高考数学正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题（精讲精练）（解析版）.pdf

专题0 2 正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题【命题规律】解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度.【核心考点目录】核心考点一：倍长定比分线模型核心考点二：倍角定理核心考点三：角平分线模型核心考点四：隐圆问题核心考点五：正切比值与和差问题核心考点六：四边形定值和最值核心考点七：边角特殊，构建坐标系核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题核心考点九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范围【真题回归】A C1.(2 0 2 2 全国高考真题(理)已 知 A 8 C 中，点。在边BC上，Z A D B =20,A D =2,C D =2 B D.当 空 A B取得最小值时，BD=.【答案】7 3-1【解析】方法一：余弦定理设 C )=2 3 =2 w i 0,则在 Z A BD 中，A B2=B D2+A D2-2BD-A D c os ZA D B=n r+4+2m,在 .A C D 中，A C2=C D2+A D2-2C D -A D c os Z A D C =4m2+4 -4 机，所以_ 4/+4-4 1 _ 4(疗+4 +2 冷-1 2(1 +力)_4 _ 1 2A B2 m2+4+2m m2+4+2m (,3(?+1)+-4 1 2=4-2 5/3 ,Y )m +当且仅当?+1=二一即?=0-1时，等号成立，所以当4G取最小值时，m =6 l.A B故答案为：V3 1.A 方法二卜建系法令B D=t,以。为原点，0 C为x轴，建立平面直角坐标系.则 C ，0),4(1,乖),B(Y,0).与生骡=生丝匕4一-2 6AB-(/+1)-+3 r+2f+4(r +1)+3v 7 r+1当且仅当，+1 =百，即3。=6-1时等号成立。方法三:余弦定理设C D=2 x.由余弦定理得c2=X2+4+2x=4+4x2-4x:.2c2+b2=2 +6x2.c2=x2+4+2xZ?2=4+4x2 4x.*.2C2+&2=12+6X2,令=t,则 2c2 +t2c2=2 +6x2,AB12+6x2 12+6%2,-n Ic2 x2 4-2x4-42(x+l)+I 7 x+lJ2 6-2 5/.?4-2 7 3 ,当且仅”1x+l=3,即尤=6+1时等号成立.x+1 方法四:判别式法设 3Q=x,则 8=2x在 ABD 中，AB2=BDr+AD2-2BD-ADcosZADB=x2+4+2x,在AAC 中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcos ZADC=4 f +4-4x,g、i AU 4JT+4-4X所以一7=：-AB x+4+2x记t=4x2+4-4xx2+4+2x贝 ij（4-f）x2-（4+2?）x+（4-4 r）=0由方程有解得：=（4+2f）2_4（4 _/）（4 4/）20B P r-8 f +4/3r/3所以 mi n=4 2/3,此时 x=2+=/3 14-r所以当W 取最小值时，尤=G-1,即8 0 =6-1.AB2.（2022.全国.高考真题）记 _ABC的内角4,B,C 的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c 为边长的三个正三角形的面积依次为相应，已知乐in%.（1）求,.ABC的面积;（2）若sin AsinC=,求。.3【解析】（1）由题意得且=6,s,=且铲,$3=且，2,则1 2 2 4 4 3 4S1,-52+53=a2-h2+c22 3 4 4 422 .-2 _ 12 1即/+c?-Z?=2,由余弦定理得 cos3=-,整理得 accos8=l,则 c o s 6 0,又 sin8=-，2ac 3则 cos8=/（4 =巫，a c =-=,则 SM c=lacsinB =变；U J 3 cosB 4 ABC 2 83&（2）由正弦定理得：=-,则且 _=，=-=劣=2,则上=3sin 3 sin A sinC sin-B sin A sinC sin Asin C，2 4 sinB 2TZ?