高考数学复习20圆锥曲线经典难题之一类面积、面积比问题的通性通法研究.pdf

1微专题2 0圆锥曲线经典难题之一类面积、面积比问题的通性通法研究秒杀总结1.三角形面积问题模型一：基本方法模型二：分割三角形模型三：三角形面积坐标表示模 型 四（面积比）：“等角”“共角”“对顶角”SOBD 一 OB-OD-sin a2boBD O BO D sina 0 B 0 D22.四边形面积问题2S=-A C B D2模型二S-AC-BD-sin a23.圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.4.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.典型例题2例 1.(2 0 2 2 宁夏银川一模(文)如图，已知椭圆G：?+V=l,曲线C 2：y =-1与 y轴的交点为M,过坐标原点。的直线/与相交于A、B,直线M 4、分别与G交于点。、E.23M(1)证明：以O 为直径的圆经过点M；(2)记M 4 B、A W E的面积分别为耳、邑，若S|=/IS2，求义的取值范围.例2.(2022山东临沂一模)已知椭圆C：4+4 =l(f l0,b 0)的左、右焦点分别为K，F2,离心率a b为 半，直线=夜 被c截得的线段长为竽.(1)求c的方程：(2)若力和8为椭圆。上在X轴同侧的两点，且求四边形AB”片面积的最大值及此时2的值.例3.(2022浙江模拟预测)如图，已知椭圆匚：+丁=1和抛物线=2：丁=3 y，斜率为正的直线/与V轴及椭圆却依次交于P、A、B三点，且线段A 8的中点C在抛物线口 上.(1)求点P的纵坐标的取值范围；(2)设。是抛物线一上一点，且位于椭圆匚的左上方，求点。的横坐标的取值范围，使 得P C D的面积存在最大值.2 2例4.(2022浙江模拟预测)如图，点4 8是 椭 圆=+=1(。6 0)与曲线r：w =6(x0)的两个交点,a b-其 中 点/与C关于原点对称，过点/作曲线的切线与x轴交于点D记/B C与 的 面 积 分 别 是$,S 34证明：小 即 c=0；(2)若 加=1,求5 一 2 的最大值.例 5.(2 0 2 2 河南一模(理)已知点R为椭圆C:部+铲=1(4 。0)的右焦点，椭圆上任意一点到点尸距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若 M 为椭圆C上的点，以M为圆心，M F长 为 半 径 作 圆 若 过 点 E(T,0)可作圆M的两条切线EA,EB(A,B 为切点)，求四边形E 4 M B 面积的最大值.v-2 v2_)例 6.(20 22天津南开中学二模)已知椭圆C:+方=l(a 6 0)的左右焦点分别是耳和离心率为点 P在椭圆E上，且 的 面 积 的 最 大 值 为(1)求椭圆C的方程；(2)直线/过椭圆。右焦点心，交该椭圆于48两点，中点为0,射线。交椭圆于P,记 A O Q 的面积为S-V 8 P Q 的面积为邑，若$2=3 耳，求直线/的方程.过关测试2 2/T(1.(20 22宁夏银川二中一模(理)已知椭圆三+斗=l(a b 0)的离心率为型，且点M 1,乎 在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)若四边形A B C。的顶点在椭圆上，且对角线ACBO过原点，直线AC和 的 斜 率 之 积 为-b27证明:四边形A B C。的面积为定值.2.(20 22全国模拟预测)已知抛物线C:f=4y,点M(0,2),过点河的直线与抛物线C交于点4(%,弘),3 优,必)，且演 占.过4 8两点分别作抛物线的切线，设其交点为N.45(1)证明：点 N的纵坐标为定值；若点N的横坐标为1,点。为抛物线C夹在点4 8之间部分上的任意一点(不与点4 8重合)，过点。作抛物线的切线与直线乂4、直线NB分别交于P,。两点，求 N P Q 面积的最大值，并求出N P。的面积取最大值时点D的坐标.2 23.(20 22全国模拟预测(理)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，椭圆C:,+3 =l(a 6 0)的左、右焦点为西，B，直线人尸丘+f与椭圆C交于A,B两 点.已 知 A 里周长的最大值为8,且当=1,f=0 时，|阴=孚.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设 A B O 的面积为S,若 4 邳=2后，求S 的取值范围.4.