高二理科数学暑期讲义第9讲空间中的垂直关系教师版.pdf

第9讲 空间中的-垂直关系满分晋级|9.1线面垂直噩知识点睛1.线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直.由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直.2.直线与平面垂直：定义：如果一条直线和一个平面相交于点O,并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直.这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足.如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直./画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂/一7直，如右图.直线/与平面a 互相垂直，记作/_La.-/教师备案 定义中的“任何直线”这 一 词 与“所有直线”是同义词，定义的实质是这条直线和平面内的所有直线垂直.这样就用线线垂直关系规定了线面垂直.注意这里的“任何直线”不能改 成“无数条直线”.由定义可以知道，如果我们需要说明两条异面直线垂直，则只需要说明一条直线垂直于过另一条直线的一个平面即可.过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直；过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直.例：若直线。与平面a不垂直，则在平面a内与直线。垂直的直线(B )A.只有一条B.有无数条 C.是平面a内的所有直线 D.不存在判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.教师备案 线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断.要证明判定定理，只能用定义，若/W J-m,m n=B,m,n(z.a,要证 A 4 _ L a,在平面a内任选一条直线/,去证A 4 _ L/,结合下图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略.性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.教师备案 线面垂直的性质定理，可以用同一法证明，如图：直线m_a,若直线/,加不平行，则过直线,”与平面a的交点8作直线加/,从而有m J L a.又相交直线m,而可以确定一个平面)，记 a /3=a,则因为m,加 都垂直于平面a,故加，加 都垂直于交线a.这与在一个平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾.故 7 7 7,加 重合，?/,性质定理得证.由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条.0需经 一典精讲考 点1:线面垂直的概念辨析【例1】下列命题正确的有.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边；如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线.(6)若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面.若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直.平行于同一个平面的两条直线可能垂直.【解析】.108考点2：线面垂直的判定【铺垫】在 底 面 为 矩 形 的 四 棱 锥 中，A B L底 面BCDE,【解析】求证：(DC。_L 平面 ABC；(2)DE L A E.；AB上底面BCDE,C D u平面ABCD,AB CD,：底面ABCD为矩形，；.CD工BC,又 4?BC=B,，8 _ L 平面 ABC.同可证明。E l,平面ABE,又A E u 平面ABE,，DE L A E.【例2】【解析】*如图，已知P 为 ABC外一点，PO_L平面A B C,垂足为O,若 R4_L3C,P B V A C,求证：(1)3。_ 1平面4。尸；(2)PC AB.：PO_L平面 ABC,B C u 平面 ABC,，PO LBC;又 以 _L8C,A 4u 平面 AOP,PO u 平面 AOP,PA PO=P,B C J.平面 AOP;.A O u 平面A O P,由知，BC1AO-.同理有ACJ平面BOP,AC1.BO.，O 为八43。的垂心，仄而CO L A B.与同理有PO_LAB,P O u 平面COP,CO u平面COP,平面 COP,PC u 平面 COP,P C r AB.POco=o,【例3】如图所示，S 为 A 4B C 所在平面外一点，且&4=SB=SC,连结SO,BD.求 证：SD_L平面ABC；若 直 角 边 84=8 C,求证：5。_L平面SAC.【解析】(1)在等腰S4C 中，。为A C 中点，SDJ_AC.法一:又：八4BC为直角三角形，,AD=DC=BD,：.S4 丝 S8D 丝 A5CD,:.SD YBD.又：8 O u 平面 ABC,A C u 平面 ABC,BD AC=D,：.sr _L平面 ABC.法二：取 AB中点E,连D E、SE.：AD=BD,：.D E A B；V SA=SB,：.SEJ.AB又：Z)E u平面 SE),S E u 平面 SEE,DE SE=E,，AB _L 平面 SEP,SD u 平面 SED,：.ABJ.SD.又：A B u平面 ABC,A C u 平面 ABC,AB AC=A,A B B C,。为 AC的中点,S J_ 平面 ABC.