高考数学复习12计数原理（解析版）-2021年高考数学专练(新高考).pdf

热点12 计数原理【命题趋势】计数原理包含排列组合与二项式定理，在新高考数学中考查与以往考查题型、难度没有什么变化，通常是以选择题的形式呈现。另外在解答题中与统计概率相结合比较普遍。高考中通常难度不是很大，主要考查是排列与组合的先后顺序或者是有条件限制的排列与组合。二项式定理也是高考考查的一个重点，主要考查二项式定理的展开。本专题通过列举排列组合与二项式定理常见的考题类型，总结此些类型题目的解题方法以及易错点，能够让你在高考中遇到计数原理类型的题目能够迎刃而解。【满分技巧】捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n 项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。【考查题型】选择题、填空【常考知识】计数原理、排列组合、二项式定理【限时检测】（建议用时：5 0 分钟）一、单选题（X +匕）（+炉1.（2 0 2 0 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）X 的展开式中河/的系数为（)A.5 B.1 0C.1 5 D.2 0【答案】C【分析】门求得（x +y）s展开式的通项公式为北+1 V（rcN且r 7+2形式，对 分别赋值为3,1即可求得/的系数，问题得解【详解】（X +y）5展开式的通项公式为4+1 =C；x5 T yr（reN且r W 5）y2、X d-所以I*J的各项与（x+y p展开式的通项的乘积可表示为：2 2xT-x C x5rvr-C x6 vr 乙&i=匕C5rx5 1 yr=C；x4ryr+2x lr+y _ yx y 和 x x在X（+|=C#6TJ/中，令y =3,可得：X4=以,/V,该项中YK的系数为10.22y 7 _ 4-r ./+2 X n r _ z l 3 3一 +i=C5x y-T2=C5x y 3 3在 了 中，令=1,可得：,该 项 中 的 系 数 为5所以x K的系数为10+5 =15故选：C【点睛】本题主要考查了.项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.2.（2020年新高考全国卷I 数学高考试题（山东）6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1 名，乙场馆安排2 名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120 种 B.90 种C.60 种 D.3 0 种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6 名同学中选1名去甲场馆，方法数有：；然后从其余5名同学中选2 名去乙场馆，方法数有C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有煤 或=6 x 10=60种故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.3.（2020年新高考全国卷II数学考试题文档版（海南卷）要安排3名学生到2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A.2 种 B.3 种 C.6 种 D.8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2 组学生安排到2 个村即可.【详 解】第 一 步，将3名学生分成两个组，有。；仁=3种分法第 二 步，将2组 学 生 安 排 到2个村，有4=2种安排方法所 以，不同的安排方法共有3 x2=6种故 选：C【点 睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.4.（2021 福 建 高 三 其 他 模 拟）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边 长 为2个 单 位）的 顶 点 N处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如 果 掷 出 的 点 数 为，6）,则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点力处 的 所 有 不 同 走 法 共 有（）A.2 1 种 B.2 2 种 C.2 5 种 D.2 7 种【答 案】【）【分 析】正 方 形A B C D的 周 长 为8,抛掷三次骰子的点数之和为8或1 6,分别求出两种情况下三次骰子的点数情况，进而求出对应的排列方法即可.【详 解】由题意，正 方 形N 8CD的 周 长 为8,抛掷三.次骰子的点数之和为8或1 6,点数之和为8的情况有：116；1,2,5；1,3,4,2,2,4,2,3,3,排列方法共有C；+7+H+G+G=2I 种；点数之和为1 6 的情况有：4,6,6；5,5,6 ,排列方法共有C+C=6种所以，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点4处的所有不同走法共有2 1 +6 =2 7 种.