高三数学二轮复习13导数中恒成立与存在性问题.pdf
函数与导数一导数中的恒成立与存在性问题专题综述函数中的恒成立与存在性问题是高考的考查重点，这部分试题涉及函数方程，逻辑联结词，导数等知识，运用函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想等多种思想方法.结合导数考查恒成立与存在性问题，试题难度较大，但题型大致可分为：已知单调区间，或在某区间上存在单调递增(减)区间n V x e(a”)J (x)NO(WO)或 土(a,。),/(x)0(0(0)；i i)转化为函数/(x)在区间(。力)上不存在递增(减)区间即Vx e (a,(x)0)；第三种：已知 V/q,9 e(a,O),X1 工-加(%1 一%2V%,%e(a,b),不 工 与，叫一 仇卜皿?0(转化为第一种情况2 .已知不等式恒成立n 转化为利用单调性解不等式问题答题思路：同构法第一步:将不等式两侧变形为相同结构；第二步:构造函数/(X),则不等式即为./()0 恒成立，则 正 数 后 的 取 值 范 围 是()XA.(4+8)B.(-,4-00)c.(一,c)D.(,)【审 题 视 点】不等式中含有6米、I n x,且两部分结构分离，不等式可变形为依(6h+1)(尤+1)1。%,ea h联想到同构法的3种基本结构ae”bnb,一 -,e a (x+l)l n x,再 变 形 为 d +l)l n x(/n +l),构造函数/(x)=x G+l)，不 等 式 即 为 丘)/(ln x).判断单调性，得出质与In x的关系.【规范解析】设g(%得 小)一 等,:解：由,(e八+1)(F l)lnx 0,xG(1,-J-oo)；X fct(*+D inx(*+l),1 r-i Ii ii1.根据不等式结构确定方法：同构法，选择积型ae山为卜巾+1)；In(e+l)lnx(x+l).设/(x)=x(ex+1),则不等式为 f(kx)/(Inx),又(x)=e，+1 +xex,当3 1时，/(%)0恒成立f(x)在R上单调递增，：11rVxe(l,4-oo),kxnxj 即人 史31.利用函数单调性，得出恒成立不等式；2.分离参数构造函数求最值.令g，(x)0,则 1cx g(x)1 1 m l=1，e得实数人的取值范围是故选B.【探究总结】同构法解决恒成立问题求参，应先观察不等式，尤其是不等式中含有e In x的结构，初步ea b变 形，再 结 合 三 种 同 构 的 基 本 模 式4/从 口 幺 心-,，4 也，变形为a In/?y g(x)L 1 有解；e(2)若对任意x e(1,+s),不等式/(x),x 恒成立，求实数的取值范围.探究2：转化为求一个函数最值恒成立与存在性问题转化为求函数最值的思路：第一种:分离参数:含参不等式转化为/(x)g(a)(或f(x)0(l).(1)当a =0时，求函数“X)的图象在(e (e)处的切线方程；(2)若对任意x e(l,+8),不等式/(x).nx +4 恒成立，求实数a的取值范 围.(其中e为自然对数的底数)【审题视点】解答题中出现恒成立问题，首先选择分离参数，构造函数求最值；若构造的函数复杂，或解导数不等式困难，则对不等式作适当变形，构造含参函数，分类讨论，判断函数单调性.【思维引导】HY 4-4对不等式二2 I n无+4 的结构进行变形，化分为整”变为I nxa r+4-(l nx)2-4 1 n x 0；构造函数，分类讨论函数的单调性.【规范解析】解：(1)当a=0时，/(司=,所 以 e)=4,此时 r(x)=-T4 V，故尸,)=一4土x l n x e.在点(e,7(e)处切线方程为y-4=q(x-e),4即y=x +8.e(2)由题意得0 +4-1/x 41 n尤.0 对任意%(1,+8)恒成立令 x =e,得 a.1,所以 2 1 nx +4+4-l n2 x0-4I nxo.O,(g(x)=a r +4-l n2%-41 nx,x e(l,4-c o),/、2 1 nx+4g =a x ，设 Mx)=21n：+4,则(x)=-2(：.力 。，-:构造的函数，一次求导，使 参 数 和 1X 分离，便于讨论/z(x)在 X(l,+o o)上单调递减，/.0 /z(x)g =+4 0当,a 1 使得。=网 生 吧，e/r -1-参数。的讨论，以秋X）的范围，为依据两种情况讨论，函数单调性，并求出最值即 映=2 1 nJ Q,+4,g（x）在（l,Xo）上单调递减，在 伉,+8）上单调递增，则 g （彳鼠=g&）=%+4-I n 2 X。-4 I n%.0 ,-,隐零点问题，设而不求1即 以 3+21n a0,-4lnxQ 2 ,即 1%,e2,2 1 nx 0+4/,-ia=-,不又/z(x)在X W(1,4-0 0)上单调递减,已知隐零点范围求参，将方程g (%)=0,转化为。关于x的函数，求值域g,a 0恒成立，求正整数。的最小值.探究3：转化为求两个函数最值1 .