2023年高考数学二轮复习讲练测08 立体几何解答题常考全归类（原卷版）.pdf

专题0 8 立体几何解答题常考全归类【命题规律】空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深.解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论.作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度.【核心考点目录】核心考点一：非常规空间几何体为载体核心考点二：立体几何探索性问题核心考点三：立体几何折叠问题核心考点四：立体几何作图问题核心考点五：立体几何建系繁琐问题核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题核心考点七：利用传统方法找几何关系建系核心考点八：空间中的点不好求核心考点九：创新定义【真题回归】1.（2022.天津.统考高考真题）直三棱柱ABC-A耳G中，=AB=AC=2,1 AB,AC V AB,Z）为人 及的中点，E为AA的中点，尸为CD的中点.（1）求证：EF平面A8C；（2）求直线BE与平面CC.D所成角的正弦值；（3）求平面C D与平面CC.D所成二面角的余弦值.2.（2022全国统考高考真题）如图，四面体中，AD 1 CD,AD=CD,ZADB=ABDC,E为AC的中D点.(1)证明：平面BE_L平面4C)；(2)设AB=3 3 =2,NACB=60。，点尸在8 0上，当尸C的面积最小时，求C尸与平面43。所成的角的正弦值.3.(2022浙江统考高考真题)如图，已知ABCD和CZ)所 都 是直角梯形，AB/DC,D C H E F,AB=5,D C =3,EF=1,Z B A D =Z C D E =60,二面角尸一D C-B的平面角为60。.设M,N分别为A E,8 c的中点.(1)证明：F N A D；(2)求直线B M与平面A/)E所成角的正弦值.4.(2022全国统考高考真题)如图，PO是三棱锥PA8C的高，PA=P B,A B 1 A C,E是PB的中点.p 证明：OE平面PAC；(2)若 ZABO=NCBO=30,PO=3,PA=5,求二面角 C的正弦值.5.(2022.全国.统考高考真题)如图，四面体4 3。中，ADA.CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为A C的中点.A(1)证明：平面BE。平面AC。；(2)设A8=8=2,/4CB=60。，点尸在B。上，当1的面积最小时，求三棱锥尸-A B C的体积.6.(2022全国统考高考真题)在四棱锥P-ABC。中，/，底面ABCD,CD/AB,AD=DC=CB=l,AB=2,DP=y/3.(1)证明：B D V P A x(2)求P D与平面P 4 5 所成的角的正弦值.7.(2 0 2 2.北京.统考高考真题)如图，在三棱柱ABC-AgG中，侧面BCC4为正方形，平面B C C 4，平面ABB,At,AB=B C =2,M,N 分别为 A 4,A C 的中点.(1)求证：A 7 N 平面 8 C C|g；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线48与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.条件：A B L M N；条件：B M =M N .注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.8.(2 0 2 2 全国统考高考真题)如图，直三棱柱A8C-AUG的体积为4,的面积为2 G.小(1)求 A 到平面A 8 C 的距离;设。为A C 的中点，AA,=A B,平面A B C，平面A B 8 M，求二面角A-B D C 的正弦值.【方法技巧与总结】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得.求解的一般步骤为：(1)作图：作出空间角的平面角.(2)证明：证明所给图形是符合题设要求的.(3)计算：在证明的基础上计算得出结果.简称：一作、二证、三算.2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法“，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上.3、求直线与平面所成角的常见方法(1)作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求.(2)等积法：公式sin吟,其中。是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长.(3)证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90。.4、作二面角的平面角常有三种方法(1)棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角.（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角.（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角.【核心考点】核心考点一：非常规空间几何体为载体【规律方法】关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系.【典型例题】例 1.（2022陕西安康统考一模）如图，已知A 8为圆锥SO底面的直径，点 C 在圆锥底面的圆周上，BS=AB=2,ZBAC=-,BE 平分 N S 8 4,。