高考数学复习03空间向量与立体几何（解析版）-2021年高考数学专练(新高考).pdf

重 难 点 0 3 空 间 向 量 与 立 体 几 何【高 考 考 试 趋 势】立 体 几 何 不 管 新 旧 高 考 中 都 是 一 个 必 考 知 识 点，一 直 在 高 中 数 学 中 占 有 很 大 的 分 值，未 来 的 高 考 中 立 体 几 何 也 会 持 续 成 为 高 考 的 一 个 热 点。新 高 考 中 不 分 文 理，主 要 考 查 简 单 几 何 体 的 体 积，表 面 积 以 及 外 接 圆 问 题，有 关 角 的 问 题；另 外 选 择 部 分 主 要 考 查 在 点 线 面 位 置 关 系，简 单 几 何 体 三 视 图 有 所 弱 化；选 择 题 主 要 还 是 以 几 何 体 的 基 本 性 质 为 主，解 答 题 部 分 主 要 考 查 平 行，垂 直 关 系 以 及 二 面 角 问 题。前 面 的 热 点 专 题 已 经 对 立 体 几 何 进 行 了 一 系 列 详 细 的 说 明，本 专 题 继 续 加 强 对 新 高 考 中 立 体 几 何 出 现 的 习 题 以 及 对 应 的 题 目 类 型 进 行 必 要 的 加 强。本 专 题 包 含 了 高 考 中 几 乎 所 有 题 型，学 完 本 专 题 以 后，对 以 后 所 有 的 立 体 几 何 你 将 有 一 个 更 加 清 晰 的 认 识。【知 识 点 分 析 及 满 分 技 巧】基 础 知 识 点 考 查：一 般 来 说 遵 循 三 短 一 长 选 最 长。要 学 会 抽 象 问 题 具 体 会，将 题 目 中 的 直 线 转 化 成 显 示 中 的 具 体 事 务，例 如 立 体 坐 标 系 可 以 看 做 是 一 个 教 室 的 墙 角。有 关 外 接 圆 问 题：一 般 图 形 可 以 采 用 补 形 法，将 几 何 体 补 成 正 方 体 或 者 是 长 方 体，再 利 用 不 在 同 一 个 平 面 的 四 点 确 定 一 个 立 体 平 面 原 理，从 而 去 求。内 切 圆 问 题：转 化 成 正 方 体 的 内 切 圆 去 求。求 点 到 平 面 的 距 离 问 题：采 用 等 体 积 法。求 几 何 体 的 表 面 积 体 积 问 题：应 注 意 巧 妙 选 取 底 面 积 与 高。对 于 二 面 角 问 题 应 采 用 建 立 立 体 坐 标 系 去 求，但 是 坐 标 系 要 注 意 采 用 左 手 系 务 必 要 标 记 准 确 对 应 点 以 及 法 向 量 对 应 的 坐 标。【限 时 检 测】（建 议 用 时：90分 钟）一、单 选 题 1.（2020 辽 宁 葫 芦 岛 市 高 三 月 考）已 知 4，台 是 两 条 不 重 合 的 直 线，是 一 个 平 面 且 则“I I。是“_L 6”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】A【分 析】由 线 面 垂 直 的 判 定 和 性 质 分 别 判 断 充 分 性 和 必 要 性 即 可.【详 解】充 分 性：因 为 a，,u p,曲 线 而 垂 色 的 性 质 川 为 故 充 分 性 成 立.；I I必 要 性：若 ab,b u/3,则 直 线。与 平 面 可 能 相 交、平 行 或 在 平 面 内，故 必 要 性 不 成 立.I I所 以“a_L”是“a_Lb”的 充 分 不 必 要 条 件.故 选：A.2.（2020 全 国 福 建 省 漳 州 市 教 师 进 修 学 校 高 三 二 模（文）已 知 正 方 体 4 与 G A 的 棱 长 为 1,e_瓦）丽 点/是 底 面 力 发 力 上 的 动 点，则 的 最 大 值 为（V 2A.TB.1C.桓 D.C)【答 案】B【分 析】建 立 空 间 直 角 坐 标 系，由 向 量 的 数 量 积 运 算，计 算 可 得 选 项.【详 解】以 点 为 原 点，D C,D R 为 x,%z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则(0,0,1),4(1,1,1),4(1,0,1),设 E(x,_y,0),其 中 x/e0,l,则 CE C4=4=(x Lj7,1),。4=(1,1,0)所 以（匿-。4）与=+尸 1 1,等 号 成 立 的 条 件 是 E（l，1,0）,故 其 最 大 值 为 I,故 选：B.3.（2020 上 海 长 宁 区 高 三 一 模）设 加、为 两 条 直 线，夕 为 两 个 平 面，则 下 列 命 题 中 假 命 题 是（A.