高考数学复习-同构式下的函数体系.pdf

专 题 6 同构式下的函数体系卜彳秒等秘籍：第一讲同构式的三问三答又到了最后一个章节，自从2018年跟大家交流同构式开始，全国各地的老师和学生似乎都很迷这个“神招”，同构式并不神秘，和很多之前的专题一样，我们需要细化它，透彻理解它，所以我们需要一个同构式的“说明书问题一：同构式到底是什么？同构式源于指对跨阶的问题，e*+x 与 x+lnx属于跨阶函数，而 e、+lnx属于跳阶函数，所以指对跳阶的函数问题，在中学阶段没有解决它的巧妙方法，只能构造隐零点代换来简化，但通过指对跨阶函数进xe*(xnx行同构，即/?(x)=x+/n/?(lnx)=x+lnx 我们发现将一个指数、直线、对数三阶的问题通过跨阶-x-1 x-lnx-1函数的同构，变成了两阶问题，类似于二阶递推数列通过一次递推后变成了一阶数列，所以，通过构造跨阶函数的同构式，大大简化了分析和计算.问题二：同构式能解决什么问题？同构式是属于跨阶的复合函数，所以复合函数能解决的一切问题，同构式均能解决.在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数以及复合函数的最值保值性来快速解题.问题三：同构式怎么构造？如何选取函数？同构式需要一个构造一个母函数，即外函数，用(x)表示，这个母函数需要满足：指对跨阶；单xex调性和最值易求；通常，/?(x)=，x+/,基本上搞定这三个母函数，就看内函数，即子函数的构造了.ex-x-i我们发现，/(x)=x e*在(-oo,T)单调递减，在(-1,+8)单调递增，而 f(x)=x ln x 在单调递减，在，田单调递增，在考查同构式的类型中，构造x d 来求取值范围，构造xlnx来判断零点个数及分布;同构式模型：ax log“x n exina n xln a exlna xIn x=In r Inx=xInez Inx=naeAX =Xex lnx=AxeAx xnx=enx lnx=Xx Inx=A ;2e*+QX In(x+1)+x+1 =enx+l)+ln(x+l)=arln(x+l)秒 杀 秘 籍：考 点 1 利用同构式单调性秒杀【例 1】(2023武邑期中)设实数4 0,若对任意的x e(0,w),不等式/，-处 2 0 恒成立，则2 的取值范围是.【例 2】(2023长郡月考)己知函数f(x)=a/T n x-l ,若/(x)2 0 恒成立，则实数a 的取值范围是【例 3】对 曾 0,不等式2ae2*-Inx+lnaN 0恒成立，则实数。的最小值为()A.壬 B.3 C.-D.Je 2yle e Ie【例 4】(2023衡水金卷)已知a l 恒成立，则实数。的最小值是()A.-B.-2e C.-D.-e2e e1 秒 杀 梨 将；考 点 2 同 构 式 问 题 构 造 恒 等 式：x+eex+lnex构造函数/?(x)=x+e*,易知(x)在区间(0,+=o)T,根据以 x)=e-x-1 2 0 恒成立，贝 I p(lnx)=x-ln x-l 0恒成立，当仅当山x=0,即 x=l 时等号成立.由此能得到恒等式：x nx+l=n e x,所以再利用同构式h(x)/?(ln ex),即x+e*W纸+ln夕恒成立，当仅当x=l 时等号成立.MSTLT01【例 5】(2023榆林模 拟)已知不等式e-1 2 日+/%,对于任意的x e(0,4。)恒成立，则k 的最大值注意：若/z(p(x)2(虱x)恒成立，且(p(x)2/i(4(x)+双x),则一定要满足夕(x)4 0,此方法属于同构式的单调性和同构式的“保值性”综合题，有一定难度，原理其实很简单，同构式一旦搞定，剩下的就是基本的函数方程不等式的简单思想.以此题为背景的考题非常多，从选填题压轴到解答题压轴，无处不在，常规方法我们不在这里讲述了，大家可以去看一下常规的解答方案.【例 6】(2023武汉调研)已知函数f(x)=e*-a ln(ax-a)+a(a 0),若关于x 的不等式 0 恒成立,则实数a 的取值范 围 为()A.(0,e B.(0 42)C.l,e2 D.(l,e2)M 秒 杀 秘 籍：考 点 3 利用同构式的保值性秒杀同构式保值性：若(幻，力(P(X),q(x)中，x e D,p(x)G D,q(x)e D,故 h(x),(p(x),(式 x)的最值相等.概括起来就是构造了同构式，可以根据外函数的性质直接求出函数的最值.同构式倍值性：在h(x)和g(x)=，小(p(x)满足xe。，p(x)e D,则g(x)=m (p(x)的最值是h(x)的?倍我们将这个性质概括为同构式的倍值性.下面我们仅以“亲戚函数”的图像和性质来验证这个理论.