高考数学复习第20讲一类与平方结构的三角形问题和正切有关的最值问题（解析版）.pdf

第20讲一类与平方结构的三角形问题和正切有关的最值问题【典型例题】例 1.(2022洛阳二模)已知AABC的三边分别为。，b,c,若满足/+2c?=8,则A48C面积的最大值为().V5 口 2石 3珀A.B.-C.-5 5 5【解析】解：由三角形面积公式可得：S=-ahsinC,2可得：52=-a2b2(1-cos2 O =-a2b2-(-+h)2 ,4 4 2ab a2+h2+2c2=8 1:.a2+h2=8-2 c2 r 可得：a2+h2=S-2c2.lab,解得：ab,4-c2,当且仅当 a=b 时等号成立,.-.S2=a2b2W-(f4 2ab1 2f 2ri z8 3c2 2-1=-6z2/?-l-()24 2ab=-a2h2-4(8-3c2)2,I -。)-45c4 2=-+C16(8-3c2)21616-(c2-)2,当且仅当。=力时等号成立,5 16 5.当C?=9时，-至5 16+。2取得最大值9,S 的最大值为 述.55故选：B.例 2.已知AABC的内角A,B,C 的对边分别为a,c,若 储二加+左心皿儿0 c A e 工，则tan A 4tanB2的最小值为()A.-B.-C.-D.3 2 2 2 解析 解：/=序+csin A,0 A 0./)得1),可得f 时、函数/(f)取得最小值.故选：C.例 3.(2022镇海区校级模拟)在锐角三角形A8C中，sin A=3cosBcosC,则tan AtanBtanC的最小值是()A.3D.12【解析】解：sinA=3cosgcosC,sin Bcos C+cos Bsin C=3cos Bcos C,两边同时除以8 s 3 8 s C ,得 tan 8+tanC=3,锐角 AABC,/.tan B 0,tan C 0.tanStanC,也 竺 吧 C匚=2,当且仅当tan3=tanC,即3=C 时，等号成立,4 4而 tan A tan Btan C=-tan(B+C)tan Btan C=3n +l a n C tan B tan Ctan5tanC-l3 tan B tan C _ 3-=3+-rtanBtanC-1 tan B tan C-1tan A 0 tan 0 tan C 0/.tanBtanC1 0,H P tanBtanC 1,9/.1 tan B tanC,一，427tan A tan B tan C.5故选：B.例 4.(2022春攀枝花期末)已知AABC的内角A、B、C 的对边分别为。、b、c,BC边上的高为力,且=叵，则+的最大值是（）3 h c heA.2V2 B.2百 C.4D.6【解析】解：由余弦定理可得：b2+c2=a2+2hccosA,c b a2 tz2+Z 72+c2 2+20c cos A 2a2 八故：一+-+=-=-=-+2 cos A,b c he be be beK 17 41 1 国而 SMBC=-besm A=-a h =，2 2 o故 a2=6仇、sin A,所以：-+-+=+2 cos A=2V3 sin A+2 cos A=4sin(A+)4.b c be be 6故选：C.例 5.(2022张掖模拟)在AABC中，内角A,B,C 的对边长分别为a,%,c,且 a?-c?=,典 2 =3,tanC则b 等于()A.3 B.4 C.6 D.7sin A【解析】解：tan，=cos =sin Acos C=3,sin Acos C=3cos Asin C tan C sin。sin C cos AcosC利用正弦定理化简得：acosC =3 3 o s A,即 J+W=3 c.l l z ,2ab 2bc整理得：4/-4/=切，即4 一02=_后，2代入已知等式/一 02=2匕 得：2 h=-h 2解得：。=4 或。=0（舍去）,则 6=4.故选：B.例 6.（2022春南京期中）在斜三角形AABC中，内角A,B,。所对的边分别为a,c,若4ccosA=,则 tan+9 的最小值为(tan C-tan B tan A)A.逑3D.口 3石D.-232【解析】解：由40,又 tan 3=-tan(A+C)=tan A+tan CtanAtanC-l4tanC3tarvC则 tan A+6 _ 3tanC+63 2 5+9tan2C 9tanC 5tan C-tan B tan A tan B-tan C 3tanC tanB tanC当且仅 当 驷 C 即tanC=好 时 取 等号,4 4tanC 3-=-1-.4tanC 4 4tanC此时取得最小值 6.22号5 3石.4tanC 2故选:B.