高中数学7-5复数的三角表示（学案）.pdf

第。5讲复数的三角表示0目标导航课程标准课标解读1 .掌握复数的三角表示形式，能够进行复数代数形式与三角形式的转化，掌握复数的三种表达形式之间的关系.2 .通过对复数的乘与除运算的三角表示及几何意义的理解，能进行复数三角形式的相关运算.通过本节课的学习，要求理解复数的三角表示，接受复数三种形式的表达方式及其之间的关系，会用复数的三角表示形式做复数的乘与除的运算，理解复数三角表达形式的几何意义及复数三角运算的几何意义，能进行与复数相关的三角形式的运算.8K知识精讲知识点1.复数的辐角以x 轴的正半轴为始边、向量0Z所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+b i的辐角。适 合 于 0 或2 兀的辐角0的值，叫辐角的主值。记作：a r gz,即 O Wa r gzv2 7 r.2 .复数的三角表达式一般地，任何一个复数z=a+加都可以表示成N c o s G+is in。)的形式.其中，r 是复数的模；0是复数z=a+历 的 辐 角.r(c o s O+is in。)叫做复数z=a+方的三角表示式，简称三角形式.为 了 与三角形式区分开来+方叫做复数的代数表示式，简称代数形式.注意：复数三角形式的特点模非负，角相同，余弦前，加号连3 .两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等.4 .复数三角形式的乘法及其几何意义设 Z|、z2 的三角形式分别是：z=r(c o s+zs in ),z2=r2(c o s 2+zs in 6,).贝(J z|-Z 2 =4GC O S(G +a)+is in(4 +4)简 记 为：模数相乘，幅角相加.几何意义：把复数Z 对应的向量0Z绕原点逆时针旋转Z。的一个辐角，长度乘以z0 的模，所得向量对应的复数就是z z0.5.复数三角形式的除法及其几何意义设 Z、zz的三角形式分别是：Z =4(以九耳+zsin),z2=r2(cos 02+ising).则4+Z2=c o s(a -%+诟近他-。2)简 记 为：模数相除，幅角相减几何意义：把复数Z对应的向量0 Z绕原点顺时针旋转Zo的一个辐角，长度除以Z。的模，所得向量对应的复数就是三.Zo【即学即练1】下列各式中已表示成三角形式的复数是().A./5(c o s/isi吟)B.A/5(COS/isin)C.0卜 吟+icos D.-0卜os+isi吟)【答案】B【详解】复数的三角表示为：z=r(cosz+isina),其中20,B选项满足.故选：B.【即学即练2 已知复数z对应的向量为OZ(。为坐标原点)，OZ与实轴正向的夹角为120。,且复数z的模为2,则复数2为()A.1 +曲 B.2C.(-1,6)D.-1 +5【答案】D【分析】由复数对应向量与x轴正向夹角，及复数的模，应用复数的三角表示写出对应坐标，进而写出复数z代数形式.【详解】设复数Z对应的点为(x,y),则x=|z|cosl200=2x(-1)=-1,y=|z|sinl200=2 x*=6,复数z对应的点为(-1,6),z=1 +-V3Z.故选：D.【即学即练3】复数-sin30-zcos30的三角形式为()A.sin30+isin30 B.cos240+isin240C.cos30+isin30 D.sin240+zcos240【答案】B【分析】利用诱导公式可得结果.【详解】由诱导公式可知一sin30=-sin(90-60)=-cos60=cos(180+60)=cos240,-cos 30=-cos(90-60)=-sin60=sin(180+60)-sin 240,因此，-sin 30-icos30=cos240+isin240.故选：B.【即学即练4】已知复数2+i 和-3-i 的辐角主值分别为a、夕，则 tan Q+p)等 于()向A.6 B.-巨 C.-1 D.13【答案】D【分析】根据题意，得到lana=；,tan/?=g,结合两角和的正切公式，即可求解.【详解】由题意，复数2+,和-3-i 的辐角主值分别为a,尸，1 I I则e ta n a uI7,ta n八/J u1 7,所ll 以 tan/(a+?八?)、=-ta-n-a-+-t-a-n-6?=?_ 3_,2 3 1-tana t an-LxL2 3故选：D.【即学即练5】.化下列复数为三角形式.(1)-1 +z；(2)li；(3)2i；(4)-1.【答案】(1)2(cos*|;r+isin|)；(2)Vcos;Tr+isin(乃)；(3)2(cosy+zsin)；(4)cosTr+isin 兀.【分析】根据题中所给复数，先求得其模，以及福角正切，结合复数在复平面内对应点所属的象限，求得其辐角主值，得到结果.【详解】(1)a=,/i o r (7万(4)原式=co s 一V2 L(i o考 法 04复数乘法几何意义是解题关键.