高考数学复习18圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究.pdf

微专题1 8 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究秒杀总结交点轨迹问题的常用技巧：1.两直线方程相乘消元2.两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元3.定比点差法4洞构5.硬解坐标典型例题2 2例 1.（2 0 2 2全国高三专题练习）已知双曲线:,-2=1（。0 力0）过点（4,1 3）,离 心 率 为 瓦，直线/:x=9 交x 轴于点A,过点A作直线交双曲线于M,N 两点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若 M 是线段4 N 的中点，求直线M N 的方程；（3）设只。是直线/上关于x 轴对称的两点，直线PM 与QN 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.例 2.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0,c）（c 0）到直线/：x-y-2=0 的距 离 为 逑.2（1）求抛物线（：的方程；（2）设点尸（看,%）为直线/上一动点，过点P 作抛物线C的两条切线尸A ,P B,其中A,B 为切点，求直线A 8的方程，并 证 明 直 线 过 定 点。；过（2）中的点。的直线机交抛物线C于A ,B两点，过点A,8 分别作抛物线C的切线4,12,求心4交点M 满足的轨迹方程.12 2例 3.（2 0 2 2全国高三专题练习）已知椭圆C:+3 =l（a b 0）的离心率为枭椭圆上的点到焦点的最小距离为1.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线/与椭圆C交于A ,8 两点，且O A，0 3（0为坐标原点），0/7,4 3 于 点.试求点H 的轨迹方程.例 4.（2 0 2 2全国高三开学考试（理）椭圆E：1（4 人 0）的离心率为,且过点（2&,2）.（1）求椭圆E 的方程;（2）,瑞分别为椭圆E 的左、右焦点，动点4 8 在椭圆上（不含长轴端点），且关于y 轴对称，尸为椭圆上异于4 8 的动点，直线处与尸8 分别交y 轴于M,N 两点求证：直 线 与 鹤 的 交 点 在 定 圆 上.过关测试2 21.（2 0 2 2 上海民办南模中学高三阶段练习）如图，A.8 是椭圆C:三+二=1 长轴的两个端点，M,N 是椭4 3圆上与/、8 均不重合的相异两点，设直线/初、B N、V 的斜率分别是勺、&2、k、.若直线M M 过点（1,0）,求证：勺“为定值；（2）设直线MN 与x轴的交点为&0）（/为常数且f *0）,试探究直线NA/与直线8 N 的交点。是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.22 22.(2 0 2 2 江苏南京高三开学考试)在平面直角坐标系xQ y 中，已知椭圆C：+与=1(6 0)的上顶点CT b为 A(0,2),离心率e =也，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,。两点，直线以，分别2与 x 轴交于A/,N 两点，过点，N 分别作直线以，Q(的垂线，设交点为R(1)求椭圆C的方程；(2)证明：点 尺在定直线上运动.3.(2 0 2 2 山西一模(理)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，椭圆C：三+/=1(。6 0)的离心率e =，且过点，手)，A,2分别是C的左、右顶点.求 C的方程；(2)已知过点G(l,0)的直线交C于 M,N 两点(异于点/,B),试 证 直 线 与 直 线 N 8 的交点在定直线上.4.(2 0 2 2 河南模拟预测(理)在直角坐标系xO y 中，椭圆C:二+丁=1 与直线/:犬=冲+1 交于四，N 两4点，P为 的 中 点.(1)若相 0,且N 在 x 轴下方，求 t a n NO P N的最大值；(2)设 4 8 为椭圆的左、右顶点，证明：直线Z M 的交点。恒在一条定直线上.2 25.(2 0 2 2 河南模拟预测(文)已知椭圆C:=+4 =1(a。0)的左、右顶点分别为A(-2,0),8(2,0),离a b心率为且直线/:x=m y +l 和 C交于N 两点2(1)当机=。时，求|MN|的值；(2)设 直 线 的 交 点 为。，证明：点。恒在一条定直线上.6.