2020年四川省高考文科数学试卷和答案.pdf

2 0 2 0 年全 国统 一高 考数 学试 卷（文科）（新课 标）一、选 择 题（共 1 2 小 题）.1 已 知 集 合 A 1，2，3，5，7，1 1，B x|3 x 1 5，则 A B 中 元 素 的 个 数 为（）A 2 B 3 C 4 D 52 若（1+i）1 i，则 z（）A 1 i B 1+i C i D i3 设 一 组 样 本 数 据 x 1，x 2，x n 的 方 差 为 0.0 1，则 数 据 1 0 x 1，1 0 x 2，1 0 x n 的 方 差 为（）A 0.0 1 B 0.1 C 1 D 1 04 L o g i s t i c 模 型 是 常 用 数 学 模 型 之 一，可 应 用 于 流 行 病 学 领 域 有 学 者 根 据 公 布 数 据 建 立了 某 地 区 新 冠 肺 炎 累 计 确 诊 病 例 数 I（t）（t 的 单 位：天）的 L o g i s t i c 模 型：I（t），其 中 K 为 最 大 确 诊 病 例 数 当 I（t*）0.9 5 K 时，标 志 着 已 初 步 遏 制疫 情，则 t*约 为（）（l n 1 9 3）A 6 0 B 6 3 C 6 6 D 6 95 已 知 s i n+s i n（）1，则 s i n（）（）A B C D 6 在 平 面 内，A，B 是 两 个 定 点，C 是 动 点 若 1，则 点 C 的 轨 迹 为（）A 圆 B 椭 圆 C 抛 物 线 D 直 线7 设 O 为 坐 标 原 点，直 线 x 2 与 抛 物 线 C：y2 2 p x（p 0）交 于 D，E 两 点，若 O D O E，则 C 的 焦 点 坐 标 为（）A（，0）B（，0）C（1，0）D（2，0）8 点（0，1）到 直 线 y k（x+1）距 离 的 最 大 值 为（）A 1 B C D 29 如 图 为 某 几 何 体 的 三 视 图，则 该 几 何 体 的 表 面 积 是（）A 6+4 B 4+4 C 6+2 D 4+21 0 设 a l o g 3 2，b l o g 5 3，c，则（）A a c b B a b c C b c a D c a b1 1 在 A B C 中，c o s C，A C 4，B C 3，则 t a n B（）A B 2 C 4 D 81 2 已 知 函 数 f（x）s i n x+，则（）A f（x）的 最 小 值 为 2B f（x）的 图 象 关 于 y 轴 对 称C f（x）的 图 象 关 于 直 线 x 对 称D f（x）的 图 象 关 于 直 线 x 对 称二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3 若 x，y 满 足 约 束 条 件 则 z 3 x+2 y 的 最 大 值 为 1 4 设 双 曲 线 C：1（a 0，b 0）的 一 条 渐 近 线 为 y x，则 C 的 离 心 率为 1 5 设 函 数 f（x），若 f（1），则 a 1 6 已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 1，母 线 长 为 3，则 该 圆 锥 内 半 径 最 大 的 球 的 体 积 为 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共6 0 分。1 7 设 等 比 数 列 a n 满 足 a 1+a 2 4，a 3 a 1 8（1）求 a n 的 通 项 公 式；（2）记 S n 为 数 列 l o g 3 a n 的 前 n 项 和 若 S m+S m+1 S m+3，求 m 1 8 某 学 生 兴 趣 小 组 随 机 调 查 了 某 市 1 0 0 天 中 每 天 的 空 气 质 量 等 级 和 当 天 到 某 公 园 锻 炼 的人 次，整 理 数 据 得 到 下 表（单 位：天）：锻 炼 人 次空 气 质 量 等 级 0，2 0 0（2 0 0，4 0 0（4 0 0，6 0 0 1（优）2 1 6 2 52（良）5 1 0 1 23（轻 度 污 染）6 7 84（中 度 污 染）7 2 0（1）分 别 估 计 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1，2，3，4 的 概 率；（2）求 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 平 均 人 次 的 估 计 值（同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值为 代 表）；（3）若 某 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1 或 2，则 称 这 天“空 气 质 量 好”；若 某 天 的 空 气 质 量 等级 为 3 或 4，则 称 这 天“空 气 质 量 不 好”根 据 所 给 数 据，完 成 下 面 的 2 2 列 联 表，并根 据 列 联 表，判 断 是 否 有 9 5%的 把 握 认 为 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 与 该 市 当 天 的 空 气质 量 有 关？