=sinB=.2 23.（2022全国高考真题（文）记.A B C的内角A,B,C 的对边分别为小 b,c.己知sin Csin（A-B）=sin Bsin（C-A）.（1）若 A=2 B,求 C；（2）证明：2/=从+C 2【解析】(1)由 A=25,sin Csin(A-Z?)=sin Bsin(C-A)W,sin Csin?=sin Z?sin(C-A),而 O c B v,所以sin3 (0,1),即有sinC=sin(C-A)0,而0 C v 兀,0 v C-4 v 兀，显然C w C-A,所以，C+C-A =TC，而 A=2 3,4+8+。=兀，所以C=型.8(2)由 sin C sin(A-B)=sin B sin(C-A)可得，sinC(sin A cos B-cos Asin B)=sin Z?(sin C cos A -cos C sin A),再由正弦定理可得，a c c os B-b c c os A =hc c os A -a hc os C,然后根据余弦定理可知，(a2+c2-b2)-(b2+c2-a2)=(b2+c2-a2)-a2+b2-c2)，化简得：2a2=b2+c2,故原等式成立.4.(2022全国高考真题)记二 4 3 C 的内角A,B,C 的对边分别为“，h,c,已知=sin28.1 +sin A l+cos2B(1)若。=二，求&3(2)求小i 的最小值.C R【解A T,析】./(八1)r因rn 为M-c-o-s-A-=-s-in-2-B-=-2-s-i-n-B;cosB=-si-n-B-,即(1II1 +sin A 1 +cos IB 2cos-B cos 3sin B=cos/4 cos B-sin Asin B=cos(A+B)=-cos。=g，而0 0,所以,H U sin B=-cos C=sin(C-,所以 C=+B,即有 4=-2 B,所以 弓)匚 匚 I”a2+b2 sin2 A+sin2 B cos2 2B+I-cos2 Bc2 sin C cos2 B(2cos2 B-l)d-l-cos2 B c 2 r-r-=4COS2B+-一 52V 8-5=4V 2-5.cos B-cos B当且仅当cos2 B=变 时取等号，所 以 的 最 小 值 为 4夜 _ 5.2 c2【方法技巧与总结】1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系,基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化.要适当选用公式，对于面积公式S=1 sin C =1acsin8=UcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪个公式.2 2 23、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围.4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识.5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手铜，要牢牢掌握并灵活运用.利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值.6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解.7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径.充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值.【核心考点】核心考点一：倍长定比分线模型【规律方法】如图，若 P 在边8C 上，且 满 足=|AP|=/n,则延长4 尸至。，使 夕。=九4尸，连接8，易知/DC,且=A D =（l +A）A P.A B A C+Z A C D =180 .J/D【典型例题】7 T例 1.（2022福建 厦门双十中学高三期中）如图，在中，Z B A C =-,A D =2 D B，P 为CD上一点,且满足AP=AC+g A 8,若卜C|=2,卜q=3,贝 力 API的 值 为（）c岳L*-3D.