(2 0 2 2河南温县第一高级中学高三阶段 练 习(理)己知椭圆C：1+与=1 的离心率为业，其长轴的cr h2 3两个端点分别为4(-3,0),5(3,0).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点 P 为椭圆上除4 8 外的任意一点，直线力P 交直线x=4于点E,点 O 为坐标原点，过点。且与直线8 E 垂直的直线记为I,直线8尸交y轴 于 点 交 直 线/于 点 N,求 N点的轨迹方程，并探究 8 M 0 与N A/O的面积之比是否为定值.37.(2 02 2 广东珠海高三期末)已知椭圆C:%，=l(a b 0)的长轴长为4,左顶点力到上顶点8 的距离 为 ，厂为右焦点.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线/与椭圆C 交于不同的两点“，N(不同于4 8 两点)，且直线8 ML8 N时，求尸在/上的射影，的轨迹方程.8.(2 02 2 河北石家庄一模)已知抛物线C：y?=2px(P 0),过 点 的 直 线/与 抛 物 线 C 交于A ,B两 点(A 在 B的左侧)，M 为线段的中点.当直线/斜率为-1 时，中点M 的纵坐标为(1)求抛物线(7 的方程；(2)若线段AM上存在点N,使得阿呢石加年M小 求点N的轨迹方程.9.(2 02 2贵州贵阳一模(文)已知椭圆C：江+亡=1 与直线/(不平行于坐标轴)相切于点1 6 4过点且与/垂直的直线分别交X轴J轴于A(m,0),8(0,)两点.(1)证明：直 线 等+乎=1 与椭圆C 相切；1 6 4(2)当点M运动时，点 尸(机，n)随之运动，求点尸的轨迹方程.1 0.(2 02 2 全国高三专题练习)设是椭圆C：+?=1 上的一点，尸、。、T 分别为“关于y轴、原点、x 轴的对称点，N为椭圆C 上异于 的另一点，且 M N_L M Q,0 N与 P 7 的交点为E,当 M沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程.1 1.(2 02 2 全国高三专题练习)已知抛物线y 2=4 px(p 0),。为顶点，A,8 为抛物线上的两动点，且满足。如果于/点，求点M 的轨迹方程.2 21 2.(2 02 2 全 国 高 三 专 题 练 习)为 椭 圆 工+与=1 上两个动点，且。Q LO Q z，过原点。作直线Q Q2h h的垂线。，求。的轨迹方程.413.(2022全国高三专题练习)已知动点P与定点尸(1,0)的距离和它到定直线/:x =4的距离之比为3,记P的轨迹为曲线C.求曲线C的方程；过点M(4,0)的直线与曲线C交于A 8两点，R,Q分别为曲线C与x轴的两个交点，直线AR,8Q交于点N,求证:点N在定直线上.5微专题1 8 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究秒杀总结交点轨迹问题的常用技巧：1 .两直线方程相乘消元2 .两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元3 .定比点差法4 洞构5.硬解坐标典型例题2 2例 1.(2 02 2全国高三专题练习)已知双曲线:,-2=1(。0力0)过点(4,1 3),离 心 率 为 瓦，直线/:x =9 交x 轴于点A,过点A作直线交双曲线于M,N两点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若 M 是线段4N的中点，求直线MN的方程；(3)设只。是直线/上关于x 轴对称的两点，直线P M与Q N的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.【答案】三-二=13 3 9 x+y _ 9 =0或 x _ y _ 9 =()(3)直线P M与 0 N的交点在定直线，理由见解析【解析】【分析】(1)根据题意，列出方程组，结合02=储+从，求得。力的值，得出双曲线的标准方程，(2)设(%,%),则联立方程组，求得,N 的坐标，即 可 求 得 直 线 的 方 程；(3)设 P(9,f),0(9,T),得到脑V:x =/n y +9,联立方程组，求得)1+必，必必，再由直线PM 和QV 的方程,求得交点的横坐标，即可求解.(1)由题意得：二 一 兽=1,-=7 1 4,片+万、/a b a解得片=3,b2=3 9,所以双曲线的标准方程为t-f=l.3 3 9方 法 1：设则可空4)1依题意有2 2二 一 空=13 3 9 -/-2 2 解得无。