2023年高考数学真题重组卷（参考答案）.pdf

冲 刺2023年高考数学真题重组卷01新高考地区专用(参考答案)一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题123456789101112DACDCACCABDBCACDBC目要求的。1.D【解析】利用补集的定义可得正确的选项.【详解】由补集定义可知：，,A=x|-3 x 4-2 或l x /3 x 3 x|=-y,Vl F D_B H C=i x 3 7 3 x|x 3 x =-Q i 9 7则该几何体的体积为v=2 匕FLC-VBCDA=2x-y=2 7.故选：D.5.C【解析】将 4个 1 和 2个 0随机排成一行，可利用插空法，4个 1 产生5个空，若 2个 0相邻，则有C；=5 种排法，若 2个 0不相邻，则有C；=1 0 种排法，1 0 2所以2 个 0不相邻的概率为支故选：C.6.A【解析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假.jO-TT【详解】因为/(x)=；s i n 2 x,所以/*)的最小正周期为7=兀，不正确；令f =2 x e ,而 y =g s i n/在 一 上 递 增，所 以/在 上 单 调 递 增，正确；因为t=2xe-y,-,s i n /e 一 4 ，所以 x)e 一弓，不正确；由于g(x)=g s i n(2 x+a =g s i n 2 卜+1)，所以/的图象可由g(x)=；s i n(2 x +,的图象向右平移5个单位长度得到，不正确.故选：A.7.C【解析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】；球的体积为3 6 万，所以球的半径R =3,方法一:导数法设正四棱锥的底面边长为2a,高为，则尸=2 a2+h2,32=2a2 4-(3 /z)2,所以 6/Z=/2,2a2=I2-h21 1 2 4 产 、所以正四棱锥的体积/4-,3 3 3 36 o 9 3o J所以s*-讣式?当3 W”2时，丫0,当 2后/436 时，V0,所以当/=2时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为半，2721又/=3时，V =,/=3百 时，V =,44所以正四棱锥的体积V的最小值为2一7，所以该正四棱锥体积的取值范围是 V V-故选：C.方法二:基本不等式法L-13由方法一故所以V =g 2/?=g(6 0一 2)/?=g(12-2)x/z g x 2?+力+=程(当且仅当力=4取到),当丸 时，得a聋则人=W啮24 =%当/=3 6时，球心在正四棱锥高线上，此时=；+3 =：,叫 芈 父:芈，正四棱锥体积乂二 二 二 野 乂2曰 _ l),因为/(x)=-1=-,1 +x 1 +x当x e(-l,O)时,f(x)0,当x e(0,+8)时(x)0,所以函数f(x)=ln(l+x)-x在(0,+co)单调递减，在(-1,0)上单调递增，所以，(：)/(。)=0,所以I n与 /l n与=-ln0.9,即8c,1Q 1 0-1 -L 1所以/(一记)v f(O)=O,所以I n而+而 0,故 言 院。，所 以 渭。苫,故 Q。，设 g(x)=x e*+ln(l-x)(0 x 1),则 g，(x)=(x+1)e*+”，x-x-令 h(x)=e(x2-l)+l,h(x)=e(x2+2 x-l),当0 x夜-1 时,h(x)0,函数(x)=e，(x 2 一 1)+1 单调递减，当血-1。0,函数版x)=e，-i)+i单调递增，又(0)=0,所以当0 x血-1时，心)0,所以当0 大。，函数g(x)=x e，+ln(l-x)单调递增，所以 g(0.1)g(0)=0,即0.1 e -I n0.9,所以故选：C.方法二：比较法解：a =OAe0 ,b =,c=-ln(l-0.1),1 0.1 I n -I n/?=0.14-ln(l-0.1),令/(x)=x 4-ln(l-x),x e(0,0.1,1 -V贝ij r u)=i-=-o,l-x 1-x故/(x)在(0,0.1上单调递减，可得/(0.1)/(0)=0,即 lna ln6 o,所以 a b；a-c=0.1e 0+ln(l-0.1),令 g(x)=xe+ln(l-x),x e(0,0.1 1,贝ij g x)=xex+ex一 一L =。+力T,)l-x 1-x令 k(x)=(l +x)(l-x)e-l,所以 0,所 以k(x)在(0,0.11上单调递增，可 得&(x)&(0)0,即g，(X)0,所 以g(x)在(0,0.1上单调递增，可 得g(0.1)g(0)=0,即a-c 0,所 以a c.故 c a 2-冲=1可变形为，（x+y）2-l=3盯4 3（昼J,解得-24x+y 42,当且仅当x =y=-l时，x+y =-2,当且仅当=丫=1时，x+y=2,所以A错误，B正确；-2由/+y2一g,=1可变形为（/+/）1 =外 工 号 匕，解得f+y 2 42,当且仅当x=y =l时取等号，所以C正确；因为 f+）3 一个=1 变形可得 一.）+?y 2=,设X一 _1.