若?m 1.a t n 工 0,则 B,若/，/,则 a，/C.若 加 _L，加/a,/，则 a/7D.若?，加-La,则 a/？【答 案】C【分 析】根 据 面 面 垂 直 与 平 行 的 判 定 定 理 判 断.【详 解】A.若?，,相 当 于 两 平 面 的 法 向 量 垂 直，两 个 平 面 垂 直，A 正 确;B.若，m V a t则 _ L a,又，则 平 面/内 存 在 直 线 c“，所 以 c l a,所 以 aJ_，B正 确;C.若 机 上，ml/a,/月，则 可 能 相 交，可 能 平 行，C 错；D.若 m H n,m 工 a,n 工 0,则 名 尸 的 法 向 量 平 行，所 以 a”/7,D 正 确.故 选：C.【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 考 查 两 平 面 平 行 与 垂 直 的 判 断，掌 握 两 平 面 平 行 与 垂 直 的 和 性 质 定 理 是 解 题 关 键.另 外 从 空 间 向 量 角 度 出 发，利 用 平 面 的 法 向 量 之 间 的 关 系 判 断 两 平 面 平 行 与 垂 直 也 是 一 种 行 之 有 效 用 较 简 单 的 方 法.4.（2020 云 南 高 三 其 他 模 拟（文）在 正 四 面 体 4 8 8 中，”是 棱 8 D 的 中 点，则 异 面 直 线 力 8 与 C M 所 成 角 的 余 弦 值 为（）A.6 B.6 C.4 D.4【答 案】A【分 析】取 的 中 点 为 N，可 得 M N/A B,NCMN即 为 所 求（或 其 补 角），在 CNN中 利 用 余 弦 定 理 求 解 即 可.【详 解】设 正 四 面 体 4 B C D 的 棱 长 为 2,取 4 0 的 中 点 为 N,因 为“是 棱 8 的 中 点，所 以 M N/A B,所 以/C M N即 为 所 求（或 其 补 角）.AM N=-A B=在 CNN 中，2,CM=CN=Scos ZCMN-所 以 MN2+CM2-CN22MN-MCl+3-3 _/32x73 一 6故 选：A.5.（2020 河 南 郑 州 市 高 三 月 考（文）三 棱 柱 B C-4 4 G 中，侧 面 与 底 面 垂 直，底 面 是 边 长 为 2的 等 边 三 角 形，若 直 线 4 与 平 面 C G 4 所 成 角 为 4 5,则 棱 柱 的 高 为（）A.2&B.2 C.&D.1【答 案】C【分 析】本 题 首 先 可 绘 出 三 棱 柱 8 C 4 4 G,取 4 G 中 点。并 连 接 与、A D、A B,然 后 通 过 题 意 以 及 线 面 弁 J的 定 义 油 声 8/0 即 直 线 阳 与 平 面 C G 4 所 成 角，4/0=45,最 后 根 据 AA=4AD2-4 D-即 可 得 出 结 果.【详 解】如 图，绘 出 三 棱 柱 8 C 4 4 G,G取 4 G 中 点，连 接 小。、典,因 为 三 棱 柱 A B C ABC侧 面 与 底 面 垂 直，底 面 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，所 以 4。八 4 G,4。，平 面 AD BD=V3由 线 面 角 的 定 义 即 可 得 出 Q BA D即 直 线 与 与 平 面 4 所 成 角，Z5,71D=45 A D=B,D=s/3 A.A=yj A D2-A.D2=7 2则，f故 选：c.【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 考 查 线 面 角 的 应 用，过 不 平 行 于 平 面 的 直 线 上 一 点 作 平 面 的 垂 线，这 条 直 线 与 平 面 交 点 与 原 直 线 与 平 面 的 交 点 的 连 线 与 原 直 线 构 成 的 角 即 线 面 所 成 角，考 查 计 算 能 力，考 查 数 形 结 合 思 想，是 中 档 题.6.（2020 四 川 泸 州 市 高 三 一 模（理）已 知 三 棱 锥 4 一 8。中，平 面 4 8。_L平 面 B C D,且/8 O和 B C D都 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，则 该 三 棱 锥 的 外 接 球 表 面 积 为（）1 6 7 r 20 万 A.47 B.3 C.87t D.3【答 案】D【分 析】由 题 意 画 出 图 形 分 别 取 28。