二 一 4,y0=13(%+9)为=3 x 4 3 9 x 4 -所以直线M N 的方程为x+y _ 9 =0或x _ y _ 9 =（）.2,方法2：设直线M N 的方程为=左（工-9）,与双曲线的方程三-2 1=1联立得:3 3 9(13-*2)X2+18)12X-(8 U2+3 9)=0.当 A =3 2 4 A 4+4(13-阴(8 1公+3 9)0时设N(x2,y2),得 为+=13 K8 1标+3 9=-,1-13-公T 7中心 电+9 由2 9 公+3 9 x；+9 x,8 1f c2+3 9 ,2,又因为=一 一，所以&=一 13m=-下丁，解得“=1此时（）,所以直线M N 的方程为x+y-9 =0或 x-y-9 =0.（3）方法 1：设尸（9 1）,Q（9,-r）,直线PM的方程为y-f =?/（x-9）,直线O N的方程y+r =,联立两方程，可得2 f =（=-入=（x-9）x,-9 j转 八（2）方法2 可得-9）+1_%（占一9）一 =乂斗+三一 18）一口口（2）方法 2,可得&_ 9 X|_9 X2-9 X,-9 X,X2-9（X,+X2）+81代人得2 =A|忧 二Li.（X 日-7 I A|十 X I+O 1.8 1 公+3 9）J 18 公）故x =2 中 2-9（3+当）=（J 3J （一 3 r J x.+-18 18 k.Q 3-v-1 o1 3-k2所以直线PM 与 0 N 的交点在定直线x =g上.方法2设 直 线 的 方 程 为 x =，改+9 ,与双曲线的方程二-=1联立得:3 3 9（13/7t2-l）y2+2 3 4 n?y +1014 =0.设川（石方）,N H，%），P（9 J）,Q（9l）,由根与系数的关系，得2 3 4/7?1014x+必 际 了 .二 为 二121PM：匕,=储(-9),加：y+r=污(x-9),联立两方程，可得:2=卫一回(、一9)/一回(9)=丝 当(3)1 9一9 X.-9)(四2 )冲段234m=W-.!.f(x_9)=_2z(x_9),m 3m2-解得X =；所以直线PM与QN的交点在定直线X =；上.例2.(2022全国高三专题练习)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸(0,c)(c0)到直线/：x-y-2=0的距 离 为 逑.2(1)求抛物线C的方程；(2)设点？(%,%)为直线/上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA,P B,其中A,8为切点，求直线的方程，并 证 明 直 线 过 定 点Q;(3)过(2)中的点。的直线?交抛物线C于A,B两点，过点A,B分别作抛物线C的 切 线 心12,求心/2交点M满足的轨迹方程.【答案】W=4y(2)直线AB的方程为与x-2y-2%=0,证明见解析(3)x-y-2=0【解析】【分析】(1)利用点到直线的距离公式直接求得c值；丫 2丫2 y(2)设尸(天,与-2),设切点为区二)，曲线C:y=,/=-,从而4 4 2_2川+4%_8=0,由此能求出直线x x-2y-2%=0,并能证明直线A8过定点。(2,2)；设A(,乎)，8 5与)，从而求出交点竽)，设过Q点的直线为y-)+2,联立ly=A-(.r-2)+2 得/_4履+弘一8=0,由此能求出点M满足的轨迹方程为x y-2 =0.厂=4(1)设抛物线的方程为d=2py,3 抛物线C 的焦点尸（0,c）（c 0）到直线/：x-y-2 =0 的 距 离 为 手,.|0一 7 2|=半,解得c=或c=_ 5（舍去），V2 2=1 ,p=2 ,抛物线C 的方程为f=4 y.丫 2 1-2 y设 P（%,%-2）,设切点为（x,丁），曲线C:y =,y =44 2x2则切线的斜率为W T%-2）_ x ,化简得/-2x0 x+4x0-8 =0,x-%2设 g,争，8 5,苧），则 巧 是 以 上 方 程 的 两 根，则 x,+x2=2XQ,xx2=4 x0-8,X2 X24 4 _ X|+“2 _/,4 B-x,-x2 4 -2直线AB的方程为：)，_(=W(X7 J，整理得y =E x-A +二，4 2 2 2 4.切线以的方程为y 得=5(f),整理得 =尹-4且点P(%,%)在切线E 4 上,%=9%-(，即直线AB的方程为：y =,x-%，化简得5-2-2%=0，2 4 2XVy0=-2,xo(x-2)-2 +4 =O,故直线A B过定点Q(2,2).设A 8,、)，B Q,5-),过A 的切线y =(x-M +f,过B的切线y =(xf)+苧,则交点M(工 1 工，等)设过Q点的直线为y =x2)+2,，-f y =Z(x-2)+2联立2 ：，得 Y-4丘+肽-8 =0,x =4yxl+x2=4k f%=8 Z 2 ,4.M（2k,2k-2）,y=x-2.