=8 5 6,二）,=s i n6 ,所以1 2 2 2 2 5 2 2 1 1 1x =cos0+f=s i n0,y=T=s i n9,因 止 匕x +y=cos，6 +-s i n 6 +7=s i n6 cos 8 =l+-7=s i n2 6 cos 2 6 +一6 6 3 G G 3 3=i +|s i nf20-e I，2 ,所以当=必,=且时满足等式，但是-+2 W 1不成立，所以口错误.3 3 1 6八3 33故选：B C.1 1.ACD【解析】由恒用=卜历|及抛物线方程求得A（子,字），再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得8（圣-率），即可求出|。即判断B选项；由抛物线的定义求出|A 8|=*即可判断C选项；由。4-O 8 0，MA MB 2 p =4 OF,c正确;则N A08为钝角,对 于 4小午阴夕冬哼孕冬卜季卜邛。又 Z A O B +N A M B +Z O A M +N O B M =3 6 0，则 Z O A M +N O B M 1 3 r i 3即（5 54）2 （3）+2 2,解得即；r 1 3故答案为：15.（0,1）【分析】结合导数的几何意义可得*+=0,结合直线方程及两点间距离公式可得1AMi=Jl+e2K.,怛N|=J l+*2.冈,化简即可得解.【详解】由题意，（力=,一1卜,_ 1 x 0 则/）=ax,x 0所以点 A（x,l-e&）和点 B（孙 e&-1）,kAM=Y,kBN=*所以一。“,A 2=-1,X）+x2=0,所以 AM:y-l+e=-e（0,炉内-e*+1）,所以 AM=Jl+/|x1|,同理忸N|=J1+/Q .冈,+丹 同|AM|五三区所 以 网 一 厂=ex,e（O,l）.故答案为：（0,1）【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件占+%=0,消去一个变量后，运算即可得解.2 216.13【解析】利用离心率得到椭圆的方程为二+当=1,即+4y2 7 2 c 2=0,根据离心率得到直线和的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线O E的斜率，写出直线E的方程：x=y-c,代入椭圆方程1 a1 a3+4/-1 2?=0,整理化简得到：13丁-6 6-9。2=0,利用弦长公式求得c=?,得a=2c=9,根据对8 4称性将V 49E的 周 长 转 化 为 的 周 长，利用椭圆的定义得到周长为4a=13.c|【详解】椭圆的离心率为厂底.=2c,=3/,.椭圆的方程为厂J 1即3x2+4y2 7 2 c 2=0,不妨设左焦点为，右焦点为鸟，如图所示,7 TAF2=a,OF2=C,a=2 c,二NA外。=2,丹巴为正三角形，.过f；且垂直于4工的直线与C交于。,E两点，O E为线段A E的垂直平分线，.直线。E的斜率为迫，斜率倒数为6，直线。E的方程：3x=y3y-cf代入椭圆方程次2+4），2-12?=0,整理化简得到：1 3/-6 -9 =0,判别式 =(6/ic)+4xl3x9c2=62 x16x(?2,=2x-=2x6x4x =6,13 13.Q 同=13 相 0 1 3 c =,a=2c=8 4,。石为线段人工的垂直平分线，根据对称性，A D =DF2,A E=&.VADE的周长等于鸟。七的周长,利用椭圆的定义得到工/)周长为DF2+EF2|+|D|=|DF21+|EF21+|。用+|E耳|=|O用+|DF2|+|E用+|E可=2a+2a=4a=13.故答案为：13.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)为=也 士D；(2)见解析【解析】(1)利用等差数列的通项公式求得鼠=1+;(-1)=手，得到S 史也，利 用 和 与 项 的 关 系 得 到 当 时，。“=5“-5“=(+2)%-(+1)%进而得:2=答,3-33 的T利用累乘法求得为=岑D,检验对于=1也成立，得到%的通项公式。“=岑D；(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到，+，+=2|1 一1,进而证得.【详解】(1)；4=1,=4=1,.1=1,a又 1 2)是公差为1的等差数列，.3 =1 +(-1)=3.S 一 5 +2”“31)3 可-3.当2 2时，S(+l”T,3 (+2”“(+1)的3整理得：(-1)4=(+1)4 1，.3分.an=%x -x x.x-x-%出 *%,34 n n+(72 +1)=l x X X.X-X-=-,1 2 n 2 n-2显然对于=1也成立，.4 的通项公式a.=*D;.6分18.(I)B=g(II)(母“【解析】(D方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角3 L 2.函数值即可确定角B的大小；(I I)方法二：结合(I)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cosA+cosB+cosC的取值范围.【详解】（I）方法一:余弦定理，即 1 -COS2 A=4从由 2bsin A=G a ,得sin?A=结合余弦定cos A=b+2b cA 1-b2+c2-a22b c、23a2即 4b2c2-b4-c4-a4-2b2c2+2b2a2+2 cV =3a2c2,即/+/+。4 +a2c2_2 a汨 2b2c2=0，即 aA+b4+cA+2。