(20 22四川宜宾二模(文)已知椭圆 +/=1(。1)的左右焦点分别为4,玲，G 为 E的上顶点，a-且 6 G K G =-2.求 E的方程；(2)过坐标原点。作 两 直 线 幻 4 分别交E于A ,B 和C,。两点，直线4,4的斜率分别为占，&.是否存在常数r,使时，四边形A C B D 的面积S 为定值？如果存在，求出r 的值；如果不存在，说明理由.5.(20 22河南郑州二模(文)已知椭圆C：5+卷=1(ab 0)过点(0,1),离心率为也.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C上的点4(%,%)(与%工0)的直线/与X,y 轴的交点分别为M,N ,且M 4 =2 A N，过原点。的直线心与/平行，且与C交于B,D 两 点,求 A B O 面积的最大值.6.(20 22四川雅安二模)已知椭圆C：J +=1 Cab0)的 离 心 率 为 当，点(1,日)在 椭 圆 C上.求椭圆C的方程；(2)设。(4,%)是椭圆C上第一象限内的点，直线/过点P且与椭圆C有且仅有一个公共点.求直线/的方程(用,%)表示；设。为坐标原点，直线/分别与X 轴，y 轴相交于点M,N,试 探 究 的 面 积 是 否 存 在 最 小 值.若存在，求出最小值及相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由.567.(20 22重庆市天星桥中学一模)已知。为坐标原点，点 P(行,小 在椭圆C:J+，=l(a 人 0)上，椭圆C的左右焦点分别为耳，用，且 巧 用=2后.(1)求椭圆C的标准方程；若点6,%?在椭圆C上，原点。为 片鸟的重心，证明：弓片鸟的面积为定值.8.(20 22渐 疆 一 模(理)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，椭圆C：1+/=l(a 6 0)的离心率为 孝，过椭圆 C的焦点尸作长轴的垂线，交椭圆于点P,且|日=1.(1)求椭圆C的方程；2(2)假设直线/：)，=+，与椭圆C交于4,8两点.若原点。到直线/的距离为1,并且.0 8 =/，当，4时，求 AO5的面积S 的取值范围.9.(2 0 2 2湖南常德一模)已知例(x 0,0),N(0,%)两点分别在x 轴和),轴上运动，且|M N|=3,若动点G满足N G =2 G M，设动点G的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过点G作 直 线 的 垂 线/,交曲线E于点P (异于点G),求 PMN 面积的最大值.10.(2 0 2 2 重庆市育才中学模拟预测)已知双曲线：=力0)过点尸(6,),且的渐近线方程为丁=6.3旧 W(1)求 的方程；(2)如图，过原点。作互相垂直的直线4，4 分别交双曲线于4 2两点和C,D两点,A,。在 x轴同侧.请从两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.求 四 边 形 面 积 的 取 值 范 围；设 直 线 与 两 渐 近线分别交于M,N 两点，是否存在直线4。使 M,N 为线段力。的三等分点，若存在，67求出直线/。的方程；若不存在，请说明理由.11.(2 0 2 2 新疆乌鲁木齐二模(理)已知抛物线(7:)，2=2*()的焦点为尸，点 P(x 0,2)在抛物线C上，且|P F|=2.(1)求抛物线C的方程；(2)设。是抛物线C上异于原点的一点，过点。作圆M:(x-4 9+9 =8 的两条切线与抛物线C分别交于异于。点的A,B两点，若切线互相垂直，求 QA8的面积.2 212.(2 0 2 2 江苏南京市宁海中学二模)己知椭圆C：=+3 =1(。0)的右焦点F与右准线人 x=4 的a b 距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线，：丫=辰+，。3 0)与椭圆C相交于A,B两点，线段A8的垂直平分线与直线机及x 轴和)轴分别相交于点。，E,G,直线G 厂与右准线/相交于点/.记G E F,G”。的 面 积 分 别 为 5 2,求1t的值.13.(2 0 2 2 四川南充二模(文)如图所示，椭圆C:+W=l(a 匕 0)的右顶点为A,上顶点为8,。为a b 坐标原点，5勿 8=山.椭圆离心率为义，过椭圆左焦点作不与x 轴重合的直线，与椭圆C相交于M,N 两点.