点M满足的轨迹方程为x-y -2 =0.例 3.（2 02 2 全国高三专题练习）已知椭圆。:.+=1（。6 0）的 离 心 率 为 椭圆上的点到焦点的最小距离为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线/与椭圆C 交于A,8两点，且 0 4,0 8（0 为坐标原点），于 H点.试求点”的轨迹方程.【答案】三+汇=1 ;4 3e 2 2 12（2）X2+/=y.【解析】【分析】1 r 1（1）根据题意椭圆上的点到焦点的最小距离得4-C=l,再根据离心率为:，得 上=即 可 解 得 椭 圆 C 的2 a 2方程.（2）直线/与椭圆C 交于A,B两点，设A（玉，x）,B（X2,y2）,根 据 题 意 求 出 轴 时，点”（土栏,0）,/_L y 轴，”（0,士栏）.当直线/的斜率存在且不为0 时，设/:丁=履+?，联立直线与椭圆方程，韦达定理写出 +、玉关于人与加的式子，再把,力的式子也用人与，表示出来，再利用OA A.OB,知王9+,必=0,代入得7 M=12 +1）,再利用O a _ L A B 得直线OH的方程为丫=-：彳，联立直线Q与直线/,把左与制用x与 y表示出来，代入7疗=12（公+1）中，化简即可得到关于x 与 尸的方程，再结合即可得到答案.（1）C 1由题意知：e=,a-c=,a1=b2+c2，解得。=2,b2=3 .a 2故椭圆的方程为r工2+匕v2=1.4 3设 4再，y）,3（毛，y2）,（i）若/_L x 轴，可设（%,。），因Q4LOB,则4%,%）.由 丘+丘=1,得 需=2，即H（土栏,0）；4 3 7 V 7若/_L y 轴，可设4（0,%）,同理可得“（0，土 源）；（i i）当直线/的斜率存在且不为。时，设/：丫 =丘+加，5由y=kx+m y 9三+x=i 4 3消去y 得:（3 +4 公）/+8 切i r+4 -12 =0,1 T b I 8 h 则%+*2=一晨而,为=W-1 23 +4 公y y2=（f c v,+m）（kx2+tn）=k2xtx2+km（x、+x2）+m2-3m2-12k23+4 公由 O A_L O 8,知g +y%=。.故小3m2-l2k24-3+4 攵 2=0,即7加=12 伏2+1)(记为).由Q H _ L A 8,可知直线。的方程为y =-，x,Kk=-y,（记为）,厂m=F yy=kx+m联立方程组 1 ，得 0)的离心率为孝，且过点仅在2).求椭圆E的方程；(2)6，鸟分别为椭圆E的左、右焦点，动点A,8在椭圆上(不含长轴端点)，且关于y轴对称，P为椭圆上异于4 8的动点，直 线 均 与 尸 8分别交y轴于M,N两点求证：直线M耳与叫的交点在定圆上.【答案】2+1=116 8(2)证明见解析【解析】【分析】(1)依题意可得4 =0。且8=。，再根据椭圆过点(2 应,2),即可求出c,从而得解；(2)设A(X，M),尸 仁,%),即可得到心、3 P 的方程，表示出用、N的坐标，从而得到加、NF1,两式相乘整理即可得到交点方程；(1)解：由 =变 得 =缶，由 从，所以6=c,a 26把点（2夜,2）代入方程得+捺=1,所以,2=8，r2 2所以椭圆E的方程为土+匕=1.1 6 8解：设A（x”yJ,尸（如为），由A尸方程：旷 一y二必 一,1（*_&）,得“jo,汕二包，%2-苦 V X2 X y由B P方程：y-y =止 弥+不），得N（o,&2i四，%+%I 超+玉）二 岬 的 方 程 为 蒸舞卜+2月,可 的 方 程 为 尸一 翁 二/-2&），由相乘得/=聋 言 印，一8）,由A,P在椭圆上可得才=8吟，货=8吟，代入式可得：y2=-（x2-8）,即直线M耳与Ng的交点在定圆+尸=8上.过关测试2 21.（20 22上海民办南模中学高三阶段练习）如图，4、8是椭圆C:工+汇=1长轴的两个端点，M、N是椭4 3圆上与4 8均不重合的相异两点，设直线/、B N、ZN的斜率分别是占、自、若直线初V过点（1,0）,求证：4义为定值；（2）设直线A/N与x轴的交点为,0）（/为常数且2 0）,试探究直线ZM与直线8N的交点。是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.7【答案】（1）证明见解析;4（2）是，x=.t【解析】【分析】设直线 N 为：x=m y+,%（%，%），联立MV方程和椭圆方程，根据韦达定理和斜率计算公式计算匕4即可;（2）设仞V：x=m y+t,M（XQJ,N（x?,%）.联立A/N方程和椭圆方程，求 得 根 与 系 数 关 系.联 立 与 BN方程，消 去 外 求 解 x,将根与系数关系代入化简即可求解.