高中数学4-3-1对数的概念（学案）.pdf
4.3.1对数的概念【学习目标】课程标准学科素养1.理解对数的概念、掌握对数的性质（重、难点）.2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程（重点）.1、直观想象2、数学运算【自主学习】一.对数（1）指数式与对数式的互化及有关概念:（2）底数a的范围是.思考1：如何求解3,=2?|以“为底I|N的对教|I|rffi M )r=N loga N=x-S-1二.常用对数与自然对数1.常用对数：通常我们将以为底的对数叫做常用对数，并把l o gio N记为.2.自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2.7 1 8 2 8为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把l o ge N记作.三.对数的基本性质1.负数和零 对数.2.1og l=（。0,且 分1）.3.1 o g“a=（a 0,且存 1）.思考2：为什么零和负数没有对数?四.对数恒等式1.g“N=m 0 且，N 0）.2 O ga*=3 0,且存1）.思考3：如何推出对数恒等式d o&w=N（a 0且存1,N0）吗?解读：恒等式au,=N与logaab=b的作用/g n=N的作用在于能把任意一个正实数转化为以。为底的指数形式.2Aogaab=b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数.【小试牛刀】i.思辨解析(正确的打“q”，错误的打“X”)l o g“N是l o ga与N的乘积.()(2)(2)3=8 可化为 l o g(一2)(8)=3.()对数运算的实质是求毒指数.()(4)在8 =1 0 g3(2 1)中，实数加的取值范围是(1,+8).()2.若 l o g3 X=3,则*=()A.1 B.3 C.9 D.27【经典例题】题型一指数式与对数式的互化点拨：指数式与对数式互化的思路1 .指数式化为对数式：将指数式的赛作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为寤，对数作为指数，底数不变，写出指数式.例1根据对数定义，将下列指数式写成对数式：1271-4-1_62(4)ln 10=x.【跟踪训练】1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式:(1)4 3=6 4；(2)l n a=b；(3)gJ =；(4)l g 1 0 0 0=3.题型二利用指数式与对数式的互化求变量的值点拨:1.将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.2 .利用幕的运算性质和指数的性质计算.例2利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.1 ,(l)l o g2 X=2；(2)l o g、2 5=2；(3)l o g5%2=2.【跟踪训练】2(1)求下列各式的值.(T)log 981=.l o ggl =.In e2=.(2)求下列各式中x的值.2l o g6 4 X=亨 l o g 0 且存1,N 0),l o g“/=8(a 0,且 尔1).例3求下列式子值。(l)2l o g23+2 1 o g3l-3 1 o g77 +3 1 n 1 =.(2)9 3 嘀,=.【跟踪训练】3求下列各式中的x的值.(l)l o g2(l o g3 X)=0;(2)1 0 g2 1 0 g3(1 0 g2 J C)=l.【当堂达标】1 .(多选)下列选项中错误的是()A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可以化成对数式C.以1 0为底的对数叫做自然对数D.以e为底的对数叫做常用对数2 .(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是()A.1 0 =1 与 1 g 1=0 B.2 7 T =；与 l o g2 7：=；C.Io g3 9=2 与/=3 D.Io g5 5 =l 与 5 1=53.对数式l o gs.2)(5 a)=b中，实数a的取值范围是()A.(-0 0,5)B.(2,5)C.(2,+o o)D.(2,3)U (3,5)4.方程l g(2 x 3)=l的解为.5.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.(1)2-3=|；(2)9)=b；(3)l g f 5 0 0=-3 .6.计算下列各式:(1)2l n e-*l gI-|-3l o S 3 2 (2)3咋3 4 T g 1 0+2防 7.若 l o g o。27 x+1 3)=0,求 x 的值.【课堂小结】1.对数概念的理解规定a 0且(2)由于在实数范围内，正数的任何次易都是正数，所以或=N中，N总是正数,即零和负数没有对数.(3)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即=N 0 1 o g“N=b(a 0且。W 1,N0),据此可得两个常用恒等式：l o g,/=b；*g，=N.2.在关系式=N中，已知。和x求N的运算称为求累运算，而如果已知a和N求尤的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.【参考答案】【自主学习】一 0,且 存1思考 1：X=l o g 3 2.二.1 0 l g _N e ln_N三.没 有0 1思考2：由对数的定义：aN(a 0且存1)，则总有N 0,所以转化为对数式x=k)g“N时，不存在N W 0的情况.四.N。思考3：因为ax=N,所以x=l o g M 代入a=N可得1&=乂【小试牛刀】l .(l)x (2)x (3)(),且#1,，x=5.(3)由 l o g s%2=2,得f=5 2,.，X=5.V 52=2 5 0,(-5)2=2 5 0,；.x=5 或=5.【跟踪训练】2(1)2 0 2解析：设l o g 9 8 1=x,所 以 =设=9 2,故x=2,即l o g 9 8 1=2；设l o g o _4 1=x,所以0.4*=1=0.4,故 x=0,即 l o g o.4 1=0；设 I n e =x,所以&v=e 2,故 x=2,B P I n e=2.2 -3 x(-2 j(2)解：由 I o g 6 4%=Q得x=6 4 3 =4 =4*-=;由 log、8=6,得3=8,又x 0,即X=8 4=2%=0；由 lglO O=x,得 10r=100=102,即 =2；由一lne2=%，得 ln e 2=-x,所以e i=e 2,所以一无=2,即“=-2.例 3(1)0 解析：原式=3+2x03xl+3xO=O.4-(2)4 解析：9 S，=(9)幅4=3 啕4=4.【跟踪训练】3 解(1)因为k)g2(log3X)=0,所以10g3X=l,所以x=3.(2)由 Iog2log3(log吐)=1 得 Iog3(log2x)=2,所以 kg2X=32,所以 x=29=512.【当堂达标】1.BCD解析：只有符合。0,且 中 1,N 0,才有at=N G=log“N,故 B 错误.由定义可知CD均错误.只有A 正确.1 1 1 12.ABD 解析：对于 A,io(=l=Igl=O,A 正确；对于 B,27 3=-log27-=-i ,B 正确；3 3 3对于 C,log,9=2 o 32=9,C 不正确；对于 D,log,5=1 51=5,D 正确.故选：ABD.(a-202a 04.十 解析 由lg(2x3)=1知2x3=1 0,解得工=宁,5.解(1)由 2 3=(可得 k)g2(=3；(2)由b 得 log：6=a；由但 1 ooo=3 可得 io 3=7OOO-6.解：(1)原式=原+2=2+2=4.7(2)原式=3 嘀 47+2。=3喝 4 X 3-1+1=-.卜2-3=1 7.解：由题意得上一20，Lr2#1 由得 f-7 x+12=0.x=3 或 x=4.又由得x 2 且/3.=4.