直线/的方程为：x =-2 a,过点M 作/垂线，垂足为E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：直线EN 过定点，并求定点的坐标;求 O E N 面积的最大值.7814.(2 0 2 2 江西临川一中模拟预测(文)已知椭圆C:/+/=l(a 6 0)的左右焦点分别为4，鸟，其离心率e=；,过左焦点片的直线/与椭圆交于4 B 两点、,且AB的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程：如图过原点的直线4与椭圆C交于E,尸两 点(点 E在第一象限)，过点E作 x轴的垂线，垂足为点G,设直线F G与椭圆的另一个交点为H,连接HE得到直线4，交 x 轴 于 点/，交y轴于点N,记八O F G、O M N的面积分别为加，S2,求*的最小值.15.(2 0 2 2 河南三模(文)椭圆E：5+W=l(a 0),A,8为其左右顶点，G点坐标为(，/)，c 为椭圆的半焦距，且有A G-B G =0,椭圆E的离心率 =也.2(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知O为坐标原点，M,N 为椭圆上不重合两点，且 M,N 的中点在直线、=X 上，求 MN。面积的最大值.16.(2 0 2 2 河南省直辖县级单位二模(文)如图，圆f+(y-3=5 与抛物线/=2”(0 0)相交于点A、B、C、D,AB/CD.(1)若抛物线的焦点为尸，N为其准线上一点，。是坐标原点，O F O N =1，求抛物线的方程：(2)设AC 与3 0 相交于点G,G 4 O 与 G 8 C 组成蝶形(如图所示的阴影区域)的面积为S,求点G的坐标89及S 的最大值.17.(2022陕西宝鸡二模(文)已知曲线C 上任一点到点*3,0)的距离等于该点到直线x =-3的距离.经过点尸(3,0)的直线/与曲线C 交于A、8两点.(1)求曲线C 的方程；(2)若曲线C 在点A、B处的切线交于点P,求 P A B 面积的最小值.18.(2022新疆一模(理)圆心为(4,0)的圆与抛物线尸=2了相交于4,B,C,。四个点.(1)求圆的半径厂的取值范围；(2)当四边形A B C D面积最大时，求对角线AC与B D的交点P的坐标./v219.(2022福建莆田二中模拟预测)如图，已知椭圆C:=l(a 3 0)内切于矩形Z 8 C。,对角线/C,38。的斜率之积为-过右焦点F(L O)的弦交椭圆于M,N两点，直线N。交椭圆于另一点P.(1)求椭圆的标准方程；u u u u u u i I(2)若=且求PMN面积的最大值.9微专题2 0圆锥曲线经典难题之一类面积、面积比问题的通性通法研究秒杀总结1.三角形面积问题模型一：基本方法模型二：分割三角形模型三：三角形面积坐标表示模 型 四（面积比）：“等角”“共角”“对顶角”SOBD 一 OB-OD-sin a2boBD O BO D sina 0 B 0 D22.四边形面积问题S=-A C B D2模型二S-AC-BD-sin a23.圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.4.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.典型例题2例1.(2022宁夏银川一模(文)如图，已知椭圆G：?+V=l,曲线C2：y =/-1与y轴的交点为M,过坐标原点。的直线/与相交于A、B,直线M 4、分别与G交于点。、E.2M（1）证明：以O为直径的圆经过点M；（2）记 M 4B、AW E的面积分别为耳、邑，若S|=/I S2，求2的取值范围.【答案】（1）证明见解析叫 2 5 、【解析】【分析】（1）分析可知直线/的斜率存在，设直线/的方程为，=近，设点A（x ），J、8（%,%），将直线/的方程与曲线G 的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理计算得出七次”3=-1，可 得 出 物，奶,即可证得结论成立：（2）设M 4 的斜率为勺化0）,贝 I J M 4 的方程为丫=纸-1,将 直 线 的 方 程 分 别 与 曲 线 G、G的方程联立，可求得点A、。的坐标，同理可得出点8、E的坐标，可求得5、S”进而可得出2的表达式，利用基本不等式可求得Z的取值范围.