2023年高考数学一轮复习（艺考）第04讲 随机事件、频率与概率(高频考点）（解析版）.pdf

第 04讲 随 机 事 件、频率与概率（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析题型一：随机事件题型二：随机事件之间关系的判断题型三：随机事件的频率与概率题型四：互斥事件与对立事件及其概率第一部分：知 识 点 精 准 记 忆知识点一：概率与频率一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小，即事件z发生的频率 会逐渐稳定于事件发生的概率0（“）.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率（/）来估计概率p知识点二：事件的运算定义符号表示图示事 件/与 事 件8至少一文档来源网络仅供参考侵权删除知识点三：事件的关系并事件个发生，称这个事件为事 件/与 事 件6的并事件（或和事件）Z U 8或者N+8n交事件事件力与事件8同时发生，称这个事件为事件工与事件8的交事件（或积事件）“0 8或者A BGJDn文档来源网络仅供参考侵权删除定义符号表示图示包含关系一般地，若事件”发生，则事件8一定发生，称事件8包含事件A（或事件N包含于事件B）8 =4（或N =8）互斥事件一般地，如果事件与事件8不能同时发生，也就是说4 n B是一个不可能事件，即“n8=0,则称事件Z与事件3互斥（或互不相容）/n 8=00 eQ对立事件一般地，如果事件/和事件6在任何一次试验中有且仅有一个发生，即ZU8=Q,且an”。，那么称事件Z与事件B互为对立，事件”的对立事件记为NNU8=Q,且 3=0.第二部分：典 型 例 题 剖 析题型一：随机事件典型例题例 题1.（20 22 甘肃张家川回族自治县第二高级中学高一期末）下列说法正确的是（）A.某事件发生的频率为（=1B.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的【答案】B【详解】解：对于A,事 件 发 生 的 频 率 为 故A错误；对于B,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,故B正确；对于C,小概率事件是指发生可能性极小的事件，是可能发生的，并不是不可能发生的事件，大概率事件就是发生可能性很大的事件，也可能不发生，并不是必然要发生的事件，故C错误；对于D,概率是稳定值，是频率的理想值，并不会随着频率变化而变化，故与试验次数无关，故D错误.故选：B.文档来源网络仅供参考侵权删除例题2.（20 22 浙江三门启超中学高二阶段练习）下面四个选项中，是随机现象的是（）A.守株待兔 B.水中捞月 C.流水不腐 D.户枢不蠹【答案】A【详解】A为随机现象，B为不可能现象，C D 为必然现象.故选：A例 题 3.（20 22 陕西渭南 高一期末）下列事件中，是随机事件的是（）经过有交通信号灯的路口，刚好是红灯；投掷2 颗质地均匀的骰子，点数之和为1 4；抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；1 3 个人中至少有2 个人的生日在同一个月.A.B.C.D.【答案】A【详解】解：由题可知，可能发生，也可能不发生，是随机事件；对于，骰子最大的点数为6,2 颗骰子的点数之和不可能为1 4,故是不可能事件；对于，每年有1 2个月，1 3个人中至少有2 个人的生I I 在同一个月，故是必然事件.故选：A.例题4.（20 22 黑龙江 海林市朝鲜族中学高二阶段练习）以下事件是随机事件的是（）A.标准大气压下，水加热到1 0 0 ,必会沸腾 B.走到十字路口，遇到红灯C.长和宽分别为“力的矩形，其面积为浦 D.实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【详解】解：A.标准大气压下，水加热到1 0 0 冤必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B.走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C.长和宽分别为0 力的矩形，其面积为而是必然事件；故本选项不符合题意；D.实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件.故本选项不符合题意.故选：B.文档来源网络仅供参考侵权删除例 题 5.