2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第3节：函数的奇偶性与周期性（学生版）.pdf

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第 3 节 函数的奇偶性与周期性考 试 要 求1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.|知识诊断基础夯实|知识梳理1 .函数的奇偶性图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于夕轴对称的函数叫作偶函数.2.函数的周期性周期函数：对于函数y=/(x),如果存在非零常数T,对定义域内的任意一个x值，都有就把函数H x)称为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数X)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作/(x)的最小正周期.常用结论1 .(1)如果一个奇函数)在原点处有定义，即人0)有意义，那么一定有 0).(2)若加+0=?,则 T=2 a(a 0)./(X)(3)若/(x+a)=-,则 T=2 a(a 0)./(x)第1页 共13页4.对称性的三个常用结论(1)若函数y=/(x+a)是偶函数,则函数y=/(x)的图像关于直线x=a 对称.(2)若函数y=/(x+6)是奇函数，则函数少=/(x)的图像关于点(b,0)中心对称.(3)若对于 R 上的任意 x 都有火2 a x)=/(x)或y(x)=/(2 a+x)或义a+x)=/(a x),则V=/(x)的图像关于直线x=a 对称.|诊断自测1 .思考辨析(在括号内打“J”或“义”)(1)函数y=x 2 在x 6(0,+8)上是偶函数.()(2)若函数兀0 为奇函数，则一定有人0)=0.()(3)若 T 是函数的一个周期，则W 0)也是函数的周期.()0(4)若函数/(x)满足关系/(a+x)=-/(b x),则函数/(x)的图像关于点I 2 J对称.()2 .下列函数中为偶函数的是()A.j =x2sin x B.y=x2cos xC.y=|l nx|D,y=2x3 .(2 0 2 1 全国乙卷)设函数/U)=，则下列函数中为奇函数的是()1+xA 危 一1)-1 B 7(%-1)+1c y c x+i)-1 D y u+D+i4.(2 0 2 1 全国甲卷)设/(x)是定义域为R的奇函数则 E=()，且/(l+x)=/(X).若I f=；，Di第 2 页 共 1 3 页5.(易错题)设函数外)是定义在R 上的奇函数，且当x0时，./(x)=x3,则函数/(X)的解析式为.6.(2022西安质检)已知/(x)=e +是偶函数，则大的的最小值为.L考点突破题型剖析考点一函数奇偶性的判断例 1 判断下列函数的奇偶性：(l)/(x)=A/1x2+-/x21 ；(2)/(%)=x2+x,X0；(3)/(x)=log2(x+/x2+l);(W)=1g(1 一/)x22x.训 练 1 (1)(2021 百校联盟质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.y=xsin xB.y=xln xD.y=xln(/x2+1 x)(2)设函数/(x),g(x)的定义域为R,有/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正 确 的 是()Ay(x)g(x)是偶函数B.l/(x)g(x)|是奇函数C.l/(x)|g(x)是偶函数D川x|)g(x)是奇函数第3页 共1 3页考点二函数奇偶性的应用角度1求函数值2例 2（2020江苏卷改编）已知y=/（x）是奇函数，当x 0 时，/（）=三，则/（一8）的值是（）A.8 B.-8 C.4 D.-4角度2求函数解析式例 3 设/（X）为奇函数，且当x 2 0 时，/（）=寸一1,则当x，则/（2 024）等于（）A.5 B.-C.2 D.-523.设人x）是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函 数，当 引 一 1,1）时，危）=则上）=第 4 页 共 1 3 页4.