（1）证明：若直线/的斜率不存在，则该直线与y 轴重合，此时直线/与曲线只有一个交点，不合乎题意.所以，直线/的斜率存在，设直线/的方程为y =y=kx2 得 X?一 -1=0，y =x -1设A（X QJ、B（x2,y2）,则毛、4是上述方程的两个实根，于是X+/=Z，%也二一1.又因为点M（0,-1）,所以4k=y+i必+i _（履卢 1）（纥+i）一父再+（西+）+1 .一父+r+1_ x x2 x1x2 xx2 xix2所 以 物，奶，即Z D M E =9 0,所以DE为直径的圆经过点M.解：由已知，设 的 斜 率 为 片 依 0）,则M 4 的方程为丫=勺-1,3由；二:二；解得或_ ，则点A的坐标为倡片-)，又直线MB的斜率为一；，同理可得点8 的坐标为.KI 匕 k J所以，=驷 码 网=；炉 讦 陶旧卜小 骑,队X=U 4 k y=Ll1 +4 灯由 匕 工L得标-8 2 0,解味;期则点。的坐标为 8k l 4 K 23J +%1+4 后又直线M 8 的斜率为一；，同理可得点的坐标 言，白),抬于是5 2=:例处四用=(丹,黑,相黑3 2（1 +好）同（1 +4 幻（4 +将）q因此之3 2（1 +4 6 乂+4）64 6,4当4 监=万 时，即当匕=1 时，等号成立，“I2 5所以;I 三，所以2的取值范围为 25 ,+8、.64 1 64 )r2 v2例 2.(2 0 2 2 山东临沂一模)已知椭圆C：=+与=1(。0,b 0)的左、右焦点分别为，居，离心率a b-为 半，直线x =及 被 C截得的线段长为竽.(1)求 C的方程：(2)若工和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且 A 马=4 8 耳，求 四 边 形 面 积 的 最 大 值 及 此 时 义 的 值.【答案】(D、+y 2=l；(2)最大面积为g,2 =2 土百.【解析】【分析】(1)根据离心率表示出、6、c 的关系，再求出被犬=及截得的弦长，根据该弦长为毡即可求出、b、c,34从而确定椭圆的标准方程;（2）A F2=A BFt=A F2/BFt,根据椭圆的对称性，延长8 耳交椭圆与C、D,构造平行四边形/B CD,根据SAB恰=3 刈3 6=；*4 5。叱即可计算四边形A B K 心面积的最大值，并求出此时彳的取值.(1)C C 2 2 2 .,2 2 2 2 2 2e=,/.=,c=a ,.b =a -c=a a =-a ,a 3 a-3 3 3 3.椭圆标准方程为9+3 丁=/,D延长8 耳 4 用交椭圆与C、D,根据椭圆的对称性可知，四边形Z88为平行四边形，且四边形48KK面积为四边形A B C D面积的一半.由题知，8 4斜率不为零，故设8 耳方程为工=?），-四,*2工+/=（/n2+3）y2-2 2m x-=0 ,x =m y-/2设 8（X ,y）,。（工 2，%），；0，y+必=2 卢:，乂，2 =n V+3 ITT+3故忸C|=Vl +r t t2 瓦 一=22 t；m +3。至 的 距 离 =提 3=,J 1 +/5SABFF=-SABCD=，X4 S o b c=2X x l j B Cl-J =|3C|.dn i f r /-2 2 L f 2 C/o C I I I I2/5(+1)y/2 2 f6 J?+1+3，病+1 +3=2A/6-Jw+1川+1 +2=2 -J-/3 或 2 =,尸4-f=-=2 -/3,7 6-7 2 C +垃44 综上，四边形ABEK面积最大为百，此时2 =2 g.【点睛】本题关键点利用椭圆的对称性，将 四 边 形 补 全 为 平 行 四 边 形 进 行 求 解.例 3.(2 0 2 2 浙江模拟预测)如图，已知椭圆：+2=1 和抛物线 2：*2=3),，斜率为正的直线/与y 轴及椭圆和依次交于P、A、B 三点、,且线段A8的中点C 在抛物线上上.(1)求点P 的纵坐标的取值范围；(2)设。是抛物线一 上一点，且位于椭圆匚的左上方，求点。的横坐标的取值范围，使 得 P C D的面积存在最大值.【答案】(I，2)；6【解析】【分析】（1）设直线/的方程为y=h+（k 0力0）,则尸（0,。），将直线/的方程与椭圆的方程联立，可求得点c的坐标，将点C 的坐标代入抛物线的方程，可得出/,=3（2 公+1）4k2,结合A 0 可得出犷的取值范围，进而可求得b 的取值范围，即可得解;（2）设 点 咐 3/），计 算 得 出 PC。的面积-H1 丁4-2 T,令.记k ）=_ 3 +（4/_ 2）一 4/,则0 0力 0）,则尸（。