(20 22 全 国 高一单元测 试)甲、乙两名飞行员进行飞机着陆训练，A表示事件“甲降落至指定地点”，8 表 示“乙降落至指定地点”.试用A ,8的运算表示下列随机事件：(1)甲或乙降落至指定地点；(2)甲和乙都降落至指定地点；(3)甲降落至指定地点，但乙没有降落至指定地点；(4)甲、乙两人都没有降落至指定地点；(5)甲、乙至少有一人降落至指定地点.【答案】Z =84 8(3)月 耳(4)AB网口(私(工)(1)解：甲或乙降落至指定地点即事件A或事件B发生，故可表示为力U 8.(2)解：甲和乙都降落至指定地点即事件A ,8同时发生，故可表示为A 8.(3)解：中降落至指定地点，但乙没有降落至指定地点即事件A发生，事件5 不发生，故可表示为N 耳.(4)解：甲、乙两人都没有降落至指定地点即事件A ,8同时不发生，故可衣为彳瓦(5)解：甲,乙至少有一人降落至指定地点即事件A不发生，事件B发生或事件A发生，事件B不发生或事件A,3 同时发生，故可表示为(孙。(阿 3期同类题型归类练1.(20 22湖北武昌首义学院附属高级中学高二阶段练习)已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3 个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是()A.事件 都是红色球”是随机事件B.事件 都是白色球 是不可能事件C.事件“至少有一个白色球 是必然事件D.事件 有3 个红色球和1 个白色球 是随机事件文档来源网络仅供参考侵权删除【答案】C【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的4 个红色、3 个白色的乒乓球，所以从中任取4 个球共有：3白 1 红，2 白 2 红，1 白3 红，4 红四种情况.故事件 都是红色球”是随机事件，故A 正确；事件 都是白色球 是不可能事件，故 B 正确；事件 至少有一个白色球是随机事件，故 C 错误；事件 有3 个红色球和1 个白色球”是随机事件，故 D 正确.故选：C2.（2022广东佛山市超盈实验中学高二阶段练习）下列事件中，是随机事件的是（）A.守株待兔 B.瓮中捉鳖 C.水中捞月 D.水滴石穿【答案】A【详解】守株待兔是随机事件，故 A 选项正确；瓮中捉鳖是必然事件，故 B 选项错误；水中捞月是不可能事件，故 C 选项错误；水滴石穿是必然事件，故 D 选项错误；故选：A.3.（2022 全国高一课时练习）下列事件属于随机事件的是（）y=iogi xA.函数 2在定义域内为增函数B.马龙和张继科打乒乓球，马龙胜利C.998名学生中至少有3 名学生的生日相同D.在标准大气压下，河流在2CTC时结冰【答案】BJ =log（x【详解】对于A,函数 2应为单调减函数，说法不正确，故为不可能事件；对 于 B,可能马龙胜利也可能张继科打胜利，故为随机事件；对于C,998大于365的两倍，说法正确，故为必然事件；文档来源网络仅供参考侵权删除对于D,说法不正确，故为不可能事件.故选：B.4.（2 0 2 2 陕西 宝鸡市渭滨区教研室高一期末）有下列事件：篮球运动员罚球命中；在自然数集中任取一个数为质数；在标准大气压下，水在1 0 0 汽时沸腾；任意两个偶函数之和在公共定义域上必为偶函数.上述事件中为随机事件的有（）A.0个 B.1 个 C.2 个 D.3个【答案】C【详解】篮球运动员罚球命中,是随机事件；在自然数集中任取一个数可能为质数，也可能不是质数，故属于随机事件；在标准大气压下，水在1 0 0 T时一定沸腾，是必然现象，故为必然事件：设/（x）,g（x）为偶函数，它们的公共定义域为集合当xeM时，-xSM ,则/（一幻+8（-X）=/。）+8（），即任意两个偶函数之和在公共定义域上必为偶函数，为必然事件，故随机事件有2个，故选：C5.（2 0 2 2 全国高一专题练习）下列事件中，随机事件的个数为（）三角形内角和为1 8 0；三角形中大边对大角，大角对大边；三角形中两个内角和小于9 0。；三角形中任意两边的和大于第三边A.1 个 B.2 个 C.3个 D.4个【答案】A【详解】三角形内角和为1 8 0 是必然事件，三角形中大边对大角，大角对大边是必然事件，三角形中两个内角和可能小于9 0,可能等于9 0。，可能大于9 0。，是随机事件，三角形中任意两边的和大于第三边是必然事件，所以随机事件的个数为1,文档来源网络仅供参考侵权删除故选：A.题型二：随机事件之间关系的判断典型例题例 题 1.（2 0 2 2 全国高一期末）抛掷3 枚质地均匀的硬币，记事件4=至 少 1 枚正面朝上,8 =至多 2 枚正面朝上,事 件 C=没有硬币正面朝上,则下列正确的是（）A.C =AyB B.C =A ）BC.C =/D.Cu8【答案】D【详解】记事件。