人 次 4 0 0 人 次 4 0 0空 气 质 量 好空 气 质 量 不 好附：K2P（K2 k）0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 1k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 81 9 如 图，在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 E，F 分 别 在 棱 D D 1，B B 1 上，且 2 D E E D 1，B F 2 F B 1 证 明：（1）当 A B B C 时，E F A C；（2）点 C 1 在 平 面 A E F 内 2 0 已 知 函 数 f（x）x3 k x+k2（1）讨 论 f（x）的 单 调 性；（2）若 f（x）有 三 个 零 点，求 k 的 取 值 范 围 2 1 已 知 椭 圆 C：+1（0 m 5）的 离 心 率 为，A，B 分 别 为 C 的 左、右 顶 点（1）求 C 的 方 程；（2）若 点 P 在 C 上，点 Q 在 直 线 x 6 上，且|B P|B Q|，B P B Q，求 A P Q 的 面 积（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的第 一 题 计 分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程 2 2 在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为（t 为 参 数 且 t 1），C 与坐 标 轴 交 于 A，B 两 点（1）求|A B|；（2）以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，求 直 线 A B 的 极 坐 标 方 程 选 修 4-5：不 等 式 选 讲 2 3 设 a，b，c R，a+b+c 0，a b c 1（1）证 明：a b+b c+c a 0；（2）用 m a x a，b，c 表 示 a，b，c 的 最 大 值，证 明：m a x a，b，c 参考 答案一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1 已 知 集 合 A 1，2，3，5，7，1 1，B x|3 x 1 5，则 A B 中 元 素 的 个 数 为（）A 2 B 3 C 4 D 5【分 析】求 出 集 合 A，B，由 此 能 求 出 A B，进 而 能 求 出 A B 中 元 素 的 个 数 解：集 合 A 1，2，3，5，7，1 1，B x|3 x 1 5），A B 5，7，1 1，A B 中 元 素 的 个 数 为 3 故 选：B 2 若（1+i）1 i，则 z（）A 1 i B 1+i C i D i【分 析】把 已 知 等 式 变 形，再 由 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 化 简，然 后 利 用 共 轭 复 数 的 概念 得 答 案 解：由（1+i）1 i，得，z i 故 选：D 3 设 一 组 样 本 数 据 x 1，x 2，x n 的 方 差 为 0.0 1，则 数 据 1 0 x 1，1 0 x 2，1 0 x n 的 方 差 为（）A 0.0 1 B 0.1 C 1 D 1 0【分 析】根 据 任 何 一 组 数 据 同 时 扩 大 几 倍 方 差 将 变 为 平 方 倍 增 长，求 出 新 数 据 的 方 差 即可 解：样 本 数 据 x 1，x 2，x n 的 方 差 为 0.0 1，根 据 任 何 一 组 数 据 同 时 扩 大 几 倍 方 差 将 变 为 平 方 倍 增 长，数 据 1 0 x 1，1 0 x 2，1 0 x n 的 方 差 为：1 0 0 0.0 1 1，故 选：C 4 L o g i s t i c 模 型 是 常 用 数 学 模 型 之 一，可 应 用 于 流 行 病 学 领 域 有 学 者 根 据 公 布 数 据 建 立了 某 地 区 新 冠 肺 炎 累 计 确 诊 病 例 