高中数学4利用导数求单调性（精练） （提升版）.pdf

4.2利用导数求单调性（精练）（提升版）题组一单调区间1.（2022天津崇化中学）函数y =x 2.e-的递增区 间 是（）A.（0,2）B.y,o）C.（-8,0），（2,+8）D-（-co,0）U（2,+o o）【答案】A【解析】由题意，函数=可得令/即x（x-2）0,解得O x 0 得0 x ，故选：C.x x x 23.（2022北京首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在（o,）上单调递减的是（）A.y=2 B.y =_%3C.j/=co s D.y =I n-22+x【答案】C【解析】对于A,函数=2同的定义域为R，关于原点对称，且f(-x)=2H=2M=/(X)-所以函数/(x)为偶函数，当x e(0,2)时x)=2，函数x)单调递增，故A不符合题意；对于B,函数/(外=_3的定义域为R,关于原点对称，A f(-x)=-(-x)3=x3=-/(x)所以函数/(x)为奇函数，由基函数的性质知函数、=/在R上单调递增，所以函数x)=_x 3在R上单调递减，故B不符合题意；对于C,函数/(x)=co s 的定义域为R,关于原点对称，且/(-x)=co s(-j)=co s =/(x),所 以 函 数 为 偶 函 数，当一。，2)/(0,),又(O J)H所以函数/(x)=co s 5在 上 单 调 递 减，故C符合题意；对于D,函数/(x)=I n=的定义域为Q Z2),关于原点对称,2+x且 x)=I n=I n(公 尸=一 I n W=-/(X),z.X/十X Z.-V X所以/(“)是奇函数，又/(x)=1 1 _ 2x2 x 2+x(2 x)(2+x)令 八x)0=-2 x0=0 x 0,即l-2 sm x 0,解得o x，6令/即l-2 sm x 0,解 得 烈x 0,即l n x l,解得0 x 0 在(0,)上恒成立，/.l-2s i n2 x-a s i nx 0 1 因为x E(0,乃)，所以s i nx c(0,1 令 s i n x，则/(0川，即-2/-R+1 N 0,r(O,l B-2t+-,令8(。=_2，+1,/(1 ,则 g (f)=_2y 故选：A.2.(2022 广东东莞)若函数/(“=改+8$在(_8,+8)上单调递增，则实数。的取值范围是()A.(-1,1)B.。收)C.(-1,+o o)D.(-1,0)【答案】B【解析】=a -s i nx ,由冠忠倚：/(x)=a s i nx 2 0，a 2 s i nx 在.(_8,+8)上恒成年，因为y =s i nx e-l,l 所以“2 1恒成立,故实数。的取值范围是曾 田).故选：B3.（2022天津一中）已知函数/（）=必 3+3（加一 八2 一 加 2+（o）的单调递减区间是（0,4），则?二（）11A.3 B.-C.2 D.532【答案】B【解析】函数/（X）=加 工 3+3（加一1）2 _加2 +（加 0）,则导数/，（%）=3血 2+6（加 一 1）工令 f ，叩 3m/+6（加一l）x 0,/（x）的单调递减区间是（0,4），4 是方程3加+6（阳_1卜=0 的两根，0+4=2。-加）,0*4=0,二 吁；故选：B.m4.（2022 山 东 聊城）若函数f（x）=ln（x+l）_ 加 x 在区间（0,+8）上单调递减，则实数机的取值范围是（）A.（-o o,-l B.（-oo,-l）C.（l,4-oo）D.l,4-oo）【答案】D【解析】f（x）=ln（x+1）-/nx,f x）=-m,则/（x）=-机 W0 在（1 8）上恒成立，即机二一二恒成x+1 x+1 X+1立，又 =!