高考数学全概率公式复习讲义.pdf

高二数学 考点题型技巧 精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第三册)7.1.2全概率公式【考点梳理】知识点一.全概率公式一般 地,设Ai，Ai，A”是一组两两互斥的事件,A1 UA2UU A =Q,且P(4)0,i=l,2,，n,则对任意的事件B U Q,有P(B)=P(4)P(Ma),我们称这个公式为全概率公式.Z=1【题型归纳】题型一、两个事件的全概率问题1 .两台车床加工同样的零件，第一一台出现废品的概率是0.0 3,第二台出现废品的概率是0.0 2.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任意取出的零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率.2.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3,其中甲班中女生占,，乙班中女生占，求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.题型二、多个事件的全概率问题3 .设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：(1)从乙盒取出2个红球的概率；(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率.4.有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占3 0%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？题型三、条件概率在生产生活中的应用5.设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%,3 5%,40%,它们的次品率依次为5%,4%,2%.现从这批工件中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率.(精确到0.0 1)6 .在A、B、C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%、5%、4%的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为5:7:8,现从这三个地区中任意选取一个人.（1）求这个人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人选自A 地区的概率.【双基达标】1 .已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲.假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概 率 是（）A.0.0 1 245 B.0.0 5786 C.0.0 286 5 D.0.0 3 7452.某种疾病的患病率为0.5%,通过验血诊断该病的误诊率为2%,即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有 2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（）A.0.0 6 89 B.0.0 49 C.0.0 248 D.0.0 23 .某大学有A B 两家餐厅，某同学第1 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去A 餐厅，那么第2 天去A餐厅的概率是04；如果第一天去8 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率是0.8；则该同学第2 天去A 餐厅用餐的概率是（）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.84.深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2,0.5,0.2,0.1,当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（）A.0.3 B.0.32 C.0.6 8 D.0.75 .设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2:3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（）A.0.6 B.0.8 5 C.0.8 6 8 D.0.8 86 .盒中有。朵红花，匕朵黄花，现随机从中取出1 朵，观察其颜色后放回，并放入同色花c 朵，再从盒中随机取出1朵花，则第二次取出的是黄花的概率为（）,b r b b c aa+b 2a+b a+2b a+b7 .