（1）设直线 MN为：x=my+1,”（内,y），N（x2,y2）,1x=my-X2 y2 得，（3机 2+4）/+6 冲一9=0,-F =14 36m y+必=$1 3m2+4 9.i=上上=一”一%+2 x2+2 myx+3 my2+3 m y%+3加(y+2)+9 9=_3 瓶 2+4_=_2?_=z2=_ l,(91-9/M2-1 8/M2+27W2+36 36 4I 3m-+4 J I 3m+4 J火 B 为 定 值;4设 A/N：x=m y+t,N ,%).=14 3 n(4+3 m 2)y2+6m/+3 产-12=0,x=my+1一 6mt3产-12-6mt.k则 AM:y=):(x +2),BN:y=了 2 2(x-2),/和 8N 方程联立得，”、(x+2)=一 三(x-2),x+2%,+2%(机 y+f+2)%相)跖+2)必R J -=-=-=-x-2 X2-2 x(m%+-2)K 吵%+。一 2)X83广-12/_ （Gmt4+3加 2 ）（4+3m23产-124+3小+（，_2）,弘m（3t2-12）+（，+2）-6 皿 一（4+3m2）y （3/2-12）+（/-2）（4+3/12）3mt2-2m-6m t2-12mt-（Z +2）（44-3/n2）yim（3/_12）+（，_2乂4+3加卜1-3mt2-1 2mt-12 z-+2）（4+3m2）y加（3 尸 一 12）+（-2 乂4+3勿 2）%-3m（t+2）2-（r+2）（4+3m2）y3机（，+2乂/一2）+-2 乂4+3）%r+2-3机（/+2）-（4+3也%t-2 3m（f+2）+（4+3/）y_ t+2 27即x+2 t+2 4-=-n x=x 2 2 t-t4即直线ZM 与直线8N 的交点Q 是否落在某条定直线x=包上.2 22.（2022江苏南京高三开学考试）在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆C：0 +与=1（a 方 0）的上顶点为 A Q 2）,离心率e=Y Z,过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P,。两点，直线RI,0/分别2与 x 轴 交 于，N 两点，过点A/,N 分别作直线双，。/的垂线，设交点为几（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：点 7?在定直线上运动.2 2【答案】一+一 =18 4（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得到b=2,再由6=也，求得4=8,即可求得椭圆的标准方程；2Q O 7,2（2）设直线PQ的方程为丫=匕，联立方程组求得不马二-米，得至分别求得”和 AQI+1 +2k9的方程，求得M（二 ，。），N（二,0）,结合MR_LAP,NG，A Q,求得MR和M?的方程，代入即可求解.%-2 y2-2（1）v-2 v2解：由题意，椭圆C：3 +4 =l（a b 0）的上顶点为40,2）,可得b=2,a-b由离心率6=立 ,可 得=1-4=:，解得/=8，2 cr a1 22 2所以椭圆的方程为二+幺=1.8 4解：由题意知，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为丫=辰，y=kx 一 c联立方程组3 +2 2=8,整理得（1 +2公）/-8 =0,8设 P（A,X）,必），可得 h+工2 =0,玉 x?=-,1 乙K、8人2则%+%=+）=0,=-1+方，又由4（0,2）,所以直线AP的方程为y-2=比 心（x-0）,即y=2i二X +2,王占令 =0,可 得 工=二 ,即 M（3 y,0）,y-2 y,-2同理可得：直线AQ的方程为y=二X +2,点N（二 3,0）,因为MR，AP,M?_LAQ,所以七匠=二、，心匠=二 y-2 y2-2所以直线MR的方程为 =二、（*+/）,X-2 y,-2可得x=一 百 y1-2直线NR的 方 程 为 卜=言（，+色），可得-启,1 V.-2 2x y2-2 2x,所以yK整理得（上 二7-2)_ 2菁 2/为,X-2 y2-l所以 用+2、=Xi%-2x2yt+4X2+2K y2-4玉(y,-2)(y2-2)又因为必=乜，乂 =埔，所以何4 -2玉-kX yX-,+2X2_-2kx2x+4X2+2kxx2-4x,”(-2)2x-2x所 以 二 一1玉Wy=-4xl+4X2MM+4102中2所 以)丁|必+42XJX2 2X1X28旬 4-J-4-T1 +2/1 +2 公h、j 8，匚 I、I 16 1 +2Z因 为=y,所以 y=-4,-+2k2,1 +2/4所以点R 在定直线丫=-4上运动.2 2/T-3.