*）,联立”2 可得（2公+1）V+4kbx+2-2=0,=16F-8（2+1）（从-1）=8（2/+1-/）0,可得加 2 r+1,设点8（士，%），由韦达定理可得用+=-4kb2b2-22k2+T、内-2）+设点C（Xo，%）,则 改,=x+x2 _ 2kb22 +1 ,h%=5+6 =门将点C 的坐标代入抛物线 2的方程得4公6一 6-3=0，则6=3（2 1 1）,4k2代入可得9（2犬+1）0,解得公?,16k42因 此=3（2+1）4k23 3*-7 2 4公iq因此，点p 的纵坐标的取值范围是3 r-3 tk-hylk2+i解：设点（3r,3产），则点。到直线/的距离为d=7|P C|=客亘，故P C D的面积s =，附|d =的(：3,2k+1 2 2 4*+1期 3(2二+1)”、/日。9(1 4/-2将匕二_ 一 代 入 得5 =”卜 尸+；4/,4k 2 1 6(k k )令 =；,记 w)=-“3+(4 产一2)“一 4 f,则 0 r,将 忸同用 r表示，四 边 形 面 积 表 示 为 关 于 厂 的 表 达 式，利用导数与单调性的关系得最值即可.【详解】(1)根据题意椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3,最小值为1.(a +c =3所以 ,解得 2,c =l,a-c =l所以A =6因此椭圆C 的标准方程为片+上=I4 3(2)由(1)知，E(-1,O)为椭圆的左焦点，根据椭圆定义知，|M E|+|破|=4,设 r=|M F|=MB,点 E在圆 M 外，：.ME=4-r r,：.l r j 4-2r,由圆的性质知，四 边 形 面 积 S =2 S MEB=2r J4-2r,其中1 4 r/-2 r3+4 r2(l r 2).令),=-2 r3+4 r2(1 r 2),贝!y =-6,+8 r=-2 r(3 r-4)4当 l r 0,y =-2/+4，单调递增；4当gr 2时，/b 0）的左右焦点分别是”和入，离心率为J，a h 2点 P在桶圆E上，且 耳用的面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）直线/过椭圆C 右焦点亮，交该椭圆于工、8两点，4 B中点为Q,射线。交椭圆于P,记A。的面积为V B P。的面积为S。，若邑=35，求直线/的方程.【答案】（1）三+片=1；（2）-=（x-l）.4 3 2【解析】（1）由P在短轴端点时，尸耳用的面积最大，即 秘=6,再根据离心率为6=g=!求解.a 2（2）由邑=3 工，即 g|Q P|Q B|s i n N B Q P =3 xg|Q A|Q O|s i n N 4。，|。尸|=4|。|,易知当 4 8 斜率不存在时，不合题意，当力 3斜率存在时，设直线方程为y =M x-i）,由点差法得到砥/=-本然后联立方程，分别求得小，4求解.【详解】（1）依题意，显然当尸在短轴端点时，出记的面积最大为:x2 c x6 =,即反;6,又由离心率为e =:，a2-b2=c2,a 2解得/=4,从=3,c2=b所以椭圆。的 方 程 为 工+反=1.4 3（2）因为星=3 S 1,所 以;I Q P I I Q B|s i nZ B Q P=3 x 11 Q A|001 s i nZ A Q O ,11所以I Q P|=3|Q O|,所以|Q P|=4|O Q|,当N 8 斜率不存在时，S,不合题意，当Z8 斜率存在时，设直线方程为y =&(x-l),设点A(x”y J,8(孙 力)，32&3+K42R 2-4则=1,两式作差得:=1-当-一-%.M.+.%._-3x-x2 X +x2 4，3即砥 8，故直线OP的方程为:3y =-4k联立3y=-x24f，解 得 力=空 余x2 y2.3 +4i=14 3联立3 ,y=-必-x,解 得&=Ak2y =Z(x-l)J+4”因 为 冷=气,所以4/1,3 +442=4x4H3+软 2即X=；,解得：欠=土;,所 以 直 线 的 方 程 为 丫 =3 食-1).【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用点差法”解决，往往会更简单.过关测试1.(2 0 2 2 宁夏银川二中一模(理)已知椭圆捺+，=1(。人 0)的 离 心 率 为 争 且点”1,用 在 椭 圆上.(1)求椭圆的方程：h2(2)若四边形A B C。