已知寅x)是 R 上最小正周期为2 的周期函数，且当0 4 2 时，j(x)=xi-x,则函数y=/(x)的图像在区间0,6上与x 轴 的 交 点 个 数 为.|考点四函数性质的综合应用角度1单调性与奇偶性例 5(1)已知奇函数./(X)在 R 上是增函数,g(x)=M(x).若 a=g(log25A),b=g(208),c=g(3),则a,b,c 的大小关系为()A.abc B,cbaC.bac D.bc0时，/(x)=lnx+e.若a=/(一兀)，6=Xlog23),，=心-。2),则4,b,C的大小关系为()A.bac B.cbaC.abc D.ach(2)(2021汕头联考)已知函数/(x)是定义在R 上的偶函数，其在区间0,+8)上单调递增，且2)=0,则不等式 og2X)0的解集为.角度2奇偶性与周期性例 6(1)(2021 贵阳调研淀义在R 上的奇函数/(x)满足/(2 x)=/(x),且当一 1 Wx0时，段)=2，-1,则与og220)=()A.-B.-C.-D.-4 5 5 4(2)(2022长春模拟)已知函数兀0为定义在R 上的奇函数，且满足次一x)=A2+x),若1)=3,则%1)+/(2)+/(5 0)=.答 案(1)B(2)3第5页 共1 3页训练4(l)(2022昆明诊断)已知定义在R上的奇函数H x)满足./+4)=/(x 4),且2*+a,x0,2),X H ，4时，/尸 卜|x+6,引2,4),则川1)+N 5)=(2)(2021 成都质检)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x,小一2)=/(x+2),当 x (0,2)时，/(x)=2,则)B-44角度3 奇偶性与对称性例 7函数7 U)满足“X D为奇函数，加+1)为偶函数，则下列说法正确的是_(填序号)./(X)的周期为8；/(x)关于点(一1，0)对称；/(x)为偶函数；/(x+7)为奇函数.训练5已知定义在R上的函数./(X),对任意实数x 有加+4)=一火幻，若函数./(x一1)的图像关于直线x=l 对称，火一5)=2,则八2 0 2 1)=.角度4奇偶性 周期性 对称性、单调性的综合应用例 8已知外)的定义域为R,其函数图像关于直线=-3对称，且人x+3)=/(x-3),若当x W 0,3 时，兀0=2 8+1,则 下 列 结 论 正 确 的 是(填 序 号)./(x)为偶函数；/(x)在-6,3 上单调递减；/)关于直线x=3 对称；/(1 00)=5.第6页 共1 3页训 练6函数危)是定义域为R的奇函数，满足4)=/(x),/x-4)=火一x),且当 x0,2时,/(x)=2x+logN，则/(80),/(25),/(11)的大小关系为.微 点 突 破/抽象函数我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特殊的性质称为抽象函数,一般用少=加)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图像集于一身，是考查函数的良好载体.例1若函数人2，)的定义域是-1,1 ,则mogM)的定义域为.例2已知函数/(X)对任意正实数a,b,都有/(而)=/(a)+/(b)成立.(1)求/(I)，/(1)的值；求证：y u=A%)；(3)若人2)=p,R3)=qp,q均为常数)，求火36)的值.第7页 共1 3页例 3函数犬X)的定义域为。=x|x W O ,且满足对于任意X I,X 2 D,有兀C X 2)=/(X|)+/(X 2).(1)求/(I)的值;(2)判断7(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果火4)=1,段-1)2,且兀0在(0,+8)上单调递增，求X的取值范围.第8页 共1 3页拓 展 视 野/函数性质中的二级结论函数这一章，常见的二级结论比较多，如果我们能够灵活地运用这些结论解决数学问题，可优化数学运算的过程，提高解题速度和准确性.一 奇函数的最值性质已知函数X x)是定义在区间。上的奇函数，则对任意的XG。，都有/U)十八一X)=0.特别地，若奇函数/(X)在。上有最值，则/(X)m a x+/(X)m i n =0,且 若 0 6。