高三数学培优版-椭圆-教师版讲义.pdf

教师姓名学生姓名年 级高三上课时间学 科数学课题名称椭圆高中数学冲刺培优助知识分析一、知识梳理1、椭圆的定义平 面 内 与 两 定 点 的 距 离 的 和 等 于 定 长2a（山 周2 2c）的 点 的 轨 迹，即点集M =PPF+PF2 =2 a,2 aFiF2,其中两定点耳,人叫焦点，定点间的距离|6段叫焦距。2a|耳 闾。椭圆2a=|耳 周。线 段 j 数形结合2|即|。无轨迹2,椭圆的方程（1）标准方程2 2焦点在X轴上，中心在原点：二+2L=1 （”6 0）；a2 b2焦点耳（-c,O），E（c,O）。其中 c=J一 从（一个 R tA）焦点在y轴上,中心在原点：2i +l=ia2 b2()；焦点耳（O,-C），E（O,C）。其中 C =_。2x=a cos 0(2)椭 圆 的 参 数 方 程 八,。e 0,2万)y=b s m 0(3)y=（上半椭圆）3、几何性质4、焦点三角形周长、角度、面积问题，本质上为解三角形问题，需用到正弦定理、余弦定理、面积公式，注意使用椭圆定义转化.设椭圆的两个焦点为，F2,尸是椭圆上的点，当点P在短轴的端点时/耳尸鸟最大.5、线段和、差的最值问题注意用椭圆的定义转化6、点与椭圆的位置关系X y已知点P（毛,%）与 椭 圆/+京=1（。6 0）（耳，鸟为椭圆的焦点），则2 点P在椭圆上o 4+4=lo|P KI+|P及l=2a；CT b2 2(2)点尸在椭圆外。尊+会A lol尸耳|+|尸尾|2a；cT o2 2(3)点。在椭圆内o+粤 lo|P耳|+|尸卜|0,直线与椭圆有两个交点，弦长为N巫(其中。为二次项系数)；1 1 =0,直线与椭圆相切，也即直线与椭圆只有一个公共点；+y 2=l,圆。2：(x-l +y 2=9,动圆A/与圆O i外切，与圆。讷切.求:动圆圆心M所在的曲线方程.答案：设M(x,y),动圆M的半径为r,则 由 题 意 知|M Q|=l +r,|M q|=3-r,于是|M G J+|M C 2|=4.即动点M到两个定点Q,(-1,O),Q2(1,O)的距离之和为定值4,x2 丫2由定义知M所在直线为椭圆所在的曲线方程为一+2-=1.4 31、设AB是两个定点，且|A6|=2,动点M到A点的距离是4,线段M 8的垂直平分线/交于点P，求动点P的轨迹方程x2 y2答案：+丁 =14x =a co s 0-知识点2、椭圆的参数方程，e 0,24)y=bsin02 2椭圆上任意点，通常设为(x,y),用 二 +:=1化 旬，或设为(acos。,方si ne 0,2万)a b.2,2韦 詈 咛 回m八)+71所以最小值是2 1 7-d)2解法二：设直线J：x y +c=O,/与椭圆相切，联立消元，得41 d+50 cx+25c2-40 0 =0,L1-何 V2 l再 =0 nc=V 41 ,所以两平行线最小距离是d=_L -(7-V 41)2试一试9y21、设直线/:2x+y 2=0与椭圆厂+：=1的交点为A、B,点F为椭圆上的动点，则使A R 43的面积为2_的点尸的个数为()2(A)1 (B)2(C)3(D)4答案：B图示：高中数学冲刺培优知识点3、焦点三角形角度问题例3：已知耳、居 是 椭 圆 工+匕=1两个焦点，点P在椭圆上.1 2 8 4(1)若 尸耳，心，则这样的P的个数是 个;(2)若是钝角，则这样的P存在吗？(3)若 名 是 锐 角，则点。的横坐标的取值范围是答案：(1)2；(2)不存在；(3)(-27 2,0)0(0,27 2)x V例4:已知椭圆一y +=尸为椭圆上任一点,(1)若N P 居=%NP=夕,求证:a+pcos-c=-2-a a-Pcos-26解析：(1)在 AP/g中，由正弦定理可得|Pfj|PF2 FF2sin a sin p sin 0.