播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含5 0颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,则这批种子所结的穗含5 0颗以上麦粒的概率为（）A.0.8 B.0.5 32 C.0.48 2 5 D.0.312 58.有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0,则C.（B|A）=w他迟到的概率为（）A.0.8 5 B.0.6 5 C.0.145 D.0.07 59.（多选）箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4 个红球，2 个白球.每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回.设事件A表示“第 1 次摸球，摸到红球”，事件B表示“第 2 次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（）2 3A.P（A）=B.P（B）=-D.尸（明10.（多选）有 3 台车床加工同一型号的零件.第1 台加工的次品率为6%,第 2,3 台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%,则下列选项正确的有（）A.任取一个零件是第1 台生产出来的次品概率为0.06B.任取一个零件是次品的概率为0.05 25C.如果取到的零件是次品，且是第2 台车床加工的概率为D.如果取到的零件是次品，且是第3 台车床加工的概率为11.有两台车床加工同一型号的零件，第 1 台车床加工的次品率为5%,第 2 台车床加工的次品率为6%,加工出来的零件混放在一起.已知两台车床加工的零件数分别占总数的45%,5 5%,则任取一个零件是次品的概率为一.12.已知某次数学期末试卷中有8 道 4 选 1 的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3 道题中，有 2道题有思路，还 有 I道完全没有思路，有思路的题做对的概率为没有思路的题只好从4 个选项中随机选一个答案.小王从这8题中任选1 题，则 他 做 对 的 概 率 为.13.今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是:，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是1若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.4（1）若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1 所学校回答正确这道题的概率；.2 3（2）若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为不，乙校抢到的概率为 正，丙校抢到的概率3为 丁，求这个问题回答正确的概率.1 4.2 0 2 2 年北京冬奥会的志愿者中，来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为：甲高校学生志愿者7名，教职工志愿者 2名；乙高校学生志愿者6名，教职工志愿者3名；丙高校学生志愿者5名，教职工志愿者4名.（1）从这三所高校的志愿者中各抽取一名，求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率；（2）先从三所高校中任选一所，再从这所高校的志愿者中任取一名，求这名志愿者是教职工志愿者的概率.【高分突破】1 .某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占4 0%,3 5%和 2 5%,且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.6 5,0.7 0 和 0.8 5,则从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概 率 是（）A.0.8 1 7 5 B.0.7 1 7 5 C.0.5 0 5 D.0.4 5 7 52 .设袋中有1 2 个球，9个新球，3 个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为（）A.4 4 1 二 1 9 3 1B.C.D.3 0 2 5 2 2 0 1 1 6 03.若从数字1,2,3,4中任取一个数，记为x,再 从 1,，x中任取一个数记为y,则 y=2的概率为（）1 5 1 3 1A.g B.-C.D.-2 8 4 8 34.盒中有4个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（）A.bDba+b+c a+cC.b _ b+c-D.a+b-a+b+c5.已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.2 5%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（）（设男子和女子的人数相等）1 0 c 2 0 -1 1A.B.C.D.1 1 2 1 2 1 1 26.