与 BCD的 外 心 瓦 尸,过 风 尸 分 别 作 两 面 的 垂 线，相 交 于,结 合 已 知 由 火=yJOE2+C E2,求 出 三 棱 锥 外 接 球 的 半 径，则 外 接 球 的 表 面 积 可 求.【详 解】如 图,A由 已 知 可 得，A 4 B D L J A B C D均 为 等 边 三 角 形,取 8。中 点 G,连 接 NG,C G,则 4 G J.8。,.平 面 平 面 8 c,则 ZG_L平 面 BC。,分 别 取 4 8 q 8 8 的 外 心 及 尸，过 及 厂 分 别 作 两 面 的 垂 线，相 交 于,则。为 三 棱 俳 A-B C D 的 外 接 球 的 球 心,由 4 8 0 与 A B C D 均 为 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形,O E=O F=-C G=x 2 x=可 得 3 3 2 3.CE=2 x 2 纥 毡 2 3 3/.R=0 C=yOE2+C E2=J（g）2+（半 产=半 4万 x A2=41 x（）2：lL.三 棱 锥”及 力 的 外 接 球 的 表 面 积 为 3 3故 选:D.7.（2020 上 海 高 三 专 题 练 习）如 图，正 四 棱 锥 尸 一/8C。的 底 面 边 长 和 高 均 为 2,是 侧 棱 气 的 中 点，若 过 4%作 该 正 四 棱 锥 的 截 面，分 别 交 棱 做 加 于 点 笈 尸（可 与 端 点 重 合），则 四 棱 锥 P-N E W7的 体 C.D.【答 案】I)【分 析】P E _ P F _谊 PB P D),则 PE=xPB,PF=yPD,然 后 利 用 等 体 积 法 由 VP-AEMF=VP-AEF+VP-EMF2/、_ 3y v _2 3/=VP-AFM+VP-AEM=x y=-(x+y)X=T j-/P-AEMF=-：3，得 到 3y 1,再 消 元 得 到 3 3P一 1,令 3夕 一 1一,利 用 对 勾 函 数 的 性 质 求 解.【详 解】P E P F-=X,-V设 PB P D,则 PE=xPB，PF=yPD4 1 2Vp-AEF=盯 P-ABD=7 k，P-M EF=T P-B C D=彳 9所 以 3 2 3Vp-AFM=1y rz2 VP-A C D=y VP-AEM1 v 2=XVP-A B C=-X%-AEMF Vp-AEF+Vp-EMF2 P-AFM+Vp-AEM=2中=(X+J)x-工 所 以+尸 3 9，则 3y-l（令 3歹 _1=/,因 为 1,所 以 123/_0+02所 以 刀-1 9t4 j_952U 1+2 e9_2 3 V 8 1yP-AEMF-所 以 3 3-1 L9 J,故 选：D【点 睛】方 法 点 睛：求 解 棱 锥 的 体 积 时，等 体 积 转 化 是 常 用 的 方 法，转 化 原 则 是 其 高 易 求，底 面 放 在 已 知 几 何 体 的 某 一 面 上.求 不 规 则 几 何 体 的 体 积，常 用 分 割 或 补 形 的 思 想，将 不 规 则 几 何 体 转 化 为 规 则 几 何 体 以 便 于 求 解.8.（2020 全 国 高 三 其 他 模 拟）如 图，正 方 体 的 棱 长 为 6,点 尸 是 棱 4 的 中 点，4 c 与 8 0 的 交 点 为。，点 在 棱 8 C 上，且 8=2 M C,动 点 T（不 同 于 点）在 四 边 形 N8C。内 部 及 其 边 界 上 运 动，且 刀 0，0尸，则 直 线 与 厂 与 刀 必 所 成 角 的 余 弦 值 为（）Vio Vio Vio 7A.4 B.5 C.4 D.9【答 案】B【分 析】在 棱 0 C 上 取 点 N,且 D N=2 N C,连 接 N M,取 棱 C G 的 中 点/,连 接 Q，B H,则 可 得 T 的 轨 迹 为 线 段 M N，则 Z H D B 异 面 直 线 与”与 T M 所 成 的 角，利 用 余 弦 定 理 即 可 求 出.【详 解】易 知 8 D L Z C 因 为，平 面 Z8C。，所 以 C所 以 8OJ.平 面 ZF。，又。尸 u 平 面 ZF。，所 以 8D_L,在 棱 上 取 一 点 N,且 D N=2 N C,连 接 M 0,则 NM/BD,所 以 M W J.09，所 以 动 点 T 的 轨 迹 为 线 段 N（不 包 含 M）.取 棱 用 的 中 点，连 接。