在（，+00）上单调递减，故一/，当初-1时，导数不恒为0,故选：D.rfl,1 ni 15（2022福建宁德）若函数/a）=x+2sin在戈 四 兀 上单调递增，则实数”的取值范围是（）4 2A.h0B.b0C-b-y2 D-h-y/2【答案】A【解析】由题意2co s x 20在 国 上恒成立，.4 2.N-2 c o sx,J史时，、=-2 c o sx是增函数，4=0（三 时取得），所以故选：A._ 4 2 26.（2 0 2 2 黑龙江 齐齐哈尔市第八中学校）若函数*）=11 1*+“父-2 在区间（；）内存在单调递增区间,则实数。的取值范围是（）A.（一吟 在xe,1）上有解，即a -苴 在 xe1,1 上有解.设 g（x）=_.,x e d，由 g（x）=x-3 0 在 上恒成立,所以g（x）在单调递增,所以.所以a g(1)=_ 8,故选：D7.（2 0 2 2 河北唐山）已知函数/（刈=/_ 冰 _ xln x，a c R，若/（）在 1,+8）单调递增，”的取值范围是（）A.(-o o,l)B.(-8,1 C(l,+8)D.l,+o o)【答案】B【解析】因为/(x)=x2-办-xln x在 1,+8)单调递增，故/(幻=2 X-4-1 1 1-1 2 0在区间1,+0 0)恒成立，g pa 2 x-ln x-l令旗x)=2 x-ln x-l,(x刈 则(x)=2=2o,故始)在L+劝 单调递增,X X则(x).=1，故“4 1，。的取值范围为(-0 0,1 故选：B.8.(2 0 2 2河南 南阳中学)若函数/人 日+小？在区间(1,3)上单调递增，则实数力的取值范围是()A.-；收)B.-l,+0 0j C.T+8)D.(f T【答案】A【解析】由x)=+ln 2 x,得/，(x)=%+LX因为函数x)=h +ln 2 x在区间(1,3)上单调递增，所以,(幻=&+l 20在区间(1，3)上恒成立，即恒成立，XX因为x e.3),所以_ ，所以2，x 3 3所以实数人的取值范围为-;,+8),故选：A9.(2 0 2 2福建泉州高二期 中)已知函数x)=q x2 _|n(x+2)为减函数，则的取值范围是()A.f-0 0,-1 1 B.S 3 C.D.T-1,+0 0)I 2 2 2 )【答案】C 解析由 /(X)=ax2-ln(x+2)，得I x -2f(x)=la x-(),x+2因为函数/(x)=or2-ln(x+2)为减函数，所以/(X)4 0在(-2,+oo)上恒成立，即/(x)=2 a x 4 0在(乜+功 上恒成立,x+2所以2ax。+2)-1 4 0 即 2ax?+4 一140当a=0时，-140成立，当a/0时，y=2ax2+4ax-l的对称轴为x=-2，所以要2aV +4办-1 4 0在(-2,+8)上恒成立，只要满足P 0,解得-，4 a 0,综上，-0 时,f(x)=-f(-x)因此x 为 nx)/，所以山工 I,0 x /(+2)的解集为()A-(-8,-1)U(2,+CO)B(-1,2)C,(-OO,-2)U(1,-KO)D,(-2,1)【答案】B,x _ l-e2x/-4e2x/(x)R【解析】解：因 为 “尸 育 不 i，所 以/=缶 2,+1)2 所以 在 上 单 调 递 减，则/卜 2)/+2)等价于-x +2,解得-l x 0,则函数歹=/(力 在 0,+司 上为增函数，由偶函数的性质得/(|1 _巾2)由于函数y =x)在他+8)上为增函数，则 卜 怕 1 一 2小即一广整理得3/-2，,解得因此，实数 的取值范围是1 0,2.3 3 故选：B.5.(2022河南)已知x 0,y 0，且e?-e s i n 2x-s i n y，则()A-2x y C-x y D-x 0 ft)=e cost f 当 f 0 时，/(f)0 恒成/，所以/(f)在(0,+8)上是增函数,原不等式变形为e -s i n 2x e，-s i n y，即/(2x)/(_y),所以2x y.故选：B.6.