例 7.（2022春仓山区校级期中）在锐角AABC中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,A48C的面积为 S,2、右 sin(A+C)=-,则 tan C+b-c2tan(B-C)的取值范围（)A.C.(1,哈D.(1,【解析】解：由sin(A+C)=,得即$皿8=喀邛lr-c2 b2-c2 b2-c28 是三角形内角，.,.sinB/O,.2=c2+c.由余弦定理得，b2=a2+c2-2accos B，:.a 2ccosB=c，由正弦定理得，sin A 2sin Ccos B=sin C,即 sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Ceos B=sin C 即 sin Bcos C cos Bsin C=sin C,即 sin(B-C)=sin C,AABC是锐角三角形，.二 区 一。=C,即B=2C,0 C -2710 2 C -2IT0 -3 C -2tanC+-!-2tan(B-C)=tan C+，2 tan C 根据双勾函数的性质可知,tanC+2tanC且 tan C+/.tanC+2tanC1在 tan C=时取最小值叵,2,1 314-=,2x1 22tan(B-C)的取值范围是故选：B.例 8.（2022道里区校级二模）在锐角AABC中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,AABC的面积为S,2S右 sin(A+C)=-，则 tan A+h-a13tan(B-A)的取值范围为（)A.B.C.。喇）【解析】解：在 AABC中,sin（A+Q =sinB,S=acsinB，2-2ssin(A+C)=7b-a-/.si.n B =-ac-s-i-n-B-,0n b,2-a2=acb2-a2由余弦定理可得，b1=a2+c2-lac-cos B,故 c=2acos3+a,由正弦定理可得，sin C=2sin Acos 3+sin A=sin Acos B+cos Asin B，化简整理可得，sin(6-A)=sin A,故 B A=A亘 攵 8 A=TT-A（舍去），则 3=2A,AABC为锐角三角形，0 A 2:.0 2 A -，解得工 A v 2,2 6 40 TT-3 A -2 tan A/2+1 ,当且仅当b=c 时等号成立,.S+c)2=a2+36c.3+2收+3(3+2亚)=4(3+2&),可得：b+c.2(收+1),当且仅当b=c 时等号成立,M B C 周长的最小值为：（“+匕+c）而“=3（血+1）.故答案为：3（72+1）.例 10.（2022秦淮区模拟）在锐角三角形A8C中，已知&sin?4+5苏 8=4而 2。，则一!+_ 的tan A tan B tan C最 小 值 为-.一 4 一【解析】解：利用正弦定理，-=0 _ =_J 把角化边，4a2+b2=4c2.sin A sin B sin C再由余弦定理。2 =+/-2/?ccos A 可得：8ccosA=5/7,/.8sin Ceos A=5sin B,又 sin 8=sin(A+C)，8 sin C cos A=5 sin(A+Q =5sin Acos C+5cos Asin C3sinCcos/=5sin AcosC,3tanC=5tan A,3EP tan A=-tan C,5八 ，A-、tan A+tan Ctan 8=tan(4+C)=-1-tan A tan C_ tan A+tan Ctan Alan C-l8 万-tanC/.tan B=-tan2C5代入 一+二 一 +一tan A tan B tan C3tan2c-58tanc11 3 49 f3 4 9-1-=-tan c H-.2,1-tan c x-3.lane 8 24 tan c V 8 24 tan c-tanc74当且仅当：anc=即 tanc=N 时（因为是锐角三角形成立）等号成立.8 24 tan c 8故 一+一+一 的最小值为：tan A tan 3 tanC 4故答案为：4例1 1.（2 0 2 2 秋 如 皋 市 月 考）已 知 锐 角 AABC的 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 a,b,c,且4sinZ?sin Ceos2 A=sin2/?