故选：D.【点睛】本题考查排列组合问题，注意两种计数原理的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.5.（2 0 2 0 上海高三专题练习）设丁是平面直角坐标系xS上以8（一 71（、万）为顶点的正三角形.考虑以下五种平面上的变换：绕原点作1 2 0 的逆时针旋转；绕原点作2 4 0 的逆时针旋转；关于直线。”的对称；关 于 直 线 的 对称：关于直线的对称.任选三种变换（可以相同）共 有 1 2 5 种变换方式，若要使得T变回起始位置（即点Z、B、C分别都在原有位置），共 有（）种变换方式？A.1 2 B.1 6 C.2 0 D.2 4【答案】C【分析】要使得T变回起始位置，可通过三次旋转变换或者-次旋转变换+两次对称变换结合得到.【详解】第一类：只用旋转变化时：可以按或者旋转3 次得到；第二类：使用对称与旋转结合时，不能出现相同的对称变换，0）若第一位选择旋转变化，可选或者，则第二位的对称变化可在、中任选一种，前两位确定以后第三位就跟着确定，故方法有：2 x 3=6 种；）若旋转在第二位，第一位的对称可在、中任选一种，则第二位旋转也在或者中选一种，前两位确定以后第三位就跟着确定，故方法有：2 x 3=6种；G）若旋转在第三位，第一位的对称可在、中任选一种，则第二位的对称不能选第一位的，前两位定了以后第三位也跟着确定，故有2 x 3=6种.综上所述：共有6+6 +6+2=2 0种方法.故选：C.【点睛】排列组合的题目关键是找到分类的标准，做到不重不漏.6.（2 0 2 0 上海高三专题练习）已知n w N,则“=2”是 I x）的二项展开式中存在常数项”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】运用二项式的展开式的通项公式，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】+口 ”式（与=C 2，I x）展开式的通项公式为：x ,当=2?时，存在常数项，此时为正偶数，因此当 =2时，一定能推出I 的:项展开式中存在常数项，f i YX H但是由I x j 的二项展开式中存在常数项不一定能推出=2.（1YX H-因此“=2”是 I x）的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件.故选：A7.（2020 江西高三其他模拟（理）若（l +x）（l-2x严=旬+%*+廿 2+。2021姆,则4 +。2*。2021=（）A.0 B.2 C.-1 D.1【答案】D【分析】分别令x=0 和x=l,即可求得+“2+4021的值.【详解】由（1 +X）（l 2x）202。=4 +dx+出“+,，+。20212 令工=0,可得q=1；令 X=,可得。0+。1 +。2+。2021=2所以 +。2+。2021=1.故选：D.8.（2020 广西高三一模（理）一 改 4 一小 炉T）的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（）A.0 B.55 c.9 D,120【答案】C【分析】将（1）6 -1 月 3-弧4 T）展开，利用题中信息可求得结果.【详解】（X-1）（犬-1 乂丁-盟4 T）任 T）=X1 5-X1 4-X1 3+X1 0+X9+X8-X7-X6-X5+X2+X-1所以，（1）（、-TX-以 一 盟 T）的展开式中各项的指数之和为1 5 +1 4 +1 3+1 0 +9+8+7+6 +5 +2 +1 =90,展开式中各项系数乘以各项指数之和为1 5 -1 4-1 3+1 0 +9+8 _ 7 _ 6 _ 5 +2 +1 =0,因此，所求结果为90-=90.故选：C.【点睛】求解二项展开式中有关项的指数与系数的问题，一般将二项式展开，也可以利用二项式定理来求解.9.（2 0 2 0 全国高三其他模拟（理）设数列J 是公差为2的等差数列，且首项4=2,若s“+i=a0C；+a。；+。2比+a“C：,则 s”=（）A.1 2 2 2 4 B.1 2 2 88C.1 2 6 88 D.1 331 2【答案】B【分析】根据等差数列性质与组合性质，化简得C a n+C；%-=（%+an-m）C，,进而得到方程组5+1=aoCn+q C：+a+,+a.C：b+1=%C；+*_ +册_尸+a C +aC：,求得邑用=(+2)2 ,即可求解.【详解】根据等差数列性质：若掰+=2+左 则%+/=%+4与组合性质C：=m,可得/+%=q +%=4+a-2 =4 +an-m,l U =C C；=C：T C：=C；2 c：=c r 4=2(+l)GN进而有 C；4+c；*=(%+*)c：,s“+i =a。：+%C：+a,nc n +，+4 _ 丁 +anC.于是 s,川=6C+%C；i +a C+a.，由+得 2 s“+1=(。+。)。+3 +。0-1)C,+Q +an-m)Cn +(%+“0 )。”