姮4【答案】B【解析】设CP=4CD，2 2 1则 A P =A C +C P =A C +4 C )=A C +/l(3 A B A C)=；l A B +(l /l)A C =5 A B +机A C ,32 0_ 1 A=-A,-4-3 2,解得:m-X m=1 I 4因为|AB|=3,所以A=gA5=2,又|AC|=2,Z B A C =,所以ADC为等边三角形，7 T 3 3所以 ZAC3=K,C P=-C D =-f3 4 2/3 Y 3 1 1 3由余弦定理 AP2=AC2+CZ)2 2AC-COCOSZAC3=22+-2 x 2 x-x-=,2 2 4所以AP=史；2故选：B例 2.(2021.全国高考真题)记 4 3 c 是内角A,B,C 的对边分别为。，b,J已知从=这，点。在边AC上，BD s in ZA BC =a s m C.(1)证明：B D =b；(2)若 A)=2 D C,求cosZABC.【解析】(1)设 4 3 c 的外接圆半径为R,由正弦定理，b c得 sinNABC=,sinC=上，27?2Rb c因为8sinZABC=s in C,所以8。-=a-,即3Z)g =ac.2R 2R又因为 2=双，所以=(2)方法一【最优解】：两次应用余弦定理2 12 2因为AO=2)C,如图，在 公 ABC中，c os C =a +,2a b由得+从一才=3 2+（令2一 从，整理得2a2一日。2+,2=0又因为。2 =Q C,所以6/-1 lac+3c之=0,解得”=!或。=与，当=,/=c=J 时，+/?=+a W-e2 2 2-127所以 cos/4BC=.方法二:等面积法和三角形相似2如图，已知 AD=2Z5C，则=SfB c，i 9 9 1即一x 从 sin Z.ADB=x acxsin Z.ABC,2 3 3 2故有 NADB=N A B C,从而 ZABD=NC.由从=b c CA RAQ C,即一=7，即 丁 =,BP.A C B A B D,a b CB BD2bAD AB.故法=就，即&4c b2又y=a c,所以c=，方法三:正弦定理、余弦定理相结合2 1由(1)知8 =AC,再 由 仞=2 O C 得 A Q =-C )=.3 3在,A )8中，由正弦定理得s in Z A B D s in Ab?又 Z A B D =4 C,所以 3 _ 6,化简得s in C =s in A.一 7 3s in C s in A77在：A B CI.由正弦定理知c=：a,又由从=a c，所以332 4 22 .2 _ _ 2 a +-a 在一相C中，由余弦定理，得co s 乙钻C=-22x-a27故 co s/4B C =.12 方法四1：构造辅助线利用相似的性质如图，作。E A B,交B C 于点E,则 D EC s&i BC.2b(3 2a cT 3由 4 5 =2 O C,得DE=,EC=3,BE=”.3 3 3在，B E D 中，c os A B E D =(争+空/r-3在，A B C 中 co s Z A B C =+c因为 co s Z A B C =-co s A B E D,3 3整理得6a2 1仍2+3。2=0.又因为/=a c,所以6/-1 1QC+3c2 =0,即=或。=c.3 2下同解法1.方法五卜平面向量基本定理UUUl IIL111因为4)=2 Q C,所以 AO=2OC.2 1以向量84B C为基底，有=+3 32 4 2 4 1 2所以 5。=-B C +-B A BC +-BA ,9 9 94 o 4 1 o即b =a +a c c os ZA BC +c2,9 9 9又因为/=a c,所以9讹=4/+4a c-cosZ A B C +c2.由余弦定理得 b2=a2+c2-2a c c os ZA8C,所以 ac=/+c?-2a c c os Z A BC 联立，得6。2-1 loc+3c2 =0.所以=gc或 =k.2 3下同解法I.方法六:建系求解以。为坐标原点，AC所在直线为工轴，过点。垂直于AC的直线为)，轴,长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则。(0,0),A(2,0),。(1,0).由(1)知，B D =h=A C =3,所以点8在以。为圆心，3为半径的圆上运动.设3(x,y)(3vxv3),则无?+y 2=9.由从=ac知，忸川.忸C|=|AC,即 J（x+2 y+y 2 .J（x _ l）2+y 2=9.