数 I（t）（t 的 单 位：天）的 L o g i s t i c 模 型：I（t），其 中 K 为 最 大 确 诊 病 例 数 当 I（t*）0.9 5 K 时，标 志 着 已 初 步 遏 制疫 情，则 t*约 为（）（l n 1 9 3）A 6 0 B 6 3 C 6 6 D 6 9【分 析】根 据 所 给 材 料 的 公 式 列 出 方 程 0.9 5 K，解 出 t 即 可 解：由 已 知 可 得 0.9 5 K，解 得 e0.2 3（t5 3），两 边 取 对 数 有 0.2 3（t 5 3）l n 1 9，解 得 t 6 6，故 选：C 5 已 知 s i n+s i n（）1，则 s i n（）（）A B C D【分 析】利 用 两 角 和 差 的 三 角 公 式，进 行 转 化，利 用 辅 助 角 公 式 进 行 化 简 即 可 解：s i n+s i n（）1，s i n+s i n+c o s 1，即 s i n+c o s 1，得（c o s+s i n）1，即 s i n（）1，得 s i n（）故 选：B 6 在 平 面 内，A，B 是 两 个 定 点，C 是 动 点 若 1，则 点 C 的 轨 迹 为（）A 圆 B 椭 圆 C 抛 物 线 D 直 线【分 析】设 出 A、B、C 的 坐 标，利 用 已 知 条 件，转 化 求 解 C 的 轨 迹 方 程，推 出 结 果 即可 解：在 平 面 内，A，B 是 两 个 定 点，C 是 动 点，不 妨 设 A（a，0），B（a，0），设 C（x，y），因 为 1，所 以（x+a，y）（x a，y）1，解 得 x2+y2 a2+1，所 以 点 C 的 轨 迹 为 圆 故 选：A 7 设 O 为 坐 标 原 点，直 线 x 2 与 抛 物 线 C：y2 2 p x（p 0）交 于 D，E 两 点，若 O D O E，则 C 的 焦 点 坐 标 为（）A（，0）B（，0）C（1，0）D（2，0）【分 析】利 用 已 知 条 件 转 化 求 解 E、D 坐 标，通 过 k O D k O E 1，求 解 抛 物 线 方 程，即可 得 到 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 解：将 x 2 代 入 抛 物 线 y2 2 p x，可 得 y 2，O D O E，可 得 k O D k O E 1，即，解 得 p 1，所 以 抛 物 线 方 程 为：y2 2 x，它 的 焦 点 坐 标（，0）故 选：B 8 点（0，1）到 直 线 y k（x+1）距 离 的 最 大 值 为（）A 1 B C D 2【分 析】直 接 代 入 点 到 直 线 的 距 离 公 式，结 合 基 本 不 等 式 即 可 求 解 结 论 解：因 为 点（0，1）到 直 线 y k（x+1）距 离 d；要 求 距 离 的 最 大 值，故 需 k 0；可 得 d；当 k 1 时 等 号 成 立；故 选：B 9 如 图 为 某 几 何 体 的 三 视 图，则 该 几 何 体 的 表 面 积 是（）A 6+4 B 4+4 C 6+2 D 4+2【分 析】先 由 三 视 图 画 出 几 何 体 的 直 观 图，利 用 三 视 图 的 数 据，利 用 三 棱 锥 的 表 面 积 公式 计 算 即 可 解：由 三 视 图 可 知 几 何 体 的 直 观 图 如 图：几 何 体 是 正 方 体 的 一 个 角，P A A B A C 2，P A、A B、A C 两 两 垂 直，故 P B B C P C 2，几 何 体 的 表 面 积 为：3 6+2故 选：C 1 0 设 a l o g 3 2，b l o g 5 3，c，则（）A a c b B a b c C b c a D c a b【分 析】利 用 指 数 函 数、对 数 函 数 的 单 调 性 直 接 求 解 解：a l o g 3 2，b l o g 5 3，c，a c b 故 选：A 1 1 在 A B C 中，c o s C，A C 4，B C 3，则 t a n B（）A B 2 C 4 D 8【分 析】由 已 知 利 用 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 可 求 t a n C 的 值，利 用 余 弦 定 理 可 求 A B 的值，可 得 A C，利 用 三 角 形 的 内 角 和 定 理 可 求 B 2 C，利 用 诱 导 公 式，二 倍 角 的 正切 函 数 公 式 即 可 求 解 t a n B 的 值 解：c o s C，A C 4，B C 3，t a n C，A B 3，可 得 A C，B 2 C，则 t a n B t a n（2 C）t a n 2 C 4 故 选：C 1 2 已 知 