等，一般不独立命题，而是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析儿何、三角函数、数列等综合考查.真题归纳题型一不等式的性质1.（2013上海）如果“V b V O,那么下列不等式成立的是（）1 1 9 O 11A.-V B.ab-tr C.-ab-cr D.一,故 A 不正确.a 2 b a b可得 ab=2,tr=,.ab b1 2f 故 8 不正确.可得-ab=-2,-a2=-4,-ab-a2,故 C 不正确.故选：D.2.（2019新课标 H）若 a b,贝 ij（）A.In（a-b）0 B.3a0 D.ab【解答】解：取。=0,b=-I,则 历（-8）=/nl=0,排除A；3a=3=1 36=3T=I，排除 B-,a3=O3 （-1）3=-1 =h 故 C 对；同=0 V|-1|=1=匕，排除D故选：C.3.（2016北京）已知 x,y C R,且 x y 0,则（）1 1A.一 一 X）B.sinx-siny0 x y1 1C.（一）x-（一）VO D.lnx+lny02 2,【解答】解：yG R,且 x y 0,则嚏,s i nx 与 s i ny 的大小关系不确定，即弓尸一(3,0,Inx+lny与 0的大小关系不确定.故选：C.题型二.不等式的解法1.(2 0 1 5 天津)设x W R,则“|x-2|0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解答】解：由“|x-2 R l”得 1 尤 0 得 x 1 或 x -2,即“|x -2|0”的充分不必要条件，故 选:A.2.(2 0 2 0 北京)已知函数/(x)=2 -x-l,则不等式f(x)0的解集是()A.(-1,1)B.(-oo,-1)U (1,+oo)C.(0,1)D.(-c o,0)U (1,+0 0)【解答】解:不等式f (x)0,即2xx+l.由于函数y=2 和直线y=x+l的图象都经过点(0,1)、(1,2),如图所示：不等式/(x)0的解集是(-8,0)U (1,+oo),故选：D.2x X 0 ,则满足f G+l)0A.(-oo,-1 B.(0,+8)C.(-1,0)D.(-oo,0)2x y 0满足了(x+1)f(2 x),可得：lvVOx+l 或 2x 0 B.In(y-x+1)0 D.lnx-y|3-3一)，可得3“2、-3 令f (x)=2X-3 X,则f(x)在 R 上单调递增，且/(x)/(y),所以 x 0,由于 y-x+l l,故 历(y-x+)ln=0.方法二：取 x=-l,y=0,满足此时(y-x+1)=历20,/川 x-y|=/l=0,可排除 BCD故选：A.题型三.基本不等式1.(2021乙卷)下列函数中最小值为4 的 是()A.y=/+2x+4 B.y=|siii|+C.y=2x+21x D.y=/心+白【解答】解：对于A,y=7+2x+4=(x+1)2+3 3,所以函数的最小值为3,故选项A 错误;对于 B,因为 0|sin x|2 J|sinx|/占=4,A当且仅当|sinx|=.p即|sin_v|=2时取等号，因为|s i n*l,所以等号取不到，所以y E s i M+K j 心 故选项B 错误；对于 C,因为 2x 0,所以 y=2x+22x=2x+2卜假=4,当且仅当2、=2,即x=l 时取等号，所以函数的最小值为4,故选项C 正确；对于D,因为当x=J 时，y ln+r 1 4=5 V 4,所以函数的最小值不是4,故选项。错误.ee ln-故选：C.2.（2021上海）已知函数/（x）=3*+/y（0）的最小值为5,则 =9.【解答】解：/（x）=3+普=3旺1 +普 一 12 2气 一 1=5,所以a=9,经检验，3工=2 时等号成立.故答案为：9.3.（2015湖南）若实数，力满足工+；=，工，则 的 最 小 值 为（）a bA.V2 B.2 C.2V2 D.4【解答】ft?