(2)V BA=BC,：.BDAC.又；SO _L平面 ABC,:.SDLBD.：SD AC=D,8_L平面 SAC.9.2面面垂直知识点睛i.定义:如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.教师备案 如右图：s/3=CD,CO_Ly,a y=AB,/3 y=BE,ABA.BE,则称a_L?.关于面面垂直的定义，人教A、B版的的定义是不一样的，我们这里采用的是B版的定义，A版的定义方式是引入二面角，进而用直二面角来定义两个平面垂直.2.判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直.教师备案 判定定理即：已知AB_L,AB P=B,A B c za,则夕上夕.证明如下：（我们的依据只有面面垂直的定义，所以应作出与交线垂直的平面，进而说明形成的交线垂直）a P=a,则 8 w or,V AB 1/3,a u 4，A ABa,在平面/内过点8做B C _La,则“_L平面ABC,V AB1J3,BCu/3,则:.a,。.例：如图，R4_L平面ABC,ZABC=90,则图中互相垂直的平面有4对.经 典 精 讲 二考点3：面面垂直的判定【铺垫】在正方体ABC。A 4G A中，证明：平面A4,GC_L平面88QQ.【解析】.在正方体ABCO-Ag G.中，有 AG 1 B R,BB,_ L 平面 A4G A,.BBl A C，则 AG J平面 BBXDXD,又AG u平面AAQC,则平面A4IC|CJ平面BBRD.110【例4】如图，4 5 为。的直径，。所在平面为a,尸 4_1_a于 A，C 为-A&GR棱 A A，8 的中点，、j:.C F EB、,CF=EB，,则 CFEB1 为平行四边形，EF CB、,EV CB,C,B,:.EF LC、B,又：AB J_平面 BCC,B,C4 u 平面 BCC、B、,：.AB J_ Cg,即 EF J_ AB,而 A8 CtB=B,，F_L平面 ABC；.,/E F u平面 AECF,，平面 A8CQ|_L 平面 AECtF.目标班学案1【拓3】在正方体ABC。A 4 G A 中，E 是棱D R 的中点，求证：平面E 4 c l.平面A 4 c.【解析】连接B）交A C于O,连接EO,B 0 ,:处=近=叫 ，且 NEDO=NOBBi=90。,D.DE BO J-4EDO SOBB、,AZ_/：.AEOD=/O B、B,即 ZEOD+ZBOB=90,EO VOB,tV A C B D9 AC BB.9 A 1 B A C上平面BBQ Q,而 平 面B B Q Q i平面A E C=E O,平面8 8 Q O平面4 8(=8 0,平面E4CJL平面ABC.知识点睛3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.教师备案 性质定理即：已知a _ L?,a 0 =a,A B cza,A 8_La于3,则A 8_L.在平面月内过点3做8 C _La,由于A 8 _ L a,则a_L平面/W C,：a i p ,：.ZABC=90,即 A B J.B C,又 AB_La,二 AB1J3.经典精讲考点4：面面垂直的性质【例 5】*在直角梯形 ABCD 中，A D/B C ,A D V A B,ZBCD=45,A D=A B,将ABD 沿对角线9折起，折起后点A的位置记为尸，且使平面尸血)_L平面8 8.证明：P B L C D；(2)平面PBC_L平面PDC.【解析】依题意可知N8QC=90。，即a_LBZ),平面PB)J_平面3 c力，且交线为班,C)_L平面 PBD,：P B u 平面 PBD,：.P B L C D.(2)：P B L P D,PB L C D,CD PD=DP5_L平面 PCD,P B u 平面 PBC,二平面PBC_L平面尸D C.112L实战演练【演练1】已知两条直线机，n,两个平面a,尸，给出下面四个命题：m/n,m L a=n L a；a/j3,m cza,nm/n；n、m”a=n J/a：a 4，”,，_L a n _L力；其中正确命题的序号是（）A.B.C.D.【解析】C；【演练2到四面体越CZ）四个顶点距离相等的平面共有 个.【解析】7【演练3】点P是菱形A 8 a）所在平面外一点，且 以=P C,求证：4（7_1平面尸比）.【解析】为菱形，ACBD,设 A3 CD=O,连接 PO,PA=PC,且 AO=CO,POLAC,：PO BD=O,/.ACJ_平面 PBD.【演练 4】如图，已知 a_L 尸，a /3=l,ABcia,AB V I,BCu/3,D E u。,BC A.D E,求证:AC ID E.【解析】a 1.J3,a/3=1,ABcza A 8J_/,A B 1 0,：D E u。,ABID E,V BCLDE,AB,BC=B,：.D EJ_平面 ABC,/A C u平面 ABC,，AC ID E【演练5】如图，/WC）是正方形，SA垂直于平面ABC。，过A且垂直于SC的平面交S 3、SC、SD分别于点E、尸、G,求证：8 c，平面SAB；（2）AE_LS3.【解析】：SA_L平面A8c,8 C u平面A3C）,，SALBC.AB又ABCD 为正方形，/.BCA.AB.，8CJL平面 AS3.；A E u 平面A S B,由的结论，B C VAE.又：SCJ 平 面 AEFG,A E u 平面 AEFG,/.S C A E.火 B C u 平面 SBC,SC u 平面 SBC,BC-SC=C,二 AE_L平面 S8c.又：S 8 u 平面 SBC,A A E V SB.q 大千世界（第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试）侧棱长都是6 的三棱链P-A B C 中，PAYPB,PAA.PC,ZBPC=60。，M、N 分别是2 4、8 C 的中点，贝,三棱锥A-8W N 的体积是.【解析】6；为叵2114