2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第5节：指数与指数函数（教师版）.pdf

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第 5节指数与指数函数考试 要 求 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数嘉的含义，了解实数指数嘉的意义，掌握嘉的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10二，!的指数函数的图像；4.体会指数2 3函数是一类重要的函数模型.I知识诊断基础夯实|知识梳理1.根式的概念及性质（1）概念：式子仍叫作根式，其中叫作根指数，。叫作被开方数.（2）性质：（）=&（。使独有意义）；当为奇数时，y/cf=a,当为偶数时，汨=a,同=，a,a0,m,“G N+,且1）；正数的m 1负分数指数累的意义是。一-=一（心0,m,GN+,且1）；0 的正分数指数累等于 0;0 的负分数指数幕没有意义.3.指数塞的运算性质实数指数累的运算性质：（abY=arb,其中 a0,b0,r,sCR.4.指数函数及其性质（1）概念：函数_y=a（a 0,且aWl）叫作指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R,。是底数.第 1 页 共 1 5 页(2)指数函数的图像与性质a0 a 0 时，yl ；当 x 0 时,0 ”1当 xl；当 x0 时，0 y 0,且a W l)的图像，应抓住三个关键点：(1,a),(0,1),卜 J 2 .指数函数=优5 0,且a W l)的图像和性质跟。的取值有关，要特别注意应分d与0 0,且a W l)的图像越高，底数越大.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“J ”或“义”)(皿(4)4=4()(2)分数指数幕。t可以理解为名个a相乘.()nn(3)函数_ y=2 xr 是指数函数.()函数y=/r(a l)的值域是(0,+).()答 案(1)X (2)X (3)X (4)X解 析(1)由于(-4)4=加=4,故(1)错误.第2页 共1 5页(2)当 场 0,且a W l),故歹=2、r不是指数函数，故(3)错误.(4)由于 2+1 2 1,又 a l,.*.a x2+1 a.故的值域是 a,+8),故(4)错误.2 .(易错题)若函数八x)=(a 2 3)d 为指数函数，则。=.答 案 2解 析/(X)=(2 3)为指数函数，二次一3=1 且 a 0,a W l,.a=2.3 .(易错题)函数产2 的值域是.答 案(0,1)U(1,+8)1角 星 析 ：.y=2l,x-1 x 1而=2 万恒大于0,则函数歹=23的值域为(0,1)U(1,+).4 .函数/(x)=a-i+2(a 0 且 a W l)的 图 像 恒 过 定 点.答 案(1，3)5 .(2 0 2 1 贵阳一中月考)计算：0 3 义卜力十8 以 步 一 弋)，答 案 2伴 -1 伴解析 原式=(3 f x 1+2 4 X 2 4 1 3 3=2.6 .已知a=d 3,8=0 0=用4,贝i j a,b,c 的大小关系是答 案cba解 析)=)是R上的减函数,.凯周国：即第 3 页 共 1 5 页又 c=d =1,cb0,b0)=(0.1)r (力 一 3)2答 案 I3 3_ 32 42a2b-解 析 原式=-3=!_ 3 50a2b-4.已知)=3*+3),大6)=4,贝 1 26)=.答 案 14解析 V/(ft)=3fe+3-6=4,：.J2b)=32b+32b=(3+3 r)22第4页 共1 5页=422=14.感 悟 提 升1.指数幕的运算首先将根式、分数指数幕统一为分数指数赛，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幕相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.考点二指数函数的图像及应用例1(1)已 知 实 数 b满足等式2 0 2 2 =2 0 2 3,，下列等式一定不成立的是()A.a=b=0 B.a /?0C.0ab D.0ba(2)若函数/(乃=|2 2 6有两个零点，则实数b的取值范围是.