联 立 解 得=-7 或 x=7（舍去），/=工05，4 2 16代入式得a=BC|=3瓜,c=|BA|=a,b=3,2由余弦定理得cosZABC=a+cT-=2_.2ac 12【整体点评】（2）方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.例 3.（2022湖南宁乡一中高三期中）设 a,b,c 分 别 为 的 内 角 A,B,C 的对边，A。为 8 c 边上的2万1中线，c=l,Z.BAC-,2csin AcosB=sin/4-sin B+/?sin C.求 A。的长度；（2）若 E 为 A 8上靠近8 的四等分点，G 为 4 3 c 的重心，连接EG 并延长与AC交于点尸，求 A尸的长度.【解析】（1）依据题意，山2csin AcosB=asin A-6sin B+gbsinC 可得2 a c c W+贝，则C O S B/，F=.+C*1=:儿，2ac 2ac=2,COSN/M C，一 片 解得BD 吟cosB=1 +7-42手七,解得A C为 日(2)G 为/ABC的重心，.4 6 =2 4 0 =3 3 3 7+cos ZB AD=BAD=-E G =G216 3 12c os z A G F =-c os z A G E =后，s in 乙 4G F =，c os z D A C =c os(-,s in z D 4C =,V43 屈 3 2 2 2 5 A G A F 3c os Z A F E =-C O S(Z A G F +Z D A C)=j=，s inz A F E =/=,-=-,A F =-2 43 2J 43 s inz A F E s in Z.A G F 5例 4.(2022广西柳州高三阶段练习(文)己知/(x X s inx c os x +V W x-等,将 了 的图象向右平移9(0 9 /3c os2x =s in2x+c os 2x=s in(2x+7 1g(.x)f(x-p)=s in 2(x-(p)+-,由g(x)的图象关 于 朋)对称，得 g (看卜即$布-2、=0,八 7 1 /口 7 1 27c _ 27c由0*5 得 _ 2+！J+2MD -COS6 联立消去cos。得 A。c、?4，所以AD=22.例 5.（2022 全国高三专题练习）在 M 8C 中，。为 BC上靠近点C 的三等分点，且 4 3 =8=1.记 ABC的面积为S.（1）若5山。=2 5 m 3,求S;（2）求S 的取值范围.【解析】（1）因为sinC=2 sin 5,由正弦定理可得c=，因为。为3C 上靠近点C 的三等分点，AD=CD=1,所以比=2,在 AABD 中由余弦定理 A8?=AD2+BD2-2AD-BDcos ZADB即 AB2=l2+22-2xlx2cosZA D B.在.AC中山余弦定理AC?=A2+CE2-2AO COcosNADC即 AC?=广 +V 2x 1 x 1 cosN4OC，又 ZADB+ZADC=180,所以 cos NADB=cos（180-NADC）=-cos NADC所以=c=y/6，cosZADB=-,cosZADC=2 4 4所以 sin ZADB=y jc o s2 ZADB=乎，sin ZADC=71-cos2 ZAC=呼所以 S=1 AO BOsin ZADB+-A D CDsin ZADC2 2L lx 2 x 1 +L l x l x L 亚2 4 2 4 8（2）设ZA）C=e,G,|/I|J ZADB=7r0所以 S AO BOsin ZADB+-A D CDsin ZADC2 2=；xlx2xsin（7r-0）+gxlxlxsin93.万=sin”2显然0 s in 6 4 1,所以0 =2D 4，80=2 叵，求 ABC的面积.3【解析】(1)在，M C 中，由正弦定理可得：(sin A-sin C)-sin/I=sin A-sin(B-C)V A e(0,7t),sinAwOsin A-sinC =sin(B-C)/A+8+C=7t,sin A=sin(B+C)sin(B+C)-sin C=sin(B-C),化简可得：sinC=2cosBsinC,V CG(O,K),A sinCO1ncos6二一，又BC(0,7T),AB=-.2 3(2)CD=IDA.BD=BC+CD=BC+-CA=B C+-(BA-BC=-B C+-B A两边平方得：BD2=(BC2+4BA2+4BC-,即心。