第16讲变化率与导数、导数的计算（解析版）.pdf

第16讲 变化率与导数、导数的计算学校:姓名：班级：考号：【基础巩固】1.(2022全国高三专题练习)若函数 x)=e+ln(x+l),尸(0)=4,则斫()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】由/(x)=e+ln(x+l),得:(x)=a e +W，又广(0)=4,所以r(0)=+l=4,贝 ija=3.故选：D.2.（2022全国高三专题练习）已知函数/（x）=（x +l +s i n x,其导函数记为f （x）,则/(389)+/(389)+/(-389)-f (-389)=()A.2 B.-2 C.3 D.-3【答案】A【解析】由已知得 x)=l+今*,(2+cosx)G2+l)-(2x+sinx)-2x则r a)=-/,-，显然广(X)为偶函数.卜+i)令g(x)=f (x)-l=，显然g(x)为奇函数.又/为偶函数，所 以/(389)-/(-3 8 9)=0,/(389)+/(-3 8 9)=g(389)+1 +g(-389)+1 =2,所以 3 8 9）+/（389）+f （-389）-/（一 389）=2.故选：A.3.（2022全国高三专题练习）下列函数求导运算正确的个数为（）（3、）=3，叱口 他 2月=圭；=炉；（.）=x；匚 m）=e、+i.A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】（3、）=3,In 3,故错误；（log.x）=,故正确；x ln 2（e，）=e，,故正确;岛卜伽？故错误；（xe）=e +xe*,故错误；故选：B.4.（2022湖南长沙县第一中学模拟预测）函数y=21n（x+l）+sinx的图象在x=0 处的切线对应的倾斜角为 a,则 sin2 a=()D.35【答案】C【解析】因为y=21n(x+l)+sinx2所以 y =-+cosxX+1当x=0 时，理=3,此时tan a =3,.八 八.2sina cosa 2 tan asin 2a=2 sin a cos a-z-=%-sin a+cos-a tarr a +16 _39+T-5故选：C.1 45.（2。22湖北黄冈中学模拟预测）已知a,6 为正实数，直线W i与 曲 线 尸 叱+。）相 切,则 渭 各的最小值为（）A.8 B.9【答案】B【解析】设切点为（%，%）,y=ln（x+Z?）的导数为 y =!x+hC.10 D.13山切线的方程y =x-a可得切线的斜率为1,令x0+b则为=l n（l-b+=O ,故切点为（1 6,0）,代入 y =x 得。+6=1,、为正实数，,1 4，、/4、=6 4“、=、b 4a贝lj I =（a +b）（I一）=5 H-1-5+2.1-=9，a b a b a h a b当且仅当a =；1 ,%2 时，1上+4；取得最小值9,3 3 a b故选：B6.（2022湖北襄阳五中模拟预测）过点P（l,2）作曲线C：y =的两条切线，切点分别为4 B,则直线的方程为（）A.2 x+y-8=0 B.2 x+y-4 =0C.2x +y-4 =0 D.x+2y 4=0【答案】A【解析】设A（x，x）,8（，必），=；，所以在/点处的切线方程为y-y=-F（x-xJ,将p（l,2）x x4/4代入得2-=-=（1一%），因为=一，化简得2%+x-8 =。，同理可得2+力一8=0,所以直线x x的方程为2 x+y-8 =0,故选：A.7.（2022辽宁沈阳二中模拟预测）函数y =/（x）的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A.o r（2）r（3）/（3）-/（2）B.0 2）3）-2）尸（3）C.0 /3）-/（2）/（2）D.0 /（3）-/（2）r（3）r（2）【答案】C【解析】从f（x）的图象可以看出，点8处切线的斜率大于直线A8的斜率，直线A8的斜率大于点A处切线的斜率，点A处切线的斜率大于0,根据导数的几何意义可得o r(3)/二 尸 ，即0 /f _ /(2)0 时，/(x)=x2-r(l)x+2,则/(x)的图象在点(-2,7(-2)处的切线的斜率为()A.-3 B.3 C.-5 D.5【答案】A【解析】当x 0 时，/(x)=2x /(l),=2-，解得：/=1,.,.当x 0 时，,/(X)=X2-X+2；当 x 0 ,.f(-x)=x2+x+2,又 f(x)为偶函数，.,J(x)=f(-x)=V+x+2,即x 0,故选项A不符合题意；若 y=x-2 sin r,则 y =l-2 c o s x,当 x=0 时，/=-1 0,故选项 B 符合题意；若y=(x-2)e、，则y =(x l)e ,当x=0时，/=-1 0,故选项D不符合题意，X+l(X+1)故选：BC12.(2022福建省福州格致中学模拟预测)已知函数/(x)=r(O)e +d (/()-l)x,则函数x)=下列曲线在x=0处的切线的倾斜角为钝角的是()曲线 =x-2sinx曲 线 尸 J r【答案】e +x2【解析】由题意得/(。)