函 数 f（x）s i n x+，则（）A f（x）的 最 小 值 为 2B f（x）的 图 象 关 于 y 轴 对 称C f（x）的 图 象 关 于 直 线 x 对 称D f（x）的 图 象 关 于 直 线 x 对 称【分 析】设 s i n x t，则 y f（x）t+，t 1，1，由 双 勾 函 数 的 图 象 和 性 质 可 得，y 2 或 y 2，故 可 判 断 A；根 据 奇 偶 性 定 义 可 以 判 断 B 正 误；根 据 对 称 性 的 定 义 可 以判 断 C，D 的 正 误 解：由 s i n x 0 可 得 函 数 的 定 义 域 为 x|x k，k Z，故 定 义 域 关 于 原 点 对 称；设 s i n x t，则 y f（x）t+，t 1，1，由 双 勾 函 数 的 图 象 和 性 质 得，y 2 或 y 2，故 A 错 误；又 有 f（x）s i n（x）+（s i n x+）f（x），故 f（x）是 奇 函数，且 定 义 域 关 于 原 点 对 称，故 图 象 关 于 原 点 中 心 对 称；故 B 错 误；f（+x）s i n（+x）+s i n x；f（x）s i n（x）+s i n x+，故 f（+x）f（x），f（x）的 图 象 不 关 于 直 线 x 对 称，C 错 误；又 f（+x）s i n（+x）+c o s x+；f（x）s i n（x）+c o s x+，故 f（+x）f（x），定 义 域 为 x|x k，k Z，f（x）的 图 象 关 于 直 线 x 对 称；D 正 确；故 选：D 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3 若 x，y 满 足 约 束 条 件 则 z 3 x+2 y 的 最 大 值 为 7【分 析】先 根 据 约 束 条 件 画 出 可 行 域，再 利 用 几 何 意 义 求 最 值，z 3 x+2 y 表 示 直 线 在 y轴 上 的 截 距 的 一 半，只 需 求 出 可 行 域 内 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 最 大 值 即 可 解：先 根 据 约 束 条 件 画 出 可 行 域，由 解 得 A（1，2），如 图，当 直 线 z 3 x+2 y 过 点 A（1，2）时，目 标 函 数 在 y 轴 上 的 截 距 取 得 最 大 值 时，此时 z 取 得 最 大 值，即 当 x 1，y 2 时，z m a x 3 1+2 2 7 故 答 案 为：7 1 4 设 双 曲 线 C：1（a 0，b 0）的 一 条 渐 近 线 为 y x，则 C 的 离 心 率 为【分 析】由 双 曲 线 的 方 程 求 出 渐 近 线 的 方 程，再 由 题 意 求 出 a，b 的 关 系，再 由 离 心 率 的公 式 及 a，b，c 之 间 的 关 系 求 出 双 曲 线 的 离 心 率 解：由 双 曲 线 的 方 程 可 得 渐 近 线 的 方 程 为：y x，由 题 意 可 得，所 以 离 心 率 e，故 答 案 为：1 5 设 函 数 f（x），若 f（1），则 a 1【分 析】先 求 出 函 数 的 导 数，再 根 据 f（1），求 得 a 的 值 解：函 数 f（x），f（x），若 f（1），则 a 1，故 答 案 为：1 1 6 已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 1，母 线 长 为 3，则 该 圆 锥 内 半 径 最 大 的 球 的 体 积 为【分 析】由 条 件 易 知 该 圆 锥 内 半 径 最 大 的 球 为 该 圆 锥 的 内 接 球，作 图，数 形 结 合 即 可解：当 球 为 该 圆 锥 内 切 球 时，半 径 最 大，如 图：B S 3，B C 1，则 圆 锥 高 S C 2，设 内 切 球 与 圆 锥 相 切 与 点 D，半 径 为 r，则 S O D S C B，故 有，即，解 得 r，所 以 该 球 的 体 积 为 r3 故 答 案 为：三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共6 0 分。