把复数z 对应的向量O Z 绕原点逆时针旋转Z。的一个辐角，长度乘以z0的模，所得向量对应的复数就是z-z0.复数除法几何意义是解题关键.把复数Z对应的向量0 Z 绕原点顺时针旋转Z。的一个辐角，长度除以z的模，所得向量对应的复数就是.【典例9 如图，向量0 Z对应的复数为-1+i,把0 Z绕点。按逆时针方向旋转15 0,得到o z ,求 向 量 对 应 的 复 数（用代数形式表示）.向 量 对 应 的 复 数 为(-l +i)(co s l 5 0+z s z n l 5 0)=(-l +i)-y-+-i =1一1i,故答案为：史二1-史 里i.2 2【典 例10】在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为Z-Z2,Z3,。(其中。是原点)，已知Z1对应复数4=1+杼.则Z、和Z&对应的复数的乘积 3 =.【答案】-2石-2 i【详解】设Z3对应的复数为Z3,可得闫=闻=2，7 TSTT复平面上点Z1与X轴正半轴的夹角为?，则点Z3与X轴正半轴的夹角为r ,3 6所以 Z3 =2 co s +i-s i n-=-/3+i ,所以 Z 34=N+i)(l +G i)=_ 2 6 _ 2 i.故答案为：2 /3 2 i .【典 例11】O Z对应复数一 1+i，将O Z按逆时针方向旋转12 0。后得到O Z L求O Z，对应复数z.【答案】a(c o s*+isin*)【分析】根据复数的三角式，结合三角函数相关性质，直接计算即可得解.【详解】对应复数一 1+，的三角形式为夜(cos与+isin当)，由复数三角形式法则旋转后可得0 Z 对应复数Z为四 cos(红+包)+isin(红+型)，向侬工zsin乌.4 3 4 3 J 12 12M分层提分题组A基础过关练1.复数sin 40。-icos40。的辐角主值是()A.-40 B.310 C.50 D.130【答案】B【分析】将复数写成cos6+isin(9(0 6 6 iD.石+用【答 案】D【分 析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.【详 解】+Z S 1126n .7Tcos+zsin 6=闲 cos(3+刍 +i sin+刍 12 6 12 o=/6(cos-4-/sin)4 4故选:D.【点 睛】本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.9.设 zi=l 2i,Z2=l+i,Z3=-l+3 i 则 argzi+argZ2+argZ3=()71A.2B.,C.符171D.2【答 案】C【分 析】根据复数辐角主值的范围，结合复数的性质，先 求ZZ2-Z3,从而求得其辐角主值，进而求得结果.【详解】Vzi-Z2-Z3=(l 2/)(1+/)(1 +30=(3-0(-1+3 0=1 0 6argzi+argZ2+argZ3=y +247r,kRZ.；argzi e (耳,2乃)，argz2G(0,argz.iE/.argz+argzj+argz?e(2,与).argz +argZ2+argZ3=彗.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有多个复数辐角主值和的求解，属于简单题目.10.在复平面内，复数z=a+Z?i(aeR,6eR)对应向量o z(。为坐标原点)，设|oz|=r,以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为。，则 z=r(cos，+isin。)，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:%=a(cos，i+isin q),z2=(cos(+/s i n ),则4 z?=依 cos(q+名)+isin(a+幻 ,由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：z=r(cos 0+isin 0)=r(cos nd+isin nO),则(-1+G i)=()A.1024-1045/3?B.-1024+1024/3zC.512-512e D.-512+512后【答案】D【分析】将复数化为4=/;(co sa+isin a)的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.【详解】解：根据复数乘方公式：zn=r(cos0+isin 0),，=rn(cosnO+/sin nd),得(-l+V3z),0=2,0=1024fcos+/sinV 1 0 2 4 f-+Z|=-512+5 1 2 .I 3 3)I 2 2 J故选：D.H.已知复数z=a+Ai可以写成z=|z|(cos6+isin。)