+sin2 C-sin2 A.（1）求角A 的值；（2）求 tanB-tanC的最小值.【解析】解：(1)4sinBsinCcos2 A=sin2 B+sin2 C-sin2 A,/.4bcos2 A=lr+c2-a2,即 a2=b2+c2-4/?ccos2 A，由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccos4，AABC为锐角三角形，.,.cosA0，.联立可得，2cosA=l,解得cosA=，27t：AG(0,),A 乃A=-3(2)A=12B+C=7T A=-7T ,3-、tan 8+tan C 2/rtan(B+C)=-=tan 4=一 13，1 -tan B-tan C 3B,C 为锐角,/.tan 5 0 tan C 0/.tan B+tan C.2 V tan B tan C，当且仅当 tan B=tan C 即 3=C=工时，等号成立,3/.G tan tan C-/3.2/tanB tanC，令 1=Vtan B-tan C 0，则 岳 32,解得，厉 或 一。（舍去）,/.tanB-tanC.3,故 tan 8 tanC的最小值为3.例 1 2.己知锐角 AABC 中，sin A=4cos Csin B,则 tan AtanNtanC 的最小值.【解析】解：sinA=sin(-A)=sin(3+C)=sin3cosC+cos5sinC,sin A=3sinBsinC,可得 sin Bcos C+cos Bsin C=3sin Bsin C,(D由三角形ABC为锐角三角形，则cos3 0,cosC 0,在式两侧同时除以cosBcosC可得tan jB+tanC=3tan3tanC,X tan A=-tan(4-A)=-tan(B+C)=-+t a n Q,1-tanBtanC则 tan A tan BtanC=-ta n +ta n 0,tan B 0,tan C 0,由式得l tan3tanC vO，解得f l,tan A tan 8 tan C=-=1 1 Z1 L2 1 r 1 八、)一:一:，0)，r t t 2 4 4.tanAtanBtanC.12,因此tan A tan3tanC的最小值为12.例 13.(2022临沂开学)在AABC中，内角A,B,C 的对边分别为。，b,c,且 咽 或+则 4 =1.tan B tan C(1)证明：3a2=b2+c2；(2)记 AABC 的面积为 S,点 P 是 AABC 内一点，且 NPAB=NPBC=NPCA=6,证明：S=a2 tan6./1 -run+tanA tan A e汨 cosB cosC cos A【解析】解：(1)证明：由-+-=1可得：-+-=-,tan B tan C sin B sin C sin AHrlII J-c-os-B-s-in-C-+-si-n-B-c-o-s-C-=-c-o-s-A,艮HIJn-s-i-n-(-B-+-C-)=-c-o-s-A-fsinbsinC sin A sin Bsin C sin A在三角形中可得：cosA=s =土，sinBsinC be由余弦定理可得cos A=+c ,所以匕 2 +c,2-6 =2a2 ,2hc即证得：3/=6+2；(2)证明：设 R4=x,PB=y,PC=z,APAB,APBC,APC4 的面积分别为加，S2,S3,r2 .2 _ _ 2在A P A B中，由余弦定理可得c o s。=.-,所以2 c r c o s 0 =x2+c2-y2,2cx匚 匚 I 0 1 .八 匚 匚 、八 s i n。2 c xs i n 6 4 s l所以，=xc s i n 0,所以 t a n 9=-=-=-r，2cos 2 c r c o s 0 x+c-y即 4 S =t a nG(x2 4-c2-y2),同理可得在AP3 C,4P C 4中，t a n 心 二 号y+a -z b+z-xB|J 4 s 2 =t a n0(y2+/一 z2),4 s 3 =t a n 3(b2+z2-x2),所以 4 s =t a n 0(x2+c2-y2)+(y2+a2-z2)+(/?2+z2-x2)=t a n0(a2+b2+c2),i f n 3 a2=b2 4-c2,所以 4 s =4/t a n。，即 可 证:S=a2 tan 0.【同步练习】一.选择题1.