关于/(x)=x e 的亲戚函数一、通过平移和拉伸得到的同构函数如图 1：根据求导后可知：/(x)=x 在 区 间(-8,-1，在区间(-l,+o o)T,/(x)l l l i n=/(-1)=-e图1图2 图3 图4如图2:即将/(x)向右平移1个单位，再将纵坐标扩大为原来的e倍，故可得y =(x-l)-e 在区间(-8,0)J，在区间(0,+o o)T,当x=0时，ym i n=-l.如图3：(x-2).(x-2)./(%-2),即将/(x)向右平移2个单位，再将纵坐标扩大为原来的/倍，故可得y =(x-2e 在区间(-8,1)J ,在区间(1,+8)T,当x =l时，m i n=-e.如图4：(x+1)屋=e-L(x+I)-，M=e T/(x+l),即将/(x)向左平移1个单位，再将纵坐标缩小为原来的，e倍，故可得y =(x +l)e 在区间在区间(-2,+8并，当X =2时，ym i n=.e二、通过乘除和取倒数导致凹凸反转同构函数如图5:y=-=x.e-x=-f(-x),即将/(x)关于原点对称后得到y =。，故可得丫=三 在 区 间(-如 并，e e e在区间(1,+8)J,当=1 时，ym a x=-.e如图6：y =-(x-l)e-(v-,)=-l/(-(x-l),即将f(x)关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐e e e标缩小,倍，得至l J y =W，故 可 得 之 二 在 区 间(-8,2)个，在区间(2,+8，当x =2时，ym a x=4.e e e e如图7：一一=一七），属于分式函数，将看关于原点对称后得到，故可得在区间（0,1）J,在区间（L+8）T,当X=1时，X n i n=e-如图8：尸三-属于分式函数，将 上 关 于 原 点 对 称 后，左移一个单位，再将纵坐标缩小倍，故可得y =W-在区间（-1,0）1,在区间（0,+o o）T,当x =0时，ym i n=1.e x +1三、通过取反函数构成的同构函数如图 9：xnx=enx nx=/（i n x）,当 l n x w（-8,-l）,BP j I,当 I n xE（-1,+8）,BP ,+o c j T ,1m in=一 .e如 图i o：2=_ i n x T“T=-f（-I n x）,实 现 了 凹 凸 反 转，原 来 最 小 值 反 转 后 变 成 了 最 大 值，当x-l n x G（-o o-l）,即xw（e,+8）J,当一l n x （-l,+8）,S P x G（O,e）T ,ym a x=.e如图 11：In x+1=（_m夕）,当一l n e x （-8,-l）,即x（l,+8）J,当一 1口夕（一1,+8）,BPXG（0,1）x exT，%a x =1 如图 12:-=4=-/（-I n x2）,当一I n f （_ Q O,_ ）,即 xw（7,+o o）j,当一In f w（_ i,+a）,即x 2 x 2X e（o,）T,小=；.2e注意：），=皿可以成为模型函数，也可以作为模板来进行同构，本专题之所以这样设计是让读者思考这一X系列函数的同构原理，达到举一反三的目的.例题中我们会以丫=皿为模板进行求最值讨论.X【例7】（2023凌源市模拟）若函数f（x）=e*-a?在区间（0,+o o）上有两个极值点王，（0%,x2）,则实数 的取值范围是（）【例8】（2023广州模拟）已知函数/（x）=/一a r?,对任意演0,x2 0,都有（巧-）（/（电）-/（）(x)恒成立，且满足/z(p(x)h(q(x)4-(p(x),则一定要满足(p(x)(h(x)0),则一定要满足小 0,且满足当真 =时,h(p(x)=h(q(x)=0,则一定满足不等式(p)+h(q(x)0；若(幻)=0 时和 h(q(x)=0 时的不取的值不相等，则(p(九)+(夕(x)0【例 12】(2023保山模拟)若函数 x)=+a d n x 有两个极值点，则。的取值范围是()A.(-co,-6?)B.(-co,-2e)C.(e,w)D.(2e,+oo)【例 13】(2018新课标I)已知函数-圆-1 .(1)设x=2 是/(X)的极值点，求”，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当“2 1 时，/(x)0.e人。I【例 14】.(2014全国卷I)设函数=+曲线y=/(x)在点(1 J(l)处的切线方程为xy-心-1)+2.(1)求 a,b；(2)证明：f(x)L【例 15】(2015新课标I)设 函 数/=小 一.氏.(1)讨论f(x)的导函数f x)零点的个数；2(2)证明：当 a 0 时，f(x)2a+aln.a1 秒 杀 攀 符，第 三 讲 改 头 换 面 e、-ln(x+加)？