2c2 2a2b2-2b2c2=a2c2,即+c2-b2y=（。）2,J 3。为锐角三角形，/+02一0，（a2-+c2 -bi 2=a c，又8为,/W C的一个内角，故B=.6分 方法二【最优解】：正弦定理边化角由 2bsin4=6”，结合正弦定理可得：2sin8sinA=J5sin A,:.sinB=2 J TABC为锐角三角形，故B=.（II）方法一:余弦定理基本不等式I T因为8=2,并利用余弦定理整理得b 2=/+c 2 如，即 3a c =（a +c）2-b.结合好（等,得誓42.由临界状态（不妨取4=g）可 知 牛=6.2b而.ABC为锐角三角形，所 以 牛 6.b由余弦定理得cos A+cos B+cos C =十 +2h c 2 2a b故cos A+cos 3+cos C 的取值范围是省+1 32,212分 方法二【最优解】：恒等变换三角函数性质结合（I）的结论有:cos A+cos B+cos C=cos A+cos2=c osA cos A+2 2sin 4+=sin A+cos A+一0 -7 T-A 0),因为 M 为 8 c 的中点，则 0 3 =44产+1，AM=y/t2+l -由 SMB=gD4A8=g 8-A N 得f=g 府力|,解得产=!,所以 BC=2f=&.6 分(2)方法一【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面F4M 的法向量为帆=G，y,z J,则 A“=一号,1,0,AP=(-72,0,1),7夜由 “八 一 丁 4广。，取 疗 心 可 得 吁(国2),八 AP=一&玉+Zj=0设平面尸3 M 的法向量为”=(多必,Z2)，B M=-4,0,0 ,=【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁,为最优解：方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.72 0.（1）0.4；（2）二；（3）丙【解析】（1）由频率估计概率即可（2）求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.（3）计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【详解】（1）由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,故答案为0.4.3分（2）设甲获得优秀为事件4,乙 获 得 优 秀 为 事 件 丙 获 得 优 秀 为 事 件 小-3P（X=0）=P（A&A 3）=0.6X0.5*0.5 =右，p（x=1）=P（A4A）+P（4 4 4）+P（N 4 4）Q=0.4 x 0.5 x 0.5 +0.6 x 0.5 x 0.5 +0.6 x 0.5 x 0.5 =,20P（X=2）=P（A4 A）+P（444）+P（M A）7=0.4 x 0.5 x 0.5 +0.4 x 0.5 x 0.5 +0.6 x 0.5 x 0.5 =,20P(X=3)=P(A A,)=O.4XO.5XO.5 =.；.X 的分布列为3 8 7 7 7E(X)=0 x-n i x-F 2 x-F 3 x =一20 20 20 20 5X0123P3208207202209分（3）丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85 的概率为:，甲获得9.8。的 概 率 为 乙获得9.78的概率为2.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.126分21.(1)x2-=l(x l)；(2)0.【解析】(1)利用双曲线的定义可知轨迹C是以点耳、行为左、右焦点16双曲线的右支，求出、b的值，即可得出轨迹C的方程：(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得勺+七的值.【详解】因为闾=2 恒 段=2j 万，所以，轨迹C是以点片、入为左、右焦点的双曲线的右支，2 2设轨迹 C 的方程为=一 =1(4 0,0),则 2Q=2,可得 a =l,3 =J 17-=4，a-b2所以，轨迹C的 方 程 为 啧=1(x 21).4分(2)方法一【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设T(g,)，设直线 A B 的方程为 y -=仁(X-g),A(X|,X),8(%,y 2)联立2x2-=116化简得(16_2：)f+(将 _2%M 比_；攵：_2+左因_ 6=0.则 k?-2k,n%2-好 _ 6 也一k：+n2-fcn+164、i故|9|=炉 评5-3,IT B|=历年-g).贝 力 L41 17B|=(1+k；)(西一：)(x,-1)=心当)(*).2 2 ki-lo设PQ的方程为y-=L(x-1),同理 17Pl|TQI=(-：1 2)(1：1).2屿-16因 为 碎 阿=阳园，所以薪=皆，1 17.17化 简 得|+好 二 而=乒 记,所以片 16=后-1 6,即以=后.因为 占 出 所以匕+&=0.方法二:参数方程法设T(g,M.