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习.如果他前一球投进则后一球投进的概率为3:；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为1:若他第1 球 投 进 的 概 率3为 则 他 第 2 球投进4 4 4的概率为（）7.（多选）甲罐中有5 个红球、2 个白球和3 个黑球，乙罐中有6 个红球、2 个白球和2 个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件A、4、表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球,以事件B表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是（）A.事件8 与事件A 不相互独立 B.A、4、&是两两互斥的事件3 7C.P（B）=-D.P（B|A）=-8.（多选）若O P（A）1,O P（B）P(B|A 3)=0.0 2 x 0.3+0.0 1 x 0.5+0.0 1 x 0.2=0.0 1 3.故从这批产品中任取一件是次品的概率是0.0 1 3.5.(1)0.0 3 4 5；(2)0.3 6.【详解】(1)设事件用，层，当分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取到的是次品.易知与，B2,星两两互斥，根据全概率公式，可得尸(A)=号 P(与)P(A|g.)=0.2 5 x 0.0 5 +0.3 5 x 0.0 4 +0.4 x 0.0 2 =0.0 3 4 5 .故取到次品的概率为0.0 3 4 5.P A)=坐二 外 坐)=。2 5 皿。5 x 0.3 6 .V 1 1 P(A)P(A)0.0 3 4 5故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.3 6.3 06.(1)0.0 4 8 5；(2).9 7【详解】(1)记事件。:选取的这个人患了流感，记事件E:此人来自A地区，记事件厂:此人来自8地区，记事件G:此人来自C地区，则。=D E F,且。、E、尸彼此互斥，由题意可得 P(E)=0.2 5,尸(尸)=0.3 5,P(G)=2 =0.4,P（D|E）=0.06,P（D|F）=0.05,P（D|G）=O.O4,由全概率公式可得 P（0 =P（E 尸（。忸）+尸仍 P（必产）+P（G P（）|G）=0.25 x 0.06+0.35 x 0.05+0.4 x 0.04=0.0485；（2）由条件概率公式可得P（同）=尸；（芈）=0.25x0.06=30V 1 7 P（D）P（D）0.0485 97【双基达标】1.D【详解】用事件4 8 分别表示随机选1 人为男性或女性，用事件C 表示此人恰是色盲，则O=A B,且 A,B 互斥，故 P（C）=P（4）尸（C|A）+P（8）尸（C|8）=g x 7%+gx0.49%=0.03745故选：D2.C【详解】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为P=0.5%x（l-2%）+（l-0.5%）x2%=0.0248.故选：C.3.B【详解】设 4=第 1 天去4 餐厅用餐 ，片=“第 1 天去B 餐厅用餐，&=第2 天去A 餐厅用餐”，由题意得：尸（A）=P（旦）=0.5,尸（4 I A）=0.4,P（&用）=0.8,由全概率公式，得:P（4）=P（A）P（&IA）+（即尸|用）=0.5 x 0.4+0.5 x0.8=0.6,因此，该同学第2 天去A 餐厅用餐的概率为0.6.故选：B.4.C【详解】设片表示“乙球员担当前锋”，&表 示“乙球员担当中锋”，&表示“乙球员担当后卫”，A,表示“乙球员担当守门员”，B表示当乙球员参加比赛时，球队输球”.则 P（8）=P（A）P（a A）+P（&）P（B|4）+P（A）P（8|A j+P（A）P（B|A4）=0.2 x 0.4+0.5 x 0.2+0.2*0.6+0.1 x 0.2=0.32,所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为1-0.32=0.68.故选：C.5.C【详解】设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件8,事件4 表示提出的一台是第i 车间生产的，=1，2,由题意可得P（A）=|=0.4,P（&）=|=0.6,P（B|A）=0.85,P（M&）=0-88,由全概率公式得P（?）=P（/ll）P（?|/）+P（A）/J（B|A）=0.4x0.85+0.6x0.88=0.868.