（2 0 2 2春铁东区校级期末）在A A B C中，角A,6,C所对的边分别为，b,c,已知a =2 /L且A A B C的面积5=*（/+2-/）,则A A B C周长的最大值是（）A.6 B.6+2&C.4后 D.6百【解析】解：因为。=26,且A A B C的面积5=立（从+/）,21B则一Z?c s i n A=-2 0 c c o s A,即可得 s i n 4 =2&c o s A 0 ,2 2所以s i n?A+（邛）2=1,解得s i n A=述，（负值舍去），可得c o s A=，2 x/2 3 3所以由余弦定理可得1 2 =从+。2 c=S+c）2 坛c,即以（t ）=12 x33 3 8又b c,（三）2,当且仅当力=c时等号成立，2所以IS+C）-12 X3,（处 与2,整理解得S+C）2,3 6,即b +c,6,当且仅当。=c =3时等号成立,8 2所以AAJ3 C周长a +A+c的最大值是6+26.故选：B.2.（2 0 2 2秋河南期末）在A A 8 C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=,b=2y/3,3b2+c2-a2=y/3 bc.若NR 4c的平分线与3c交于点E,则4 E =()A.76B.77C.2 V2D.3【解析 1 解：因为b2+c2-c r=粗be,所以下1bc2bc因为Aw（O,巳），所以4=工，3 6因为8=红，b=2 g,3所以 C=;r A 8=2 ,6由正弦定理，可得，-=，=第_,解得q=c=2,.7C.7i.2zrsin sin sin6 6 3因为N 84C的平分线与8 c 交于点E,所以普/即 CE=GBE,所以由 BE+CE=BE+GBE=2,可得B E=-=6-1 ,V3+1在AAfiE中，由余弦定理可得AE=J 4向+8炉-2 A3 3E cos 3=+(-1)2-2X2X(X/3-1)XCOS=/6.故选：A.3 .（2 0 2 2 春 钦 南 区 校 级 月 考）在M B C中，ah,c 是 角 A,B,C 的 对 边，若2+匕2tan Atan B=tan Atan C4-tan Ctan B 则-z=()A.3 B.2 C.12【解析】解：.在 AA6c 中，a,b。是角 A,B,C 的对边，若 tanAtanB=tanAtanC+tanCtanA,1 1 1-1-tan A tan B tan Ccos A cos B cos C-1-=-sin A sin B sin C由正弦定理和余弦定理得：b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2-b2-c2十2abc2abc2abc/+加-=3.c故选：A.4.(2022春龙凤区校级期末)在A4BC中，。，b,c 分别是角A,B,。的对边，若 +从=2022c?,则 2 tan A tan 8 的值为()tan C(tan A+tan B)A.0 B.1 C.2021 D.2022【解析】解：由己知得/+/一 2=2021/,即 202k2=2 cos C,uuz 2021c2所以 cos C=-,2ab2sin Asin BN.2 tan A tan S _ cos Acos B _ 2sin AsinficosC _ 2abcosC _ 2ab 2021c2 _火 ij-=-=-=-X-=ZUZ1 .tan C(tan A+tan B)s in C(sin/1 sin 8)sitvC c2 c2 labcos C cos A cos B故选：C.5.(2022春黄骅市校级期中)在AABC中，tanA,tanB,tanC依次成等差数列，则 8 的取值范围是()A.(0,U(一,一 1 B.(0,(一,一 13 2 3 6 2 6C.弓 与 D.弓，J)6 2 3 2【解析】解：由已知得 2tan3=tanA+tanC0(显然 ta n B/O,若 ta n B v O,因为 tan A 0 且 tanC0,tan 4+tanC 0,这与 tan 3 vO矛盾)，又 tan 8=-tan(A+C)=-3+C _-2 ta n 声 0,所以 tanAtanC=3.1-tan AtanC 1-tan A tan C又(2 tan B)2=(tan A+tan C)2=tan2 A+tan2 C+2 tan A tan C.4 tan/A tan C=12,因此ta n 7.3,又ta n B 0,所以ta n A.g,即5 的取值范围是 仝,为，3 2 3 2故选：D.6.