整理得 2$，用=&+%)+一+G：)=(2 +4)2 即 s+1=(+2)2=1 2 x 2 i =1 2 2 88于 是1 1故选B.【点睛】本题主要考查了以等差数列与组合数联袂为载体命题，这是一道小综合题型，主要考查了数列性质与组合性质的应用，考查了教材中利用倒序相加法求和问题，这是一道紧扣教材的好题，同时考查了考生的观察能力、逻辑推理能力与运算求解能力.二、多选题1 0.(2 0 2 0 广东高三其他模拟)在的展开式中，下列说法正确的有()A.所有项的二项式系数和为6 4B.所有项的系数和为0C.常数项为2 0D.二项式系数最大的项为第4项【答案】A B D【分析】直接利用二项式系数和公式可判断A；赋值法求二项展开式的所有项的系数和；写出二项展开式的通项，令x的次数为0求出r,代入通项即可求得常数项：根据二项式系数的性质确定展开式中二项式系数最大的项.【详解】X X的展开式中所有二项式系数和为2 6 =6 4,A正确;令x=l可得的展开式中所有项的系数和为-1)=,B正确;通项为令6 _ 2 r =0nr=3,所以的 展 开 式 中 常 数 项 为=-2 0,(:错1 x)的展开式共有7项，二项式系数最大为第4项，D正确.故选：A B D【点睛】本题考查二项式定理，涉及二项式系数和、项的系数和、求二项展开式中特定项、二项式系数的性质，属于中档题.0c 2009 2 3,2009_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ._2 x)=a0+a,x+a2x+a.x+-+2 0 0 9x (xR),则A.%=1B.32 0 0 9+1%+%+%+aim=-；-2 0 0 9 _4 0 +“2 +a 2 0 0 8=-C.2D.色+4+乌+.2 22 23。2 0 0 9 _ 12 2 0 0 9-T【答 案】A C D【分 析】利用赋值法解决,对 于A：通 过 给 赋 值 即可作出判断;对 于8和G通 过 给X赋 值1和-1,得到两个等式作差得到结果,进而作出判断:对于:卜争+簧”拈)+-5出，通 过 给X赋 值，到结果即可作出判断.【详 解】由题意,当X0时，/=F 9 =l/1 2 0 0 9.当X =时，4+q+生+%+”2 0 0 9=(T)=T当 =-1 时,a0-a+。2_。3+-。2 0 0 9=3 2 0(，93 2 9+1所以%+%+%+一 +&2 0 0 9=-1-a0+a2+a4+-+a2m=2 ,32 0 0 9-12卜 方+簧，乂；+小出+喙 乂|V。二小植吸出广当 2 时，2 2)2)故选：ACD.【点 睛】本题考查二项式定理的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.1 2.（2 0 2 0 湖南省平江县第一中学高三月考）已知 S 的展 开 式 中 第5项 与 第7项的二项数系数相等，且展开式的各 项 系 数 之 和 为1 0 2 4,则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.展开式中奇数项的二项式系数和为2 5 6B.展 开 式 中 第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含X”项 的 系 数 为4 5【答 案】BCD【分 析】由二项式的展开式中第5项 与 第7项的二项数系数相等可知 =1 0 ,由展开式的各项系数之和为1 0 2 4可得。=1,则二项式为I I），易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同，利用二项式系 数 的 对称性判断A,B；根 据 通 项 判 断C,D即可.【详解】由二项式的展开式中第5项 与 第7项的二项数系数相等可知 =1 0 .又展开式的各项系数之和为1 0 2 4,即 当 =1时，（+1）=1 2 4,所 以。=i.X H-,=Xx2+x2所以二项式为1 01 x 1 0 2 4 =5 1 2则二项式系数和为2 =1 0 2 4,则奇数项的二项式系数和为2 ，故A错误；由=1 可知展开式共有1 1项，中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大，12因为X与X-的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大，故B正确；T _ 2(10-r)2r 2(1 0 r)F=0若展开式中存在常数项，由通项/川=J。*X-可得 2 ，解得尸=8,故C正确；T_ rr 2(IO-r)2(1 0-r)?=1 5 r2由通项X可得 2 ，解得-2,所以系数为优。=4 3,故D正确，故选：BCD【点睛】本题考查二项式的定理的应用，考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.三、填空题1 3.(2 0 2 0年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标II)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.