，这种形式称为复数的三角式，其中。叫复数z 的辐角，。目0,2万).若复数z=l+Gi,其共扼复数为三，则下列说法复数z 的虚部 为 后；|z=|司2 =z2;Z与彳在复平面上对应点关于实轴对称；复数Z的辐角为?；其中正确的命题个数为()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】B【分析】对于，z=l+g i 的实部为1,虚部为6；对于，宜接计算判断即可；对于，由点的对称关系判断即可；对于，由辐角的定义求解即可【详解】解：对于，复数z=l+也，的虚部为 世，所以错误；对于，因为z=l+后,所以5=1-/,所以|z=|司 2=2,22=(1+后)2=1 +2后+(后 =-2+2后,所以,=|司 2Hz2,所以错误；对于，2=1 +6,和 1=1-拘在复平面对应的点分别为(1,3),(1,-0)，两点关于实轴对称，所以正确；对于，z=l+G i=2(1+且 i)=2(cosg+is in g),所以复数z 的辐角为g,所以正确,2 2 3 3 3故选：B12.任何一个复数2=。+为(其中。，b e R,i 为虚数单位)都可以表示成Z=r(cos6+isin，)(其中rNO,0 e R)的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：r(cos+zsin0)J=r(cosn0+/sinn61)(/j e Z),我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，“为偶数”是“复数(cosg+isi吟)(e Z)为实数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据题意得到sin半=0,故=2 3 Z e Z,即可判断.【详解】ill cos 4-zsin=cos 4-zsm 为实数，2 2)2 2得 sin =0,故二-=攵 乃，k e Z ,2即=2左，k e Z ,故”为偶数是 复数k o s +isin)(e Z)为实数”的充要条件.故选：C.13.4(cos+isin-)4-2cosy+z sin y =()A.1 +收 B.1-收 C.-l+6 i【答案】C【分析】根据复数三角形式的除法法则，进行计算即可.【详解】什 x n(九,乃、4(cos 1+1 sin 4)+2 cos 1 +1 sin J=2 cos(九一q)+isin万一?/24=2 cos-FzsinI 3=-1 +/3i故选：C.【点睛】本题考查三角形式的除法法则，属基础题.D.-1-后14.4(cos60+isin 60)x 3(cos 150+zsin 150)=()A.6 K+6i B.6A/3-6Z C.-6石+6iD.-6石-6 i【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，进行整理化简即可.【详解】4(cos600+zsin600)x3(cosl500+zsinl500)=12 cos(60+150)+1 sin(60+150)=12(cos210+/sin2100)=-65/3-6/故选：D.【点睛】本题考查复数的三角形式的乘法，属基础题.15.1(cos30+?sin30)x2(cos60+/sin60)x3(cos45+sin4 5 )=().3 7 2 ,372.R 3/2 3/2.3 0,3&.n 3&3夜.2 2 2 2 2 2 2 2【答案】C【分析】根据复数三角形式乘法的运算法则，进行计算即可.【详解】1(cos30+/sin30)x2(cos60+isin60)x 3(cos45+zsin45)=；x 2 x 3cos(30+60+45)+zsin(30+60+45)=3(cos 1350+zsin 1350)=3产+乌I 2 2 J3y/2 3&.=-1-1.2 2故选：C.【点睛】本题考查复数的乘法法则，属基础题.题组B能力提升练1.设复数4=2$m。+江。$4?。/4 s i n2 +c o s2 0=Vl +3 s i n2 3,所以 z y J l +B s i l?。2 s i n。icos、广 =+,v l+3 s i n2 0 v l+3 s i n2 0)设 c o s =则 t a n P =2 s i n。.o cos0 八Vl +3 s i n2(9 S，n Jl +3 s i n*C O S。2 s i n 6 咤,=Vl +3 s i n2 0 c o s(万一弓)+i s i n 1/一即r=Jl+3 s i n 2。，cos=c o s*s i n故t a n 夕=t a n5万+j =t a n?+/?+c o s。_ 1 +t a n/?_ 2 s i n 0 _ 2 t a n 0 +l1 -t a n c o s 4 2 t a n -l2 s i n。