2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第9节：函数模型及其应用（教师版）.pdf

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第 9 节 函数模型及其应用考 试 要 求 1.了解指数函数、对数函数、寡函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、累函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识诊断基础夯实知识梳理L 指数、对数 鬲函数模型性质比较函数性质y=ax（1）y=l o g a X（。1）y=xn（心0）在(0,+8)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随X的增大逐渐表现为与通平行随X的增大逐渐表现为与X轴平行随 值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型J（x）=ax+b（a,b 为常数，a WO）二次函数模型/（x）=ax2+h x+c（a,b,c 为常数，a WO）与指数函数相关的模型J（x）=bax+c（a,b,c 为常数，a 0 且 a Wl,bWO）与对数函数相关的模型/（x）=Z）l o gux+c（a,b,c 为常数，a 0 且 a Wl,6 4 0）与基函数相关的模型f（x）=cixn+b（a,b,n 为常数，a WO）第1页 共2 1页常用结论1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“，”或 X ”)(1)某种商品进价为每件1 0 0元，按进价增加1 0%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y=2 的函数值比夕=/的函数值大.()(3)不存在 x o，使 a x 6 1)的增长速度会超过并远远大于丁=犬伍0)的增长速度.()答 案(1)X (2)X (3)X (4)VQ解 析(1)9折出售的售价为100(1+10%)X=99(TG).二每件赔1元，(1)错误.(2)中，当x=2时，2 =r=4.不正确.(3)中，如。=枇=；,=；,不等式成立，因此(3)错误.2 .(易错题)已知外)=%2,g(x)=2x,Z?(x)=l o g 2 X,当x W(4,+8)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A：/(x)g(x)/?(x)B.g(x)次r)(x)C.g(x)h(x)j(x)D.J(x)h(x)g(x)答 案B解 析 在同一坐标系内，根据函数图像变化趋势，当x e(4,+8)时，增长速度第2页 共2 1页大小排列为g(x)次x),(x).3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8 B.9 C.10 D.11答 案 C解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过个“半衰期”后的含量为目，由8”就 5,得“N10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过 个“半衰期”.4.(2022江苏新高考基地大联考)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C=51og2l M 来表示，其中。是信道支持的最大速度或者叫信道容量，8 是信道带宽(Hz),S 是平均信号功率(W),N 是平均噪声功率(W).已知平均信号功率为1 000 W,平均噪声功率为10 W,在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2 倍，则平均噪声功率约降为()A.0.1 W B.1.0 W C.3.2 W D.5.0 W答 案 A解析 由题意可得S=1 000,N=1 0,则在信道容量未增大时，信道容量为Ci=51og2l Aj=51og2101,设信道容量增大到原来的2 倍时，平均噪声功率为MW,此时信道容量 C2=81og+M)=2 C,则 log210y=log2P+N，1 即 1+1 N=1012,解得M一解1,故选A.5.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔 墙 的 长 度 为.答 案 3第3页 共2 1页74 4 r解析 设隔墙的长度为x(0 x6),矩形面积为y,则丁=叉一-=2x(6x)=-2(x-3)2+18,.当 x=3 时，y 最大.6.(2020北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量力与时间/的关系为W寸。，用一/1)一/(4)的大小评价在叶 们 这段时间内企业污水治理能力的强b-a弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论：在山，0这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在72时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在/3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在0,田，也，幻，上,旬这三段时间中,在 0,川的污水治理能力最强.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.答 案 解析 _/)一 0)_ 表 示 在 切 上 割 线 斜 率 的 相 反 数，-(-二-越b-a h-a大治理能力越强.对于，在句这段时间内，甲企业对应图像的割线斜率的相反数大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于，要比较f2时刻的污水治理能力，即看在2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在72时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于，在 工3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于，甲在上1,0这段时间内的污水治理能力最强，错误.综上，正确的序号为.内考点突破题型剖析第 4 页 共 2 1 页考点一利用函数图像刻画变化过程1.已知高为，满缸水量为忆的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为。，则函数。=/（的大致图像是（）答 案 B解析 当/?=0时，v=0,故可排除A,C；当/?（）,切时，不妨将水“流出”设想为“流入”.当每增加一个单位增量 入 时，根据鱼缸形状可知，函数。的变化，开始其增量越来越大，经过中截面后增量越来越小，故。=/5）的图像是先凹后凸的，故选B.2.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图像，拟合了记忆保持量7U）与时间x（天）之间的函数关系/（x）=7-x+1,OVxWl,201 Q 1-1 x,14.7,所以该次地震为“破坏性地震”.设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为 百，瓦.由题意知，1g 1=4.8+1.5X8=16.8,2=4.8+1.5X9=18.3,即 =10电 8,及=1。1&3,所以2=1015=10亚，取 亚=3.2,得理=32.E E故 2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.感 悟 提 升 指 数 函 数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.