(2022岳 普 湖 县 一 模)已 知 在 锐 角 AA8C中，角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,若2/cos(A+B)=ccos(A+C),则 一 +-的最小值为()tan A tan B tanCA.3 旦 B.y/5 C.D.2石3 3 解析解：因为 2Z?cos(A+B)=ccos(A+C)，得 2/?cos C=ccos B,山正弦定理得 2sin5cosC=sinC cos3，所以 2tan 8=tanC,又因为A+B+C=万，所E以、I tan A4 二 tanr 1 一(B+Ci)=-tan(/B八 +C)、=-t-a-n-8-+-t-a-n-C-=-3-t-a-n-8-，1-tanBtanC l-2 tan2B所以,命 8 +，+，=2 3,8 _ q=9 +4所-2=41aL 8 +7=2.8 +2*所8*上 二 空,(当且tan 4 tan B tanC-3 tan B tan B 2 tan B 3tan B 2 tan B 6tanB 6 tan B 3 6 tan B V 3 6tanfi 3仅当 2tan8=,即 tanB=也，取“=”).3 6tanB 2所以_ L _+_+_ L的最小值为2 互.tan A tan B tan C 3故选：A.二.填空题7.(2022太原二模)已知 a,b,c 分别是 AABC 的内角 A,B,。的对边，b2+c2=accosC+c2 cosA+a2且&ABC=且，则AABC周长 的 最 小 值 为 3&.【解析】解：根据题意，AABC中，b2+c2=accosC+c2 cos A+cr,变形可得力(:8$4 =4 8$。+。2 8$4,由 正 弦 定 理 可 得：2sin Bsin Ccos A=sin Asin Ccos C+sin2 Ccos A=sin C(sin Acos C+sin Ccos A)=sin Csin(A+C)=sin CsinB,即 2sin Bsin Ccos A=sinCsin B,i 出又由 sinbsinCwO,则 cosA=,sin A=，2 2又由5AAB C=半，则;bcsin A=；bcx曰 =向，变形可得。c=2；又由S +c)2=b2+c2+2/7c.4bc=8,则有b+c.2 a,当且仅当人=c时等号成立,由余弦定理可得：a2=b2+c2-2/?ccosA=b2+c2 一be.be=2,即a.厄,当且仅当=c 时等号成立，则有Q+Z?+C=+S+C).3/5,AABC周长的最小值为3近，当且仅当=c 时等号成立，故答案为：3&.8.(2022浙 江 三 模)在 锐 角 三 角 形 ABC中，角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,h,c,若已知h2+c2=4/?csin(A+),则 tan A+tanb+tanC 的最小值是_ 8/3 _.【解析】解:由 题 意由从+/3 s i n BinC.即 s i n 3 c o s c +c o s 5 s i n C =26 s i n BinC.那么 t a n B +t a n C=2 73 t a n B t a nCt a n A=一t a n(8+C)=t a n B+tan Ct a n B t a n C-1期，么 t a n A+t a n 8+t a n C=t a n +t a n C+2Gt a n 1 ,十2Gt a n t a n Ct a n B t a n C-1 t a n B t a n C -1设 t a n At a n C1 =m,可得：t a n A+t a n B +t a n C=2 G(+,)+2 x/(m +l)=2 G (2 +2)=8百;tnmm当且仅当z n=l时 取“=”,B P t a n B t a n C =2.故答案为：8也.9.（2 0 2 2如东县校级模拟）在锐角三角形AB C,4）是边3c上的中线，且A D=/4 B,则 一+一+一t a n A t a n B t a n C的 最 小 值 为-半7【解析】解：不妨设3 D =DC=1,BC边上的高为力，则t a n 8 =2/z,t a n C =-/?,31 1 k A/八t a n 8 +t a n C 2从 f u t a n A=t a n(B +C)=-=-,t a n f i t a n C-1 1 34 1 1 1 h 13 h 1 3 V 1 3t a n A t a n 3 t a n C 2 8 7/8 2(当且仅当 =叫，即 =巫 时，取等)2 8 2故答案为：.21 0.