故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难.解答时要注意将4、?化为三角形式然后再计算.2.已知复数z满足|z|=l,贝 l j|z 4 3 i|的最大值为()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【分析】设 z =8 s 6+s i n。，根据复数模长运算和三角恒等变换的知识可得到|z-4-3 i|=也 6-IOs i n(6+e),由此确定最大值.【详解】由|z|=l 可 设:z=c o s 6+s i n i,z-4-3 i =(c o s。-4)+(s i n 6-3)i,|z-4-3 f|=J(c o s 4-4)2 +($山6-3)-=Jc o s 2 4 +s i n。：一(6s i n d +8 c o s，)+2 5=2 6-1 0 s i n(6+e)(其中 t a n e =1),.当s i n(+0)=-1 时，|z-4-3/|n m=J2 6+1 0 =6.故选：C.【点睛】本题考查复数模长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为三角函数最值的求解问题.3.已知 i 为虚数单位,若 4=(cosa+isinq),z2=A;(cos6 ,+isin(92),，z,=/(cos。+isin。),则 z,z“=44 cos(q+名+q)+is in(q+2+4).特别地，如果 Z|=Z2=i =z“=r(cos6+isin。),那么r(cos6+isin。)=/(cos e+isin。)，这就是法国数学家棣莫佛(16677754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确 的 是()A.z =cos+isin,则/=-+i6 6 2 2B.若 zucosq+isinq,则 z=l +i77r 7乃 5 乃 STTC.若 Z|=2(cos +isin),z2=3(cos-+isin),则 平2=-6 +6D.若 Z =3(co s-i s i n-),z,=4(cos+isin)12 12 4 4则平2=6+6 i【答案】A【分析】A.z=cos竺+ising乃 i,所以该选项正确；6 6 2 2B.z5=cos+isin)=一1,所以该选项错误;C.z=6(cos乃+isin;r)=-6,所以该选项错误;D.zz2=12(cosU 万 +isinU 乃)=6 G+6i.所以该选项错误.6 6【详解】A.若 z=cos+isin工，则 z“=cos+isin34=一 +立 i,所以该选项正确；6 6 6 6 2 2T T 冗B.若 2=8 5+15E不，则/=COS7T+isin=一1,所以该选项错误；7乃5乃 5乃C.若 Z=2(cos +isin),z9=3(cos +isin),则 ZR?=6(cos)+isin乃)=-6,所以12 12 12 12该选项错误；D.z.=3(cos-i-j sin,z9=4(cos +i sin),则12 12 4 4平2=12(cosU+isinU/r)=6G+6i.所以该选项错误.6 6故选：A4.设复数Z|=2sine+ic o s (9 ：|在 复 平 面 上 对 应 向 量，将向量0 4 绕原点。按顺时针方向旋转手后得到向量0Z?,0Z2对应复数Z2=r(cos/+isin9),则ta n e=()2 tan 0+1 2 tan 0-1 -1 -1A.-B.-C.-D.-2 tan 0-1 2 tan 0 4-1 2 tan 8+1 2 tan 0-1【答案】A【分析】先把复数Z|化为三角形式，再根据题中的条件求出复数Z2,利用复数相等的条件得到sin(P和cos。的值，求出tang.【详解】因为|zj=，4sin2 e+cos?0=Vl+3sin2 0,b”n 2sin。icos。所以 Z|=S +3sin-e 1 ，+/,VVl+3sin2 9 Vl+3sin20八 2sin6 八 cos。设cos=-v-,sm=-,/Vl+3sin 0 Jl+3sin 8.八 cos 0则 ta n)=c .,2sin”z2=Vl+3sin2 0 cosf|+zsin|y 9-|=/Vl+3sin2 0 cosf +/?V 4 J I 4)即 r=Jl+3sin2(9，cosg=cos手+4)，sin2 x-2 6 sinxcosx+cos。x _ 1 故。止.确.-V 16+16-5 -故选：BCD.7.(多选题)任何一个复数z=+bi(其中“、b e R,i 为虚数单 位)都可以表示成:z=r(cos6+isin，)的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：z=r(cos，+isin。)