，则,/(0)=0,(x+1)2+s i n x例 1设函数/(x)=二的 最 大 值 为 最 小 值 为 用，则 M+m=x2+1二、函数的周期性(1)如果大x+a)=/(x)(a W 0),那么/(x)是周期函数，其中的一个周期T=2 a.(2)如果工+。)=伍 工 0),那么人x)是周期函数，其中的一个周期T=2 a./(x)(3)如果大x+a)+7(x)=c(a W 0),那 么 是 周 期 函 数，其中的一个周期T=2 a例 2 已知定义在R上的函数x),对任意实数x有人x+4)=一危)+2/，若函数的图像关于直线x=l对称，负1)=2,则近1 7)=.三、函数的对称性已知函数加)是定义在R上的函数.(1)若人a+x)=/g x)恒成立，则y=/(x)的图像关于直线彳=、”对称，特别地，若/(a+x)=/(a x)恒成立，则y=/(x)的图像关于直线x=a对称.(2)若函数y=/(x)满足./(a+x)+y(a x)=0,即/)=一 y(2 a x),则兀。的图像关于点(。，0)对称.例 3设/(X)是(-8,+8)上的奇函数，且/(x+2)=/(X),则下面关于/(X)的判定 中 正 确 命 题 的 个 数 为()A4)=0；第9页 共1 3页Ax)是以4 为周期的函数；/的图像关于直线x=l对称;/的图像关于直线x=2 对称.A.l B.2C.3 D.4I分层训练巩固提升A级基础巩固1.下列函数中，既是偶函数，又在(0,1)上单调递增的函数是()A.y=|logu|B.y=x3C._y=ew D.y=cos|x|2.已知定义在R 上的函数儿:)满足Xx)=-/a)，7(3x)=/a),则人2 022)=()A.-3 B.O C.l D.33.若函数/(x)=*工在定义域上为奇函数，则实数%的值为()1 +k2xA.-2 B.O C.l 或一 1 D.24.已知函数/+1)是偶函数，当xW(l,+8)时，函数/(x)单调递减，设J,b=/(3),c=/(0),则a,h,c 的大小关系为().bac B,cbaC.bca D,abc5.(2021 昆 明 诊断)已知函数yx)=c o s t+2+T-1，若火a)=一,则人一a)xz+1 3=()第 1 0 页 共 1 3 页A.11 B.-2 C.-1 D.-53 3 3 36.(2 02 2成都诊断)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，/(x)=l o g 2(x+1)+2，一处 则满足/(x 2 3 x 1)+2 0的实数x的取值范围为()A.(-3,0)B.(-h 0)C.(0,3)D.(l,2)7.已知奇函数/(x)的图像关于直线x=3对称，当xW 0,3 时，/(x)=-x,则/(一1 6)=.8.(2 02 2 西安模拟)已知/(X)是定义在R上的周期为3的奇函数，且/(2)=(8)+1,则/(2 02 3)=.9.定义在R上的函数次x)满足於+1)=加-1),且x)=其中2x,0W x 0,1 0.已知函数火x)=.o,=0,是奇函数.x2+m x x 0(1)求实数m的值；(2)若函数/(x)在区间-1,a 2 上单调递增，求实数。的取值范围.第 1 1 页 共 1 3 页1 L设人x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有次x+2)=-/U).当xd O,2 时，/(x)=2 x x 2.(1)求证：/(x)是周期函数；(2)当何2,4 时,求大幻的解析式.1 2.(2 02 2东北三省三校联考)设函数段)的定义域为R,兀c+1)为奇函数，_/U+2)为偶函数,当xG l，2 时，危0=加+儿 若 0)+人3)=6,则.K=()A-4B-1C-4D11 3.已知定义在R上的函数/(x)满足条件：对任意的xR,都有/(x+4)=/(x)；对任意的x i,x2e 0,2 且时，都有人为)/仁2)；函数7 U+2)的图像关于y轴对称，则下列结论正确的是()A次7)/(6.5)A4.5)B;/(7)/(4.5)/(6.5)C:/(4.5)/(7)/(6.5)D y(4.5)A6.5)0时，於)0.求/(0)的值；(2)判断函数的奇偶性并证明；(3)判断函数的单调性，并解不等式/)+/(2+x)2.第1 3页 共1 3页