|P用+|P引 内引 2a 2csin +sin p sin(a+)sin a +sin p sin(a+/?).c sin(a+4)a -=-a sin a +sin 夕八.a-B a+f3 a+J32sin cos-cos-2 2 二 2.a+B a-B a-B2sin cos cos-2 2 2（2）已知椭圆的定义，有归用+归 用=2，而 在 尸 中，由余弦定理有+|P&2 _ 2附 归 矶 8s e|=|耳 球=色（I 尸闻+1 P 周）2-2 1 尸凰|P 周一2 1 尸耳|尸号co s 6 =4/即 4（a 2_c2）=2|/；|P K|（l +co s e）所以“弓=；|尸 耳 1 1 用 s i n 夕=乙 二:=h2 t a n L I V-v x O l z 乙小结：（1）面积公式使用余弦定理和面积公式.（2）尸点越接近短轴的端点，面积越大；越接近长轴的端点，面积越小（太显然了）.知识点4、最值问题几何法：通过定义转化为两点之间线段最短（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）例 5、椭 圆 上+亡=1 的左焦点为尸，直线x =加与椭圆相交于点A、B,当 钻的周长最大4 3时，4 8的面积是.答案：3高中数学冲刺培优关 键 1 （几何法）：如图，由于|A 6|a：AC，所 以 以+A E 4 +A C,而 E 4I+6A =E 4+4 A ,故FAf+F（）A FA+A C ,即当 fAB的周长最大时，直线为X=l.关键2：代数法，周长=2 +g，H+，3-I ，/,设帆=2 co s（9,，e （0,乃），贝 U周长=2 +co se +G sin 6 0 皿/4）恒有交点，则实数用的取值范围是4 m答案：U,4）U（4,+）2 2解析：直线丁 =区+1 恒过点（0,1）,点（0,1）需在椭圆-F =1 上或内.4 m例 7：若给定椭圆C:o?+勿 2=（。0/0）和点则称直线/:o+Z?%y =l 为椭圆C 的“伴随直线”（1）若（毛,为）在椭圆。上，判断椭圆C 与它的“伴随直线”的位置关系（相离、相交还是相8切）（2）命题“若点N（/,%）在椭圆。的外部，则直线/与椭圆C 相交”，写出这个命题的逆命题，判断此命题的真假，说明理由；（3）若点N（x。,为）在椭圆。的内部，过 N 点任意做一条直线，交椭圆C 于 A、B,交/于M 点（异于A、8）,设 忘=4丽，砺=%丽，问4+4是否为定值？说明理由提示：（3）为四点共线问题解析：设”），则 由 总=4丽 得 毛华，:）,满足椭圆，即k 1 +4 1 +4a国+4 +4%=i,谒+2 4 叫用飞+力：+2 7 奶 与+匕7才=（+4）2 ,（1+4 ）11+4（其中axxxQ+孙 殉=1 ）（CLXQ+ZTQ-1）4 2 +uXy+by-1 =0；同理：（ax+布 -1）怒+竭 +Z?y12-l =0,故4,功 是 方 程（鬲-1）+谒+为；一 1 =。的两根，所以4+4=0小结：圆1、设弓，%）在圆2 +?2 =心 上，过兄的圆的切线方程是o X+%y =R 2.2、若（毛,%）在圆V+y2 =R 2 外，则过几作圆的两条切线切点为MN,则切点弦MN的直线方程是工犬+为丁二氏二椭圆高中数学冲刺培优厂 y-1、若 4(%,%)在 椭 圆 二+七=1 上，则 过 分 的 椭 圆 的 切 线 方 程 是 警+邛=1.a b a2 b22 2n/、x y2、若品(%o，)o)在椭圆/+万=1 外，则过P。作椭圆的两条切线切点为R、巴，则切点弦P P 的直 线 方 程 是 学+誓 =1.a2 b2相切2 2 _例 9、给定椭圆C：5+=1(。%0),称圆心在原点，半径为J+作 的圆是椭圆。的伴随a b圆，点尸是椭圆c 的伴随圆上的任意一动点，过点尸做椭圆的切线4,2,求证：lAli选题理由：从知识点上，涉及切线；从方法上，涉及根与方程的转化提示：先考虑特例4,6有垂直的情形，其次考虑一般情形设 P 5,%),则设4：=勺与椭圆联立得(b1+a2k x2+1kx(y0 kxxQ)a1 x+(y()a a2b2=010 =4a%2（/一 年）左:+2入0%仁 +Z?2 北=0所以（-苍）A；+2%0%左+b-y；0同理 一 片）%；+2%）为2+/一N；=。