：V-+-=yab,a b：.a0,Z?0,1 2a+b（当且仅当b=2时取等号）,.皿2品解 可 得,ab 2 V 2,即a h的最小值为2/2,故选：C.1 a-4.(2021天津)已知0,/?0,则一 +f+人的最小值为 _ 2 5/2.a b2-【解答】解：法一：.,(),b0,+/?2-A 4-Z?=?+h2y/2fa b2 7 a b bla?当且仅当一=77且b=不，即a=b=鱼时取等号，1 a -4-+/?的最小值为2V2,a b2法二：V a0,b0,当且仅当工=总=2即 a=b=/时 取 等 号，a b1 a，一 +77+匕的最小值为2V2,a b乙故答案为：2V2.5.（2020海南）已知 a 0,b 0,且 +b=l,贝 lj（）A.a2+b1B.2a b C.Iog2+log2厄-2D.Va 4-Vb 0,b 0,且所以（。+。）2 -1 即可，即。匕-1,由于a 0,b 0,且“+匕=1,所以：a 0,-l b-1 0,故 8 正确.I。92a+log2b=log2ab 0,b 0,且+h=l,利用分析法：要证6+伤 工 企 成 立，只需对关系式进行平方，整理得a+b+2面 4 2,即2面 4 1,故 病 W/=竽，当且仅当4=6=；时，等号成立.故。正确.故选：ABD.1 16.（2018天津）已知a,b e R,且 a-3 b+6=0,则 2+2 的最小值为 一.8 4【解答】解：a,b G R,且 a-3b+6=0,可得：3+6,则 2。+看=2。+券=2&+击刈2a.台=，当且仅当2=表.即 =-3 时取等号.函数的最小值为：，故答案为：-47.（2015上海）已知0,7 0,若 a+b=4,则（）A.廿+房有最小值 B.有最小值C.-4-有最大值a bD-福 力 有 最大值【解答】解：a 0,b 0,且 a+=4,+房=-2-2ah=6-2ah6-2()2=1 6-8 =8,有最小值，2故选：A.8.(2014重 庆)若 log4(3+4力)=k)g26则。+人的最小值是()A.6+2V3 B.7+2V3 C.6+4百 D.7+4V3【解答】解：3+460,ab0,：.a0.b0Iog4(3+4b)=log2Vab,Iog4(3+4Z?)=log4 Cab)：.3a+4b=ab,a，4,a0.b0.b 售 X),/.rz4,则 a+b=a+-=+3(%中=+3+:=(-4)+|+7 2 J (a-4),+7=4 遍 +7,当且仅当。=4+2遮取等号.故选：D.9.（2013天津）设 +人=2,h 0,则当a=-2时，工+回 取得最小值.-2a b【解答】解：因为4+6=2,。0,要取得最小值，则“0,1|a|a+b|a|a b a则-+=-+=+-+，2a b 4a b 4a 4a b、a,c i b|a|a,1,.32 丽+2 j 丽母=福+1=-4 +1=4,当且仅当 =回，a 0,当非零实数，I 满足4/-2ab+4b2-c=0 且使|2a+例最大时,+一 的最a b c小值为-2.【解答】解：V4a2-2ab+4b2-c=0,c 7 1 7 b 7 15 7=a2-ah 4-/?2=(a )2+-b24 2,4，16由柯西不等式得，Ka-，)2+捌 22+(施)2会 2(a 一务+孚b.提 2=2*2b V15.C L b故当|2+b|最大时，有2 局.Q=矽，c=10h23 4 5 3 4 5 1 1 7 2 1 1 7.%一3 +=与 1 +砺=3。)-K =2(K-2)i2当匕=；时，取得最小值为-2.故答案为：-2xv 2 1 211.(2013山东)设正实数x,y,z 满足7 -3xy+4y2-z=0.则当一 取得最大值时，一+一 一的最大值为z x y z()9A.0 B.1 C.-D.34【解答】解：*-3x)，+4y2-z=0,.Z=W-3盯+4)2,又X,y,Z均为正实数，.xy=孙z x2-3xy+4y21,此时,x=2y.