=1 枚硬币正面朝上 ,=2枚硬币正面朝匕 ,尸=3枚硬币正面朝上,则N=Z）U E U F,8 =C U E,显然Cr/P I B,C#/U 8,C =8,c不含于力.故选：D例题2.（2 0 2 2 贵州遵义高一期末）若事件A与 8相互独立，且 ）=3,=2,贝 1 P（U 8）=（）1111A.1 2 B.6 c.3 D.2【答案】D【详解】P（A）=-P 二事件A与 8相互独立，且 3,4,P（4U B）=P（4）+P（B）_ P（4 B）=；+：_；x：=；故选：D.例 题 3.（多选）（2 0 2 2 安徽芜湖 高一期末）从 5 个女生和4 个男生中任选两个人参加某项活动，有如下随机事件：4=至少有一个是女生”，B=至少有一个男生，C=，恰有一个男生，。=“两个都是女生，E=恰有一个女生”.下列结论正确的有（）文档来源网络仅供参考侵权删除A.C =E B.A=BC.D o E 0 D.【答案】A D【详解】对于A,事件C E 均为：选出的两个人是1 个男生和1 个女生，则C =E,A正确；对于B,事件A ：选出的两个人是1 个男生和1 个女生或者2 个女生，事件8：选出的两个人是1 个男生和1 个女生或者2 个男生，则 4*8,B错误；对于c,事件a包含的样本点都不相同，则 n E=0,c错误；对于D,事件瓦。包含的样本点都不相同，则8no=0；事件8：”选出的两个人是1 个男生和1 个女生或者2 个男生；事件。：“选出的两个人是2 个女生。则8U。包含了样本空间中所有的样本点，,.8 UQ =C,D正确.故选：A D.例题4.（2 0 2 2 浙江三门启超中学高二阶段练习）已知，（）=5,。=0 6,尸 仆 8）=0.9,则P（A c B）=【答案】0.2【详解】因为P（U 8）=尸 +尸 -尸 的，所以（Z c 8）=尸（4）+尸（8）-尸（4uB）=0.5 +0.6-0.9 =0.2故答案为：0.2.例题5.（2 0 2 2 全国高二课时练习）在掷骰子试验中，由向上的点数可以定义事件：出现点数1 ,6 =出现点数3 或 4 ,0=出现的点数是奇数,出现的点数是偶数.（1）说明以上4 个事件的关系；求 “n c,B c D ,C c O,A u B ,B u C,C u D.【答案】答案见解析；（2）答案见解析.文档来源网络仅供参考侵权删除在掷骰子的试验中，向上出现的点数有1、2、3、4、5、6共6个可能的结果，记作4=出现点数i（其中i=l,2,6）.则 4=4 B A4 C=At AJ AS。=4 4 u 4事 件/与 事 件8互斥，但不对立；事件A包含于事件C；事 件/与。互斥，但不对立；事件8与。不是互斥事件；事件8与。也不是互斥事件；事件C与。是互斥事件，也是对立事件.（2）C C =4=出现点数0,8 c o =4,=出现点数的，C n）=0 ,=4=4 =4=出现点数1或3或4,8 =4 U 4。4 =出现点数1或3或4或5,CuD=At 2【答案】A C7产（%+5）=PQ）+P（8）=【详解】若 4 8为互斥事件，1 2,所以选项A正确:7 7-P(A+B)=P(4)+P(B)_ P(A C l 5)=-P(A P l 8)尸（8）=尸（”），所以选项c正确;若/,8为相互独立事件,P(.8)=P(N).P(8)=(l-；)x；=6,所以选项D不正确,故选：A C例 题 5.（2 0 2 2 江 苏 南京市第一中学高二阶段练习）为庆祝建校1 1 5 周年，某校举行了校史知识竞赛.在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3 道选择题、2道填空题中随机抽取2 道题作答.已知甲每道又行i米 源 网 络 仅 供 笏 苦 侵 权 州 除!_ 2题答对的概率为万，乙每道题答对的概率为3,且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响.(1)求甲恰好抽到1 道填空题的概率；(2)求甲比乙恰好多答对1 道题的概率.3【答案】(2)6【详解】(1)记 3 道选择题的题号为1,2,3,2 道填空题的题号为4,5,则试验的样本空间C =(L2),(L3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共 有 1 0 个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型，P(A)=-=-记事件4=甲恰好抽到1 道填空题，则 =3 x 2 =6,故“1 0 5,3因此甲恰好抽到1 道填空题的概率为M(2)设事件4,4 分别表示甲答对1 道题，2道题，事件B。