=r(cos nd+/sin n6)(n e N.),我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是()A.归|=|zT TB.当 r=l,时，z3=4lC.当 r=I,时，z=-z3 2 2T TD.当=1,3 时，若为偶数，则复数z为纯虚数4【答案】AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数W，可判断C 选项的正误；计算出z 3 可判断D 选项的正误.【详对于 A 选 项,z=r(cose+isin，)，则 z)=，(cos2+isin26),可得|z*2|=|r2(cos2+isin2)|=r2,|z|2=|r(cos+!sin0)|=r2,A 选项正确；对 于 B 选项，当 r=l,。=生 时，z，=(cose+isiney=cos36+isin3e=cos;r+isin万=-1,B 选项错误；对于C 选项，当r=l,时，z=cos+/sin=+/,则z=L-3i,C 选项正确:3 3 3 2 2 2 2对丁 D 选项，z=(cos 0+zsin 6)=cos n0+isin nd=cos +zsin ,取 =4,则为偶数，则z4=cos%+isin万=T 不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共聊复数的运算，考查计算能力，属于中等题.8.设复数z=2(co sr+isi吟)，那么z 的 共 趣 复 数 之 的 代 数 形 式 是.【答案】x/3-i【分析】计算z=6 +i,再计算共轨复数得到答案.【详解】z=2(cose+isi吟)=G +i,故故答案为：6-i.9.若复数Z+1的辐角为B，z l 的辐角为y，则2=.6 3【答案】-+i2 2【分析】设 2=。+万，可得z+l=(a+l)+i,z-l=(tz-l)+M,由已知条件可得tan巴=一 也=走，6。+1 3tan =-=-/3,解得。和力的值即可求解.3 a-【详解】设 z=a+历,(。力 w R),则 z+l=(a+l)+i,z-l=(a-l)+Z?i,因为复数Z+1的 辐 角 为 所 以 tan=也=立，因为复数z-l 的 辐 角 为 所 以 tan=J=-G,3 3。一 1由可得：=(,b=昱,2 2所以z=L i,2 2故答案为：+-i.2 21 0.复数Z 的辐角4?仁；则一5 对应的点位于第 象限.【答案】一【分析】设z =r(co s e+s i n/匹 弓 目，根据复数的乘方运算及除法运算，结合正弦函数的性质即可得出答案.【详解】解：设z =r(co s 8+s i n ,(r 0),。(身，_ _ _ _ _ _ _22 产(co s e +i s i n d)?_ J _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _r2 co s2 0-s i n2 0+i-2 s i n 0co s 0_ J _ _ _ _ _ _ _ r2 co s 2 0+i s i n 2 0=-y co s 2 +-4 i s i n 2 ,r r因为所以所以co s 2 6 0,则-co s 2 0,所以-2对应的点位于第一象限.Z故答案为：一.1 1.设复数z =1 -百，在复平面上对应的向量为0 Z，将 0 Z绕原点。逆时针旋转个角后O得到向量O4(/eM),向量。Z 1 所对应的复数为4 ,若 40,则自然数的最小数值为【答案】4【分析】将复数z 表示为三角的形式，可得出4的三角表示，根据臼 0 可得出关于的表达式，进而可求得自然数的最小值.【详解】因为 z =l-后=2 -i =2 c o s +2 i s i n ,I2 2 J 3 3将 O Z绕原点。逆时针旋转个半角后得到向量O Z 1 (M),向量o z；所对应的复数为Z 1,则Z 1+2isin5 乃 5n7i一 十-3 6cos因 为Z 1 z=/i 1,又a rg zw,不所 以z=l+/.因 为 忖=一1/+(百)=2、所以 z=2 i=2fcos +/sin.2 2)3 3)故答案为：2 k o s与+isin系).1 3.复 数2=与二则argz=_.1-V3/【答 案】y【分 析】利用复数的除法运算进行化简，再借助复数的辐角主值的求法进行求解即可.【详 解】（6+j）a+商后 一（i -病（1+病/3+3i+i+3z一 _ J痢 24i-i复数z 在复平面内，对应点的坐标为（0,1）,点（o,i）在y 轴上，7 T所以a r g z =5,故答案为：.【点睛】本题主要考查复数的除法运算及复数的辐角主值的计算.1 4.