高三数学第2章第7节对数与对数函数讲义.pdf

部温对数与对数函数 考试要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，能作出底数为2,1 0,3的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y=a，(a 0,且a#1)与对数函数y=l o g“x(a 0,且aWl)互为反函数.走进教材 夯实基础 回 顾 知 识 激活技能梳理必备知识1 .对数的概念如果a，=N(a 0,且aWl)，那么x叫做以。为底N的对数，记作x=l o g aN,其中。叫做对数的底数，N叫做真数.提醒：指数式与对数式的关系而 薮 蔽|对 数Id=N N0 l o ga/V=6 底数(a 0且 a 1)2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：l o g“l=Q；3 g/=N；i o g aab=0(a 0,且 W1).(2)换底公式：1/=震(，c均大于0且不等于1，0).l Og c U(3)对数的运算性质：如果 a 0,且 aWl,M Q,N 0,那么：l o g“(M/V)=l o g“M+l o g“N；M l o g“W=l o g“M l o g aN；l o g“M =G R).3.对数函数的定义、图象与性质4.反函数定义函数y=l o g“x(a 0 且 aWl)叫作对数函数图象a0 1/：I;/l o g 产。1 启,。)7y产1N(i,。)一y=i o g#性质定义域：(0,+8)值域：R当 x=l时，y=0,即过定点(1,0)当 O V x V l 时，y 1 时，y 0当 O V x V l 时，y 0；当 x 1 时,y 0,且 aWl)互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称.常用结论1 .换底公式的三个重要结论(D l g/=；n(2)l o g)/j,=l o g :(3)l o g Z?-l o g/,c-l o g(J=l o gt tJ.2.对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y=l,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故 O V c V d V l V a V b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.黔激 活 必备技能一 易错易误辨析(正确的打“J ”，错 误 的 打“X”)(1)函数y=l o g 2(x+l)是对数函数.()lOgnZlOgK.l)1 x(3)函数y=h rp t与y=ln(l+元)一ln(lx)的定义域相同.()(4)对数函数y=k)gx(a0且 aWl)的图象过定点(1,0),且过点3,1),g,1),函数图象不在第二、三象限.()答案(1)X(2)X(3)V(4)V二 教材习题衍生1.(多选)(2020 山东临沂期末)若10=4/0，=2 5,则下列结论正确的是()A.a+b=2 B.b-a=C.a/?8(lg 2)2 D.b-a g 6A C D 由 10a=4,1Gz=25,得a=lg4,b=lg25,则 a+b=lg4+lg25=lg 10025 25=2,。一a=lg25-lg4=lg 才，又 1 打 lg6,./?一。电 6,.,.必=41g 21g 541g 21g 4=8(lg 2)2,故选 ACD.2.已知。=2+，Z?=log2(，c=log I，则()A.abc B.acbC.cba D.cabD 因为 OVaVl,hl.所以 ca/?.故选 D.2 J3.函数y=log|(2x1)的定义域是.1 由 10g2(2xl)2 0,得 0V2X1W1.3.,.gvxWl.，函数y=4.函数y=log(4x)+l(a 0,且 a#l)的图象恒过点(3,1)当 4x=l,即 x=3 时，y=logj+l=l.所以函数的图象恒过点(3,1).细研考点-突破题型重难解惑直击高考考点一对数式的化简与求值4例题对讲畲 通 性 通 法 对数运算的一般思路:首先利用零的运算把底数或真数进行变形,冢 一；化成分数指数嘉的形式，使嘉的底数最简.然:后利用对数运算性质化简合并合将 对 数 式 化 为 同 底 数 对 数 的 和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、暴的运算转化一 典 例1利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；/=N Ob=l og“N（a 0,且 a#1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化（1）设 2a=5b=m,且（+=2,则 m 等于（）A.V10B.10C.20D.100（多选）下列各式或说法中正确的有（)A.lg(lg 10)=0B.lg(ln e)=0C.若 1 0=lg x,贝ix=100D.