=/(0),且/(x)=r(0)e*+2x(/(0)l),令x=0,得 八0)=1,故/(x)=e*+f故答案为：ev+x213.(2022广东模拟预测)已知/(x)=W +l,则曲线在(L 1)处的切线方程为【答案】y=x【解析】因为/(乃=7+所以r(x)=(X-l n x，2 x _ x 2 x n x _ 2 1n x ,所 以(。)=1，切线方程为y-i =x-i,即=匕故答案为：y=x.14.(2022北京市第一六一中学模拟预测)写出一个同时具有下列性质口的函数_/(x)=:口 /(内多)=/(%)/()：当x e(O,y)时，r(x)0;f (x)是偶函数.【答案】/(力=/(答案不唯一)【解析】取力=/，则%巧)=(药巧)3 =/(占)/(三)，满 足.，/,(x)=3 x2,x 0 时有/(x)0,满足匚,尸(x)=3 x 2 的定义域为R,X/f(-x)=3(-x)2=3 x2=/(x),故尸(x)是偶函数，满足口.故答案为：/(司=炉(答案不唯一)15.(2022全国高考真 题)曲线y =In|x|过 坐 标 原 点 的 两 条 切 线 的 方 程 为,【答案】y=-x y -xee【解析】解：因为y =l n|x|,当x 0 时 y =l n x,设切点为(与,I n%),山y，=1,所以W*=&=-,所以切线方程为X/y-l n x0=(x-x0),xo又切线过坐标原点，所以=解得无产e,所以切线方程为y-l =1(x-e),y =-x；Xo e e当x-1=-(x+e),即%一 e1y =一 1；e故答案为：y =x；y=xe e16.(2022全国高考真题)若曲线y =(x +a)e 有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是【答案】(-S T)“。,+“)【解析】y =(x +a)e*,y =(x +1 +a)e*,设切点为(毛,%),则%=(%+a)e%，切线斜率4=&+l+a)e*,切线方程为：y-&+a)e*=+l+a)e*(x-天)，切线过原点，一(X o+a)e%=H+l +a)e*(-天)，整理得：/+”-。=0,切线有两条，A=a 2+4 a 0,解得a 0,a的取值范围是(e T)U(O,M),故答案为：(二9。,*10)17.(2022山东威海三模)已知曲线G：y =e*+x,C2：=-x 2 +2 x +a (a 0),若有且只有一条直线同时与G，G都相切，贝 IJa=.【答案】1【解析】设/与G相切于P(X|,e ,+为)，与G相切于点。(Z，-x；+2 x 2+a),由G：y =e*+x,得y=e +l,则与 C 1 相切于点 P 的切线方程为:y-el-xl=(et+l)(-xt),即 y =x(l +e-)-*e*+e*，由C 2：y =-f +2 x +a,y=-2 x+2,则与C?相切于点p的切线方程为：y +%2 -2X2-a=(-2X2+2)(X-X2),g|J y=-2x2x+x1+2x+a,y =x(2-2x2)+a+x1,因为两切线重合，所以，1 +e*=2-2 一，e*1-苫戌1=a +x；，由 得为=上 上，代入!得，4(l-x,)e=4a+l-2 e(+e2r,化筒得，2e2m-6e*+4N炉=-1-4，明显可见，%,=0,“=1时等式成立.故答案为：118.(2022浙江高三专题练习)已知函数y=xlnx.(1)求这个函数的导数；(2)求这个函数的图象在点x=l 处的切线方程.【解】(1)因为 y=x ln x,则 y=ln x+x,=lnx+l；x(2)所求切线斜率为A r=l+lnl=l,当x=l 时，y=O,切点坐标为(1,0),因此，函数y=x ln x 的图象在点x=l 处的切线方程为y=x-l.19.(2022全国高考真题(文)已知函数/(x)=x3-x,g(x)=/+a,曲线y=f在点(占,/(西)处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若%=7,求。；(2)求 a 的取值范围.【解】由题意知，/(-1)=-1-(-1)=0,-*)=3/-1,八1)=3 1 =2,贝 iy=x)在点(一 1,0)处的切线方程为y=2(x+l),即y=2 x+2,设该切线与g(x)切于点(，8(9)，g(x)=2 x,则g(w)=2x2=2,解得=1，则g(l)=l+a=2+2,解得a=3；f(x)=3/7 ,则y=f(x)在点(芭 J U)处的切线方程为y(M%)=(3父一D(x一),整理得y=(3x；-l)x-2 x：,设该切线与g(x)切于点(电,g(W),g 3 =2 x,则g也)=2看，则切线方程为N (4+a)=2%(x-X2)，整理得y=2X2X-X1+a,F：l=2：2 ,整理得用入；2 3=j筌 _ 鼻 _2 3=g+-2x1=-x；+a (2 2)4 2 4a 3 i i4/?=X4-2X3-X2+-,则(尢)=9工 3一 6/-3 1 二3%(31+1)(；1 1),令/。)。，解得一 尤 0或x l,令(x)(),解得或0 x i,则x 变化时，厅(x),(x)的变化情况如下表:X.130(0,1)1(1,+00)(x)0+0一0+(x)527/4-1/则刀。)