，易 知 DH/IFB,则 N H D B 异 面 宜 线 B F 与 T M所 成 的 角.连 接 B H,因 为 D H=4 3=3亚，B D=6 O,B H=3也cos NHDB-所 以 DH2+BD2-BH22DHxBDV ior故 选：B.【点 睛】思 路 点 睛：平 移 线 段 法 是 求 异 面 直 线 所 成 角 的 常 用 方 法，其 基 本 思 路 是 通 过 平 移 直 线，把 异 面 直 线 的 问 题 化 归 为 共 面 直 线 问 题 来 解 决，具 体 步 骤 如 下：(1)平 移：平 移 异 面 直 线 中 的 一 条 或 两 条，作 出 异 面 宜 线 所 成 的 角；(2)认 定：证 明 作 出 的 角 就 是 所 求 异 面 直 线 所 成 的 角；(3)计 算：求 该 角 的 值，常 利 用 解 三 角 形；(4)取 舍：由 异 面 直 线 所 成 的 角 的 取 值 范 围 是 I 2，当 所 作 的 角 为 钝 角 时，应 取 它 的 补 角 作 为 两 条 异 面 直 线 所 成 的 角.二、多 选 题 9.(2020 湖 北 武 汉 市 高 二 期 中)已 知 直 线 勿，n,平 面 a,给 出 下 列 命 题 正 确 的 是()A.若 卅 _L a,nl.P,且 忆 L，则。_L B.若 卬。，且 z/，则。C.若 ml.a,n/,且 m V n,则 a _L D.若 a,n/,且 勿，则 a _L【答 案】AD【分 析】根 据 直 线 与 平 面 平 行，垂 直 的 性 质 定 理，判 断 定 理，灵 活 判 断，可 以 正 确 推 导，也 可 以 举 反 例 说 明.【详 解】解：对 于 A：若 加,用，且 团 工 可 以 判 断 a，尸 是 正 确 的，因 为 可 以 设 两 个 平 面 的 法 向 量 为 u LU _ 一 勺，%,可 得 数 量 积 为 零，即,2,所 以 可 判 断 a，4 是 正 确 的，故 4 正 确，对 于 B：若 夕，目，则 a/.不 正 确，如 两 个 面 相 交，两 个 相 交 的 墙 面，直 线 加，都 平 行 于 交 线，也 满 足，加/月，所 以 8 不 正 确；对 于 C：若 加/,且 加 工”，则 有 可 能 a”，不 一 定 a，尸，所 以 C 不 正 确；对 于 D：；若 加/，旦 加，：.,a,/,故 O 正 确：故 选：AD.【点 睛】本 题 考 察 了 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系，熟 练 掌 握 好 平 行，垂 直 的 定 理 即 可 判 断，属 于 中 档 题.10.（2020 全 国 高 三 其 他 模 拟）已 知 三 棱 锥 尸 一 4 8 C 的 四 个 顶 点 都 在 球。上，AB=B C=A C=,Z A P C=-6,平 面 P N C J平 面 N B C,则()A.直 线。与 直 线 8 c 垂 直 1+也 B.P 到 平 面 4 8 C 的 距 离 的 最 大 值 为 213-C.球。的 表 面 积 为 3D.三 棱 锥。一 4 8 c 的 体 积 为 G【答 案】ACD【分 析】设 5 c 外 接 圆 的 圆 心 为 i,根 据 外 接 球 的 性 质 以 及 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 与 性 质 得 到 O N,B C,从 而 判 断 选 项 A 的 对 错；利 用 正 弦 定 理 求 得 pN C 外 接 圆 的 半 径 与，根 据 临 界 情 况 判 断 选 项 B 的 对 错；借 助球 半 径、截 面 圆 半 径、球 心 到 截 面 的 距 离 之 间 的 关 系，求 出 球 半 径，即 可 求 出 球 的 表 面 积，从 而 判 断 选 项 C 的 对 错；利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 求 得 口 48。的 面 积，即 可 利 用 锥 体 的 体 积 公 式 求 出 三 棱 锥。-4 8 c 的 体 积，进 而 判 断 选 项 D 的 对 错.【详 解】设 口 4 3 c 外 接 圆 的 圆 心 为 1,连 接。4 因 为。为 外 接 球 的 球 心，所 以 1,平 面 N 8 C,所 以 O Ot 1 B C 因 为 Z8=8C=力 C=1,所 以 所 以 8 C L 平 面。所 以。4_L8C,故 A正 确.Z A P C=介 设 C 外 接 圆 的 网 心 为 2,Z C 的 中 点 为。