所以该产品合格的概率为0.868,故选：C.6.A【详解】设 A表示“第一次取出的是黄花”，B表示“第二次取出的是黄花“，则8=48+初，由全概率公式知产（5）=尸 （叫A）+P（Z）尸（8 间,由题意P（A）=/7，P（B|A）=-,P（A=,P（BA）=-Ha+b a+b+c）a+b 7 a+b+cz、h（h+c ah b所以 p（8）=7-T3-r+一 不7-7=-.a+b）a+b+c）a+hfa+b+c）a+b故选：A.7.C【详解】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是4,A2,A.%A 4,则。=A/U A 2U A ZA 4,且Ai,A2,4,4 两两互斥，设 8=从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒，则 P（B）=工，（A/P（8|4）=95.5%x0.5+2%x0.15+1.5%x0.1+1%x0.05=0.482 5.8.C【详解】设 4 =他乘火车来，上=他乘船来，4=他乘汽车来，4=他乘飞机来，8=他迟到.则Q=A/UA2UA3UA/,且 A/,A2,A3,4 两两互斥，由全概率公式得 P（B）=/，（4 P（B 14）=0.3x0.25+02x0.3+0.1x0A*+0.4x0=0.145.9.ADC1 2【详解】P（A）=a，A正确;P（8|4）=第=；，尸（平）=,一 2 4蛆叽$5 _ 4P（A）-2-56 4 3 2 4 2由全概率公式可知：P(B)=P(A B)+P(A B)=-x +-x-=-6 5 6 5 3所以BC错误，D正确.故选：A D1 0.B D【详解】记事件A：车床加工的零件为次品，记事件)：第，台车床加工的零件，则 P(A|B/)=6%,尸(A|&)=尸(A|&)=5%,又 P(8/)=2 5%,尸(历)=3 0%,P(B 3)=4 5%,A：任取一个零件是第1 台生产出来的次品概率为P(A B/)=6%x 2 5%=1.5%,故错误；B：任取一个零件是次品的概率为 P(A)=P(A B/)+P(A B 2)+P(A&)=6%X2 5%+5%X7 5%=5.2 5%,故正确；C：如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为P(B 2|A)=今穿=4邛不=哈署=弓，故尸(A)尸(A)5.2 5%7错误；D：如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为P(以 阳=号 器 =5：蓝%=|,故正确；故选：B D.1 1.5.5 5%【详解】依题意，任取一个零件，求它是次品的概率为5%x 4 5%+6%x 5 5%=5.5 5%.故答案为：5.5 5%.1 2.红32【详解】设小王从这8 题中任选1 题，且作对为事件A,选到能完整做对的5道题为事件B,选到有思路的两道题5 2 1 1为事件C,选到完全没有思路为事件。，则 P(8)=u，P(C)=-=-,P(D)=-,由全概率公式可得：o o 4 oP(A)=P汽用8)+P(C)P(川G+户(。)P(AD)+1+如沁xf、27故答案为：9 1 4 91 3.(1)(2)9 6 8 0【详解】(1)记甲、乙、丙 3 校独自答对这道题分别为事件A ,3,C,分别设甲、乙、丙 3校答对这道题的概率分别为P(A),P(B),P(C),由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A,B,。是相互独立事件7 1 1由题意可知尸(A)=j P(A)P(C)=-,P(B)P(C)=-,解得 P(B)=13 P(C)=2(.O J3所以，乙答对这道题的概率为:，丙答对这道题的概率为2甲、乙、丙三所学校中至少1 所学校回答正确为事件。，则概率为P（o）,其反面是三所学校都回答错误，即（1-P（A）（1-P（B）（1-P（C）=（1 一 胪 诙 一|卜 A则三所学校中至少I 所学校回答正确的概率为尸（。）=1-2=会；9 6 9 6（2）若规定三所学校需要抢答这道题，则这个问题回答正确设为事件E,得到抢答机会分别是事件A，4,4,则p(A)=|,P(4)=5,尸(4)=吃，A)=|，人 创&)=|,P(CIA3)=|,则 P(E)=P(A)P(AIA)+P(4)P(*4)+P(4)P(CIA)2 3 3 3 3 2=-X H-X 4 X =5 4 1 0 8 1 0 34 98 0这个问题回答正确的概率为二.1 4.（唁（2）1O I J【详解】（1）设事件A为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是学生，则尸（A）=g x x g =2；设事件8为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是教职工，则 P（8）=x x =；设事件C为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者中既有学生又有教职工，则P（C）=1-P（A）-P（8）=1-482 4 35581（2）设事件。为这名志愿者是教职工志愿者，事件为选甲高校，事件占 为选乙高校，事件七3 为选丙高校.12 3 4P(E,)=P(E2)=P(E3)=-,P(DE=-,p(D|2)=-.P(D|3)=-.