2023年高考自主招生强基计划数学模拟试题三（含答案详解）.pdf
2023年高考数学强基计划模拟题（三）一、填 空 题（每 题 1 0分）1.一个三位数等于它各位数字的阶乘之和，则此三位 数 各 位 数 字 之 和 为.2,使得x +:和/+1都是整数的正实数x 的 个 数 为.3 .已知n是不超过2 02 0的正整数且U+2 n+3 皿+4 n的个位数为0,则满足条件的几的 个 数 为.4 .复数Z1，Z2 满足-3 =2,怙 2-8|=1,则由复数Z1-Z2 所围成的几何图形的面积是.5 .把实数a =（5 +3 遮）2。2。写成十进制小数，贝心的十分位、百分位和千分位上数字之和等于,6.满足;+=盛，xwy的正整数对Qy）的 个 数 为.7 .满 足 等 式 2 002 nV 1 0012+1 =n 2 002 V 1 001 2 +1 （其中因表示不超过x 的最大整数）的正整数n的 个 数 为.8 .记集合7 =0,1,2 3 4,5,6,时=号+翁+恭 6 7 =1,2 3 4 ,将M 中的元素按从小到大的顺序排列，则第2 02 0个数是.二、解 答 题（2 0分）9.设a,b,c 和9 一9（/?一2）（”!）均为正整数，求 2 a +3 b +5 c 的最大值与最小值的差.答案和解析1.【答案】1 0第1页，共4页【解析】设这个三位数为万位=a!+b!+c!，因为6!=720,7!1 0 0 0,故a,b,c 5,再逐步分析验证可得互反=145.2.【答案】1【解析】由(x+1)2=d+4 +摄 6/7且好+全 村 可得了,捻 6 N,故d=1,2.又因为x+-XE N,进而可得x=L3.【答案】1515【解析】【分析】本题考查周期性，属于中档题.设 斯=甘+2+3+4%可得%的个位数为0,a2的个位数为0,。3的个位数为0，。4 的个位数为4,的个位数为0,可知“=。+2+3n+4”的个位数以0,0,0,4,0,0,0,4的规律呈现，即可求解.【解答】解：设a.=1 0 2n+3 4”,因为的=11+2+31+4的个位数为0;a2=I2+22+32+42的个位数为 0;a3=I3+23+33+43的个位数为 0;a4=I4+24+34+44的个位数为 4;a5=I5+2s+35+45的个位数为 0,由此分析可知P +2+3n+4n的个位数以0,0,0,4,0,0,0,4的规律呈现，又 2016+4=504,当n=2016时，个位数为0 的有504x 3=1512个.又当n=2017,2018,2019时个位数也为0,故共有1512+3 =1515个.4.【答案】8兀【解析】【分析】本题考查了复数的模及其几何意义，属于中档题.先构造一个新的复数Z=Zi-Z 2,再利用绝对值不等式求得Z所围成的几何图形是圆环的边,从而求得所围图形的面积.第2页，共4页【解答】设2 =Zi Z2 =x +y i,其中x,y E R.因为|z 3 i+8|Z Z2 3 i+8|(z 1 3 i)(z?-8)|所以%3 i|z2 8|(x +8)+(y 3)i|4|z i 3 i|+%8|,即 l|(x +8)+(y-3)i|3,因此，复平面内Zi-Z2 所围成的几何图形是以(-8,3)为圆心，分别以1、3为半径的两个圆所夹的圆环，故其面积 为 兀 8 3 7 r.i3 =8 7r.故答案为：8 7 r.5 .【答案】0【解析】构造b =(3 b 一 5)2。2 0,可得7n=(3 遮 5)6(0,1),b =(3A/3-5)2 02 0 盛三=母,解得2020%2020X-20202+20202,20202y =r =-0面-=2 02 0+故只要满足 者 琮&N+，X y 条件，即x -2 02 0是2 02()2 的因子且x%由2 02()2 =52 x 24x IO 也得共有2 3 个.7 .【答案】2 002【解析】因为1 001 V 1 0012+l 1 001 +所以1 001 x 2 002 2 002 V 1 0012+1 1 001 x 2 002 +1.故由n 2 002 V 1 001 2 +1 =2 002 x 1 001 n可得 nV lO O M+1 =lO O ln.由式可得lO O ln l ooi+焉.故结论为2 0 0 2.8 .【答案】；+*+/+福【解析】设号+舞+翁+黄=4 则A 的值相当于七进制下的分位数.显然当的值固定时、A的值会由。2 逐渐变小，依此类推.由于%,。2,。3,为 7的余数，故解决问题的方法浮现第3页，共4页出来.当的=0时，可知1 4的值共有2 1 8 7个，故从=1开始排序，可得第2 0 2 0个 数 是 弃 共+尹+讨9.【答案】由(如 匕 )(=心 吟 芈-6打,且a,b,c也是正整数，可得 a b c|(a b -l)(b c l)(c a 1),即(a b l)(b c l)(c a -1)=(a/?2c ab-be-V l)(c a 1)=(a b b e+l)(c a 1)=a2be ab abc2+b e+c a 1=ab+be+ca 1=0(modabc),故ab+b c y a-l e N 可推出i w或 学 二Labc 丁 abcy ab+bc+ca-1,3bc 3 _ .1 -ab-c-=；=1 H ；-abc-be-beb +c 1 匕 +c 1 2 c 2=be*N*=1 无 1=2 b 4-b e 4-2 c -1 2bc=b c 4 c =Z?V 4 =b =2,3.易证匕=2不合题意，故b =3.由Q=2,b =3,有ab+bc+ca 1abc不失一般性，由排序不等式可得2 a +3 b +5 c的最大值与最小值的差为9.第4页，共4页