；=/-3xy+4y2=(2y)2-3x2yxy+4y2=2y2,2 1 2 11 1 1 2A-+-=-+=-(-1)+1 0,若 9 x+j 2 a +l 对一切正实数x 成立，则 a 的取值范围为 6，+8）【解答】解：常数。0,若 9 x+9 岂 a+1对一切正实数x 成立，故（9 x+q）mina+,2 2又 9x+事 2 6 m 当且仅当9 x=+，即k轲，等号成立故必有6aa+1,解得a!1故答案为1，+8)%2-4-2%4-n 2 r X V 0一.若对任意工-3,+oo),f (x)01恒成立，则的取值范围是 E，2 .【解答】解：当烂0 时，函数/(x)=7+21+。-2 的对称轴为工=-1,抛物线开口向上，要使它0 时，对任意x -3,+oo),/(x)0国恒成立，则只需要/(-3)W|-3|=3,即 9-6+。-2 0 3,得把2,当x 0 时，要使/(x)W|x|恒成立，即/(x)=-/+2 x-2 m 在射线y=x 的下方或在y=x 上,由-?+2x-2a x,即 x2-x+2aK),由判别式A=1 -8aO1综上)a l.恒成立，则的取值范围为()A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e【解答】解：当工=1时，/(I)=1-2+2。=1 0恒成立;c,一、当 x V l 时，f (x)=r-2or+2K)o24N 逐彳怛成上,r2令 g(X)=口X2 _ _ (1一.-1)2 _ _(l-x)2-2(l-x)+l _1X1-X1-x1 廿2)1 时，f (x)=x-alnx0a e 时，h(x)0,h(x)递增,当 IVxVeB 寸，6(x)0,h(x)递减，x=e 时,h(x)取得最小值(e)=e.ah(x)min=e,综上。的取值范围是0,e.故选：C.模拟预测单 选 题(共 8 小题)1.已知a b 0,则下列不等式一定成立的是()1 1A.a2 y 0,#1,归4,则()A.(aG R,a#0)B.C.x /D.3x2yy x【解 答 解：由x y 0,x ,)?1,取 x=4,y=2,则可排除CO；1-2a=取则可排除A，故选：B.3.若关于x 的不等式(2-1)?-(-1)x-1 0 的解集为R,则实数a 的取值范围是()3 3A.(-？1 B.(-1,1)C.(-1,1 D.(一、，1)【解答】解：设函数/(X)=(J-1)(“-1)x 7.由题设条件关于X的不等式(/-1)(a-1)X-l 0 的解集为R.可得对任意的x 属于R.都有f(x)0.又 当 时，函数/（无）是关于X的抛物线.故抛物线必开口向下，且于X轴无交点.昉*目仅2 1V0故满足 c r(=(a-l)2+4(a2-1),b 0,求-+工的最小值.a-1 b【解答】解：Z+b=2,a ,b 09：.a-l 0,且。-1+=L12 12 h 2(Q 1)J+=(+-)1+b)=3+3+)a-1 b a-1 b a T b3+2V2,当且仅当=即a=鱼且方=2 夜 时，a-1 b 7+7取最小值3+2V2,a-1 b5.若 a+厚0,则。2+川+二 的 最 小 值 为 V2.（a+b f 2【解答】解：根据题意，若。+毋0,即 在-6,则有次+悌惚抖,则M+垓+(a+b)2 (a+万 12l(a+b)2L1x-2(。+炉=V2,即a?+川+，的最小值为鱼;（a+b）故答案为：y/26.若 正 实 数 小 6 满足a+b=l,则下列选项中正确的是（）1A.如有最大值二 B.VH+VF有最大值企41 2 1 9C.3。一 寺 D.一+:有最小值二3 a b 2a+匕 1 i【解答】解：对于选项4 ；的（一丁）2=（当且仅当a=6=*时取=”），故选项A 正确；对于选项 8：,（仿 +V）2=a+b+2/H Wa+b+a+Z?=2,.依+a W&（当且仅当 a=b=4时取=）,故选项B 正确;对于选项C：,正实数小b 满足。