，连 接 2,由 于 4c=1,6,所 以 圆 Q 的 1 1,r=x-=12.4sin 半 径 6，则 易 知。三 点 共 线），故 B错 误.等，所 以 点 P 到 九 的 距 离 的 最 大 值 为 V（此 时 尸,。21 1 V3r=Ix-7=T c n-2sin c 八 O】D _由 于 N8=BC=4C=1,所 以 圆|的 半 径 3.连 接?”,则 6,且 O.D 1 A C 由 于 平 面 p/CJ_平 面 N B C,平 面 R 4 C n 平 面 Z8C=Z C,所 以 O。*1平 面 尸 4.连 接 OO,=O D=,则 02 1平 面 P 4 C,所 以 四 边 形 001002是 矩 形，于 是 2 6.连 接”在 直 角 O才=0 0；+。2不=怦+/哈 5=4万、上=史 三 角 形 月 中，v；，故 球。的 表 面 积 12 3,故 c 正 确.由 于 0 a L 平 面 且 1-D 2，处-4,所 以 三 棱 锥。-4 3 c 的 体 积 为 3 O1 V3 73 1X-X-=3 2 4 8,所 以 D 正 确.【点 睛】关 键 点 点 睛：求 解 本 题 的 关 键：（1）根 据 正 弦 定 理 求 出 P4C的 外 接 圆 半 径；（2）利 用 球 半 径、截 面 圆 半 径、球 心 到 截 面 的 距 离 之 间 的 关 系 求 三 棱 锥 的 外 接 球 半 径.三、填 空 题 11.（2020 上 海 高 三 专 题 练 习）圆 锥 底 面 半 径 为 1cm,母 线 长 为 2cm,则 其 侧 面 展 开 图 扇 形 的 圆 心 角 0=【答 案】兀；【分 析】根 据 圆 的 周 长 公 式 易 得 圆 锥 底 面 周 长，也 就 是 圆 锥 侧 面 展 开 图 的 弧 长，利 用 弧 长 公 式 可 得 圆 锥 侧 面 展 开 图 扇 形 的 圆 心 角 的 大 小.【详 解】因 为 圆 锥 底 面 半 径 为 1 c m,所 以 圆 锥 的 底 面 周 长 为 2万 cm,八 2%u-71则 其 侧 面 展 开 图 扇 形 的 圆 心 角 2,故 答 案 为：乃.【点 睛】思 路 点 睛：该 题 考 查 的 是 有 关 圆 锥 侧 面 展 开 图 的 问 题，解 题 思 路 如 下：（1）首 先 根 据 底 面 半 径 求 得 底 面 圆 的 周 长；（2）根 据 圆 锥 侧 面 展 开 图 扇 形 的 弧 长 就 是 底 面 圆 的 周 长，结 合 母 线 长，利 用 弧 长 公 式 求 得 圆 心 角 的 大 小.12.（2020 四 川 泸 州 市 高 三 一 模（理）如 图，棱 长 为 1的 正 方 体 8 8 4 8。中，尸 为 线 段 上 的 动 点（不 含 端 点），给 出 下 列 结 论：g 五 商 A.D.P _L近 右 A.AP 平 面 平 面；多 面 体 c 0 0 2 的 体 积 为 定 值;直 线 R P 与 8 c 所 成 的 角 可 能 为 3；4尸 口 可 能 是 钝 角 三 角 形.其 中 正 确 结 论 的 序 号 是（填 上 所 有 正 确 结 论 的 序 号）.【答 案】【分 析】根 据 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 判 断 的 正 误；根 据 正 方 体 的 性 质 及 椎 体 的 体 积 公 式，可 判 断 的 正 误；根 据 题 意 当。运 动 到 6 的 位 置 时，最 大 即 为 乙 4,根 据 正 弦 函 数 的 定 义 即 可 求 得 s m 4 A B 的 最 大 值，即 可 判 断 的 正 误；如 图 建 系，利 用 向 量 的 夹 角 公 式，即 可 求 得 cs（4P，E 的 表 达 式，根 据%范 围，即 可 判 断 的 正 误，即 可 得 答 案.【详 解】对 于：因 为 正 方 体 8 8 4 8 6%所 以 4 D _L平 面/阴 4,又 尸 为 线 段 上 的 动 点，所 以 4 A,平 面 4，P,又 4 4 u 平 面 4 R P,所 以 平 面 4。尸,平 面 4，尸,故 正 确;G-1 1 1对 于：因 为 正 方 体 一 4 4 G%所 以 S s=”x i=5,又 P 为 线 段 AB上，所 以 到 平 面 CDDI 的 距 离 恒 等 于 1,v _1 1,1c n p n p-cD D i-x-x 所 以 多 面 体 J 幺 的 体 积 3 2 6,为 定 值，故 正 确；对 于：因 为 8 C 口 4 4,所 以。