恒成立或能成立的不等式，转化为上述两种形式，研究一个函数最值时，解导数不等式较困难，无法明确函数单调性，可以将不等式转化为/(x)g(/)n/(x)g(x)1 r ax；G a,可，训 c,d,/&)g (/)=/(x)而 口 g GL；叫 e a,可，玉 力&句,/(玉)8(%2)=/(%)皿 目(%)；叫 且区句,V/c,d ,/(x Jg(/)n/(x)1rax 虫 皿；r (2021湖北宜昌模拟)己知函数/(x)=+e T,其中e 是自然对数的底数.(1)若关于x 的不等式 矿(乃,，,+机-1在(0,内)上恒成立，求实数?的取值范围;(2)已知正数。满足：存在小 el,+oo),使得/(x 0)0,恒成立问题首先选择分离参数，思路清晰.若参数前，含x 的部分，符号确定，可以先分离参数，构造不含参数的函数.函数本身能够利用常规方法求最值，或对于导函数，能够解不等式，或通过二次求导判断符号，判断函数单调性，求出最值即可即m,e 1 对 x g(0,k)恒成立.ex+ex-1令 e t 1),则叫，J 7 -对任意t e 恒成立,r -r +1IT _r-1 _ _ _ 1t2-t+1+(f-l)+l f 1 3当且仅当f=2 时等号成立,m (-co,.(2)由题意得 设/?(x)=+3x),则当 X 1，”)时 /(X)n l i 0,思路：1.对不等式作适当变形，观察不等式结构；2.明确解题方法：单调性法、分离参数、含参讨论、比较两个函数的最值，结合不等式结构，逐个排除，选择合适的方法./。)在口,+0。)上单调递增,/(X)m in=l)=e+:令 h(x)-。(一/+3x),(x)=a(-3x2+3)=-3a(x2-1),aO,x.A,.,.”(x),0,即人(%)在Xl,+o。)上单调递减,，(力 皿=2。1 cH 2。，e即 ae(+,+oo).2 2e【探究总结】恒成立与存在性问题求参，首先要根据不等式结构选择合适的方法，确定解题方向.将不等式 两 侧“合二为一 时，难以判断函数单调性，则将不等式“一分为二”，若不等式左右两侧结构一致，则利用同构法解决，若结构不一致，则分别求两个函数的最值.2(2021江 苏 镇 江 模 拟)己知函数/(x)=x+?g(x)=-x-In(-x)其中(1)若x=l是函数/(x)的极值点，求实数4的值及g(x)的单调区间；KiNS3(2)若对任意的 现e-3,-2使得/(x j.g(x 2)恒成立，且 一2。0),g(x)=ex-x-xex(x 0).则 g (x)=e*-1 -(x+l)e*=-xex-1 0,g(l)=-l 。，则/(X)O,当x e(Xo，+o o)时，g(x)0,则/(x)1)=：一1，有解.(2)解：对任意x e(l,)，不等式/(%),/恒成立，即，、一 不 一。山匕 恒成立,即 ex-x,anx+xa,即 e-x,e*+Inx恒成立.令力(x)=e*+x,则上式即 为:/?(-%)/z(tzlnx).(x)=+l 0,.-/(x)为R上的增函数，,anx.x 1,c i W-.In x令f(x)=W,xe(l,+8),则/(x)=M xInx(in%)当 力 0时，x e./(x)在区间(l,e)上单调递减，在区间(e,+8)上单调递增,，(文 小(:.a.-e,即实数。的取值范围是 e,+8).变式训练2【解析】解：(1)当。=0时，f(x)=xnx+x9-，/z(x)=lnx+2,/./(I)=2，又/=1，.所求切线的方程为y 1=2(X 1),即为2尤-y-l =0,(2)当0 x 0即 a“n x；x,A令 g(/x)、=-x-l-n-x-+x 则m i l g(x)、=x-nx-2 x-1(x-1)令 h(x)=x-In x-2,则 hf(x)=1 ,x当O v x v l时，hr(x)0,/z(l)=1 0,即g 3 0,函数。切单调递增,当 事 x 0,即 g(x)0,函数g(x)单调递减,g(x)m m=g(x)=型 些 誉 1=(玉 一2厂=%，X()-xo-则 a x0,正整数。的最小值是1.变式训练32【解析】解：由题意得 r(力=1-?二7 =(),即 I-a。，.。=1或。=1;经检验，4=1或。=一1时，X=1是函数/(幻的极值点,.。=1 或 Q=1 ;由 g(x)=-x-ln(-x),(%0),则 g。,贝 ljx v l g(x)在(一 8,-1)上单调递减；在(-1,0)上单调递增(2)el,2,3X2 G-3,-2,恒成立，即 Vx,G 1,2 x,e-3,-2时，/(x)m，n.g(切而“，当 x e-3,-2 时，gf(x)=-l-l 0.X函数g(无)在-3,-2上是减函数.U U）L =5（-2）=2-l n 2.当x e l,2 时，f（x）=i 一/（x-?x +）,-2 a 0,则x+。当一IW avO时，x+。0 恒成立2函数 x）=x+?在 1,2 上是增函数./WU=/（l）=l+2.由 l+/.2-n 2,得 a,-J 1-In 2,又一 Iv a v O,-1 -a2.函数/（x）=x+?在 1,一 ）上是减函数，在（一 2 上是增函数.1小儿=/（一 ）=一 2。2a.2 In2,得 a,1 H In2,2 a 1.2综上所述：a（-2,-J 1-ln2.