(2022山西一模(理)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，椭 圆 C：+*匕 。)的离心率 =苧，且，A,8 分别是C的左、右顶点.(1)求 C的方程；(2)已知过点G(l,0)的直线交C于，N两点(异于点/,B),试 证 直 线 与 直 线 N3 的交点在定直线上.丫2 v2【答案】土 +匕=1；4 2(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)将点的坐标代入椭圆方程得出关于、6的方程，结合离心率列出方程组，解方程组即可；(2)设过点G的直线方程为x=my+l、)、%(马，必)，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出M+必、)1%，根据直线的点 斜 式 方 程 求 出 直 线 与 8 N的方程，两式相除，化 简 计 算 可 得 直 线 与 8 N的交点的横坐标为4,即可证明.(1)由题意知,c a=-a 21 6 /十 方=、a2=b2+c2a-yplc化 简 得 1 3 正+赤=1解得&2=4,=2,故 椭 圆 的 方 程 为 +亡=1;4 2设过点G的直线方程为工=松+1,x my+1 0,设/V（x2,y2）,11 2 m.3 3则X+乂必=1工，所以)通=彳(%+%)m+2 m+2 2又 A(2,0)，B(2,0),得 砥.=卷，须N=-,X+2/2所以直线4 M的方程为y=%(才+2),直线BN的方程为y=(x-2),两式相除，X-,-2.徨 =乂&_ 2 x+2(x,+2)y2 _x+2付 x.+2 y2 x-2 1(x,-2)y,x-2 （七+2），2 =（四；+3）%。2-2）凹（m），2-1）凹缈 跖+3%_ 5|+万%+32my%一,3 92i+2二1 3-/X+/%=3,3-2+3-2即 一-=3,解得x=4,x-2即直线AM与8N的交点的横坐标为4,所 以 直 线 与8 N的交点在定直线x=4上.4.（2022河南模拟预测（理）在直角坐标系屹y中，椭圆C:+/=l与直线/：=叫 用 交于朋，N两4点，P为 的 中 点.（1）若加 0,且N在x轴下方，求tan/O PN的最大值；（2）设4 8为椭圆的左、右顶点，证明：直线ZN,8/的交点。恒在一条定直线上.【答案】一4（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质，找到tanNOPN与直线N,0 P倾角的关系，从而找到斜率关系，联立直线M N与椭圆得到韦达定理，然后利用两角和差公式以及均值不等式求解即可.12(2)利用坐标分别表示出直线/N,8M的方程，联立方程组可发现其两直线交点横坐标为定值.(1)设N H，%).(1)记/的倾斜角为a,OP的倾斜角为夕，则NOPN=a .x=my+1,由2 得（m2+4）/+2机、一3=0,贝I卜2m%+%=-/n+4 3乂 必 二，+4、八 8 十 口 r/4 根m所以=加（乂 +%）+2=1-于是尸 一-一 一j 7 故 ZO P=一二-m2+4 I +4/n2+4 J 4，+%/、所 以 tan Z.OPN=tan（a 尸）=_k跳=|,产）1 +3&I 3m 4）34 /?当且仅当-=-丁，即加=-2时，取到“=”.m 44所以tanNOPN的 最 大 值 为.易知A(-2,0),B(2,0).由题意知心N=上 不，原M=f,X)+，X|-Z所以直线/N的方程为y=*(x+2),直线8 的方程为=一卷一(-2).Xj-Z令（x-2）=+2）,X.Z X。十 N解之得X =2%（%-2）+2）（9+2）%（+2）-%（占-2）4叫-2俳+6）13yl+y24殴%-2（%+）+8乂2%+（%+必）所以点。恒在定直线工=4上.2 25.(2022河南模拟预测(文)己知桶圆C:+:=1(a。0)的左、右顶点分别为A(-2,0),8(2,0),离a b心率为迫直线/:x=my+l和C交于M,N两点、2当小=0时，求网的值;13（2）设 直 线 的 交 点 为。，证明：点。恒在一条定直线上.【答案】（1）|M N|=6（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可求出a，c,再由层=一,2,可求出从，从而可求出椭圆方程，将x=l 代入椭圆方程中可求出N 两点坐标，进而可求出|MN|的值，（2）设加（补%）,2区,丫2）,将直线方程代入椭圆方程中消去x,利用根与系数的关系，表示出直线AN的方程 和 直 线 的 方 程，联立求出其交点的横坐标化简可得答案（1）设椭圆的半焦距为c（c0）.