答 案(1)C (2)(0,2)解 析(1)如图，观察易知，。6 0或0 b a或。=6=0.(2)在同一平面直角坐标系中画出卜=|2*2|与y=b的图像，如图所示.,.当0 b 1,b0C.O 4 Z 0 D.O a l,b0如果函数y =|3 x l|+z 的图像不经过第二象限，则实数m 的取值范围是答 案(1)D (2)(8,-1 解 析(1)由犬x)=d r 的图像可以观察出，函数外)=a f 在定义域上单调递减,所以0 a 0,即 X 0.(2)在同一平面直角坐标系中画出夕=|3 工 一 1|与y=一根的图像，如图所示.由函数歹=|3 1|+用的图像不经过第二象限，则卜=|3 工 一 1|与=一根在第二象限没有交点，由图像知一 2 2 1,即/“W1.考点三解决与指数函数性质有关的问题角度1 比较指数式的大小例 2(1)设 4=0.6%6=0.6 15,c=1.5 0-6,则 q,，c 的大小关系是().abc B,acbC.bac D,bca(2)若守+兀2 ，+兀 一，下列结论一定成立的是()A.a+6 W 0 B.abOC.a-b W O D.a+b 20答 案(1)C (2)D第6页 共1 5页解析 ,函数y=0 6 是减函数，0O.66O.6L5,即XQVL 函数y=1.5，在(0,+8)上是增函数，0.60,1.5。61.5()=1,即 cl.综上,bac.(2)兀 一。，.e一 兀 一 20一 一 兀 令/(x)=e兀，则/(X)是R 上的增函数，式即为八。)却 一6),：.a2 b,即 Q+620.角度2解简单的指数方程或不等式4*x0例 3(1)已 知 实 数 函 数/()=,若/(Ia)=/(a1),则。的值为l2a-x0,(2)若2占七日，则函数歹=2,的 值 域 是()A.Lr8i 2J B.Lr8 i 2 1i 1c l d D.2,+8)答 案(吗(2)B解 析(1)当a l时，代入不成立，故a 的值为2件2(2)14=(2-2广 2=2一 个 4,.2?+仁 2-4,即 x2+1W 2 x+4,即 x2+2x3 W0,-2一 3,此时歹=2 的值域为2一 3,21,即为18角度3指数函数性质的综合应用例 4(1)不等式4、-211十心0,对任意x R 都成立，则实数Q的取值范围是第7页 共1 5页(2)已知定义域为R的函数4 x)=：+则关于t的不等式火修一2。十4 2P2 2X+11)4*+2*-|对xG R恒成立，令 t=2x,则 tX),-y=-4*+2 =F+2/=(t1)2+1W1.(2)由题意知人x)是奇函数，且 在R上为减函数，则加22Q十1)0,即向2_2。1或t一3感 悟 提 升1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幕，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.训练 2(1)(2021郑州调研)已知函数x)=2a=A2-3),6=X0.20-3),c=/(logo32),2X则a,b,c的大小关系为().cbaB.bacC.bcaD.ca 1,0 0.23 0,且a W l)的图像经过I?则人-1)=()A.l B.2 C.3 D.3答 案C解析 依题意可知。2=:,解得。=坐，3 3可得人2。3)9 0.2。3)月l o g o.3 2),则 ahc.(2).)=!是减函数，且 加)的 值 域 是9_,.l=ax*2-b2x+3 有最小值 2,1 0/7 02则a 0且”=2,解之得。=1,4 a因此f=/+2 x+3的单调递减区间是(一8,-1,故作)的单调递增区间是(一8,-1.(3)因为x W 3,2,所以若令=匕)，,1,8则/4,故尸f+l=z)+1.i a当 /=不时，J/m i n =；2 4当 f =8 时，J m a x =5 7.故所求函数值域为“-5 7J.M分层训练巩固提升|A级基础巩固第9页 共1 5页所以y（x）=俘：所以八-1）=（3）=也2.（2021成都诊断）不论。为何值，函数y=（a1）2一学亘过定点，则这个定点的坐标是（）答 案 C解析 y=（a1）2*：变为。