(=|B C|2+4|BA|2+4|C|B/A|COSi 28则 即 2 =(/+4c2 +2 )=了，；./+4c2 +2cle=84 在，ABC中，由余弦定理得：6=/+c 2 _ 2 a c,c o s ,化简得：12=/+。2-收 由可得：02-3改+2/=0,即(c-a)(c 勿)=0,二 c=a 或 c=2n当。=时，a=c=2拒,8c=5 x 2 6*2 6*sin =3 6：当 c=2a 时，4=2,c=4,5A A8C=-x2x4xsin-2/3.核心考点二：倍角定理【规律方法】B 2 A b2=aC a+c)C=23 o c?=伙人+a),这样的三角形称为“倍角三角形”.A=2C a2=c(c+b)推论 1：A=2 6 o-sin2Bbsin Bb-=-sin 3B-2cos B 3-4sin2 B推论 2：A=2B =1 +2cosAb+c=2cosBb【典型例题】例 9.(2022 广 西 灵山县新洲中学高三阶段练习(文)在锐角.ABC中，角A 8。所对的边为a b,c,且 acosB =Z?(l+cos A).(1)证明:A=28(2)若=2,求。的取值范围.【解析】(1)V a-cosB=Z(l+cosA),由正弦定理，t#sin A-cos B=sin B(1+cos A),艮|J sin A-cosB-cos A sin B=sin B,sin(A-8)=sin 8,J A3=3 或(A 8)+8=灯(舍)，即 A=23,JT rr-r r(2)由锐角A B C,可得0A=2B,0C=/r-3B 万.即:.也 COSB B.6 4 2 2由正弦定理可得：三=工sin A sin BbsinA Z?sin2B 4 sin B cos Ba=-=-=-sin B sin Bsin B=4cos8.所以 2 0 4 c o s 8 2 所以”的取值范围为：倒虚设.例 10.(2022黑龙江哈师大附中高三阶段练习)已知a,b,c 分 别 为 71BC三个内角A,B,C 的对边，S是2sABC 的面积,sin(8+(7)=(1)证明：A=2C；(2)若。=2,且 ABC为锐角三角形，求人+2 c 的取值范围.【解析】(1)证明：由sin(3+C)=/252S即 sinA=f a-c.si.n A=尻-s-i-n-A-,sin.A.w 0n ,.a)-c,=h,eer-c ci b 4 c 2bc cos 4,a c=b 2bc cos A,b2-2/?ccos A=be，*b-2c cos A=c fsin B-2sin Ceos A=sin C,sin(A+C)-2sinCcosA=sinC,sin AcosC cos Asin C=sin C,；sin(A-C)=sinC,力，B,C e(0,TT),，入一。=。即 A=2C(2)V sin A sin CcosC且 4=2,/.cVA=2C,：.B=7r-3C,710 2C -27 T,二ABC为锐角三角形，所以JO乃 3 C ,4.4由 =2,ci1 c1 b e-所以 b=c,则 +2c=F C,c c且。=殍,同cosC设 则 C -C2 0,仿。2 -4 0,M%，为减函数,例11.(2022福建龙岩高三期中)在ABC中，角A,B,C 所对的边分别为“，b,c,已知sin2 B-sin2 C=sin Asin C.(1)证明：B=2C；(2)若 A 是钝角，。=2,求 ABC面积的取值范围.【解析】(1)tel/sin2B-sin2C=sinA sinC,由正弦定理得。?,由 cos B=ci+c b a c2ac2c得 2sin Ceos B=sin A-sinC.所以 2 sin C cos B=sin(B+C)-sin C,/.s in C=s in B co s C-co s Bs inC =s in(B-C),.*.C=B C C)(舍去)，.B=2C.（2）由条件得0C-27 T jr0B=2 C -2a hs in A s in BB=2C,a=2f_ 2s in B _ 2s in2C _ 2s in2Cs in A s in(万 一 3C)s in3C/.AB C 的面积S =L b s inC2c s in 2 C s inC=2-s in3Cc s in 2C-s inC=2-s in 2C co s C+co s 2C s in C,tan 2 C -tan C 4 tan C=2-=-3 tan 2C+tan C 3-tan-C43 7 ,-tanCtan CJ t a n C 随,nC 3例1 2.