若0&为虚数单位），则#=.2 2【答案】-1【分析】先把0 =,+立，转化为复数的三角形式，再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可.2 2【详解】解：复数0 =g +*i 对应的点在第一象限，则 =1,c o s 0 =g,所以 a r g z =2,所以 G =+i=c o s +i s i n ,2 2 3 3所以苏=（c o s 工+i s i n e T=c o s 乙+军+工+i s i n（至+工+工=T.故答案为：-1.【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的乘法运算法则.1 5.复数z =G +i 与它的共规复数三对应的两个向量的夹角为一.【答案】6 0【分析】7利用复数的运算法则计算刍，再化成三角形式的复数，即可得出.Z【详解】解:z _ y/3+i(V 3+02z -x/3-z-(V 3-)(+i)=2+2 i+g=o s 6 0。+j s i n 6 0 .4 2 2二复数z =+i与它的共甑复数N 对应的两个向量的夹角为6 0。.故答案为：6 0 .C培优拔尖练1.计算:(2)V 2(c o s 7 5 +i s i n 7 5 ；(3)+i+2(c o s工+i s i n工 .I 2 2 J L I 3 3【答案】(1)-1 +百i；(2)立+i；(3)-+2 2 4 4【分析】(1)根据复数三角形式的乘方运算可求得结果；(2)将g化为三角形式，利用复数三角形式的乘法运算可求得结果；2 2(3)将一L +化为三角形式，利用复数三角形式的除法运算可求得结果.2 2【详解】(1)&(c o s(+i s i n?=2 c o s-+/s i n -=-l +z ；(2)。扣别孝亭(8S315+i s i n 3 1 5),c o s 7 5 4-z s i n 7 5 l x c o s 7 5 4-z s i n 7 5+Z s i n 3 1 5=c o s(7 5 +3 1 5 )+z s i n(7 5 +3 1 5 )=c o s 3 9 0 4-z s i n 3 9 0 =c o s 3 0 4-z s i n 3 0 =2 +l/.,+g=c o s +,s i n 2 2331 7 3十 2 2.c/兀.万i+2 c o s +/s i n 332汽.c o s 4-z s i n32T3c 万 7 1+2 c o s +z s m 33c o s2+r s i n2乃 7 TT-77 1.乃c o s Fz s i n 331=x2I8.)2 2 J+乌.4 42,已知Z =1 +c o s a +i s i n a ,z2=l-c o s/y +z s i n/?,其中，且a r g z i +a r g z 2=等，上闻=6-1,求t a n(a +夕)的值.【答案】6【分析】结合复数的三角形式以及辐角与模的概念，结合三角恒等变换即可求出结果.【详解】因为Z 1=1 .c 2 a.a a _ a a.a I+c o s a +i s i n a =2 c o s +2 i s i n c o s -=2 c o s-c o s +i s i n-,2 2 2 2 l 22 22 Jz2=l-c o s/?4-i s i n/?=2 s i n2y+2 i s i n y c o s =2 s i n y c o s冗P21+i s i n71 p,又Qa7r P2TT,则 03,%*兀,得所以 a r g Z|=a r g z2=2 2.由 argzi+argz?,2仔2|=后 一1，得，-葭=3，c o s,s i n =一.又cossin=l2 2 2.a+B.a-Bsin-sin.-22,所以s i n 4 1 =-；.又由0 a 乃尸2万，得7t a+8 3%r r i.6Z+/?7万 广、1，/1 九 仄-f 所 以 -=所以 t a n(a+)=t a n-=J 32 2 2 2 6 33.已知复数z满足(z +D+l)=|z|2,且千是纯虚数(1)求z +W的值;(2)求z的辐角主值.【答案】(1)z +z =-l：(2)答案见解析.【分析】(1)由复数乘法法则和共枕复数的性质计算.由 U是纯虚数.得z-12 +1+=0,化简变形为得z S =l，结 合(1)解方程f+x+JO 可得.【详解】(1)由(z +D(Z +l)=|z 得z z +z+z +l =|z|2.因为z z=|z/，所以z +z +l =0，所以z +z =-l;(2)由z-1z+1是纯虚数得所以 z l+z l=o,Z 4-1 z+lzz-z+z-l+z z-z+z-l所以(Z+1)(Z+1)一=0所以2zz=2,所以zz=L于是Z,N是方程V+x+l=0 的两根，解得x=土立i,2 2所以z=i2 2当z=+i 时,Z的辐角主值为W；2 2 3当z=-且 i 时，Z的辐角主值 为 些2 2 34.