根据题意，4=2,因为 =正，所以c=6，a 2所以y-2=4-3=】，所以C 的 方 程 为 +丁=1,4当加=0时，Z：X=1,代入C 的方程可得y=土孝,所以|M N|=g.1x=my+lx2 2 ，得（加+4）/+2 缈一3=0,二=12mX+%=_ 2 4设”（百,）,%（工 2，2）,则 m+m+4因为后A N =1 o=.o，X2+2 f -2所以直线4 V 的方程为y=+2）,直线BM的方程为y=、（x-2）.七 一 2令93-2）=上 方（+2）,%-2 x2+214解之得X =2 y 2(%-2)+2 y (%+2)=4 5%2*+%(七+2)-%(阳-2)3 y+%4%)，2 -2(3+)1)+8 y2 y+(y+%)2 M +(-2m+42mm2+44 皿。-)+8 乂2 乂 一8 n?团 2 +42mm2+4=4所以点。恒在定直线x =4 上6.(2 0 2 2 河南温县第一高级中学高三阶段练习(理)已知椭圆C：二+马=1 的离心率为逅，其长轴的a2 b2 3两个端点分别为A(-3,0),8(3,0).(1)求椭圆C的标准方程；(2)点尸为椭圆上除出8外的任意一点，直线/尸交直线x=4 于点E,点。为坐标原点，过点。且与直线8 E 垂直的直线记为/,直线8 P 交y 轴于点M,交直线/于点N,求 N点的轨迹方程，并探究a8例。与 N M O的面积之比是否为定值.2 2【答案】5+5=1(2)工=2弓1，是定值4【解析】【分析】(1)求出 后可得椭圆的方程.2 次74-9(2)户(%)(%力 0),则计算可得酝=利用P在椭圆上化简前者可得N点的轨迹方程，从而可得三角形的面积之比.(1)(1)由题意，a3,X=,.*.c =/6,a 3则人=77=？=百.椭圆c的 方 程 为 三=i.9 3(2)2 2设尸(%，%)(%*0),则德+乌=1.y 3.直线工尸的方程为y =34(x+3),取尤=4,可得点E(4,上、%+3 1 x0+315.直线B E 的 斜 率 为 点 与 _ 7%,.直线/的方程为y =-y（）4-3%+3又直线P B的方程为y =（x-3）,工 0 一 3联立直线/与 P 8 的方程，消去y得 一 炉 x =（x-3）,/%不）-3 7 乂+片-9 3%=2 1 M-7%小 _ 3）一/-3 剧 7 帚 片-9 2 2+&=；.x；-9 =-3 y39 39 1 2 1代入解得点N的横坐标/=4,即 N点轨迹方程为：x=44S 1研同 Q/BMO _ 2 _ _ 八 BSNM。；0 闾.匾|XN故 8 M O 与 M W O 的面积之比为4：7.，27.（2 0 2 2广东珠海高三期末）已知椭圆C:+与=1（。人 0）的长轴长为4,左顶点/到上顶点8的距a h离为 逐，厂为右焦点.（1）求椭圆C的方程和离心率；（2）设直线/与椭圆C交于不同的两点/，N（不同于4 8两点），且直线时，求尸在/上的射影的轨迹方程.【答案】=+丁=1,离心率为正4 2J _ _ 4l f =7,4【解析】【分析】（1）由题意可得2 a =4,a2+b2=5,可求出“力，再由/=/+c?可求得c,从而可求出椭圆C的方程和离心率；（2）设N（w，必），当直线斜率存在时，可设/：y =丘+加代入椭圆方程消去九整理后利用根与系数的关系，结合怎怎N=-1,可求出，的值，从而可得直线/经过定点（。,-|）,当直线斜率不存在时，可设/:x =f,求出M,N的坐标，结合的“&=-1 可求出，的值，得尸在/上的射影，的轨迹为以E F为直径的圆，从而可求出射影的轨迹方程16（1）由题意可得：2。=4,/+%2=5，a2=b2+c2,可得。=2,c=6，b=l,所以椭圆C的方程为寸+9=1,4 .离心率为e =且.a 22当直线斜率存在时，可设/：y =+机代入椭圆方程上+丁=1,4得：（4公+1）/+8 Z/nr +4（m 2 _）=（）.设则X,+x2=4 k 2 +1-Skm因为直线8 M,3 N垂直，斜率之积为T,所 以 原 班=T,所以原“%=”丁+（一-1）&+、2）+（/7）2=_中2x+x2将.石2 =_ 一8 km-4/+14（/n2-l）4 +1代入，整理化简得：（m-1）（5 m+3）=0,3所以?=1或 机=-.由直线/：丫 =+加，当?=1时，直线/经过（0/），与B点重合,舍去,当m =-|时，直线/经过定点综上所述，直线/经过定点4 0,而尸在/上的射影的轨迹为以EF为直径的圆,17其（后 0）,所以圆心（,-得，半径=等，所以圆的方程为，-等+|/+Kj=|，即为点的轨迹方程.8.（2022河北石家庄一模）已知抛物线C：y2=2px（。