（2 0 2 2秋”月份月考）锐角三角形A 4 B C中，角A,B,C的对边分别为a,b,-b a.八，H -4 COS C，a bC则的最小值是 空 一tan A tan B 3【解析】解：锐角三角形A4BC中，-+-=4cosC,a b.4cosC=-+-.25p 5 =2,当且仅当 4=时“二”成立；a b hcosC.，即-cosC 12 2/.0 0，tan 8 0，则tanA tan80,3/3 3令 tan Atan A=f,则 tan A tan B-tan C=：-=：-，t2 t t 2 4故当 1=L 即 tanAtan3=2 时，tanAtan4 tanC 为最小值 12.t 2故答案为：12.13.(2022无锡一 模)在锐角三角形 ABC 中，已知 2sir)2 A+sir?B=2sin2 C,则一J+5 +J 的最tan A tan B tanC小值为巫.2-【解析】解：2sin2y4+sin25=2sin2C,由正弦定理得2/+从=2。2,结合余弦定理a?=h2+c2-2/?ccosA,可得弘=4ecosA,再由正弦定理得3sin B=4sin Ceos A，则 3(sin Acos C+cos Asin C)=4 sin Ceos A,即 3 tan A=tan C.八 tan A 4-tan C 4 tan AtanB=-tan(A+Q =-=-.tan AtanC-1 3tanA-11111 3S/A-I 1-1-1-=-1-1-tan A tanB tanC tan A 4 tan A 3tan A3,13 c 13 13 713=tan A+-.2.1x =-4 12tanA V4 12 2当且仅当tan A=巫 时 取 等号.3：.+一 的最小值为 巫.tan 4 tan B tanC 2故答案为：姮.214.（2 0 2 2 春 徐 汇 区 校 级 期 中）在 锐 角 三 角 形 A B C 中，若 sinA=2sin8sinC，则tan+2 tan Btan C+tan/Itan Btan C 的最小值是 16.【解析】解：由已知得sin A=sin(B+C)=2sin BsinC,/.sin Bcos C+sin Ceos B=2sin Bsin C,两 边 同 除 cos Bcos C得tan B+tan C=2tan Ztan C,/.tan A=-tan(8+C)=tan 5+tan C1-tanBtanC2 tan 8 lan C1-tan BtcinC设机=tan 8tan C,则 tan A=-AABC为锐角三:角形，.机0,tan A+2 tan Btan C+tan A tan Btan C=-2m+-m-tn-I tn-14(1%I)2+8(z 1)+4m-,c 4=4(?-1)+84-m-.8+2./4(/n-l)-=16,V m-当且仅当4(?-1)=一,即帆=2 时，等号成立，m 此时 tan A=4,tan A+2tan BtanC+tan/ltanBlanC 的 最小值为 16.故答案为：16.15.(2022江苏模拟)在锐角三角形ABC中，若 tanA,lanB,tanC依次成等差数列，则tanAlanC的值为3.【解析】解：由题意知：A*工，B x 工，Cw 工，且 A+8+C =i，tanA,tanfi.tanC 依次成等差数2 2 2歹 U,.2tan3=tanA+tanC,/.tan(A+3)=tan(一 C)=一 tan C,又 二 tan(A+3)=tan A+tan B1 -tan AtanB/.tan A 4-tan B=tan(A+B)(l-tan Atan B)=-tan C(1-tan Atan B)=-tan C+tan A tan BtanC,即 tanA+tan3+tanC=tan A tanbtanC,tanAtanC=3.故答案为：3.16.(2022洛阳一模)在 AA8C 中，内角 A,B,C 的对边分别为。，b,c,若 tan 4tanC=1 ,b=3ccos A,则 cos C=.-3-【解析】解：AA8C中，内角A,B,C 的对边分别为。，b,c,由于/?=3ccos A,则 sin B=3sin Ceos A,则：sin(A+Q =3sin Ceos A,整理得：吧 4 =2,tanC故 tan A=2tanC,所以：tan2 C=,2万则：tan C=(负值舍去).2所以tanC=Y Z时，解得：cosC=5.2 3故答案为：显317.