是 SC 上一点，且平面 W3E_L 平面 SA8.求证：SA B D；（2）求二面角E-即-。的正弦值.例 2.（2022安徽校联考二模）如图，将长方形。4Aoi（及其内部）绕。旋转一周形成圆柱，其中OA=1,0,0=2,劣弧4 s 的 长 为 AB为圆。的直径.6(1)在弧A 3上是否存在点C(C,用在平面0AA。的同侧)，使B C _ L A q,若存在，确定其位置，若不存在,说明理由；(2)求 平 面 与 平 面B Q、B夹角的余弦值.例3.(2022山东东营胜利一中校考模拟预测)如图，AB,8分别是圆台上、下底面的直径，且AB CD,点E是下底面圆周上一点，AB=2/2 圆台的高为而(1)证明：不存在点E使平面AEC L平面ADE；(2)若。E=CE=4,求二面角D 3的余法值.例4.(2022.河北.统考模拟预测)如图，在圆台。中，上底面圆。1的半径为2,下底面圆。的半径为4,过。1的平面截圆台得截面为A 8 8 H，例是弧A 8的中点，M N 为 母 线,cos N N M B =旦.(1)证明：4月，平面4。加；(2)求二面角A的正弦值.核心考点二：立体几何探索性问题【规律方法】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题.处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中己给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.【典型例题】例5.(2022 上海虹口统考一模)如图，在三棱柱ABC-A蜴G中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面AAC C为菱形，点片在底面上的投影为A C的中点。，且 相=2.B(1)求证：BD Y C Ct；(2)求点C到侧面A A B的距离；(3)在线段4片上是否存在点E,使得直线OE与侧面M用8所成角的正弦值为 亚？若存在，请求出A E的7长；若不存在，请说明理由.例6.(2022春 山东高三山东省实验中学校考阶段练习)如图，在三棱柱A B C-A 4 G中，V A 8C为等边三角形，四边形A A B/为菱形，AC-l.BC,A C =4,8 c =3.(1)求证：线 段 上 是 否 存 在 一 点 E,使得平面ABE与平面A B C 的夹角的余弦值为？若存在,求出点E的位置;若不存在，请说明理由.例 7.(2 0 2 2 春黑龙江绥化高三海伦市第一中学校考期中)如图1,在矩形A B C O 中，AB=2,BC=1,E是 0 c的中点，将D 4 E 沿 AE折起，使得点。到达点P的位置，且 P B=P C,如图2所示.尸是棱P B 上的一点.(1)若尸是棱PB的中点，求证：C尸平面B 4 E；(2)是否存在点居 使得二面角广-AE-C 的余弦值为生叵？若存在，则求出芸的值；若不存在，请说明1 7FB理由.例 8.(2 02 2 广东韶关统考一模)己知矩形4 3 C 3 中，A 8 =4,B C =2,E是C。的中点，如图所示，沿 BE将.B C E翻折至4 B F E,使得平面BFE _ L 平面ABCD.(2)若D P=2 08(0 2 =4?=2,BC=AAt=,当点P 是矩形CDAG的中心时，求点A 到 平 面 的 距 离.例 15.（2022.全国高三专题练习）如图多面体A8CDE/中，面 以 3,面 A8CD,以 3 为等边三角形，四3边形ABCD为正方形，E F/B C,且 EF=BC=3,H,G 分别为CE,CD的中点.2,E(1)求 二 面 角CF H-G的余弦值；AP(2)作 平 面/G与 平 面4BCD的交线，记 该 交 线 与 直 线AB交点为尸，写 出 不；的值(不需 要 说 明 理 由,AB保留作图痕迹).例16.(2022 全国高三专题练习)四棱锥P-ABC。中，底 面A8CD是 边 长 为2的菱形，ZDAB=.ACT屹:且 也 平 面 然。，PO=G，点尸,G分 别 是 线 段 依/)上的中点，E在 以 上.且?A=3PE.(I)求 证：3。/平 面E户G；(I I)求 直 线A 3与 平 面EFG的成角的正弦值；(II I)请 画 出 平 面EFG与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.核心考点五：立体几何建系繁琐问题【规 律 方法】利用传统方法解决【典型例题】例17.如图，已知三棱柱ABC-A J g 的底面是正三角形，侧面5 3 0 0 是矩形，M，N分别为8C,的中点，尸为4 M 上 一 点.过 和尸的平面交A 3 于E,交A C 于F.(1)证明：A A IM N ,且平面A|AMN _L平面；(2)设。为的中心.若A O/平面E B F,且A O=A B,求直线B产与平面A/1M N所成角的正弦值.例 18.如图，在锥体P-A 3 C r)中，A 3C D 是边长为1的菱形，且 NZM3=6()。，PA=P D =6,P B =2,E,尸分别是5C,P C 的中点(1)证明：AO_L平面。五(2)求二面角P A。3 的余弦值.例 19.(2022春福建南平高三校考期中)在三棱柱A B C-A G G 中，ABJ.AC,8。，平面ABC,E、F 分别是棱AC、A 4 的中点.(1)设G 为BG的中点，求证：EF平面BC C g；若 钻=AC=2 直 线 与 平 面4CB,所成角的正切值为 乎 求多面体与-EFG C的体积V.核心考点六：两角相等(构造全等)的立体几何问题【规律方法】构造垂直的全等关系【典型例题】例20.如图，已知三棱柱ABC-A 4 G的底面是正三角形，侧面8 B C是矩形，M，N分别为BC,B,C,的中点，尸为A M上一点.