2023年高考数学压轴题附答案.pdf

2023年高考数学压轴题1.如图，已知椭圆。：+/=1,抛物线。2：y2=2px（p 0）,点 4为椭圆C l 的右顶4点._ 3（1）若抛物线C 2的焦点坐标为（7 7，0），求椭圆C i 与抛物线C 2的交点坐标：（2）若对于椭圆C i 上的任一点8 （不含左、右顶点），抛物线C 2上均存在两点。，E,使得四边形4 O 8 E 为平行四边形，求p的取值范围.【解答】解：由抛物线C 2的焦点坐标为（,，0）知，片 看所以抛物线C 2的方程为/=（y2=联 立 方 程 得 2，消掉乃 整理得f+3 x-4=0,信+y 2=i解得x=-4 （舍去）或 x=l,V 3当 x=l 时，y=,所以椭圆G 与抛物线C 2的交点坐标为（0,y）.（2）连接D E,由于四边形Z O 8 E 为平行四边形，所以对角线N 8,DE互相平分,设 4 B 的中点为 M CXM,y,“)，B Cxo,y o)(j o O),则 _ 比+2”“一 干，即yM=-2x0=2XM-2.7o=2yM因为点B（xo,yo）在椭圆C i匕 所 以 7+M=1,(2*2)24+(2yM)2=1,即(XM-1)2+4 弘/=1 (y w W O),第1页 共6页分析可知，直线0 E的斜率存在且不为0,故设直线。：x=myJt-n(m 20),D(x i，a)，E(X2/)，联立方程，消去 x,整理得y2-2pmy-2pn=0,所以=(-2pm)2+8/?/?0,即p?2+20,y+yi=2pm,yyi=-22，则 yM=pm,XM=myn=pm2+n,即 A/(pm1+n,pm),所 以(pm2+n-1)2+4(pm)2=1,令p2+-i=cos6,2p7=sinB,其中kEZ,则 n=l+c o s 0-,c sinO 017,2/3又 pm+2 0,所以一 +2(1 +cos0-诟一)0,所r-r以KI l.+cosM0-苫siri一O、0八,1,-l-c0o,s0、八场 1-cosQ故 P 一g-所以pN1所以P的取值范围为1，+8).2.已知函数/(%)=ln(x+1),g(x)=axexf aER.(1)若函数 (x)-x-2 f(x),求函数/?(x)的单调区间；(2)若对任意的xW0,+8),不等式/G)Wg(x)恒成立，求实数。的取值范围.【解答】解：(1)由题意得。(x)-x-2f(x)=x2-x-2ln(x+1),函数的定义域是(-1,+8),故(x)=2 x-l-1T=0档誉 T)x+l%+1Q令 人(x)=0,解得：x=l或1=-(舍)，故当-IV x V l 时，h(x)l 时，hf(%)0,h(x)递增,故函数(x)在(-1,1)递减，在(1,+8)递增；(2)对任意五日0,+8),不等式/G)0,故/(x)在 0,+8)递增，又F(0)=0,故当x 2 0时，F(x)2 0,不合题意；当a 0时，(I)当 a2l 时，.W O,*.a(x+1)2/21,故/(X)=上 铝 吐 w o,故 尸(X)在 0,+8)上递减，故当x 0时，F(x)W尸(0)=0,符合题意；(H)当 O V a V l 时,记 p (x)=-a(x+1)(x 20),则(p (x)=-a(x+1)(x+3)，显然“(x)0,0,p (第-1)=1-0,故存在唯一的x oe(0,使得(p (x o)=0,故当 O W x V x o 时、0,F(X)在 0,X 0)上单调递增，故当O W x x o时，F(x)2 F(0)=0,不符合题意，综上：a 2 l,即实数a的取值范围是 1,+8).3.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过/(0,-2),B(.1,-1)2两点.(1)求E的方程；(2)设过点尸(1,-2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段4 B交于点T,点，满 足 解=存.证 明：直线4N过定点.2 2【解答】解：(1)设E的 方程为七，万=1，第3页 共6页Q D将A(0，-2),-1)两 点 代 入 得 iA2 T24 a b解得/=3,b2=4,2 2故E的方程为-3 4（2）由A（0,-2）,-1）可得直线A B：y x-2乙o 若 过 尸（1,-2）的直线的斜率不存在，直线为x=l,代 入 号4 =1 可得M（l，嗓），N（l，辱），将 y。零 代 入A B：y=-x-2,可得 T （遍+3,2；）,0 Q O由 M T=T H，得H（W +5,2 ；-）,D易求得此时直线HN：y=x-2过 点（0，-2）；3 若 过 尸（1,-2）的直线的斜率存在，设 依-y-（R 2）=0,M3,川），N（X 2,联立kx-y-(k+2)=02,得 =13(3 F+4)x1-6 k(2+A)x+3k(%+4)=0,故有，6 k(2+k)x1+x2=-p-3 k 2+43 k(4+k)*途2=-9-3 k 2+4-8(2+k)y i+y2=3 k22+4 _ 24k(*)4(4+4 k-2k2,且 乂产2+*2力=；()，y 1i yz9 =-3-k-+45-0 K 匕联立4y=y i2，可得T (-y f x-23 y l2+3,y j),H(3 y +6-X i，y，可求得此时H N：y-y =-(x-X 0),z 3 y j+6-x!-x2 z将(0,-2)代入整理得 2 (x i+%2)-6 (歹1+)2)+x i”+%2 y i -3 y ly2 -12=0,将(*)代入，得 2 4杆 12庐+9 6+48 k-24k-48 -48什2 4严-36 k2-48=0,第4页 共6页显然成立.综上，可得直线V过 定 点(0,-2).4.已知函数/(x)In(1+x)+axe x.(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程；(2)若/(x)在 区 间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求”的取值范围.【解答】解：(1)当。=1 时，/(x)=/(1+x)+x/x,则 钎(x)J+e-x.1+x：.f(0)=1+1=2,又/(O)=0,.所求切线方程为y=2 x；若“2 0,当-l x 0,f(x)单调递增，则 f(x)f(0)=0,不合题意：故“0,解 得-1 X1 WL 令g (x)0,解得1-V 2 x l 时，g(x)0 若g (0)=1+。0,当x 0时，g (x)0,/(x)单调递增，不合题意；若 g (0)=l+a 0,g(0)g(1)0,则存在x oe (0,1),使得g (x o)=0,且当(0,x o)时，g(x)g(0)=0,f(x)单调递减，则/(x o)l时，/(x)ln(1+x)+a 0,f(ea-1)0,则由零点存在性定理可知/(x)在(1,e 1)上存在一个根，当 1-&g (x)0,f(x)单调递减，f (0)=0，当-1 X 1-&时，/(x)ln(1+x)-ae0,f(e06-1)0,则由零点存在性定第5页 共6页理可知/（x）在（e a e-l,1-加）上存在一个根.综上，实数的取值范围为（-8,-1）.第6页 共6页