（20 22 江 苏 宝应中学高三阶段练习）在中，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(a+b)b =/.求证：C=2B；求a+4bbcos B的最小值.【解析】（1）证明：在a AB C中，由己知及余弦定理，（a+b）b=c2=a2+b2-2abcosC,即。=Q-27?COSC,由正弦定理，WsinB=sinA-2sinBcosC,又4=兀一(8+C),=cos Bsin C-sin Bcos C=sin(C-B).0sinB=sin(C-B),/.0 C-B C TI.V B+(C-B)=C 2J4cosB-=4 6，cos B V cos B当且仅当8=X，|时等号成立，所以当B=时，的最小值为4 G.6 bcosB例 13.(2022江苏连云港高三期 中)在.4?。中，AB=4f AC=3.(1)若 :。$。=-9，求.ABC 的面积；4(2)若 A=2 8,求 3 c 的长.【解析】(1)在 ABC中，设角A、B、。所对的边分别为a,b,c.由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AB 5C cos C,即 16=9+4?_ 2X3XQX(_；,得=2或a=(舍)，4 4由 cosC=-;，C e(0,zr),得sinC=J l-cos?C=所 以 ABC的面积S=LabsinC=x 3 x 2 x 业5 =豆 叵.2 2 4 4在,中，由正弦定理得G_b_-_a_ _3 a 3=-_=_sin B sin 23 sin B 2sinB cosB sin B所以 a=6 cos B.在.ABC中，再由余弦定理得cosB=AB-+B C-AC2 16+/-92ABBC2x4x4匚 1、1 a 16+ci 9所以一 =-6 2X4X Q解得例 14.（2022浙江 绍兴鲁迅中学高三阶段练习）在 锐 角 ABC中，内角A 8,C 的对边分别为 力,c,且满足sin2 A sin2B=sinBsin(A+B).(1)证明：A=2B.（2）求2 的取值范围.c【解析】(1)由sin2A-sin2B=sinB-sin(A+B)得sin2A-sin2B=sinBsinC,由正弦定理得一从=尻故 cosA=b2+c2-a22bcc2-be _ c-b _ sinC-sinB2bc 2b 2sinB可得 2sinBcosA=sin(A+8)-sinB即 sin8=sirv4cosB-sin&osA=sin(A-8),TT TT因为 0 c A ,0 8 一，2 2所以5 =A 3，即 A=2 3；b sin8 sin8 sin8 sinB()c sinC sin(乃一33)sin3B sin2BcosB+cos2BsinB_ sinB_ 12sinBcos2B+(2cos23-ijsinB 4cos2B-1 7C0 B -2在锐角中，A=2Bf，屋4冬CW#0C=7r-3B 是 ABC的角平分线，则 4 D 2=4 rA C-8 Z r C,可记忆：中方=上积一下积.【典型例题】例 15.(2022湖北武汉市武钢三中高三阶段练习)A B C 中，AB=2,A C =1,BD=ABC，(1)若/84。=120。，Z=1,求 4)的长度；(2)若 AO为角平分线，且 A=1,求 ABC的面积.【解析】(1)BD=ABC.4=g,AO=；(AB+AC),又 在，A B C 中，AB=2,AC=,ZBAC=nO0,：.(AD=+AC)?=:(AB+(忙丫+2 W cos A)=?,A AD2=,g|J：AD=B.4 2(2)在 一 中，SAABC=；匕 c，sin4=sinA,A 1 A 3 A又：SABC=SABD+5AACD=+2 =,sin A=-s in-,2 22 2 2 4 8 c _ 1 八 4 _ 1 i g 3,7 _ 3,7 SA MA RCC =2 be,sin A=2 x 1 x 2 x-8-=-8-.例 16.(2022黑龙江齐齐哈尔高三期中)在锐角,A B C 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足c _ a+hcosC cos A+cos B(1)求角C 的大小；(2)若c=g,角 A 与角8 的内角平分线相交于点。，求面积的取值范围.