(2022江苏)在锐角三角形A8C中，若 sin4=2sin BsinC,则tan AtanBtanC的最小值是 8.【解析】解：由 sin A=sin(-A)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C，sin A=2sinBsinC，可得 sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,由三角形M C 为锐角三角形，则8 s B 0,cosC0,在式两侧同时除以cos3cosc可得tanb+tanC=2tan3tanC，又 tan A=-tan(;r-A)=-tan(/?+C)=-n +an ，l-tanZ?tanC则 tan A tan 8 tan C=-1a/一千 比 一、tan 8 tan C,1-tanBtanC由 tan8+tanC=2tan8tanC 可得 tan A tan B tan C=-2(tantan C),1 -tan BtanC令 tan8tanC=r,由 A,B，C 为锐角可得 tan A0,tan B 0 tan C 0 由式得l tan b tan C v O,解得，1,2r 2tan A tan B tan C=-=-,I 7 1 _!=,由 f l 得，-1 t2 t t 2 4 4 t-t因此当且仅当f=2 时，tanAtanAtanC的最小值为8：另解：由己知条件 sinA=2sin3sinc,sin(B t*C)=2sin Bsin C,sin BcosC I cos Bsin C=2sin Bsin C,两边同除以 cosBcosC,tanB H tanC=2tanBtanC，A,n c、tan 5+tan C1 -tanA=tan（B r C）=-,1-tanBtanCtan Atan4tanC=tan A 十 tan H tan C,tan A tan 3tan C=tan A 十 2 tan 3 tan C.2l2 tan A tan B tan C,当且仅当tan 4 =21细质细。=10114+1抽。时取等号，令 tan?ltanBtanC=x 0 BPx.25/2x,即x.8,或 用,0（舍去），所以x 的最小值为8.此时 tan A tan 8 tan C=8,所以 tan3+tanC=4,tanBtanC=2，解得 tanB=2+J 5,tan C=2-V2,tan4 =4,（或 tanB,tan C 互换），此时 A,B,C 均为锐角.18.（2022芜湖模拟）已知AABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 A=2 3,则+（号c b值 是 3.（解析解：，A=2B/.sin A=sin 2B=2sin Bcos B,a=2Z?cos B，/.=2cosB,bA=2 8，:.71 C B=2B,:.71 C=3B，最小sinC=sin（-C）=sin3B=sin2BcosB 4-cos2Bsin B=2sin Bcos2 B+cos2Bsin B,c=2/?cos2 B+/?cos2B=2/7cos2 B+2/?cos2 B-Z?=4/?cos2 B-b,即”c 4cosAcos2 B-I+4cos2 B0 A+B f7131 八 i/.c o s B 1 ,2/.0 4 c o s2 B-l 3 ,-+(-)2=；+4 c o s2B-l +l.2 +1 =3,当且仅当8 =工时取等号，c b 4COS2B-4则2 +(5 最小值是3,c b故答案为：31 9.(2 0 2 2 凯里市校级模拟)已知在锐角A 4 B C 中，角 A,B,C的对边分别为a ,匕，c ,若 2 b c o s C =c c o s B ,则一+上+的 最 小 值 为 互 一t a n A t a n B t a n C 3【解析】解：因为2 Z?c o s C=c c o s B，所以 2 s i n/?8 s C =s i n C c o s B，即 2 t a n B =t a n C，又因为A+8 +C =，所以 t a n A=t a n 乃 一(3 +C)1 =-t a n(B +C)=-颉土tang1-t a n B t a n C-3 t a n B-2tatvB所以t a n A t a n B t a n C-2tatrB-3 t a n BH-1-t a n B 2 t a n 82tan2B 1 3=-1-3 t a n B 2 t a n B_ 9+4 tan2B-26 t a n B_ 4 tatrB+l6 t a n B二 38+工3 6t a n 8(2 7.2 J t a n B x-V 3 6 t a n B7(当且仅当f t a n 3 =376 t a n B即 t a n B =，取“=”).2故答案为：乎三.