+A=1,J。-人=2-1 -1,3。3-1=/故选项C 正确;对于选项。：Z+b=l），故选项。错误.1 2 1+一 二 （一 +一）（a+b）=3+b a b胃+铝 3+2企（当且仅当a+b=12b _ a a=b时取“=2a故选：ABC.7-已知K E b 。，当嘉+另取最小值时，实数的值是ab+1,4.CD 1 lai a+b lai a b a a【解答】解：由题总侍:而+至=丽+万=丽+丽+了？丽+2当且仅当时等号成立，结合“+匕=2 可得:-24=ab或2-34-3-ab7 5 3当。=细，最小值为-；当。=-2 时，最小值为一;J44所以实数。的值为-2.故答案为：-2.8.已知正实数a,b,c 满足/-2/?+9力 2-。=0,则当巴-取得最大值时，三+：-二 的 最 大 值 为（）c a b c9A.3 B.-C.1 D.04【解答】解：由2-2h+9h2-c=0,可得c=a2-2ab+9序,eab ab 1 1 1 1c a2-2ab+9b2。n+如一？.色 十 羽*la 9b.4,ab b a 2-r-2当 且 仅 当 豹,即 当 3时等号成立,此时 c=2-2血 9层=）2-2x36x6+9/=12层,所以,3 1 12 3 1 12 1 2 1,a b c 3 b b 12b2 b2 b%）1-13 1 12当且仅当b=1 时，等号成立，所以，一 十二一 的最大值为1.a b c故选：C.二.多 选 题（共 4 小题）9.已知。0 B.a-b-j-C.-+-2 D.a2+-a b a b a b【解答】解：因为匕 a 0,所以同+=8-。力一7；，5正确；a bf b Q l b a由 AVQVO 得一 0,0 且一H,a b a bb a,所以一 +工 2,C正确；a b因为匕VQVO,I i所以 4 2 V A 2,一 -,a b所以。2+工。2+工。正确.a b故选：BCD.1 0.已知正实数m 匕满足。+6=2,则下列不等式恒成立的是（）1 2 L L L LA.ab 3+2 v 2 C.V a +V K v 2 D.lna9lnb（）,h0,a+%=2,.由基本不等式可 得 而 竽=1,当且仅当=匕=1时，等号成立，故 A正 确；,.2 1 1 2 1 b 2a 1 lb 2a 1 r,f t b 2a对于 3：-=-（一+-）（a +b）=-（3+-+一）之一（3 +2 ）=一（3 +2“2）,当且仅当一=一b 2 a b 2 a b 2 yj a b 2 a b时，等号成立，故 8 错误；对于C：因为（V H+仍 产=a +b +2 V H F,所以迎+死 之 加，故 C正确；对于）：a+b=2,a+b2yfab,/.ab 扶 B.-lgh D.a b【解答】解：设 2 =3 =，（f 0 且#1）,可得a=k）g 2 仁后Z?=l o g 3 U不：彳,1 1当 0 V/V 1 时，l o g r3 l o g/2 0,则；-;-0,E P ab 三,B错误，lgalgb,。正确，a1 时，log/3log/20,则；-X）,即Log2 to1 1所以 正确，一V 一,3 正确，lga lgb,C 正确，cr tr,。正确，a b综上所述，选项A,C 一定正确，故选：AC.1 2.若实数x,y 满足x 0,则使得x-y V l成立的一个充分不必要条 件 是（）A.x+y,1C.sinjc-siny0【解答】解：对于A,因为x+y V l,则 x l-y ），0,x-y l,所以x+y（l 是 x-y l 成立的一个充分不必要条件，故选项A 正确；对于 B,log”-log2）=log2 1 V 1，解得 0 V x 2 y,不能推出故选项B 错误；对于C,若 sinx-siny 1,不妨取x=*,y=,不能推出x-y V l,故选项C 错误；对于。，4V-24-v 0,解得 x-y V V l,能推出当x=l,产/时，不能推出x-y 号，故选项。正确.故选：AD.