(2022湖南邵阳市第二中学模拟预测)已知函数/()=吕，若不等式/(1-)+/(1)*2 对Vx e(0,+8)恒成立，则实数0 的取值范围【答案】(-00,2【解析】/(x)=2(1 +e t)-2=2.V 1 +e、1 +e*1 +e 因为y =l +e 在R上为增函数，所以/(x)=2-1在R上为增函数，因为/(x)+/(-x)=2-4+2-*=2，所以/(1 _依)+/，)4 2 可化为/(1-X)2-/(X2)=/(-X2)1因为,在 R上为增函数，所以对Wx(0,+o o)恒成立，所以“4 x +_l对Wx e(0，+8)恒成立，X因为“0,所以+1*2 口=2,当且仅当x =1,即、=1 时取等号，X X x所 以 心 2,即实数。的取值范围(YO,2故答案为：(-*2题组四 单调性应用之比较大小1.(贵州省毕节市2022届)己 知。=上7 ，b-e,P jJ(，为 自然对数的底 数)，则a，h,C的大小ln 3 2关 系 为()A，c ab B。cb a a cb b c a【答案】A【解析】令/(x)=二，(x),所以/，(x)=g,In x (In x)当x w(O,e)时，/”(x)0,函数/(x)单调递增;所以。=/(3)=名3,eb=eIn e所以c a ”故选：A-2.(广西贵港市高级中学2022届)已知夕=27 d n 5,b=5 nn2.c=1 01 n 兀，则下列结论正确的是()A.b c a B.a b cC.b a c D.c b a【答案】D【呻析】=7 dn 5痴 25 b=7 t ln 27 r ln 3 2 由 于 7 d n 25j d n 3 2 所以a ”设 力=小，则=l,当 x e,+8)时，/(x)0,所以/(x)在x o,e)单调递增，在x e(e,+8)上单调递减，所以)，wln 4 =ln 2ln n 即/俳/(),所以曲 2 21 皿4 2兀得:57 r ln 2 1 01 n j t L!|JhbcB.c a bC.a c bD.c b a().【答案】B【解析】由y(x)=X-1lnx=/f（x）=Inx（l+-）+（l-）当x e(0,1)时，/(x)0,/(x)单调递减，因为/(五)=/(%)=；(五-七),所以c=/1+)因为0 爰|1)/(令，故c 6,故选：B4.(江西师范大学附属中学2022届)设a=C,6 =3,c=e2-W.贝!|a,b,c 大小关 系 是()2ARC*cha bca*ha b【解析】由/=en2.7182.25=-=6 2,后 士，故；42I 2_3 aca=e2=e/一&=c，故；D.ahc假设e?一 无 -,有/-仄 -2-V eln-In V e-ln l）,则/对=1 0,所以（x）在（L+00）上单调递增，X而 正|,则 （相 呜）所以e2M c,故i b+B.b-a b C,b v a v b +1 D,a 0，则 g(x)=/-1 0，则 g(x)在(0,+)上单调递增，且g(x)g(0)=0，因此g(_!_)=e/_ 0，即e表 ，U021J 2021 2021贝 IJ。=2021e砺 2021 x=2022=b 2021令 A(x)=ev-2 x-l，当时,(x)=e-2 0,则(x)在(叫上单调递减,即/(x)A(0)=0，即 e*2x+l，取=焉，得e募 3+i，2021 2021则2021e人 y z B.x z y C y x z D y z x【答案】D1 i z 1 1 i【解析】由X=后，=/，2=汗尸，得111%=一1112了=一111,2=1111,2eTV令/(x)=l (x o),则k)=匕 号(0),当 (,时，/门)0,当 e 时，r(x)0,所以函数/（X）在（o,e）上递增，在 e,+0 0）上递减，又因 l nx=L n 2=L n 4,3 3)4),即 l n l nz l nx2 4所以y z x 故选：D.7.(新疆乌鲁木齐地区2 0 2 2 届)设。=与，b ,c =,则()e2 2 3A，abc ach。c ab bc 0，外力单调递增；当xw(e,+o o)时，/z(x)/(4)/(e2),所以 故选：A.8 .