若 10g25X=g，则尤=5（3）（2020全国卷川）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/Q的单位：天)的 Logistic 模型：/)=|_e 0.23(/-53)，其中K为最大确诊病例数,当/（）=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则/约为（In 19心3）（）A.60B.63C.66D.69(1)A(2)AB(3)C(1)由已知，得 a=log2机，b=og5m,则+工=1 =l og?2+l og/z/5 =l og /0=2.a b l og 2 m l og sm a&s解得2=，T6.故选A.(2)对于 A,因为 1 g 1 0=1,1 g 1=0,所以 l g(l g 1 0)=l g 1=0,故 A 正确；对于 B,因为 I n e=l,1 g 1=0,所以 l g(l n e)=l g 1 =0,故 B 正确；对于C,因 为 1 0=l g x,所以x=l()i,故 C错误：对 于 D,因为l og 2 5 X=g,所以2 5 9=%，所以x=5,故 D错误.故选A B.(3)由题意可得，当/*)=0.9 5 K 时，而各=0.9 5 K,*=e-0.2 3(-5 3),A I n 1 9=0.2 3(f 5 3),Z.f-5 3 1 3,.-66,故选 C 点评：对数运算中l og“h=e 是常用的性质之一.跟进训练1.(2 0 2 0 全国卷 I)设 H o g 3 4=2,则 4-=()1 1A讳B-9C1D1B 法一：因为 a l og 3 4=2,所以 l og 3 4 =2,则有 4 =3 2=9,所以 4-=+=I，故选B.法二：因为 alo g 3 4=2,所以一alo g 3 4=2,所以 lo g s，：一2,所以 4 一=3-2=*=/,故选 B.法三：因为alo g 3 4=2,所 以?=记 匕=1。8 4 3,所 以 号=3,两边同时平方得4 =9,所以4-。=/=，故选B.2.（2 0 1 9 北京高考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足W?2 2 1 =/lg 其中星等为-的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是一2 6.7,天狼星的星等是一 1.4 5,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.I O1 0-1 B.1 0.1C.1 g 1 0.1 D.1 O-1 0-1A 由题意知，m=2 6.7,7 7 7 2=-1.4 5,代入所给公式得一1.4 5 (2 6.7)=|lg 篙，所以 1 g =1 0.1,所以善=1()1。,故选A.匕2 考点二 对数函数的图象及其应用 例题对说畲 通 性 通 法利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.典例2 (1)(多选)若函数2,g(x)=lo g|x|,其中。0,且a W l,则函数7(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是()(2)当0 1 时,段)=优-2 单调递增,g(x)=lo g 4|x|在(0,+8)上单调递增，此时D选项符合题意.故选 A D.(2)构造函数 r)=4 和 g(x)=lo g f lX,当a 1 时不满足条件，当OV a V l 时，作出两个函数在(0,3上的图象，1 、历可知,即 2 Vlo g“,则。方 ,所 以。的取值范围为(坐，1).母题变迁1 .将本例(2)中“4，Vlo g“x”变 为 4，=lo 改无有解”，a 的取值范围是 若方程 4v=lo gax 在（0,g上有解，则函数y=4x与函数y=lo g d的图象在(0,3上有交点0 a l,由图象可知，1lo g,/2,J 2解得OV a W 彳,即a的取值范围为o,阴2 .若将本例(2)变为：当 O V x w 时，Gviogd,则实数a 的取值范围为七，1 若G v i o g a X 在 x C(0,；上恒成立，则 O V a 1,且 y=也的图象在y=lo g“x图象的下方，如图所示，由图象知/lo g 可，0 a 4-1 6即实数。的取值范围是七，1.跟进训练1.已知函数y=loga（x+c）（a,c为常数，其 中aO,aW l）,的图象如图，则下列结论成立的是（）A.a 1,c 1 B.a l,O clC.0 a lD.01,0Cgd,要使。，J时，不等式fVlOgaX恒成立，只 需 力 =/在（J,3）上的图象在及（X）=10g0/图象的下方即可.当a l时，显然不成立；当O V aV l时，如图所示.要使 A2 Vlog“x 在尤G(0,g需力（E）W及（W，上恒成立所以 有 钞Wlog，解得a2表,所以Jw a V l.1O即实数a的取值范围是上，1）.考点三对数函数的性质及其应用考向1比较对数值的大小多维探究畲 通 性 通 法 比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较 典例 3 1(1)已知 a=log3,，c=lo g x|,则 a,b,c 的大小关系为()A.abc B.bacC.cba D.cab(2)(2019天津高考)已知 a=logs2,Z?