训 练 2(2021贵阳调研)一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的%已知到今年为止，森林剩余面积为原来的?.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0cl),则。(1 即(1 解得x=l乐.故每年砍伐面积的百分比为18.(2)设经过加年剩余面积为原来的冬，则 a(l,把 x=1 一 代入，即 呢=8，即铝/解得加=5故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年.考点四分段函数模型第10页 共21页例3小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本四（x）万元，在年产量不足8万件时，做x）=$2+x（万元）.在年产量不小于8万件时，加（X）=&+项一3 8（万元）.每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能X全部售完.写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入一固定成本一流动成本）（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解（1）每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5 x万元当0 x 8时，当x 2 8时,L(x)=5x1 0 0X吼3=3 5.斤阴r2+4 x-3,0 x 8,3故 (%)=,x 2 8.（2）当 0 x 8 时，L（x）=一$+4 x _ 3 =一；（x _ 6尸+9；当x=6时,（x）取最大值为6）=9（万元）;当 x 2 8 时，（x）=3 5 1 x JW 3 5 2。学=1 5（万元）（当且仅当x=,即x=1 0时，取等号）.综上，当年产 量 为1 0万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1 5万元.感 悟 提 升L分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再合到一起.要注意各段变量的范第 1 1 页 共 2 1 页围，特别是端点值.2.分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小得到最值.训练3某校高三（1）班学生为了筹措经费给班上购买课外读物，班委会成立了一个社会实践小组，决定利用暑假八月份（按 3 0 天计算）轮流换班去销售一种时令水果.在这3 0 天内每斤水果的收入p（元）与时间（天）满足如图所示的函数关系，已知日销售量。（斤）与时间/（天）满足一次函数关系（具体数据如下表所示）.（1）根据提供的图像和表格，写出每斤水果的收入p（元）与 时 间 天）所满足的函数关系式及日销售量0（斤）与时间（天）的一次函数关系式；写出销售水果的日收入六元）与t的函数关系式，并求这30 天中第几天的日收入最大？最大为多少元？解（1）依题意可设0 /W 2 0,p=-卜 2 什 历,2 0 f W 30,当0 4 W 2 0 时，函数？=粒+从的图像过点（0,2）,（2 0,4）得左1=土，bi=2；当2 0 f W 30 时，函数p2=奴+历的图像过点（2 0,4）,（30,3）得依=一上，岳=6.所以p=f+2,0 f W 2 0,1 0 /+6,2 0 f W 30.1 0令 0=侬+，由表中数据得加=-1,7 7=4 0,所以0=/+4 0（0 f W 30）.（2）由 得第 1 2 页 共 2 1 页一-/2+2/+8 0,0 4 W 2 0,1 0y=iZ2-1 0/+2 4 0,2 0 /W 30,1 1 0当0 20时，A 选项不满足条件，所以A 不符合题意；当x=1 000时，有y=L002i。勺7.375,不符合条件，所以B 不符合题意；而对于选项 C,当 10 xW1 000 时，y.nax=log71 000+1 =31og7l0+1 =+lg71=4.5500）,通过x 块这样的玻璃以后光线的强度为y,则、=左09。1）,那么光线强度减弱到原来的;以下时，至少通过这样的玻璃的块数为（参考数据：第 1 4 页 共 2 1 页lg 3 0.4 7 7)()A.9 B.1 0 C.ll D.1 2答 案C解析 由题意得左。哭个依。)，化得0 9 ；,两边同时取常用对数，可得xlg 0.91 1 _1 g 因为lg 0.9 3 =-电一”?七1 0.3 7,则至少通过1 13 1 g 0.9 21 g 3 1 0.0 4 6块玻璃.5.(20 21济南检测)人们用分贝(d B)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：d B)与声音强度M单位：W/n?)满足d(x)=91%端 不.一般两人小声交谈时，声音的等级约为5 4 dB,在有5 0人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为6 3 dB,那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()A.1 倍 B.1 0 倍C.1 0 0 倍 D.1 0 0 0 倍答 案B解 析 设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为为W/n?,X 2 W/m2,根据题意得d(xi)=91 g,：=6 3,1 X 1 0 解得 xi =1 0 6,d(jx2)=91 gf elX 1 0 =5 4,13解得X 2=1 0 7,所以坐=1 0,X2因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的1 0倍.6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()第1 5页 共2 1页万元A.收入最高值与收入最低值的比是3：1B.结余最高的月份是7 月C.1至 2 月份的收入的变化量与4 至 5 月份的收入的变化量相同D.前 6 个月的平均收入为40万元答 案 D解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1,故A 正确；由题图可知，7 月份的结余最高，为8020=60（万元），故 B 正确；由题图可知，1 至2 月份的收入的变化量与4 至5 月份的收入的变化量相同，故C 正确；由题图可知，前6 个月的平均收入为1 x（40+60+30+30+50+60）=45（万元），6故D 错误.7.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度（单位：米）与时间f（单位：s）之间的关系为 =-4.9 於+14.7/+17,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为 米.答 案 28解析 因为仲）=4.9P+14.7f+17,所以烟花冲击后在爆裂的最佳时刻为1.5,此时/?(1.5)=-4.9X 1.52+14.7X1.5+1728.第 1 6 页 共 2 1 页8.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为6 0元/盒、6 5 元/盒、80元/盒、9 0元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到1 2 0元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.（1）当x=1 0时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付 元；（2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的 最 大 值 为.