1 7 设 等 比 数 列 a n 满 足 a 1+a 2 4，a 3 a 1 8（1）求 a n 的 通 项 公 式；（2）记 S n 为 数 列 l o g 3 a n 的 前 n 项 和 若 S m+S m+1 S m+3，求 m【分 析】（1）设 其 公 比 为 q，则 由 已 知 可 得，解 得 a 1 1，q 3，可 求 其通 项 公 式（2）由（1）可 得 l o g 3 a n n 1，是 一 个 以 0 为 首 项，1 为 公 差 的 等 差 数 列，可 求 S n，由 已 知 可 得+，进 而 解 得 m 的 值 解：（1）设 公 比 为 q，则 由，可 得 a 1 1，q 3，所 以 a n 3n1（2）由（1）有 l o g 3 a n n 1，是 一 个 以 0 为 首 项，1 为 公 差 的 等 差 数 列，所 以 S n，所 以+，m2 5 m 6 0，解 得 m 6，或 m 1（舍 去），所 以 m 6 1 8 某 学 生 兴 趣 小 组 随 机 调 查 了 某 市 1 0 0 天 中 每 天 的 空 气 质 量 等 级 和 当 天 到 某 公 园 锻 炼 的人 次，整 理 数 据 得 到 下 表（单 位：天）：锻 炼 人 次空 气 质 量 等 级 0，2 0 0（2 0 0，4 0 0（4 0 0，6 0 0 1（优）2 1 6 2 52（良）5 1 0 1 23（轻 度 污 染）6 7 84（中 度 污 染）7 2 0（1）分 别 估 计 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1，2，3，4 的 概 率；（2）求 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 平 均 人 次 的 估 计 值（同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值为 代 表）；（3）若 某 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1 或 2，则 称 这 天“空 气 质 量 好”；若 某 天 的 空 气 质 量 等级 为 3 或 4，则 称 这 天“空 气 质 量 不 好”根 据 所 给 数 据，完 成 下 面 的 2 2 列 联 表，并根 据 列 联 表，判 断 是 否 有 9 5%的 把 握 认 为 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 与 该 市 当 天 的 空 气质 量 有 关？人 次 4 0 0 人 次 4 0 0空 气 质 量 好空 气 质 量 不 好附：K2P（K2 k）0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 1k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 8【分 析】（1）用 频 率 估 计 概 率，从 而 得 到 估 计 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1，2，3，4的 概 率；（2）采 用 频 率 分 布 直 方 图 估 计 样 本 平 均 值 的 方 法 可 得 得 答 案；（3）由 公 式 计 算 k 的 值，从 而 查 表 即 可，解：（1）该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1 的 概 率 为：；该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 2 的 概 率 为：；该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 3 的 概 率 为：；该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 4 的 概 率 为：；（2）由 题 意 可 得：一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 平 均 人 次 的 估 计 值 为：1 0 0 0.2 0+3 0 0 0.3 5+5 0 0 0.4 5 3 5 0；（3）根 据 所 给 数 据，可 得 下 面 的 2 2 列 联 表，人 次 4 0 0 人 次 4 0 0 总 计空 气 质 量 好 3 3 3 7 7 0空 气 质 量 不 好 2 2 8 3 0总 计 5 5 4 5 1 0 0由 表 中 数 据 可 得：K2 5.8 0 2 3.8 4 1，所 以 有 9 5%的 把 握 认 为 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 与 该 市 当 天 的 空 气 质 量 有 关 1 9 如 图，在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 E，F 分 别 在 棱 D D 1，B B 1 上，且 2 D E E D 1，B F 2 F B 1 证 明：（1）当 A B B C 时，E F A C；（2）点 C 1 在 平 面 A E F 内【分 