因此勺,2是方程（/一年快2 +2/为%+/一 y；=0的两根,因 止 匕k、k?=纭 与=_1（片+W+/）a 一/相交：（1）椭圆的弦长中，长轴最长，短轴最短；（2）椭圆的焦点弦中，长轴最长，垂直于长轴的弦最短;（3）椭圆的焦半径中，4+C最长，最短；2例1 0、（20 1 7春1 0）设椭圆，+2=1的左右焦点分别为、鸟，点P在椭圆上，则使得A F 2P是等腰三角形的点P的个数是答案：6解析：忻刊的范围是+故在第一象限必存在点尸，使得出户|=2=出 引点户是椭圆上任意一点.当M P的模最小时,点尸恰好落在椭圆的右顶点，求实数机的取值范围.高中数学冲刺培优答案：设P（x,y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为二+二=1,故一4 W x W 4.1 6 1 2因为M P =(x-z,y),所以=(x-/n)2+y 2=(x-m)2+1 2x(1-)1 6推出-2 nvc4-m2+1 2=-(x-4m)2 4-1 2-3/7/2.依题意可知，当x=4时，|前 取得最小值.而XE 1，4卜故有4z n 4,解得m .又点/在椭圆的长轴上，即-4W z 2=1的左、右焦点.设过定点M（0,2）的直线/与椭圆交于不同的两点A、B,且NA OB为 锐 角（其中。为坐标原点），求直线/的斜率k的取值范围.题型：角度问题答案：显然直线x=0不满足题设条件，可 设 直 线=2,A（玉,必）,3 2，%），12联立4y=kx-2/，消去y,整理得:+y=1I 4-/+口/+4 区+3=04.4k 3.玉+w=-，丹=-r，k2+-k2+-4 4 =(4%)2_4,+；*3=442一30 得:k 2 2又0 ZA080 0方 丽 0；.西 丽=玉 +%，又 x、X +yty2=X X2+(kxt+2)(f c v2+2)=(1 +2)%,X2+2k(xt+x,)+4=(+k2 2k+4=T 0,即 F 4,：.-2 k 2k2+-k2+-k2+-4 4 4故由、得-2 k卫或昱k22 2小结:点Q在以A B为直径的圆O内O|。|ZAQB 为钝角 o QA-Q8 0X V例13、已知椭圆C:1 +?=1,直线/与椭圆交于P&方）,。（,%）两个不同的点，以OP,OQ为邻边做平行四边形OQ NP,当平行四边形OQNP面 积 为 时，求平行四边形OQNP的对角线之积|0叫|。|的最大值；高中数学冲刺培优题型：面积问题解析：当直线/的斜率不存在时，此时平行四边形为菱形，|0 叫-俨。|=2 5。3Vp=2当直线/的斜率存在时，设/:y =A c+A,则,y=kx：b,（2+3k2）x2+6khx+3b2-6 =0,2x2+3y2=6、）X +，,A =3 6/6 2 _ 4 Q +3 ）（3 从 6）=4 x 6（3 1 -k +2）,乙 3 KSOPNQ=dPQ =瓜，4b2（3k2-b2+2）（2 +3 k J=1 9 A:4+1 2（1-/?2）A:2+4（1-/?2）2=0 =2 +3 左 2 =2/7 20N-PQ=2PQ玉+x2T2+7X+）22=|尸。|（尤|+工2）2+（%+，2）2|P（2|+x 2y+4 妨（+*2）+k2 36k2b2 2 4 及 2 b2（2 +3&2）2 2 +3 公、+4 7（用从替换1）=46b4+b2-lb4 5故|0 叫 1 尸。,的最大值为5知识点6、由圆到椭圆几个重要的定值例 1 4、（这三个结论较常见，可不讲）椭圆中的“垂经定理”A B ,k（）c=-1142、椭圆的“直径所对角”提示：设4（玉,）,。（9,先），则-%-弘-方-+-y-=-及-一-切-=-b-X2 Xx X2+x X 7 2 2 2（代入今+A*+A】可得）3、椭圆的切线性质高中数学冲刺培优解 析 1:固定A 8,当C 位于A8所对的优弧的中点时，A4BC的面积较大;同理：固定A C,当 B 位于AB所对的优弧的中点时，A 48c的面积较大；综上：当A4BC为正三角形时，面积最大.