J a（2工+y）=0,f2 M 一、依题意，对&eR,I 2ja（2+y）=0 恒成立，则 2 r1=0,且 2 v+=0,.*.x=1且 尸 ，2即 恒 过 定 点 3.3.（2022哈尔滨质检）函数歹=优一（4 0,且 aW l）的图像可能是（）答 案 D解析 当。1时，为增函数，且在y 轴上的截距为011 1,此时四个a a选项均不对；当0。1 个单位长度得到，选项D 适合.am os4.（2020天津卷）设。=3。匕 h=3），c=logo,70.8,贝 U。，6,。的大小关系为（）A.abc B.bacC.hcaT）.ca 3。=1,m 0.86=111=3-8 30-7,c=logo.70.8 a c.5.(2 0 2 1 衡水中学检测)当x (8,1 时，不等式(神2加)-4 Z y)恒成立，则实数机的取值范围是()A.(2,1)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(l,2)答 案D解 析 原 不 等式变形为掰2机 门：因为函数夕=自 在(一8,1 上是减函数，所以日N=2,当X d(8,1 时，加2一用 恒 成立等价于加2 一根 2,解得一1 加 0,6 0)=ja-b5答案解析1a_ 1 _1”一在原 式:一哂1 I 1 1 58.设偶函数g(x)=a M在(0,+8)上单调递增，则g(a)与g(b l)的大小关系是答案 g(a)g(b)解 析 由于8 )=/+例 是偶函数，知6=0,又g(x)=a凶 在(0,+8)上单调递增,得。1.则 g(匕 l)=g(l)=g(l),故 g(a)g(l)=g(b-l).9.已知函数/(x)=a W x。，的值域是 8,1 ,则实数。的取值范围是x2+2 x,0 W x W 4答 案-3,0)解析 当 0&W4 时,/(x)G-8,1 ,r_1-a当 时，2 J,r_1 所以L 2“J -8,1 ,即一8 W1,即一3 W a 0.2a所以实数。的取值范围是-3,0).1 0.已知定义域为R的函数/()=翥2 11|h为奇函数.第 1 2 页 共 1 5 页(1)求b的值；(2)任意，C R,/(於一2/)+/(2 P左)0恒成立，求左的取值范围.解(1)因为/(x)是定义在R上的奇函数，所以人0)=0,则6=1(经检验，6=1时兀0为奇函数，满足题意).2 8+1 1 1(2)由 知火x)=r-=+2、巧+2 2 2、+1因为/(x)是奇函数，所以不等式/(-一2/)+/(2户 一 人)0等价于加2 2。2t2-k.即对任意的r e R有3/2-2 Z-左0恒成立，从而对应方程的根的判别式/=4+1 2 K 0,解得比0,於一1 1-=2 t-a,即 a=t-,t t方程a =/+l有正实数根，tt+-2,当且仅当，=1时取等号.t第 1 3 页 共 1 5 页.a 2 2.即实数。的取值范围是 2,+8).1 2.若关于x的方程僧一l|=2 a(a 0,且 a W 1)有两个不相等的实根，则a的取值范围是(),卜1 A.l Ju(l,+o)Bl 2)C U J D,(h +0)答 案 B解 析 方程|谈一 l|=2 a(a 0,且a W l)有两个不相等的实根转化为函数y=|a，一 1|与y=2 a 有两个交点.当 0 a l 时，如图，所以0 2 a l,即0 时,所以0 a 2,若互不相等的实数a,b,。满足/(a)=Ab)=J(c),则2“+2+2,的取值范围是()A.(1 6,3 2)B.(1 8,3 4)C.(1 7,3 5)D.(6,7)答 案 B解析 画出函数人x)的图像如图所示.第 1 4 页 共 1 5 页不妨令 abc,则 1 -2a=2&1,则 2a+2b=2.结合图像可得4c5,故 162(32,所以 182叶 2，+2y34.选 B.14.已知定义在R 上的函数大x)=2一卷.(1)若 危)=|,求 x 的值；(2)若 2列2/)+必。2 0 对任意 口，2 恒成立，求实数机的取值范围.解(1)当 x0,所以2，=2,所以x=L(2)当 fG l,2 时，2卜 一 曷+/2 T河即加Q2 1)2(24/1),因为 22t10,所以加一Q 2，+l),又V=-2 2/-I,2 为减函数，所以歹max=-2 2 1 =-5,故加2 5.即m的取值范围是 5,+).第15页 共15页