0）,过点7（-1/）的直线/与抛物线C 交于A,B两 点（A 在 8 的左侧），M 为线段AB的中点.当直线/斜率为-1时，中点M 的纵坐标为一 万.（1）求抛物线C 的方程；（2）若线段A M 上存在点N,使得求点N 的轨迹方程.【答案】（i）y=x；x-2 y-l=0,x c（3-2后,3 N（3,3+2夜）.【解析】【分析】（1）设 A（x y）,8（,%）,由题设得直线/：/=-3 联立抛物线方程，由韦达定理及中点纵坐标求参数 P，即可得抛物线方程.（2）由加（弋 二,七&1,设N（x,y）、直线/为：x=r（y-l）-l 并联立抛物线，根据根的个数、韦达定MT理求f 的范围及%+%，%，再 由 已 知 条 件 可 得 谒=1 就，结合N 在线段A M 上得到x,y关于f 的参数方程，进而可得N 的轨迹方程.（1）设3 仇,外）,由题意，直线/：y l=（x+l）,即=一X.由 广;，消去x 得：y2+2py=0,故%=上 爰=-0=-1,y=2px 2 2.P =g,则抛物线的方程为：V=x.设N（x,y）,由（1）,M点坐标为（斗,由题意，直线得斜率不为0,设直线/为：x=r（y-l）-l.联立直线与抛物线的：卜I消去x 得：+=0,I y=x因为方程有两个不等实根M，%，故A A O n c Z+Z 近 或，2-2 0，18由韦达定理知：卜 +一;，加=+11 2,MA MT.因为,即|MN广 何 而，N ,A,丁四点共线，N在线段A M上；1-M+X所以 j 二-，化简得：（4-2他+%）=2（%+%）-4），跖，即），（4-2 r）=-4,V v 2 J1 2/9 4 R所以，丫 =1+咦，x=/（）；-l）-l =3+-,消去参数f得：x-2y-=0,.由，2-2血 或0 2 +2/，可得：x 3-2 63卜（3,3+2&）.从而N点的轨迹方程为：x-2 y-l=O,xe（3-2 0,3）u（3,3+2后）【点睛】关键点点睛：第二问，设直线联立抛物线，应用判别式求参数范围，由韦达定理得到相关点坐标与参数关M A M T系再 由 谒=扁及点共线求得点N横纵坐标关于t的参数方程.9.（2022贵州贵阳一模（文）己知椭圆C：工+.=1与直线/（不平行于坐标轴）相切于点“（X。,%）,16 4过点”且与/垂直的直线分别交X轴j轴于4?,0）,3（0,）两点.（1）证明：直 线 等+*=1与椭圆C相切；16 4（2）当点M运动时，点 尸（相，）随之运动，求点尸的轨迹方程.【答案】（1）证明见解析.（2）+-=1 （x y*0）9 36【解析】【分析】（1）将 直 线 争+乎=1方程与椭圆方程联立由 =（）可证明.（2）先求出直线A B的方程，用七,%表示出也,，再代入椭圆方程可得答案.（1）由点/（/，%）在椭圆C：二+反=1上，可 得 宜+应=1,即4%2=16-/216 4 16 4书）016 41,可得x2+4y2=16,：，/,消去）可得小+为 =1619化简可得/-2/犬+/2=。由A =4X0 2 -4 x l x x 0 2=o,所 以 直 线 黄+?=1与椭圆有唯一交点.故直 线 等+乎=1 与椭圆相切.1 6 4由（I）可知直线/的方程为：岩+号=1，由条件直线/不平行于坐标轴，故七%工016 4所以直线/的斜率为:%16A4-含，所以直线AB的斜率为空4%令x =0,可得=-3%,y=0,可得加=一4即为=一 =?（雇 工 ），由 器+子=1W x f Y+l x f-T=l,即日 +江=I5?WH0）1 6 I 3 J 4 V 3 j 9 3 62 2所以点尸的轨迹方程三十工=1（孙工0）9 3 61 0.（2 0 2 2全国高三专题练习）设又是椭圆C：菅+?=1 上的一点，P、。、T 分别为M关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N为椭圆C上异于”的另一点，且 MN，。，QN 与 P T 的交点、为 E,当“沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程.【答案】q+y2=l（Qw O）：【解析】【分析】设点的坐标M（X|，X），N（X 2,力）a%w O），E（x，y）,则尸（-内，），。（-%,-%）,丁（%,一%）,由丽 和 N满足椭圆方程得3v kQ N=-1求出QN斜率和方程，联立。N方程和尸7 方程求出x,y,由此用x,y 表示M的坐标，将 M坐标代入椭圆方程就可以得E的轨迹方程.【详解】20设点的坐标 M(X|,y|),N(X2，%)(x jx O),E(x,y),则 P(f ,yJ,Q(-X i，-y)T(X|,-y J,；、N在椭圆C上，,22142&42),由一(2)可 得