尸 与 5 c 所 成 的 角，即 为 R P 与 4 4 所 成 的 角，即 4 Q E 即 为 所 求，由 图 可 得，当 户 运 动 到 6 的 位 置 时，N 4 R P 最 大 即 为 N 4 R B此 时 4Q=L AB=6,D F=5在&出 中 sin A.D.B=DPV 2 V 6 V 3j=-V3 3 2.冗=sin 3ZADB-/A n p-所 以 3,所 以 当 运 动 时，乙 不 可 能 为 3,故 错 误;对 于：分 别 以 如、D C、DD为 x,yr/轴 正 方 向 建 系，如 图 所 示:所 以 4 L 0,0),5(1,1,0),A,(1,0,1),。(0,0,1)所 以 4 8=(0,1)因 为 尸 为 线 段 4 8 上 运 动，设 4 P=九 43,2eo,i,0（1 j,z）,所 以 4 P=（o,y,z-i）.y=A所 以 匕-，所 以 尸（1，1-丸）,所 以 万=(0,4,1 _,可=(1,2,-2)cos-所 以 A P DPRM+-A,-J A.2+(1 A)2 Jl+分+分 2(2Z-1)7/l2+(l-2)2 Vl+222cos=,0因 为 2 e 0,1,所 以 当 6,2 时，+(1-Jl+2%-即 此 时 为 钝 角，所 以 乙 4P A 可 能 是 钝 角 三 角 形，故 正 确.故 答 案 为：【点 睛】解 题 的 关 键 是 熟 悉 正 方 体 的 性 质 及 面 面 垂 直 的 判 定 定 理、体 积 公 式 等 知 识，在 判 断 A S P A 是 否 为 钝 角 三 角 形 时，可 建 系，利 用 向 量 求 夹 角 公 式 求 解.考 查 分 析 理 解，计 算 化 简 的 能 力，属 中 档 题.13.（2020 四 川 泸 州 市 高 三 一 模（文）已 知 直 四 棱 柱-，的 所 有 棱 长 均 为 4,且 4 48c=120,点 E 是 棱 8 c 的 中 点，则 过 点 E 且 与 垂 直 的 平 面 截 该 四 棱 柱 所 得 截 面 的 面 积 为【答 案】网【分 析】取 的 中 点/，在 4 取 点 用，使 得 3 M=1,分 别 连 接 班，族，6，且 B D 与 E F 交 于 点、N,连 接 M N,根 据 线 面 位 置 关 系，3口,平 面 上 回 得 到 截 面 口 尸 为 等 腰 三 角 形，再 结 合 三 角 形 的 面 积 公 式，即 可 求 解.【详 解】由 题 意，取 8 的 中 点 尸，在 3片 取 点 使 得 8初=1,分 别 连 接 瓦/，且 BD与 E F交 于 点 N,连 接 MN,因 为 底 面“8C O为 菱 形，可 得 4 c l BD,又 由 瓦 少 是 3C，1 6 的 中 点，可 得 E F/A C,所 以 E F上 BD,因 为 直 四 棱 柱 A B C D 4 却 犯，可 得 E F 1 BB、所 以 EF J_平 面 BDRBI又 由 股 u 平 面 BDD&1,可 得 E E工 BD,在 正 方 形 B D DB中，可 得 BDi工 B Q 因 为 MN B、D，可 得 MN 1 BD1,从 而 得 到 B D1平 面 MEF,此 时 口 跖 为 等 腰 三 角 形，在 直 角 口 5 9 中，BE=2,BM=1,可 得 ME=d,EN=EF=AC=勾 4 6=拒 又 由 2 4 4,在 百 角 DMNE 中，可 得 MN=JME2-NE2-y/2,S=-E F-M N=-x2y/3xy/2=46所 以 截 面 的 面 积 为 2 2故 答 案 为：逐.【点 睛】解 答 空 间 中 点、线、面 位 置 关 系 的 确 定 截 面 问 题 常 见 解 题 策 略：1、根 据 空 间 平 行 关 系 的 转 化 找 出 几 何 体 的 截 面，其 中 有 时 对 于 平 行 关 系 条 件 理 解 不 透 导 致 错 误；对 面 面 平 行 判 定 定 理 的 条 件“面 内 两 相 交 直 线”认 识 不 清 导 致 错 解；2、根 据 空 间 中 的 垂 直 关 系 找 几 何 体 的 截 面，对 于 空 间 中 的 垂 直 关 系 中 确 定 线 面 垂 宜 是 关 键，结 合 线 线 近 直 则 需 借 助 线 面 垂 直 的 性 质，垂 直 关 系 的 判 定 定 理 和 性 质 定 理 合 理 转 化 是 证 明 垂 直 关 系 的 基 本 思 想.14.