的顶点在椭圆上，且对角线AC3O过原点，直线AC和 8。的 斜 率 之 积 为 证 明：四 边 形 的 面 积 为 定 值.12【答案】+y 2=i；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据离心率为交，再 根 据 点 是 椭 圆 上 一 点，求 得 =2,从=1,即得答案；（2）考虑直线斜率是否存在情况，然后设直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，结合Kc可得到2/=1 +2 小，进而表示出四边形N8C Z）的面积，化简可得结论a（1）离 心 率 为 它，贝叱.=也2 a 2又.点除）是椭圆上一点，*+5=1,又/一 从=。2解得=2,/?2=1因此，椭圆的方程为+），2=12证明:：当 直 线 的 斜 率 不 存 在 时，不妨设A（见”）,8（/,-）,C（-m,-n）,。（-加,），2 2 1则 如 3二=-；，又g+2 =1 ,解 得 病=1.,m 2 2 2根据椭圆的对称性，不妨取A（l,也），则 8（1,-克）,C（-也），2 2 2 2则|48|=&,|A D|=2 ,所以 SABC=2&；当直线力8 斜率存在时，设 直 线 的 方 程 为 =履+，设点4（%力）,8 仇,必），y -k x-m联 立 公=1,得（1 +2 公）/+4 h 加+2 m2-2 =0,则+冗 24k m 2m2-2-1 -+-2-/7,XAX 2-=1 +2 左 2Z-因为原C ,kBD=一 一2,得 中 2 =-2 凶必，即=-2 的+m）（k x2+m）,所以，（2%2+1 卜1 尤 2 +2 和2（+今）+2%2=0,解得2 1=1 +2 公，13IAB =（芭麻 -2）=2 原点到直线1 8的距离为d=7%=+2k=,y/l +k2 V2V1+*因为 S BC D=4S&J08且 S，B=5|AB|M=1 2 a +/J1+2公 拒_x_ _ x_ _2 J1+2公 J l+犬 25所以5平 行 四 边 形ABCO=4-y =2&（定值），综上述四边形4 8 c o的面积为定值.2.（2022全国模拟预测）已知抛物线C:d=4 y,点M（0,2）,过点M的直线与抛物线C交于点A（X QJ,8（，%），且耳0,y =k x +2,贝！J 芭 +x）=4%,x,x2=-8.=仁（*一占）1 2 联立得：f-4 -才+4%内=0 y=-x-由A=0解得%=5%14所以过抛物线上4 8两点的切线方程分别为y=g&（x-x j+y和 y=（X2（x-X2）+必，即 y=g x/_ -和,=3尤21一2，两切线方程联立解得赤=七 三=2k，为=牛=_2,即点N的纵坐标为定值，其值为-2.由（1）及题意可知N（l,-2）,I f x2=4y,所以”=1,解得左=之.联立 12 y=5+2，（联立直线与抛物线的方程求得点4 8的坐标，从而可知直线附与N8的方程）消去y整理得f 2x-8=0,解得x=-2或x=4.又 飞刍，贝”|=-2,X2=4,则 A（-2,l）,8（4,4）,故可知直线N A的方程为y=-x-l,直线N B的方程为y=2x-4.由题意可设（由点。处的切线方程与直线Ml,N8的方程可求得点尸，。的坐标）则点。处的切线方程为y=g x T）+，从而NPQ 的面积尸=产+4T:f+1=31产+2+8(_2/2时，S fO,f-4时，S 9 0,15所以d+2f+8|=9,所以,当r=l 时取等号，即 N P Q 面积的最大值为左，此时2 23.(2 0 2 2 全国模拟预测(理)在平面直角坐标系xO y 中，椭圆C:?/=1(a 6 0)的左、右焦点为耳，鸟，直线/：y =+f与椭圆C交于A,8 两 点.已 知 A 叫周长的最大值为8,且当/=1,r=0 时，|阴=半(1)求椭圆C的标准方程；(2)设 ABO的面积为S,若|A B|=2 后，求S 的取值范围.【答案】工+上=14 2(2)5 (0,7 2【解析】【分析】(1)由已知可得当直线A5经过点6时.，三角形周长最大，再利用待定系数法求得椭圆方程；(2)联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与弦长可得=与 t1,进而可得三角形面积，再利用换元法及公+1二次函数最值情况可得面积的范围.(1)由椭圆定义可知|A 段=2”|4 周,怛q=2 忸耳|,故 三 角 形 附的周长|A 段+忸周+|A B|=4 a-(|A 用+忸用)+|A 3|,又|A 用+忸制N|A 8|,当直线/经过点耳时,等号成立,故|A g|+忸周+|A B|=4 a-(|A 用+|%|)+|区 4“-卜川+|4?