解析 2：=absin C =-2 rsin A -2 rsin -sin C =2 r2 sin A sin B sin C/c2 r 2 -1(r s.m A4 4-sin Bd +s-m C)/3 2s i n-I r J当且仅当A=8=C=工时，等号成立，即AA8C为正三角形.316设 椭 圆 上 三 点cos q乃sin 81）、3（。cos%bsin d?）、acosd GsinQ 1则三角形的面积5=lln c o s 5sin 1In cos Bsin0 1 cos“co睨C(ocos%bsing)sinj 1sin 1sing 1篮?cosgsin sin区sing为(cos综sin0)、(cos%,sin%)、(cos6t,sin)这三个单位圆上的点所构成三角形的面积，根据上述，知其最大值为平综上所述，椭圆上内接三角形面积S 4期 仍4当&-6-二，鸟 史时等号成立，3 3即三点坐标为.4（。cos q,b sin即，B（a cos（;-三）,加in（区-厂）,C（cos（q-午）,Bsin-f）,可求得此时三角形重心为原点解析：第一步：固定A,C,平移B。，知当3 c过圆心时，面积较大;第二步：同理，当A C过圆心时，面积较大；第三步：固定AC，当3 c为弧A C的中点时，面积较大；AC BD=-1Smax=2/高中数学冲刺培优同圆一样，可知当A C、8。都过中心时，四边形的面积较大，下面解释：当您1的。=-4时，四 边 形 的 面 积 一 样，都 为 2 o&,a解析：设直线0 A 为尸=公，则直浅OB为y知识点7、综合题例 1 7 （浙江2 0 1 6 高考理1 9 题（共 2 0 题）如图，设椭圆C：=1(1)（1）求直线y =A x+l被椭圆截得的弦长（用。表示）;（2）若任意以点A（O）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆。的取值范围18解析：联立+V =1得：无 2 +2 日=0,弦长=J l+&212AL,a 7 +k2y=A x+l +K(2)解法一：假设圆A 与椭圆有4 个公共点，由对称性可设)，轴左侧的椭圆上有两个不同的点P、Q,满足|=|A 0|,记直线AP、AQ 的斜率分别为：4,白；且 人 0,女 2，女尸与，由 可知网)同声,|如仲，故 炉？T+&：T+抬=+%：T+代a a a a所以(将一代)1+左：+(2Q2 一。4)匕 2后=0 ,由于卜2，得l +R+M+(2 a 2 _ q 4)后 代=o,因此,+4 +4 =_2/+1，此式有解的充要条件是I kA 匕)故，因此，任意以点A(0,l)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充耍条件为：1 v a 0,-1)3+2)，+/一 2_=。在(_,)内有至多有一个解，需求。的取值范围.其反面为存在r 0,(/1卜2+2,+，一/_ 1 =。在(_ ,)内有两个解，需求4 的取值范围.A 0设/(y)=(/-1),2+2)+/一 2 -1,-1 !-y 0,/(-1)0当/2 时，a2+1+-1-=a2-l +2 4,a2-l a2-l即当4 2 时，存在 0,满足4 ，2r2 0,r2 4高中数学冲刺培优设尸（“co s，,s i n。）是椭圆上任一点，由条件，可得|4P|42恒成立.（co s。）？+（s i n。-4,对任意6 w 0,2句 恒成立,当co s e =0时，不等式成立;当 co s 6w0 时,3+2Si n-s i n =1+2+2 s i n|+21-s i n*0 1-s i n*0 1-s i na2 2.茴课堂练习1、“一3 z l),斜率为1且过椭圆右焦点尸的直线交椭圆于4 B两点，O A +O B与。=(3,-1)共线.求“的值.答案：G高中数学冲刺培优22