设直线AB的倾斜角为4，(x=+fcosQ2 ,y 二机+lsinq联立直线方程与曲线C 的方程16x2-y2-6=0(x 2 l),可得 16(；+产 cos q+rcos)-(/n2+/2sin2 4+2/n?sin0l)-16=O,整理得(16cos2 q-sin2 q)产 +(16 c o s 2m sin 0,)t-(m2+12)=0.T A =tlyTB=t2,由根与系数的关系得I力|T8|=f f2=m 一(；二+)2/=i16cos q-sin q l-17cos设直线PQ的倾斜角为%，TP=%TQ=L，V YT+12同理可得|7。|=4。=一,2 Al-17cos由|71|ZB|=|7P|T Q|,得cos2a=cos2a.因为 4 W%，所以 COS。1 n-C O S。?.由题意分析知4+2 =.所以t a n 仇+t a n 2=0,故直线A B的斜率与直线P Q的斜率之和为0.12分 方法三:利用圆塞定理因为|74 明=|阴.|图，由圆幕定理知A,B,P,。四点共圆.设 吗 M，直线A3的方程为y T=勺(x-J,直线P Q 的方程为y T=e(x-g),则 二 次 曲 线 伏 y-+rgxy-与+f)=0.又由V-5 =1,得过4,B,P,。四点的二次曲线系方程为：2(勺-y -g+t)(k2x-y-与+f)+(x2_ _ l)=O(2w 0),整理可得：(九k、k?+ju)x2+(A-)y2-A(kt+&)孙+，(仁 +k2)ktk Ax-2t)Ay+m=0,其中机=/l t2+k2)由于A,B,P,Q 四点共圆,则孙项的系数为0,即占+%2=0.12分【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解：方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆基定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.2 2.(1)当x e(v,0)时,尸(x)0 J(x)单调递增.(2)【解析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论广。的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数”的取值范围.【详解】(1)当a =l 时，f(x)=e*+%2-x,r(x)=e*+2 x l,由于/(x)=e*+2 0,故尸(x)单调递增,注意到。(0)=0,故:当XF,0)时，/(x)0 J(x)单调递增.3 分(2)方法一【最优解】：分离参数由 2 g x，+1 得，e1+a x2 x.x3+1 ,其中 x NO,.当产0时，不等式为：1 2 1,显然成立，符合题意；.当x 0时，分离参数。得，U.-Z-X、二 e J x (*_ 2)卜_#_ _ (力二-5-，g1x)=一/2(x)=ev-x2-x-l(x 0),则”(x)=e*-x-l,h(x)=e*-1 0,故”(x)单调递增，A,(x)/i,(o)=o,故函数(x)单调递增，/2(X)/?(0)=0,由/?(x)上0可得：e 5丁 x .0恒成立，故当x e(0,2)时，/(x)0,g(x)单调递增；当X 2,M)时，g x)0,g(x)单调递减；因此，g g=了，7-e2、综上可得，实数”的取值范围是 一 ,+8 .1 2分L 4)方法二:特值探路 7 Q2当x N O时，/(幻2 5尸+1恒成立n/廊na.7 4,2 1只需证当时，/(幻之:Y+1恒成立.4 27-.27-e2当之-时,/(x)=ev+以 一 x N e*+-x2-x .447 _ 2 1只需证明ev+-V 一人之一/+(X N O)式成立.4 2z p.i f e 7)+4 x +2 x，+4式 o-L-0)，皿，(1 3 e-)x +2(e 9)x 工 2/(1 3 e )x 2(e?9)x(x 2)2 x +(e?9)人 J n(x)=-=-=-，e e*er9-e2所以当x e 0,-y-时，(x)0,力。)单调递增;当 x e (2,+o o),(x)e .+1 Q X+x(c ix+x +l)e W1,2 2 2i B(x)=(x3-a x2+x +l)e A(x 0),1 O 1 1f(x)=-(x3-d x2 4-x+l-x2+2 a r-l)e =-(2 6 f +3)x +4(7 +2 e-v=-x(x-2 t z-l)(x-2)e v,.当2 a +1 4 0 即时，g (x)=0nx=2,则当x e(0,2)时，g x)0,g(x)单调递增，又g(0)=l,所以当x e(0,2)时，g(x)l,不合题意;.若0 2 a+l 2 即-g a g 时，则当x e(0,2 a +l)5 2,+8)时，g,(x)0,g(x)单调递增,又g(O)=l,所以若满足g(x)4 1,只需g(2)4 1,即g =(7-4 )/4 1 =.三,所 以 当 二 字 4”；时，8(力4 1成立;当 2 +1 N 2 即 a 2 g 时，g (x)=(g x3-a x?+x+l)e _*4 (Jx3+x +l)e-x,又由可知 时，g(x)4 1成立，所以a =0 时，g(x)=(g x 3 +x+l)e，4 1 恒成立，所以时，满足题意.27-e2综上，a.-.1 2 分4【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！