(新疆乌鲁木齐地区2 0 2 2 届)设。=e 2-l,6 =I nl.2,c =，则()A Racb,bacr,D bca*cb I),则/，(x)=e i-(x l)，因为函数了=。1 j=-_ L在a”)上递增，所以函数,(切=&1-工在(1，+0 0)上递增，X X所以r(x)=e，T-B，(i)=o(x i),所以函数x)在(L+8)上递增，所以/(1.2)/(1)=0，即，即。人令g(x)=I n，+1 _(1 5)令，=-,/!令人(1)=1 1 1/+；-1。1),则)=1-y=-l-j O(r l)所以函数/，在(1,+8)上递增，所以6(/?(1)=0，所以g(x)=l n2一(1-FOGNS),故-!()，即l nl.2 ,所以6c，综上所述，故选：D.9.(河南省郑州市2 0 2 2届)已 知 =e;Z)=1 1 L +1,c =4?,则它们的大小关系正确的是()2A，abc B，a c b b a c c b a【答案】B【解析】由6 =野+1 =卜 代+1令/()=卜 +X,则y，(x)=g _ l,x e(0,1)(/(x)0：当 xe Q+o o)/(x)0：所以x)=l nx+l-x在(0,1)上单调递增，在(1,+o o)上单调递减，且/=0则/(疮)0,因此l n a 7 +l-疝0,所以又因为c =J H 1,3，所以l n?+l 疝1.3，得I nJ i7 c b 故选：B10.(陕西省西安中学 2 0 2 2 届)已知 a/,c (L+o o，且 等=5 1 nn,野=3 1 n6,=-2 I nc,则bc aB.cbaa c o ,此时人防单调递增，当x w（O,l ，r（x）0，此时“）单调递减,由题曲2 =-5 1 na,=3 1 n6 ,=2 I nc 得tzl na =I n,6 1 nZ 7=-l n,c l nc =I n=I n,因为一 一 一 I n -l n,则5 5 3 3 2 2 4 4 5 4 3 e 5 5 4 4 3 3anacncbnb,4-co,所以故选：A.11.(湖北省省级示范高中2 0 2 2 届)己 知：a =e0.42,6 =20.5,c =io g 45,则。、b、。大小关系为()b a cc a b【答案】B【解析】令/(x)=e，-x-l，则/0 时，r(x)0,所以函数 x)在(0,+8)上递增,所以/(0.42)/(0)=0,即 e 0,42+1，1.422=2.0164 2 所以e2 0,42+1 2心，所以ab,f 5 Y 25 0os 5 1024又 彳=而 7,5_ 5=5一 41吗 5=1。&4 5-唾 尸=幅 625 0,4 4 4 4 4所以205电5,所以“：故选：B.1 2.(吉林省吉林市2022届)已 知”即 _ 1，6=sinO.l，c=ln l.l，则()AR*a bc*b c D.cah ch 0 时，e 1，e cosx 0，/(X)H 调递增，.-./(o.l)/(o)j 即0 一 1一 5110.10，二0 一 1$布0.1，即。b,令 g(x)=ln(x+l)-sin x，,/、1 l-(x +l)cosx 1-xcosx-cosxv(x)=-cosx=-乙-=-)X+l X+l X+1令(x)=1-xcosx-cosx，?.(x)=(x+l)sinx-cosx令力(x)=(x+l)sinx-cosx，/.(x)=2sinx+(x+1)cosx 9当0 x二时，夕，（x）单调递增，6,“（X）（需1+1 +=叫2一）0/j（x）在x 0,0.1）上单调递减，.4（工）%（0）=0,，g （x）0，g（x）隹x e（O,O,l）上单调递减，g（0,1）g（0）=0 t I H nl.1 s inO.l 0 :.cb 综上：c 6。.故选：D,题组五含参单调性的讨论1.