所以这名志愿者是教职工志愿者的概率为：19 13 14 1P(D)=P(E1)P(D|1)+P(E：!)P(D|2)+P(E3)-P(D|3)=-X-+-X +-X-=-【高 分 突 破】1.B【详解】设事件4：药材来自甲地，事件右：药材来自乙地，事件&：药材来自丙地，事件以抽到优等品,贝（4）=0 4,P（4）=0.3 5,7（4）=0.2 5,P（BAt）=0.65,P（/?|A）=0.7,P（B|A）=0.8 5,所以 P(3)=P(M A)尸(A)+P(网4)P(4)+P(8|A jP(A3)=0.65 x 0.4+0.7 x 0.35+0.85 x 0.25=0.7175.故选：B2.A【详解】设 4=第一次比赛恰取出i 个新球=0,1,2,3)，B=第二次比赛取得3 个新球”3.P(B)=2P(4)P(8|4)/=04413025,5I 5 5%I%5 5 L9 y3 3 3 3 3 3 0 3 0 35 5 2 C12!2 C12CI2 1212故选：A3.C【详解】设事件Ai表示取出数字i,i=l,2,3,4,易知尸5 小二尸 二%/二代人 二:，4事件 8 表示取到 了=2,则尸(3|A/)=0,P(8|A2)=；,P(B|A3)=:，P(BA4)=2 3 44 1 111 IQ/.P(B)=P(Ai)P(B|4)=x(0+)=.T 4 2 3 4 48故选：C4.C【详解】设事件A=第一次抽出的是黑球“，事件3=第二次抽出的是黑球，则4=A3+M，P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A).由题意义4)=，P(BA)=-,P(A)=-,P(BA=,a+b 7 a+b+c a+b v 1 7 a+b+c/、b(b+c)ab b所以尸(8)=7 -r+7 7T 7-r=-.a+b)a+b+c)(a+b)a+b+c)a+b由全概率公式故选：C5.B【详解】设 4=男子”，B=女子，C=”这人有色盲”，则 P(C|A)=0.05,P(C B)=0.0025,P(A)=0.5,P(B)=0.5,可得p c)=她g=一些色=型Z P(A)P(C|A)+P(3)尸(C|3)0.5x0.05+0.5x0.0025 21,故选：B.6.B【详解】记事件A为“第1球投进”，事件B为“第2 球投进”,P(8|A)=j,P(BA)=,0(A),由全概率公式可得 P（3）=P（A）P（8|A）+P（Z）P（BM）=故选：B.7.ABD【详解】对于A,由题意可知，事件A 发生与否影响事件8 的发生，故事件B与事件4 不相互独立，故 A 正确;对于B,A、&、&两两不可能同时发生，故 B 正确；对于C，尸故 C 不正确;对于D,已知从甲罐中取出一个红球放入乙罐，这时乙罐中有11个球，其中红球有7个,7因此，在事件A 发生的条件下，事件8 发生的概率为尸（同4）=石，故 D 正确.故选：ABD.8.BCD【详解】由条件概率公式可知A 错误，B 正确；由条件概率公式变形可知尸（A）P（8|A）=尸（A8）,故 C 正确；由全概率公式可知尸（B）=尸（A）P（8|A）+P P（B同，故 D 正确.故选：BCD.【详解】若x+y 为偶数，则X、y 全为奇数或全为偶数，所以，p（A）=1=oxo 2事件AB为“x+y 为偶数且X、y 中有偶数，x x y“，则X、y 为两个不等的偶数，所以，尸（4 8）=洛=：,6x6 6因此，尸（刎=常小故答案为：.【详解】设 4=第二次取出的均为新球“，以=第一次取出的3 个球恰有i 个新球”（i=0,1,2,3）.由全概率公式可得P(A)P(Bd)P(,ABo)+P(Bi)P(ABi)+P(B2)P(AB2)+P(B3)P(AB3)3 0 3 C?3 3 3 3 力 父=%-9 I 9人6 5 I 5 I-9 -6 -一瓦,福cTc V琼瓦,博一的T故答案为：景.1 1 1 71 1.尸(地)=7，P(%)=N，P(%)=,P(B)=不1 2 o 3 1 2(2)来自3号箱的概率最大,理由见解析.【详解】由已知可得P(A)=尸(4)=P(A 3)=；,1 2 3P(q A)=P(8|4)=P(8|4)=3，P(%)=P(A)尸 网 4)=；x；=W，i 2 1P(BA2)=P(A2)P(BA2)=-X-=,i 3 1P(BA,)=P(A W I A)=-X-=-，1 1 1 7P(B)=P(BA)+P(B A)+P(B A)=-+-+-=-.1 2 o 3 1 2 尸5 二需11127一12/(4/(寸A=IPP(A 最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.1 2.(1)1 冬1 0 5【详解】(1)设第一次取出的球为红球为事件A,取到甲袋、乙袋、丙袋为事件用，B2,屠，则p(Bj=p(Bj=p(Bj=；,由全概率公式可得：p(A)=p(l|B1)/?(Bl)+p(A|B2)p(B2)+/?(A|B3)p(B3)=|x|+|x l +x l =l(2)设第二次取出的球是白球为事件C,由全概率公式可得：P(AC)=P(ACB,)P(BI)+P(ACB2)P(B2)+P(ACB)P(B3)2 3 1 3 2 1 4 4 1 31=X X +X X +X X 二-543543873 10531所以即止需坪喂2