设复数Z 1=6 +i,复数Z 满足自卜 2,且 zz；在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上,且argZ2W(),乃)，求句的代数形式.【答案】z2=-1+y/3i【分析】设出复数Z2的三角形式，将 由化为三角形式，再计算乘法，根据题意，进行求解.【详解】因为 Z=/3+i=2 f c o s-+Z s in -j,设 z2=2(cosa+isin a),a w(0,4),Z Z；=2 cosr/sinix4(cos 2 a+,sin 2a)7T=8 cos 2a+zsin 2a+66rr 宜山题设知 2a+=2kr+万(&e Z),所以a =k7u+k e Z).又a e(O,i),所以a =-,所以 z?=2(c o s +is in=-l+G i【点睛】本题考查复数的三角形式的乘法，涉及复数的几何意义，属中档题.5.复数 z 满足|z|=l,K z2+2z+-0 .求 z.【答 案】z=-1或z=【分 析】由题意可知设 复 数z=cosa+isin a,计算事z?，2 z.L代 入z?+2z+,0中可得zz2sincrcosa+sina=0【详 解】由题意可知：z=cosa+/sin a,则z2=cos2 a-s in2 a+2/sin a cos a,2z=2 cos a +2i sin a,=cos a -i sin a,z,iz+2z+=(cos 2a+3cos a)+(2 sin a cos a+sin a)i 0,cos2cr+3coscr 02sinacosa+sina=0cos2a+3cos 0sin(2cosa+l)=0若s i n a=0,则cos2a=1,由8 s 2 a +3cosavO得cosa=-l,所 以z=-l,若cosa=-,，则cos2a=-,cos2a+3cosa0,得z=-/,z=-1 或 z=【点 睛】本题考查复数的计算，关键在于设出复数z的三角形式进行运算，理解复数小于零的含义,属于中档题.6.在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2，Z3，O（其 中。为原点）.已知点Z?对 应 的 复 数z2=1+6求Z|和Z3分别对应的复数4小.【答 案】4=1 1 +由 二 匕，23=匕3+小 叵，.2 2 2 2【分 析】根据题意，结合复数运算的几何意义，进行处理即可.【详 解】根据题意画出草图，如图所示.由复数运算的几何意义知G+1 61.+12-22 2【点睛】本题考查复数乘法和除法运算的几何意义，属中档题.7.把复数4 与 Z2对应的向量0 4,0 B 分别按逆时针方向旋转和券后，与向量。例 重合且4 3模相等，已知Z 2=-l-6 i,求复数4 的代数式和它的辐角主值.【答案】-四+血 几 当【分析】根据题意列出等式，再根据复数的三角形式运算求解即可.【详解】由复数乘法的几何意义得Z j 1 cos-+/sin-=z2又 z2=-1 -V3/=2 f cos+i sin J 44.，5万.5乃）2 cos +4 sin cos +zsm -_ I 3 3 3）_ 2Z 一471.71cos+/sin L4 4cos2+zsin-1I 3 3 ycos（3 万一?）+isin（3 万一?）=_&+0 i4的辐角主值为彳【点睛】本题主要考查了复数的几何意义与三角形式的运算,属于中等题.8.设。+5.2 2(1)求证：1=1(2)求证：(0)2 =(0(3)在复数范围内，解方程z 3=l【答案】(1)见解析(2)见解析(3)z =l C z =-i 或 z =i2 2 2 2【分析】(1)利用复数的三角乘法直接求解(2)先求出石，再利用复数的三角乘法直接求解(3)z =c o s O+i s i n。再利用复数的三角乘法直接求解(1)=-+-i=c o s-4-i s i n 2 2 3 3所以=(-+l-i)3=(c o s 4-i s i n )3=c o s 2 7 r+i s i n2=l2 2 3 3(2)中 平,1 百.2 万 .2 4因为 g =十 i=c o s +i s i n 2 2 3 3由I”16.4%.4 4丹 7 以切=-i=c o s +i s i n 2 2 3 3所以(苏？=(-i)2=(c o s +i s i n )2=c o s +i s i n =c o s +i s i n =co2 2 3 3 3 3 3 3(3)令 z =c o s 6?4-i s i n则 z3=(c o s +i s i n 0)3=c o s 3 6+i s i n3 6=1 =c o s 2 +i s i n2 故3。=2 2 伏 2)故6=专(攵 2)L2 匕r .2 匕r /.故 z =c o s-4-i s i n-(kwZ)3 3故z=l 或 z=4+*i 或 z=-日