【解析】(1)c _ a+bcosC cos A+cos B由正弦定理可得,上 世cosCsin A+sin Bcos/A+cos B整理可得：sin Ceos A+sin Ccos B=sin AcosC+sin Bcos C.B|J sin C cos A-sin A cos C=sin B cos C-sinC cos B,即：sin(C-A)=sin(fi-C),又因为锐角ABC,所以C-A e兀 兀252,B-C eHP所以 C-A =3-C,即 A+3=2 C,又 A+B+C=TT,所以c=(：27r(2)由题意可知乙43B=WTT设 NZMB=a,所以/A 8O =-a,又0 2 a/3x2sin|-a jsina=-sin a cosa-sin22 2 13 J 2 2a =g i n(2a+斗 正,2 I 6；4又aw71所以2a+V71 2兀3,所以sin12tz+E 卜即ABD面积的取值范围为(3-石 石 例 17.(2022江苏泰州高三期中)在sinC(acos3+6cosA)-asin8=asinA+/?sin8；s i n2 B-s i n2 A =G s i n B c o s B-G s i n A c o s A两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知 A B C 中，角 A,B,C的对边分别为a,b,c,a b,.(1)求角C的大小；(2)若/4CB的角平分线C )交线段A8于点。，且C O =4,g =4 A ,求AABC的面积.【解析】(1)选：由正弦边角关系得c(a c o s 5+bc o s 4)-a b=a 2+,再由余弦边角关系得；-a b =a2+b2,2 c 2c所以/c 出=/+/,而c o s C =+=_E L O C =4 A D，贝 1 1 8 c =4 A C,由A )C AB DE,则 丝=乌=4=工，又 8 =4,BD ED BE 4所以 E E =1 6,BE=4AC,故8 E =8C,又N 3 C E =6 0,故 B C E 为等边三角形，则 8 E =8 C =C =C D+=2 0,A C =5,结 合(1)结论，A B C 的面积为LAOS。s i n 1 2 0。=2 5 月.2例 1 8.(2 02 2 辽宁 东北育才学校高三阶段练 习)已知向量=(石 s i n x,c o s x),/=(c o s x,-c o s x),函数/(x)=a-Z+|.求函数y=/(x)的最小正周期;(2)在ABC中，角 A,B,C 的对边分别为a,h,c,/A C B 的角平分线交A 8于点。，若 C)恰好为函数了(力的最大值，且此时C3=/(C),求 3a+4 6 的最小值.f(x =a b +=V3sin【解析】2xcosx-cos2x+-=sin2x-1 +cos 2x 3=-+2 2 sin 2x cos 2x+12222=sinf 2x-j+1)7r则函数y=x)的最小正周期T=等 r(2)由(1)可知/(x)=sin(2 x-+1 2 x-=-，当 6 2,71x =3 时,/(X)取得最大值为2,则71ZACB=-3,即8=2,T T IT因为C。平分/A C B,所以NACO=N3CO=丁，则点O 分别到A C 4 C 的距离 =CZsin丁=1,6 6由SMzSm 呜.ACg s MC*.皿+”j,即 今+，整理可得i i G-H-=-,a b 23。+4/?=(3。+4)7+四+竺、2 G、27314 6+24,当且仅当冷即+-1A3b a3百=2。时，等号成立,故3a+4b最小值为I48+243例 19.(2022河北高三阶段练习)已知A8C中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,其中a=4,6=3.若点。为 4 8 的中点且8=2,求 NAC8的余弦值;(2)若 N4C3的角平分线与A3相交于点E,当cxC石取得最大值时，求 CE的长.【解析】(1)根据题意，延长。到 凡 使 得 CD=O F,连接 B P,可得四边形A网?C 为平行四边形,所以 c o s/ACB=-c o s/CBF=-16+9-16 33?8（2）设ZACE=NBCE=6,CE=x,可得 AB?=9+16-2x3x4xcos26=25-24cos26,因 止 匕 ex CE=xxj25-24cos29,X SABC=5A4CE+X 3 X 4 X Sin 20+x?0*x f*7e-?4 i-ex CE=xx V25-24cos20=cos 0 x V49-48 cos2 87=x 4 G cos 8 x“9-4 8 cos2 9 COS（9=时等号成立，24所以 CE=x=.