|=4 =8,即。=2,2 2故椭圆方程为L+乌=1,4 b-又当 k =l,f =0 时，y =x,设点 A(X o，x。)，x0 Q故|=2|O 4|=2 j x：+x；=竽，解得x=亚，故点A(孚,芈 ,3 1 3 3 J16 2 6 丫丫代入椭圆方程得 亍J 亍)-*-;-4 h2=1解得人=2,2 2故 椭 圆 方 程 为 三+二=1;4 2|Z+=1联立椭圆与直线方程，4 2 一，得(1+2/产+4m+2/-4 =0,y=kx+t 0,即4公+2-产 。,则西+x2=-4kt1 +2公2 r-4平2=K|AB|=标.融+以-力=E-J(离，得)=2寸+；?；j +2)=2近,化 简 可 得 心 富Id点。到直线/的距离为4=招 一41+公设机=J7T(0,1,贝 I S=V2-yj m2+2m,所以 S e(0,&.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.24.(2022四川宜宾二模(文)已知椭圆E：*+y 2 =i(a i)的左右焦点分别为，F2,G 为 E 的上顶点，且月G书 G=-2.(1)求 E 的方程;(2)过坐标原点。作两直线4,4 分别交E 于A,B和C,。两点，直线心。的斜率分别为人，库 .是否存在17常数r,使K&=f时，四 边 形 的 面 积s为定值？如果存在，求出r的值；如果不存在，说明理由.【答案】（1）三+V=14 存在，r4【解析】【分析】（1）由G-KG=-2先解出c,再由解出”（2）由椭圆的对称性可知四边形4 C 3。为平行四边形，则S=4SAA”，以占，心为参数表示出 AOC的面积，再判定是否存在常数r使之为定值（1）解：QG（O,1）,月（-c,0）,玛（c,0）,U U U U U UF fi =（cA）,F 2G=（_c,DItUU LlUllG.KG=1 -C2=-2,c2=3=6 T2-1 4=4:.E:+y2=l4.设 L：y =ktx,lC D：y =k2x,A（X，y）（50）,C,%）（）f x2+4 y2=4由 ,消去y得：（%+i*=4,y =Kx2解 之 得 百;声 声2同理可求*=后F又|O A|=J 1 +M.为点c到&，的距离”=所以 S =4 S A O C=4x-OA -d=2y l +k f x,.J 善=2*用 幅-k22 J l +M,8 -&|8 j（好+电）-2占0J1+%J 1 +%J l +4（M+$）+1 6（k#2）28 k：+后）-2t 4 j（5+M）-2f业（后+片）+（1 6产+1）扁+好）+（4户+1）18当4产+：=-2/即，=-!时，四边形AC8O的面积为定值4.4 4故存在常数t=使得四边形AC8D的面积为定值45.(2022河南郑州二模(文)已知椭圆C：二+4=1(。6 0)过点(0,1),离心率为a b2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C上的点A(x。,%)(毛%*0)的直线/与x,)轴的交点分别为例，N,且M4=2AN，过原点O的直线，与/平行，且与C交于8,。两点，求4?。面积的最大值.【答案】(l)+y2=i(2)最大值为2【解析】【分析】(1)依题意可得b=l,再利用离心率的变形公式可求得“，即得椭圆的标准方程(2)以A点坐标为参数表示出S“8。的面积，再利用均值不等式求最大值(1)由题意得匕=1,又a a2 2所以4=2.椭圆C的标准方程为三+y2=l.4 .点A在椭圆上，.手+4=1,即 芯+4火=4由题意可得直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为y-%=k(x-x0)(k*0),则M1广 亳 可 川 他 先/。)，则 AN=(-x0,-kx0),M4=(年,%).MA=2AN 即止=一却，.直线/的斜率无=-普/BD/1,19，直线8。的方程为），=x,即%x+2xoy =0.4 0联立y =一-x,2 X，解 得/=孚 1,江+/川 /+%4 -小 二 卷b囱二263.段=2国奇号又点/到直线8。的距离：/_|2）空 +词J 4 x；+y；，&网.=小%=Jx：+V.*,b0）的 离 心 率 为 ，点（1,四 在椭圆C上.a i 2 I 2 J 求椭圆C的方程；（2）设/（/,九）是椭圆C上第一象限内的点，直线/过点尸且与椭圆C有且仅有一个公共点.