2m 类型构造h(x)=ex-x-1 ,则 A(ln(x+机)=(x+tn)-In(x+n i)-l,故 ex-ln(x+m)=exx +(x+m)ln(x+m)-+2-m =h(x)+h(n(x+m)+2 m,由于h(x)+h(ln(x+ni)0,故 e*-ln(%+N2-加，当仅当x=0,且 ln(x+/%)=0 时等号成立，这里就提出了一个问题就是，当仅当m=1时可以取等，其余均是大于.此题也可以表示为/(x)=ln(x+g 2-2%当仅当?=g 时，/(x)min=1【例 16】(2013新课标I I)已知函数f (x)=e*-/(x+/n).(1)设x=0 是/(x)的极值点，求机，并讨论/(x)的单调性；(2)当机W2时，证明/(x)0.M 秒 杀 徐 籍，第 四 讲 x e、C 与 E x 改头换面X利用力(x)=e -1?0,则有lnx+1 ；x2v=+2,nx?x 21nx+1这一系列放缩的取等条件就是x+lnx=0(x?0.6),或者x+21nx=0(x?0.7)；利用 (x)=e，-ex?0(取等条件 x=l),贝 I有 xe*=*?e(x Inx)；=炉?犬 In x)；x2ex=ex+2inx?e(x 21nx)；这 一 系 列 放 缩 的 取 等 条 件就是 x+lnx=l(x=1),x-lnx=l(x=l)或者x+21nx=l(x=l)；【例 17】(2023江苏期末)函数/(x)x Inx的最小值为.【例 18(2023长 沙 模 拟)已 知/二 觉 a x.Inx?1对于任意的x?(0,?)恒成立，则。的取值范围是.【例 19】(2023深圳月考)已知武昌-4)?1门1对于任意的尢？(0,?)恒成立，则。的最大值为()A.1 B,2 C.e-1 D.e1 秒 杀 秘 籍；第 五 年 利 用 同构式寻找等量关系【例 20】(2021成都二 诊)已知函数f(x)=U,g(x)=x.e-*,若存在占e(0,+8),e/?,使得Xf(x.)=g*2)=k(k 2b B.ab1 D.【例 25】（2021章丘模拟）已知O v a,/工且3。-2 sin =9-a ,则（）A.a p2 C.a 2/3 D.a3 D.a2-4b 0,6a 2 1nmx+份 2 Z?若在定义域内恒成立,求士的最大值为e-【例3 1】（2 0 2 2 MST利哥原创）对任意m,n&R,不等式（n-m）en nem+Aem-en恒成立,求实数的 取 值 范 围.达标训练I.对于下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数.（1）唾2、-人2%0（2）e2 2 t-l n V x 0A（3）x2nx-me 0 （4）4-1）2（x 4-）I n x(5)al n(x-1)+2(x-l)a r+2ex(6)x+anx+ex xa(x 1)(7)ex-2x-nx=0(8)x2e+I n x =02 .若对任意x0,恒有a（/+l）N 2（x +31nx,则实数。的最小值为.x3 .对任意x 0 ,不等式加/“一1 0工+1 1 1。20恒成立，则实数。的最小值为.4 .已知小是方程2炉/+出工=0的实根，则关于实数小的判断正确的是.A.x03 I n2 B.-C.2 x0+lnx0=0 D.2e+lnx0=0e5 .己知九。是函数/（x）=x2ex2+l n x-2的零点，则+卜与=.6 .若关于冗的方程弘以=/只有一个实数解，则2的取值范围是.7 .设实数九0,若对任意的工（0,”），不等式/现一也一。恒成立，则久的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _.2 AH I8.设实数相0,若对任意的xNe,若不等式“2 I nx-机人2。恒 成 立,则 次 的 最 大 为.9 .（2 0 2 3武汉期末）已知函数/（x）=x/n“-a,e （e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数。的取X值范围是（）A.(0,-)eB.(-,e)eC.(-o o,-)eD.(e)1 0.(2 0 2 3荆州期末)函数/(x)=-+“竺的单调增区间为（）XXA.(-c o,l)B.(0,1)C.(0,e)D.(l,+o o)1 1.（2 0 2 3沈阳期末）函数/(x)=J在（T O,上单调递减，则实数相 的最大值为（）A.-B.0 C.-D.12 212.(2023沈阳模拟)已知函数/(x)=a/nr-2x,若不等式f(x +1)ox-2e”在 x w(0,+oo)上恒成立，则实数的取值范围是()A.a2 C.0 D.0a213.