（2 0 2 2 云南省师范大学附属中学）已知函数 x）=xnx_ o r，讨论切的单调性;【答案】/（x）在（0,尸）上单调递减，在（，+8）上单调递增【解析】函数y（x）的定义域为xw（0,+8）,f ,（x）=l nx+1-1 2 令/）=0,解得 x=eJ则有当Ovxve -1 时,，（工）0；当x任 时，f （x）0；所以x）在 e“T）上单调递减，在（e T,+8）上单调递增.2.（2 0 2 2 天津市河东区）已知函数（x）=2 _ 2 1 n x 且.a =2,求函数x）在（2J（2）处的切线方程.（2）讨论函数/（x）的单调性：【答案】（l）y=x-2 1 n2;（2）答案见解析:【解析】当 2时，/(x)=-2 1 n x，所以/=2-21n2/(x)=x-彳，所以/=2-5 =1.所以函数/(X)在(2,/(2)处的切线方程为y-(2-2ln2)=x-2,即y=x-21n2.(2)x)的定义域为(0,+8),/(X)=-a x当a0时，/(x)0恒成立，所以f(x)在(，+8)上单调递减：当心0时，/，0)=子 _：=为+伺 卜-伺.在(。，伺 上，/，(X)0,所以/(x)单调递增.78.(2022天津市南开中学)已知函数/(x)=ae2、+(a_2)e=x，讨论/(x)的单调性：【答案】当aVO时，/(x)在A上单调递减，当a 0时，则x)在(-co,-Ina)上单调递减，在(_na,+oo)上单调递增【解析】/(x)=ae+(a-2)ex-x定义域为凡/,(x)=2e2v+(a-2)ex-l=(aet-l)(2eI+l)当a0时，/，(x)=(ae、-l)(2e、+l)0 时，当 xv-lna 时，/力-lna 时，则/(%)在(-a,-Ina)上单调递减，在(-M凡+上单调递增，综上：当aWO时,/(x)在R 上单调递减，当a 0 时，则f(x)在(f o,-I na)上单调递减，在(_ 所4,+8)上单调递增.4.(20 22四省八校)设函数其中“，”为常数，讨 论 的 单 调 性；【答案】答案见解析【解析】/(x)=x2-a2=(x-a)(x +a),当 a0 ,x _ a或x a,/，(x)x a,当a 0 时，/,(x)0 ,x a 或x _ a，r(x)x a,当a=0 时，综上，肖a 0 时，在(T O,-a)和(a,+8)上单调递增，(-a,a)上单调递减；当 =0时，/(x)在(f o,+)上单调递增.5.(天津市南开中学20 22届)已知函数 x)=g f+a x-(办+l)lnx(ae R),记外的导函数为g(“，讨论g(x)的单调性：【答案】(1)答案见解析【解析】由已知可得g(x)=x-L-alnx，故可得g，(x)=l +-V，=一？+1 .xX2 X X2当 a e(-o o,2 时 g(x)之0，故g(x)在(0,+8)单调递增;当a2,+8)时，由 g，(x)=o,解得X=L-4，或 a+J a j,221，+8单调递增.6.(安徽省皖江名校20 22届)己知函数/(x)=lnx +犷-，叫讨论函数小)的单调性;【答案】答案见解析【解析】显然，函数A x)的定义域为(，+8),且/(x)=L办_。=竺 上 色 土1,X X若a=0,显然/(x)单调递增.若令/(x)=,有？1 储-4“,2a易知 O+J/-4 0 /(x)当X w时,2a单调递增;a-la2-4a /(x)0 f (x)当x e -五，+时，单调递减.若0 4,令/(力=,有,易知 0 勿 一4。0 x)当x e ,一而，单调递增;a-Ja。-4a a+yja2-4a)/(x)0 J(x)当X 亢，*时，单调递增.综上所述,0/(x)f a-yla2-4a a7a2-4a若，的增区间为，-1-，减 区 间 为-工-若0 4 a 4 4，y(x)的增区间为(0,+功；a4若/(x)(a-la2-4a的增区间为1 ，一五一a+yja2-4a-,+0 02a 7f a 7 a 2 -4 a+Ja2-4a减区间为吃 一，吃 一