,凡分别表示乙答对0道题，1 道题，P(A)=X +X =P(A-)=x =根据事件的独立性得 2 2 2 2 2,-2 2 4,P(B)=-x l =i P(B)=-x-+-x-=-3 3 9,33339,记事件8=甲比乙恰好多答对1 道题，则8=44,1 1 48。，且 4 线，4 4 两两互斥，4 与综，4 与用分别相互独立，所以 P(A、B。)=P P(B)=1 x l =l P(4A)=P(4)P(4)=(X =gP(B)=P(AiBa)+P(,B,)=+-=-所以 1 8 9 6,2故甲比乙恰好多答对1 道题的概率为7.同类题型归类练1.(2 0 2 2 山东梁山县第一中学高二阶段练习)一个人打靶时连续射击三次，与事件 至多有两次中靶 互文档来源网络仅供参考侵权删除斥的事件是（）A.至少有两次中靶 B.三次都不中靶C.只有一次中靶 D.三次都中靶【答案】D【详解】由题意可知一个人打靶时连续射击三次，事件 至多有两次中靶 与 三次都中靶 不可能同时发生，所以事件 至多有两次中靶 的互斥事件为“三次都中靶，故选：D2.（2022陕西渭南高一期末）把红、黄、蓝、绿4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件 甲分得蓝牌 与 丁分得蓝牌（）A.是对立事件 B.是不可能事件C.不是互斥事件 D.是互斥但不对立事件【答案】D【详解】对立事件是非此即彼，甲、乙、丙、丁都可能分得蓝牌，故 甲分得蓝牌”与 丁分得蓝牌”是互斥但不对立事件，故选：D3.（2022江西九江市同文中学高二期中）围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为二，从中取出2粒都是白子的概率是7.那么从中任意取出2粒不是同一色的概率是（）223A.5 B.7 C.35 D.35【答案】D【详解】设 从中取出2粒都是黑子 为事件4 从中取出2粒都是白子”为事件B,则事件Z与B互斥.从中取出2粒不是同一色”为事件C,则C与A+B对立，P（C）=l-P U）+P（B）=l-f l +i l =1 j所以 17 5）35；文档来源网络仅供参考侵权删除23即 从中取出2 粒不是同一色”的概率为圣.故选：D4.（多选）（2022湖北宜昌高二期中）中国篮球职业联塞（CBA）中，某男篮球运动是在最近几次比赛中的得分情况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数没投中1005518m记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件4投中三分球为事件8,没投中为事件C,用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（）A P（/）=0.55 B P（/+B）=0.73c尸（0 =0.27D 尸（8+0 =0.55【答案】ABC【详解】由题意可知，加=100-55-18=27,P（/4）=0.55 P（5）=0.18v 100,v,100,事件4+8 与事件C 为对立事件，且事件A,B,C 互斥,所以尸（C）=1-P（N+B）=1-尸（-尸（为=0.27P（/4+B）=P（/1）+P（5）=0.73P（8+C）=P（8）+P（C）=0.45故选：ABC.5.（2022 浙江玉环市玉城中学高二阶段练习）某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过“、B、C三2 3道工序加工而成的，4、B、C 三道工序加工的元件合格率分别为5、3,4.已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场.生产一个元件，分别求该元件为一等品和二等品的概率：若从该工厂生产的这种元件中任意取出3 个元件进行检测，求至少有2 个元件是一等品的概率.文档来源网络仅供参考侵权删除_L 11【答案】(1)W；24.5(2百(1)R=x x=该元件为一等品的概率为 2344该元件为二等品的概率为P7=lx2x(1.3 2 3 2x32 2 3 4 2 3 4 2 3 41 1一+一12 811241十 一=4(2)由（1）得，元件为一等品的概率为a1=一则元件不为一等品的概率为 4 4那么3 个元件中至少有2 个元件是-等品的概率为尸=（：）y m532文档来源网络仅供参考侵权删除文档来源网络仅供参考侵权删除