(2023眉山模拟)已知函数f(x)=ae-2 x-l 有两个零点，则的取值范围是14.(2023江西模拟)己知函数 x)=xe“i函 数 的 最 小 值 M,则实数M 的最小值是()A.-1 B.-C.015.(2023安徽模拟)设函数 x)=x/-a(x +l n x),若 f(x)N0恒成立，则实数的取值范国是()A.0,e B.0,1 C.(-00,e D.e,+8)16.(2023株洲月考)已知函数 x)=M x-ln x)-f(&R),若/(x)只有一个极值点，则实数%的取值范 围 是()A.(-e,+oo)B.(-0 恒成立，则实数。的最小值是19.已知。0,函数/(幻=4。-1110：+幻-1(*0)的最小值为0,则实数a 的取值范围是.20.已知函数/(x)=xe-ln x-x-lO l),其中6 0,若/(x)N0恒成立,则实数。与6 的大小关系.21.已知比=机 e(空0),且“2 人。恒成立，则实数机的取值范围为()A.FE B.F T C.0-D.22.(2023甘肃模拟)已知函数/(x)=ln x-x +l,(x)=axex-4 x,其中 a 0.求证：g(x)-2/(x)2(lna-In 2)2 3 .已知函数/(x)=x(e-a),若/(x)之1 +x+lnx ,求 a的取值范围.r,十 F x ln(x2+x)2 1、八2 4 .求证：-+1 0 .ex x +1 x +12 5 .(2 0 2 3 济南期末)已知/(x)=xex-ax1,g(x)=nx+x-x2+1 -,当 Q 0 时，若%()=/(%)a g(x)N 0a恒成立，求实数。的取值范围.X2 6 .己知函数x)=+a(lnx-x),求证：O v a W e?时，f(x)+e2 0.X2 7 .(2 0 2 3 山西模拟)已知函数/(x)=x +a x lnx(a e R).(1)讨论函数“X)的单调性；(2)若函数f(x)=x +a d n x 存在极大值，且极大值点为1,证明：/(x)a x?+2 o x-e*+e-2 a 在x s(l,+c o)上恒成立，求实数”的取值范围.3 3.(2 0 2 3 邢台期末)已知函数/(x)=/nr +x 2-2 a x.(1)若a =3，求 f(x)的零点个数；217(2)若 a =l,g(x)=+X2-2X-1,证明：VX G(0,+OO),f(x)-g(x)0 .ex ex3 4.(2 0 2 3 会 宁 期 中)已 知 函 数=,m e R.(1)求/(x)的极值；(2)证明：优=0 时，/(x +2).3 5.(2 0 2 3 城关月考)已知函数 f(x)=x-(a +l)/nr ,a e R .(1)当a =l时，求曲线y =/(x)在点(1 ,f(1)处的切线方程；(2)令 g(x)=/(x)-g,讨论g(x)的单调性；X(3)当a =2 e 时,x e +根+f(x).O 恒成立，求实数机的取值范围.(e 为自然对数的底数，e =2.7 1 8 2 8.).3 6.(2 0 2 3 桃 城 月 考)已 知 函 数=(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)当 a g e 时，求证：/(x)Inx.3 7.(2 0 2 3 蚌埠模拟)已知函数/(x)=a e(a e R),g(x)=+1.x(1)求函数g(x)的极值；(2)当 a 时，求证：/(x).g(x).3 8.(2 0 2 3 江岸模拟)设函数f(x)=e*-A(l+/*.(1)证明f(x)的图象过一个定点A,并求f(x)在点A 处的切线方程;(2)已知。0,讨论/(x)的零点个数.3 9.(2 0 2 3 南通模拟)设函数/。)=式-4/巾(。/?),其中e 为自然对数的底数.(1)当“0 时，证明：/(%).2a-alna.4 0.(2 0 2 3 南昌模拟)已知函数/(x)=x.e -a(/nr +x),g(x)=(?+l)x.(a,且为常数，e 为自然对数的底)(1)讨论函数/(x)的极值点个数；(2)当4 =1 时，/(x).g(x)对任意的X W(0,4 O 0)恒成立，求实数机的取值范围.41.(2 0 2 3江岸月考)已知函数F(x)=+i-加 必+。(。0).(1)当=1时，求曲线y=/(x)在点(1,f (1)处的切线方程;(2)若关于x的不等式/(幻0恒成立，求实数。的取值范围.42.(2 0 2 3如皋模拟)已知/(工)=/磁，g(x)=冬-ex(1)求函数y =g(x)的极小值;(2)求函数y=/(x)的单调区间;(3)证明：f(x)+g(x)l.