【答案】36【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学,先 取2名同学看作一组，选法有：盘=6现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：团=6根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6 x 6 =3 6 种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.(2 Y1 4.(2 02 0年天津市高考数学试卷)在X+r 的展开式中，V 的系数是k X)【答案】1 0【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x的指数为2,即可求出.【详解】+=C；.Z-x5-3 r(r =0,l,2,3,4,5)因为I%1 的展开式的通项公式为 I，令5 3r=2,解得r=1.所以,的系数为Cx2=1 0故答案为：1 .【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.1 5.(2 02 1 福建高三其他模拟)“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门”即.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有_ _ _ _ _ _ 种.【答案】432【分析】本题要将相邻的情况和“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的情况分别思考，用排列组合的知识分别计算，最后相加即得结果.【详解】解：由题意，可 知“阅读文章”与“视听学习”相邻的方法数为 团 发=240种；“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的方法数为,：团W=192种；共有240+192=432种方法.故答案为：432.【点睛】本题考查排列数和组合数的应用，考查运算求解能力.16.（2020 上海高三专题练习）新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从1医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有 种.（用数字作答）【答案】90【分析】根据题意，先算出从6名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生的选派方案种数，再算出男女主任都没有参加的选派方案种数，两者相减求得结果.【详解】根据题意，从6名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，共有4=20 x6=120种选派方案，如果所选的男女主任都没有参加，共有C x C；=30种选派方案，所以至少有一名主任医师参加有12-3=9 种，故答案为：90.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关组合的综合问题，方法如下：（1）要用好两个计数原理：（2）可以用间接法求解，用总的减去不满足条件的就是要求的；（3）也可以用直接法求解，包括男主任参加女主任不参加、男主任不参加女主任参加和男女主任都参加，相加即可.17.（2020 浙江高三其他模拟）新冠疫情期间，甲、乙、丙三个家庭在某医院等候区等待核酸检测结果.等候区是6（列）X2（行）的座位.甲、乙家庭各有三人，且乙家庭有一个小孩，丙家庭有两人.现有相关规定：同一家庭的人需坐在同一行上，不同家庭的人之间不能太接近（左右不相邻），小孩至少坐在其一位家长身边（左右相邻）.则共有 种坐法.【答案】9216【分析】先分甲、丙在一行，乙在另一行和乙、丙在一行，甲在另一行两类，（1）甲、丙在一行，乙在另一行，分步处理如下：先甲、丙选行；再甲、丙选左右两边；两边分别排甲、丙；再排乙，乙在甲、丙另一行，又分3人相邻和只2人相邻两类；（2）乙、丙在一行，甲在另一行，与（1）类似，最后一步排另一行时，即排甲时，只需6个位置选3个排起即可.【详解】由题甲、丙在一行，乙在另一行和乙、丙在一行，甲在另一行两类:(1)甲、丙在一行，乙在另一行，分4步处理如下：先甲、丙选行，有种；再甲、丙选左右两边，有C；种；两边分别排甲、丙，甲、丙间隔一个位置，有种；排乙，乙在甲、丙另一行，又分3人相邻和只2人相邻两类，3人 相 邻 有,只2人相邻有C2AA2种故共有(G 团 用+)=3 4 5 6 种；(2)乙、丙在一行，甲在另一行，分4步处理如下先乙、丙选行，有&种：再乙、内选左右两边，有0；种；两边分别排乙、内，乙、丙间隔个位置，有种；排甲，甲在乙、丙另一行，有用 种，故共有团 片 用=5 7 6 0种坐法由(2)共有3 4 5 6+5 7 6 0 =9 2 1 6 种.故答案为：9 2 1 6.【点睛】本题是排列组合的应用问题，考查了学生的分析、理解能力，运算能力，分类讨论的思想，合理分类分步是解题的关键，难度较大.