（2020 全 国 高 一）在 三 棱 锥 O/6 C 中，4O J平 面 8 C,AC=3,8C=J I 7,/一 1 2#icos 2_BAC=_-3,若 三 棱 锥 D-/8 C 的 体 积 为 3,则 此 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为【答 案】20n【分 析】设 出 外 接 球 的 半 径 R、球 心 0,口/b C 的 外 心 半 径 r,连 接 过。作 的 平 行 线 交 丁 E,连 接”，OD,如 图 所 示，在 4 8 C 中，运 用 正 弦 定 理 求 得 口/B C的 外 接 圆 的 半 径 百 再 利 用 氏 八 的 关 系 求 得 外 接 球 的 半 径，运 用 球 的 表 面 积 公 式 可 得 答 案.【详 解】设 三 棱 锥 外 接 球 的 半 径 为 我、球 心 为,口 2 5 c 的 外 心 为 1、外 接 圆 的 半 径 为 人 连 接“9,过 0 作 平 行 线 0 E 交 NO于 E,连 接 0 2,0D,如 图 所 示，则。/=8=火，OxA=r 0E LAD,所 以 E 为。的 中 点.BC V17J I*-,smABAC 272 3734在 口/3。中，由 正 弦 定 理 得 3,解 得 8.,i7=AB2+9-6-A B-在 口 4 5。中，由 余 弦 定 理 8C=4 8?+4。2-2 4 3 4 C-COS/8 Z C,可 得 3,得 力 B=4.1 1,万 5人=/6 Z C-s in N 6/C=x 3 x 4 x-=4 0所 以 2 2 3VD-A B C=I-SA B C-A D-x 4/2 xAD=AD=-0 0 0O HAD因 为 3 3 3,所 以 4.连 接,又 0 5 A D,所 以 四 边 形 为 平 行 四 边 形,EA=OO.=AD=2 8,所 以 R=d（）O；+AO；所 以 该 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 S=4T T R2=4兀 心=20 兀 故 答 案 为：207t.【点 睛】本 题 考 查 三 棱 锥 的 外 接 球，及 球 的 表 面 积 计 算 公 式，解 决 问 题 的 关 键 在 于 利 用 线 面 关 系 求 得 外 接 球 的 球 心 和 球 半 径，属 于 中 档 题.四、解 答 题 15.（2020 四 川 成 都 市 高 三 其 他 模 拟（理）如 图，在 直 四 棱 柱（侧 棱 垂 直 于 底 面 的 棱 柱）“8 8-4 陷.中，底 面/8 8 是 菱 形，且 Afl=_2 A A=1 p 是 凌 4 的 中 点，E C=6（1）求 证：D】E 上 平 面 E D C；（2）求 二 面 角。一 0-8 的 大 小.71【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）3.【分 析】（1）由 勾 股 定 理 可 得 8,得 出。，平 面 4,再 通 过 和 O f E。即 可 得 证；（2）以 点。为 坐 标 原 点，以 0 4，所 在 直 线 分 别 为 入 z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 向 量 法 可 求 出.【详 解】解：（1）因 为 点 E 是 4 4 的 中 点，所 以/E=l,又 为 0=1,故 在 E/OENO中，D E=g由 题 可 知，EC=E D C=1 则。2+。炉=。2,所 以 D E 1 C D因 为 四 棱 柱 8 4 4 G A 是 直 四 棱 柱，故 CO _L 平 面”D D/i,Q E Q U 平 面 A D D/i.故 CQ J.E Q,因 为 E D=O,E D i=D D=2 所 以 E L E D又 C D C E D=D,所 以 J平 面 EC。；由 可 知，两 两 相 垂 直,故 以 点 力 为 坐 标 原 点，以 DA,DC,DD I所 在 直 线 分 别 为 x,y,z轴 建 立 空 间 宜 角 坐 标 系,。（0,0,2）,（l,0,l）,C（0,l,0）,5,（1,1,2）所 以 西=（T，O，1），反=（T，1，-1），函=（0,1）设 平 面 的 法 向 量 为=（/）,n*=0 f-x+z=0则 n-EC=0-x-y-z 0令 x=L 则=（L 2,1）设 平 面 BE C的 法 向 量 为=（。也 c）,ihEBx=0 fb+c=O mii in,EC 0 ci+b c=0令 6=1,则 胴=（21，T）,_ m-n i71因 为 二 面 角 为 锐 角,则 二 面 角 的 大 小 为 3.