的值域为-1,内)，故。的取值范围为-1,e).【素养提升】1.(2022湖北模拟预测)若过点0)可作曲线y=-3 三条切线，则()A.0 n -m3 C.n0 D.0 n=-nr,【答案】A【解析】设切点为卜,一尸),由 y=-V n y，=-3/,故切线方程为 y+t3=-3r(x-r),因为(肛)(机 0,g(f)为增函数,当0)时，g -时，g Q)0 0,tHOO 时，g(t)4-00,所以只需g(r)极 大 值=g(机)=一加3一()g 极小 值=g(0)=f 。,解得0n -w3故选：A2.(2022山东潍坊三模)过点P(l,m)(?eR)有“条直线与函数 x)=x e 的图像相切，当取最大值时，用的取值范围为()A.-m e B.-m 0 C.一 一 m 0 D.m ee e-e【答案】B【解析】由/(x)=m*,r(x)=(x+l)e 故当X -1时,/(x)0,f(x)单调递减,且/-l 时，/(x)0,/(x)单调递增，结合图象易得，过点尸(l,m)(m e R)至多有3条直线与函数此时，设切点坐标为(七,%),则切线斜率=(毛+l)-e,所以切线方程为y-x()e&=(七+1*&(*-/),将 P(l,z)代入得?=(一片+%+l)-e 。，存在三条切线即函数?=(-+犬+1)有三个不同的根，又g，(x)=(x l)(x+2).e 1 易得在(-2,1)上，g (x)0,g(x)单调递增;在(F,-2)和(1,物)上,g (x)0,g(x)单调递减，画出图象可得当g(-2)帆 0,即-2机 0 时符合题意eY3.(多选)(2 02 2 湖南长沙市南雅中学高三阶段练习)已知函数f(x)=W(e 为自然对数的底数)，过点(。1)作曲线/(x)的切线.下列说法正确的是()4A.当 =0 时，若只能作两条切线，则6 =下e-4B.当。=0,=时，则可作三条切线C.当0 a 2时，可作三条切线，贝I 二0时，有且只有两条切线【答案】A C【解析】函数/(x)=，所以/(x)=M，设切点(x。,白)，则切线的斜率为f (%)=皆，则切线方程为：y-=m(x-x。)，e%已 与4选项A,当。=0时，则6 =下，设g(x)=m，所以g(x)=哼旦，所以，当xe(r o,0),g(x)0,g(x)单调递减，当xe2),当x=0时，g(x)取得极小值，极小值为0,当X=2时，g(x)取得极大值，极小值为1，丫24若只能做两条切线，y =6与g(x)=有且只有两个交点，则6=/，故选项正确：4r之一选项B,当4 =0时，人时，则y =b与g(x)=有且只有一个交点，因此可做一条切线，故该选项错误；选项C,当0 a 2时，则6 =X。2+(：%),设M x)=土 与 必，所以e*e(x)=*+(2+-2 j Q-x)(x一 幻,因为0。2,所以，当xe(2,a),/z (x)0,6(x)单调递增，如图:所以，当=。时，(X)取得极小值，极 小 值 为 当 X =2 时，用力取得极大值，极小值为 詈，由可作三条切线，则 y =b 与力(力有 3个交点，则=6 0 时，y =b与k(x)只 有 1 个交点，因此有且只有1 条切线，故该选项错误.故选：A C.4.(2 02 2 安徽合肥市第八中学模拟预测(理)若曲线G：y =V与曲线C 2：y =ae，(a0)存在2条公共切线，则。的值是.【答案】42 7e-【解析】设公切线在y =d 卜.的切点为(西,4)，在丫=优(0)卜一的切点为卜2，加飞),则曲线在切点的切线方程的斜率分别为/=3 x,2,/=ae对应的切线方程分别为丫-町=3 5 2（%_ 阳）、y 一加心=优”（工-电），即 y=3 xJ 1 ax/、y=aeX2 x+tz e2(1 -x2),所以3 xJ=Qe 9 2 x,3.3 ,八l%3=i(r)得35=0，有寸/-1)，则 ae*=3-H(x,-l)f,整理，得&a =(.T)2 ,2 -2 7 e-设 8。)=纥 丫，则 g(x)，g (x)=(DO-分令 g (x)0 n l x 3,令 g (x)O n x3,所以函数g（x）在。，3）上单调递减，在（T O,D和（3,X。）上单调递增,因为两条曲线有2条公共切线，所以函数），=输4。与 y =g（x）图像有两个交点,4又 g =0,煎3）=，且g（x），如图，e所以24 。=4；，解得。=207.2 7 e3 e3好与曲线=1 0%相切，则实数。=。为坐标原点.当|0P|最小时，直线。尸恰【答案】-e【解析】设 P(x,J n x),所以|O P|=J x2+d)2.(n x)2 ,设 g(x)=x2+(%-(l n x)2,2/+马 n xg (x)=2x+()2 2 (I n x)=-，e x xi 2 2c)当 x 时，I n x 1 =I nA:-,2x ,所以 g (x)0,g(x)单调递增，e e e e当 0 尤 一1 时,I n x 1 2 I n x 2 9 2f2尸 =-1 n x0=-a,显然(x0,l n x0)在直线 y=x上，则 anx(=-x(),因 止 匕 有 al n(a)=a=a=-e,故答案为：-e