例 20.（2022全国高三专题练习）在中，内角A B,C 的对边分别为a,b,c,且_ _ _ _ _ _.在bcos（-C）=-/5CCOS8；2s4KBe=?BA BC；tan A+tan C-石=-百 tan 力 tan C 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.（1）求角6 的大小；（2）若角8 的内角平分线交AC于。，且 8。=1,求。+4c的最小值.【解析】（1）若选条件，由正弦定理得：sin sinC=-/3 sin Ceos B,CG（0,）,.sinCwO,/.sin B=-A/3COS B,则 tan 8 二-百，0 rr又 3 （。,4），.-.B=y.若选条件，由 2s=-6 区 48（7得：acsin B=-V3ccos B,27r/.sin B=-/3cos 则 tan8=-/J,又8 （0,万），/.B=.若选条件，由 tan A+tan C-V3=一石 tan A tan C 得：tan 4+tan C=V3（1 -tan A tan C）,tan A+tan C _ 石1 -tan A tan C即 tan（A+C）=后,又 tan 8=la n -（A+C）=-tan（A+C）=-B ,8$（0,乃），/.=（2）S ABc=S ABD+S BCD，/.c s i n y =|c BDsiny+14Z-5siny,Hlly/3 G 5/3.,.a+c 1 1 1L、|J etc=c+。，.a+c=cic f.1 =1,4 4 4 ac a ca+4c=（a+4c）f+-=5+54-2./=9（当且仅当 q =竺，即 a=2c=3时取等号），a c）c a Vc a c a.，.+4c的最小值为9.例 2L（2022 贵州贵阳高三开学 考 试（理）已知L/8 C 的内角A,8,C对应的边分别是也c,内角A 的角平分线交边3 c 于。点，且 AD=4.若（幼+c）cosA+acosC=0,贝！J.ABC面积的最小值是（）A.16 B.1673 C.64 D.64百【答案】B【解析】V（2b+c）cos A+tzcosC=0,/.2 sin B cos A+sin Ccos A+sin A cos C=0，即 2sin 8cos A+sin（C+A）=2sin Bcos A+sin 8=0,又 5 0,sin B 0,工 2cosA+l=0,E J cos A=,又 A（0,TT）,AM3由题可知 S ABC=S ABD+S A C D，=4,2 4 T T 1 T T所以一besin =x4csin hx46sin,即ic=4（b+2 3 2 3 2 3,又 bc=4（/?+c）N8 ,即加2 64,当且仅当b=c 取等号，所以S BC=icsin x64x=16.ABC 2 3 2 2故选：B.核心考点四：隐圆问题【规律方法】若三角形中出现=44（2 1）,且 C为定值，则点C 位于阿波罗尼斯圆上.【典型例题】例 22.（2022 全国高三专题练习（文）阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数4（4 0 乂*1）的动点的轨迹.已知在ABC中，角A、B、C 所对的边分别为。、b、c,且sinA=2sin8,acosB+bcosA=3,贝！1 ABC面积的最大值为（）A.3 B.C.6 D.6 6【答案】A【解析】由 正 弦 定 理 可 得 设 4 3 C 的外接圆半径为小贝 ij acosB+bcos A=2r（sin Acos 8+cos Asin B）=2rsin（A+8）=2rsin C=c=3,以AB的中点。为原点，A 6所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如下图所示：所以，ABC什 勺 边 AB上的局的最大值为2,因此，S ABC 0,2/1）的动点的轨迹.已知在AA8C中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且sinA=2sinB,acosB+6cosA=2,则AABC面积的最大值为（）ll-4 5A.5/2 B.yj3 C.-D.【答案】C【解析】依题意，sinA=2 s in B,得BC=2AC,即Afi=2,以AB边所在的宜线为x 轴，AB的垂宜平分线为