答 案（1）1 3 0（2）1 5解 析（1）顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，原价应为6 0+80=1 4 0（元），超过了1 2 0元可以优惠，所以当x=1 0 时，顾客需要支付1 4 0 1 0=1 3 0（元）.由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为（1 2 0 x）元，所以（1 2 0 力义8 0%2 1 2 0X 0.7,所以x W 1 5.即x的最大值为1 5.9 .（2 02 1 武汉模拟）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为 2.2 5%,若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5 年，可以多获利息 元.（参考数据：1.02 2 5 5 2 1.1 1 8,1.04 0 卜旬 1.2 1 7）答 案 9 9解析 将 1 000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5 年后的本息和为1 000X（1+4.01%）51 2 1 7（元），故共得利息1 2 1 7 1 000=2 1 7（元）.将 1 000元存入银行，则存满5年后的本息和为1 000X（1+2.2 5%）5=1 1 1 8（元），即获利息1 1 1 81 000=1 1 8（元）.故可以多获利息2 1 7 1 1 8=9 9（元）.1 0.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度。（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为o=a+R o g 3,（其中a,b 是实数）.据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30 个单位，而其耗氧量为 9 0 个单位时，其飞行速度为1 m/s.第 1 7 页 共 2 1 页求出a,b 的值；若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位？解（1）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为O m/s,此时耗氧量为30个单位，an故有 a+dlog3-=0,即 a+b=O.当耗氧量为90个单位时，速度为lm/s,故有 a+blog3,=l,即 a+2b=1.解方程组a+b=O,a+2b=1,a=,b=T.得即a,b的值分别为-1 和 1.（2）由知，V=l+log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s,则有。22,故一l+log3寮2,解得。2270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s时，其耗氧量至少要270个单位.11.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a（单位：万元）满足产-a+2,80WaW120,=4f2a6,乙城市收益。与投入a（单位：万元）满足0=32,120aW160,设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为7（x）（单位：万元）.（1）当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；（2）试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？解（1）当x=1 2 8,即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，所以川28）=4*而 八 区 一6+；X 112+2=88（万元）.因此，此时公司的总收益为88万元.第 1 8 页 共 2 1 页(2)由题意知，甲城市投资x 万元，则乙城市投资(240 x)万元,依题意得G 80,240 x 2 80,解之得80WxW160,当 8 0 2 0,即 12(X240 x这 160 时,人外=4缶 一6+32=4 收+26 0,故/(x)的最大值为88.因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元.B级能力提升12.(2022 保定质检)分子间作用力是只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下，两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为4,这两个相距火的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能 U，其计算式子为。=履产()+一-),其中，生为静电常R R+XX2 R+X R-X2量，XI,X2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知R+XIX 2第 1 9 页 共 2 1 页Ji R ,R+xi=7?1+W，RX 2=/?13,且（l+x）r-l x+N,则 U的近似值为（）A kcqXxz,R3C 2kcq2xX2 R3答 案 DB kcq2xxiR3D 2kcq2xX2R3解析U=kcq1 1 1 1R 7?+xi-X2 R+xi R-X2）ii i,XI-X2-+叫一 f l卸火 J RY RI R）量 叫 1 +1 +珠斗_】十2 _ 册_ 俳！R R R R=琛 因 故 选 D13.天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus,又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，它就越暗.到了 1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M.R.Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足如一加2=2.5（lg及 IgEi）.其中星等为啊的天体的亮度为 伞=1,2）.已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,“心宿二”的亮度是“天津四”的 倍，则与r 最接近的是（当|x|较小时，10仆 1+2.38+2.7炉）（）A.1.24 B,1.25 C.1.26 D.1.27答 案 C解析 由题意，得 1-1.25=2.5（lg&-IgEi）,1*1g=解得=2=1010.E2 10 Ei又41+2.31+2 7工 2（恸较小）,第2 0页 共2 1页所以厂-1+2.3 X 1+2.7 x lj2=257.故与尸最接近的是1.26.14.已知一容器中有4,5 两种菌，且在任何时刻/,8 两种菌的个数乘积均为定值 1 0?为了简单起见，科学家用办=lg 加来记录/菌个数的资料，其中川为/菌的个数.现有以下几种说法：2 2;若今天的PA值比昨天的PA值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；假设科学家将B菌的个数控制为5 万，则此时5%5.5（注：1g 20.3）.则 正 确 的 说 法 为（写出所有正确说法的序号）.答 案 解 析 当 /=1 时，PA=0,故错误；若2=1,则孙=10；若2=2,则 力=1 0 0,故错误；设 8 菌的个数为B=5X104.=2X105,5X104则 Pzi=lg“4=5+lg 2.又 lg2心0.3,.Px心5.3,因此 5R5.5,正确.第 2 1 页 共 2 1 页