过4 G和尸的平面交A 3于E,交A C于F.(1)证明：AA,/M N ,且平面AAMN _L平面E8IC|F；(2)设O为/1再 的中心.若A。/平面且A O=A B,求直线B产 与 平 面 所 成 角的正弦值.例21.如图，在锥体P-A8CZ)中，A 3 8 是边长为1的菱形，且NQ4B=位，PA=P D =垃，P B =2,E,F分别是3C,P C的中点(1)证明：A。J_平面3EF(2)求二面角尸AD B的余弦值.核心考点七：利用传统方法找几何关系建系【规律方法】利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系.【典型例题】例 2 2.如图：长为3 的线段PQ与边长为2 的正方形43CZ)垂直相交于其中心O(POOQ).(1)若二面角P-A B-。的正切值为-3,试确定(9在线段PQ的位置；(2)在(1)的前提下，以P,A,B,C,D,。为顶点的儿何体P A 8 8 Q 是否存在内切球？若存在,试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由.例 23.在四棱锥 中，E 为棱 AQ的中点，庄，平面 4 3 8,AD/BC,ZADC=90,ED=BC=2,EB=3,F 为棱PC的中点.(I)求证：P 4/平面BEP；(II)若二面角尸-B E-C 为60。，求直线P8与平面M C G 所成角的正切值.例 2 4.三棱柱A 8 C-A 与G 中，Afi AC,AB=AC=2,侧 面 改匕片为矩形，ZA,AB=,二面角A-B C-A 的正切值为1.(I)求侧棱A4,的长;(I I)侧棱C G上是否存在点o,使得直线 与平面ABC所成角的正切值为手，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由.核心考点八：空间中的点不好求【规律方法】方程组思想【典型例题】1 47 T例 25.(2022江苏南京模拟预测)己知三棱台ABC-A q G 的体积为，且 4 4BC=1,4 的中点，点 F 在 R 4上，AP =3 AF.(1)证明：P C 平面BEF；(2)若=且尸。与平面A3C所成的角为45，求平面AEF与平面B阶夹角的余弦值.5.(2022.上海奉贤.统考一模)如图，在四面体A 8C 3中，已知84=8D=C4=CD.点E是AD中点.(1)求证：AO_L平面3EC；9(2)已知AB=5,/B)C=arccosA =6,作出二面角D-8 C-E的平面角，并求它的正弦值.6.(2022 上海浦东新统考一模)如图，三棱锥尸-ABC中，侧 面 垂 直 于 底 面ABC,PA=P B,底面ABC是斜边为A B的直角三角形，且Z48C=30。，记。为A B的中点，E为OC的中点.(1)求证：P C L A E；(2)若A8=2,直线PC与底面ABC所成角的大小为60。，求四面体以0 c的体积.7.(2022 四川成都石室中学校考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABC。中，AB=BD =B P f ,PA=P D =ZAPD=90,E是棱？4的中点，且8E/平面PCDB(1)证明：8,平面PAO；(2)若C=1,求二面角AP B-C的正弦值.8.(2022春江苏徐州高三期末)如图，四棱锥P-C 中，PA_L底面ABC。，AD/BC,N为尸B的中点.3若点M在A。上，2AM=MD,A D =-B C,证明：M N平面PC。；4(2)若尸A=A8=AC=A=3,B C =4,求二面角。一AC N的余弦值.9.(2022 陕西汉中统考一模)如图，多面体ABCDE尸中，四边形ABC。为菱形，/A B C =6(),E4_L平面ABCD,ED/F A,且 AB=E4=2ED=2.E 求证：B D L F C；(2)求二面角F一 A C-E的大小.10.(2022陕西汉中统考一模)如图，多面体ABCDEF中，四边形A3。为菱形，/A B C =60,E4，平面ABCD,FA/E D,且 A8=E4=2E)=2.二二.B C(1)求证：B D工F C ；(2)求点A到平面F B D的距离.11.(2022四川广安广安二中校考模拟预测)门 是等腰直角三角形，且AO=0，四边形4 8 8是直角梯形，ABJ.BC,D C L B C,且 AB=23C=2C=2,平面 APD_L平面 A8CO.求证：AP工平面BPO；(2)若点E是线段尸8上的一个动点，问点在何位置时三棱锥。-A P E的体积为比.12.(2022 四川南充 统考一模)在平面五边形48CQE中(如图1),4 8 8是梯形，AD/BC,A D =2BC=2血,AB=近,Z A B C =90,VADE是等边三角形.现将VAAE沿AO折起，连接EB,EC得四棱锥E-A8CO(如图2)且CE=2 0.(1)求证：平面EW_L平面ABCZ)；(2)在棱EB上有点G 满 足 空=1，求二面角E-/W-F的余弦值.EB 313.（2022贵州贵阳贵阳六中校考一模）如图，在四棱锥尸-4 5 C O中，DAA.AB,P D L P C,P B工PC ,4A B =A D P D=P B =,cosZDCB=.求证：8 3人平面PAC.(2)设E为BC的中点，求P E与平面A B C D所成角的正弦值.14.(2022春 广东广州高三校考期中)如图所示，在四棱锥P-A 8 C。中，P C L A B C D,四边形A 3 C O是直角梯形，ABLAD,A 8/C 3 P C =A3=2A=2a=2,点E 在侧棱距上.(1)求证：平面E4C_L平面PBC;若平面以。与平面入口的 夹 角 的 余 弦 值 为,求 装 的值.