求直线/的方程（用,%）表示：设。为坐标原点，直线/分别与X 轴，y轴相交于点M,N,试探究 M C W 的面积是否存在最小值.若存在，求出最小值及相应的点。的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）反+丁=1220与x+2%y -2=0；收，P 1,/【解析】【分析】（1）利用离心率和点的坐标解方程组即可；（2）设出直线/的方程，联立椭圆方程，利用 =（）得到关于左的一元二次方程，解出3 即可写出直线/；直接表示出面积，借助基本不等式求最小值即可.（1）c _ V2a 2-1 TI，解 得:产，故椭圆C的方程为片+丁=1.a2=b2+c2（2）由题意知，P 在椭圆上，故+,直线/斜率一定存在，设/：）-%=M x-x 0）,联立椭圆方程事+丁=1得：（1 +2公卜2_ 妹 国-5）X+2（%-5）2-2=0,由有且仅有一个公共点，可得 =线）7 4（1 +2公）2（%-”2卜 0,得2 r +1 =（为 _ 5）2,（*_2*_2%&+巾一1 =0,对于确定的点p,直线/只有一条，即关于k 的一元二次方程有两个相同的根，上=7 黄 1=号#=-消，/玉）乙）乙，0 4 M）./:y-y0=-（x-x0）,化 简 得 守+2%丁-2=0.I2 j j 2 1 2由/:%0%+2%丁-2=0 知，令x=0,y =,令 y =0,x=-,S M ON=-=-,又芝+y：=l,%与 2%/%为 2即x；+2y：=2 2 2病获=2日 旧,得不 孝，当且 仅 当%=&%=1 时取等号，此时面积最小为近，占P.何点尸.7【点睛】本题关键点在于设出直线方程后，联立椭圆方程利用判别式进行解题，在得到关于k 的一元二次方程后，利用两根相等解出人,即可写出直线方程.7.（2 0 2 2 重庆市天星桥中学一模）已知。为坐标原点，点,收|在椭圆。:a+卷=1（。0）上，椭21圆C 的左右焦点分别为耳 用，且恒用=2 6.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点外，片，鸟在椭圆C 上，原点。为 勺鸟的重心，证明：弓片鸟的面积为定值.【答案】三+丁=14(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据焦距可确定c =V L 再 根 据 点 在 椭 圆 上，代入方程解方程组可得答案.(2)设直线 2的方程为丫=依+加，和椭圆联立，整理得到根与系数的关系式，继而根据重心性质表示出兄坐标为穹7),代入椭圆方程得到参数之间的关系式，从而再表示出三角形的高,根据面积公式表 示 出 片鸟的面积，将参数间的关系式代入化简即可证明.(1)由椭圆C 的左右焦点分别为6,鸟，且怩鸟1=2 后，可知：C =y/3,即 6?=+3 ，将尸卜/”弋入方程C。+m =l(a b O)得：指+3 =1，联立解得2=4,从=1 ,故椭圆的标准方程为三+2=1.4 证明：设发(%,),租不%),舄每,%)，当直线4 G 斜率不存在时，即 玉=9，由原点。为 4的重心，可知=0,%+；+/=0故可得此时有庶(-4,0),该点在椭圆上，则 午=1 ,不妨取=1，则有以 _ 2,0)/(1,争旦(1,一 亭,或 租 一 2,0)/(1,-乎),则此时S枕=；x 3 x j 5 =更;当直线6 A 斜率存在时，不妨设6A方程为y =丘+机，22y=A x +7 7?则联立x2 o ,整理得：(1+4 Z:2)x2+S h n x+4/n2-4 =0 ，+r =11 4 -且需满足 A =(8k m)2-1 6(1+4 j t2)(m2-1)=1 6(4公+l-/n2)0 ,则 x+x2=-8k m4(/-1)-1 -+-4-/7 ,X1 X-2 =-1 +-4-/72m.所以M +%=以占+）-2机=+4公由原点。为外耳鸟的重心知，/=a+9），=（X+%），故外坐标为（品 1）,代 入 到*小 中，化简得：（口）2+4（儡）2=4 ,即加=1+吠，又原点。为 与匕鸟的重心，故分到直线匕鸟的距离为原点0到直线匕鸟距离的3倍,所以=卷而心百八针Ej建 i 信=J l+公 X4,4 2 2 +1一/?2=J 1 +/21 +4-4G l m|E l工X-71 +4/因此S胞号=；x|在=9后 后、辔z乙 1+4女 7 1+k_66|租/_ 6 ，W _ 3上-(1 +4&)-4 m2-