【点 睛】利 用 法 向 量 求 解 空 间 角 的 关 键 在 于“四 破”：第 一，破“建 系 关”，构 建 恰 当 的 空 间 直 角 坐 标 系；第 二，破“求 坐 标 关”，准 确 求 解 相 关 点 的 坐 标；第 三，破“求 法 向 量 关”，求 出 平 面 的 法 向 量：第 四，破“应 用 公 式 关”.16.（2020 贵 州 安 顺 市 高 三 其 他 模 拟（理）如 图，底 边 是 边 长 为 3 的 正 方 形，平 面 ADEF 平 面 ABCD,AF/IDE,AD 1 DE,AF=2瓜 DE=3 6（1）求 证：平 面 力 C E，平 面 3皮）；A M（2）在 线 段 上 是 否 存 在 点 使 得 二 面 角 用 一 B E-0 的 大 小 为 60?若 存 在，求 出 A F 的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.A M _ 1【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）存 在；4 F 4.【分 析】（1）利 用 面 面 垂 直 的 性 质 和 线 面 垂 直 的 判 定 定 理，可 证 明；（2）以。为 坐 标 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系。一 孙 z 设“（3,0）,求 出 二 面 角 M 夹 角 的 余 弦 值，构 造 的 等 式，求 解,即 可 求 出 比 例 关 系.【详 解】解：（1）因 为 平 面 力 OEFJ平 面 N8C。，平 面 平 面 48cZ）=D,D E u 平 面 4 D E F,D E V A D,所 以 Z）E_L平 面 Z8CO,因 为 u 平 面 W 所 以。EJ.4C,又 四 边 形 N8C。是 正 方 形，所 以 4CJ_8D,因 为 D E c B D=D,Q E u 平 面 37）,B D u 平 面 B E D,所 以 NC 1平 面又 Z C u 平 面 NCE,所 以 平 面 A C E 1平 面 BED；（2）因 为 0 4 Q C,D E两 两 垂 直，所 以 以。为 坐 标 原 点，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系。一 盯 z.则，（3,。,。）,尸（3,。,2后）妆。,。,3灼，昭 3,。）,。（。3。），假 设 在 线 段 小 上 存 在 符 合 条 件 的 点 M M（3,0,f）o/276 8=（0，-3,。,即=6 3，一 3,3）C4=（3,-3,0）设 平 面 M B E的 法 向 量 为=（X，z）,m B M=-3 y+E z=0则 ffi BE=-3 x-3y+3 a z=0令 k f,得 L=B C T Z3）,由（1）知 C4,平 面 BED,所 以 C 4是 平 面 B E D的 一 个 法 向 量,M 伍,孙 卜 唱=S|=cos60。M；1 刚 司 3国 豌 一）+入 9 2L/_ 5指 整 理 得 2 6而+15=,解 得 2 或 2（舍 去），AM _ 1故 在 线 段 N R上 存 在 点 加，使 得 二 面 角 M-BE-。的 大 小 为 60,此 时/4.【点 睛】本 题 考 查 面 面 垂 直 的 性 质 和 证 明 面 面 垂 直，考 查 已 知 二 面 角 的 大 小 求 参 数，属 于 中 档 题.方 法 点 睛：（1）由 面 面 垂 直 的 性 质 可 得 到 线 面 垂 直；（2）由 线 面 垂 直，得 出 线 线 垂 直；（3）再 找 一 组 线 线 垂 直，即 可 得 到 线 面 垂 直；（4）由 线 在 面 内，可 得 到 面 面 垂 直.17.（2020 全 国 高 三 其 他 模 拟）如 图，在 四 棱 锥 S-NBCC中，底 面 N6C。为 矩 形，口 S 4 O 为 等 腰 直 角 三 角 形，SA=SD=2s/2,AB=2,尸 是 8 C 的 中 点，二 面 角 S ND 8 的 大 小 等 于 工。.（1）在 工。上 是 否 存 在 点 E,使 得 平 面 SE _L平 面 N 8 C D,若 存 在，求 出 点 E 的 位 置；若 不 存 在，请 说 明 理 由.（2）求 直 线 与 平 面 S8C 所 成 角 的 正 弦 值.也【答 案】（1）在 线 段 上 存 在 点 E 满 足 题 意，E 为 的 中 点；（2）4.【分 析】（1）取 中 点 E,可 证 得 线 面 垂 直 后 可 得 面 面 垂 直