解答题2 0.（2 0 2 2 春 烟 台 期 中）已 知 A 4 B C 的 内 角 A ,B ,C所 对 的 边 分 别 为a,b,c,且满足(a+b)(sin A-sin B)=c(sin A-sinQ .(1)若AABC为锐角三角形，且 c=4,求。的取值范围；(2)若点。在边AC上，且 4)=2DC,BD=2,求 AABC面积的最大值.【解析】解：(1)由题意AA8C的内角A,B,。所对 的 边 分 别 为b,c,(a+/?)(sin A-sin B)=c(sin A-sin C),由正弦定理可得，(a+Z?)(a-b)=c(a-c),即。？=a2+c2-ac,cos 3=a2+c2-b2lac2B=-c .九0 A AA8C为锐角三角形，.0 C 0 r r r l 2c2-ac0a+h-c 0 2a-ac0cos A 0cos C 0c=4,故2 v a v 8,。的取值范围(2,8).(2)AABC的内角A，B，C 所对的边分别为a,6,c,点。在边AC上，且 4)=2Z)C,BD=2,NADB+NCDB=7T,所以COSZA D 5+COSNCD3=0,9h2+4 c2在 MB。中，A D-b,BD=2,cosZADB=-=-3 2ADxBD3在 ABDC 中，CD=-b,BD=2,cos ZCDB=C D +B D B C32BDxCD1 2+4-a2,9 _3-b2+4-c2-b2+4-a2所以-+-=0,8,4,-b-b3 3o即一2 一 2/一/+12=0,3又因为从=a2+c2-a c,所以 42+c2+2ac=36.6ac,即华,6 （当且仅当。=c 时取等号）,SMBC=；acsin8=T“q,(当且仅当 a=c 时取等号),所以A4BC面积的最大值.221.（2022秋湖南月考）在 AABC中，内角A,B,C 满足为,且台。90。.（1）求证：tanC=3tanA；（2）求 +L的最小值.tan A tan B tan C【解析】（l）证明：因为2n2 +62=2/且 。为。,所以 2(c-a)(c+a)=b2,由正弦定理可得 2(sin C-sin A)(sin C+sin A)=sin2 B=sin2(A+C),所的 i以、i Q8/(si n-C-A-cos-C-4-A-)(cos-C-A-si.n-C-+-A-)=si.n 2(/AA +,C八),2 2 2 2即 2sin(C-A)sin(C+4)=sin2(A+C),因为 sin(A+C)0,故 2sin(C-A)=sin(C+A),所以 2sin Ceos A-2sin Acos C=sin Ceos A+sin Acos C,整理得 tanC=3tan A；(2)解：设 tanA=/,则 tanC=3/,由(1)得 tanB=-tan(A+C)=tan A 4-tan Ctan AtanC-14r3r2-l1 1 1 1 1 3/-1 1 3 3r 屈/八-+-H-=I-1-=-+.；(1 工 0 工tan A tan 5 tanC t 3t 4t 4 2当且仅当/=姮 时 取 等号，所求最小值为 巫.3 222.（2 0 2 2 秋 雁 塔 区 校 级 期 中）在 锐 角 三 角 形 A B C 中，若 sin A=2sinB sinC.求tan A+2tan Btan C+tan A tan Btan C 的最小值.【解析】解：sin A=2sin sin C,即为 sin(8+C)=2sin Bsin C,即 sin Bcos C+cos BsinC=2sin Bsin C,由锐角三角形A B C,上式两边同除以cosBcosC,/.tan B 4-tan C=2tan Btan C，、z 、tan 8+tan Ctan A=-tan(B+C)=-1 -tan B tan C设 tanBtanC=Z ,2 tan BtanC1 -tan 8 tan C7/则 tan A=-，t .向十 2t,2t.原式=-+2f H-tt-1 t-2t+2t2-2 t+2t2 4