=logo,50.2,c=0.50 2,则,b,c 的大小 关 系 为()A.acb B.abcC.bca D.cab2(3)(2020全国卷川)设 a=log32,Z?=log53,c=y 则()A.acb B.abcC.bca D.ca logs loga3=1,即 c a l,又(|V|=L.c a h,故选 D.(2)V a=log52 V logs小=1,Z?=log().50.2 logo.50.5=1,c=0.50 2=(护 g，0.50-2 l,：.a c b,故选 A.2 9 2(3)V2332,.,.23t,.-.Iog32log33t=-,：.a52,.,.35,Iog53 logs5=,.bc,.a c b,故选 A.点评：本例T和T(3)主要使用了化为同底和中间量比较大小，其中常数化为同底，利用了性质m=ogaam,本例T主要使用中间量比较大小.考向2解简单对数不等式畲 通 性 通 法求解对数不等式的两种类型及方法3 典例3 2 (1)若 l o g 国 0 且 a W1),则实数。的取值范围是.类型方法l o g“x l o g 滴借助y=l o g 的单调性求解，如果”的取值不确定，需分a1与 OVaVl两种情况讨论1 0g a X Z 需先将匕化为以a为底的对数式的形式，再借助y=l o g d 的单调性求解(2)若 l o g。(屋+l)V l o 即2.V 0,则a的取值范围是.(1)(0,机(1,+oo)(2)；,1 当 O V a V l 时,l o gf l1 1 时，l o g,qV l o g a a=1,*-a 1.二实数a的取值范围是(0,加(1,+8).(2)由题意得”0 且 aWl,故 必 有 序+1 2”，又 l o g6/(2+1)oga2a1,所以a*.综上，a*,1 1 点评：在对数不等式中，真数大于0 是隐含条件，不能忘记!考向3与对数函数有关的复合函数的单调性畲通性通法求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤 典例3-3 (1)(2 02 0.新高考全国卷I I)已知函数凡r)=l g(f 4 x 5)在(a,+8)上单调递增，则。的 取 值 范 围 是()一求求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论二判判断对数函数的底数与1的关系，分与OVaVl两种情况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性A.(一8,-1 B.(8,2 C.2,+0)D.5,+8)(2)设函数/(x)=l o g j _ (4 f-4 o r+3 a)在(0,1)上是增函数，则 a的取值范围是3(1)D (2)2,4 由f 一标一50,得 xV-l或 x5,即函数式x)的定义域为(一8,-1)U(5,+8).令/=/一 以 一 5,则/=(%2)2 9,所以函数1 在(,1)上单调递减，在(5,十8)上单调递增，又函数)，=g，在(0,+8)上单调递增，从而函数/U)的单调递增区间为(5,+8),由题意知(“，+8)三(5,+8),.25,故选 D.(2)令/=4/-4 a r+3 a,由 y=l o g i f 在(0,+8)是减函数可得1=4 x 2 4 a x3+3。在(0,1)上是减函数，且 Z 0 在(0,1)上恒成立，又 r=4 f _ 4 a x+3 a=4 卜一?)2/+3 a,：A2 解得 2 W a W 4.4 4 a+3 a 2 0,点评：已知人X)=R)g a(g(X)在区间在”，上是增函数，对于这类问题，应从两个方面考虑：一是根据。与 1 的关系确定g(九)在“，向上的单调性，二是g(x)0 在 x e 2,时恒成立，此时只需g(X)m i n 0即可.跟进训练1.已知 a=l o g 2 7,h=l o g38,c=0.30 2,则 a,h,c 的大小关系为()A.cb a B.a b cC.b c a D.c a l o g 2 4=2,1 b=l o g s 8 l o g a 9 =2,C=0.30 21,：.c b 0,2.设函数7 U)=i o g i(x),x0,a log a 或logj_(-a)log2(-a),.2 I 2a0,a log2a,Uog2（a）0,a0 log2（a）l或一IV aV O,故 选C.3.函数y=logi（f 3x+2）的 单 调 递 增 区 间 为,值域为.3（-8,1）R 由f 3x+2 0得x 2或x V l,即函数的定义域为4x2 或 x0）,f在（2,+8）上单调递增，在（-8,1）上单调递减，而函数y=k）gj_ r在其定义域内是单调递减函数，3.,.y=logj_（%23x+2）在（-8,1）上单调递增，在Q,+8）上单调递减，即3函数y=logj_。23x+2）的单调递增区间为（一8,1）,单调递减区间为（2,+8）.34.已知a 0,若函数应）=1083（加 一%）在3,4上是增函数，则a的取值范围是.（；，+8）要使1）=1083（加一工）在3,4上单调递增，则 =加 一%在 3,4上单调递增，且在 3,4上=加 一x 0恒成立，3W 3,1即 产 解 得 心 于 9a30,