析】（1）因 为 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 是 长 方 体，且 A B B C，可 得 A C 平 面 B B 1 D 1 D，因 为 E F 平 面 B B 1 D 1 D，所 以 E F A C（2）取 A A 1 上 靠 近 A 1 的 三 等 分 点 M，连 接 D M，C 1 F，M F 根 据 已 知 条 件 可 得 四 边 形A E D 1 M 为 平 行 四 边 形，得 D 1 M A E，再 推 得 四 边 形 C 1 D 1 M F 为 平 行 四 边 形，所 以 D 1 M C 1 F，根 据 直 线 平 行 的 性 质 可 得 A E C 1 F，所 以 A，E，F，C 1 四 点 共 面，即 点 C 1 在平 面 A E F 内 解：（1）因 为 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 是 长 方 体，所 以 B B 1 平 面 A B C D，而 A C 平 面 A B C D，所 以 A C B B 1，因 为 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 是 长 方 体，且 A B B C，所 以 A B C D 是 正 方 形，所 以 A C B D，又 B D B B 1 B 所 以 A C 平 面 B B 1 D 1 D，又 因 为 点 E，F 分 别 在 棱 D D 1，B B 1 上，所 以 E F 平 面 B B 1 D 1 D，所 以 E F A C（2）取 A A 1 上 靠 近 A 1 的 三 等 分 点 M，连 接 D 1 M，C 1 F，M F 因 为 点 E 在 D D 1，且 2 D E E D 1，所 以 E D A M，且 E D A M，所 以 四 边 形 A E D 1 M 为 平 行 四 边 形，所 以 D 1 M A E，且 D 1 M A E，又 因 为 F 在 B B 1 上，且 B F 2 F B 1，所 以 A 1 M F B 1，且 A 1 M F B 1，所 以 A 1 B 1 F M 为 平 行 四 边 形，所 以 F M A 1 B 1，F M A 1 B 1，即 F M C 1 D 1，F M C 1 D 1，所 以 C 1 D 1 M F 为 平 行 四 边 形，所 以 D 1 M C 1 F，所 以 A E C 1 F，所 以 A，E，F，C 1 四 点 共 面 所 以 点 C 1 在 平 面 A E F 内 2 0 已 知 函 数 f（x）x3 k x+k2（1）讨 论 f（x）的 单 调 性；（2）若 f（x）有 三 个 零 点，求 k 的 取 值 范 围【分 析】（1）求 出 函 数 的 导 数，通 过 讨 论 k 的 范 围，求 出 函 数 的 单 调 区 间 即 可；（2）根 据 函 数 的 单 调 性，求 出 函 数 的 极 值，得 到 关 于 k 的 不 等 式 组，解 出 即 可 解：（1）f（x）x3 k x+k2 f（x）3 x2 k，k 0 时，f（x）0，f（x）在 R 递 增，k 0 时，令 f（x）0，解 得：x 或 x，令 f（x）0，解 得：x，f（x）在（，）递 增，在（，）递 减，在（，+）递 增，综 上，k 0 时，f（x）在 R 递 增，k 0 时，f（x）在（，）递 增，在（，）递 减，在（，+）递增；（2）由（1）得：k 0，f（x）极 小 值 f（），f（x）极 大 值 f（），若 f（x）有 三 个 零 点，只 需，解 得：0 k，故 a（0，）2 1 已 知 椭 圆 C：+1（0 m 5）的 离 心 率 为，A，B 分 别 为 C 的 左、右 顶 点（1）求 C 的 方 程；（2）若 点 P 在 C 上，点 Q 在 直 线 x 6 上，且|B P|B Q|，B P B Q，求 A P Q 的 面 积【分 析】（1）根 据 e，a2 2 5，b2 m2，代 入 计 算 m2的 值，求 出 C 的 方 程 即 可；（2）设 出 P，Q 的 坐 标，得 到 关 于 s，t，n 的 方 程 组，求 出 A P（8，1），A Q（1 1，2），从 而 求 出 A P Q 的 面 积 解：（1）由 e 得 e2 1，即 1，m2，故 C 的 方 程 是：+1；（2）由（1）A（5，0），设 P（s，t），点 Q（6，n），根 据 对 称 性，只 需 考 虑 n 0 的 情 况，此 时 5 s 5，0 t，|B P|B Q|，有（s 5）2+t2 n2+1，又 B P B Q，s 5+n t 0，又+1，联 立 得 或，当 时，A P（8，1），A Q（1 1，2），S A P Q|8 2 1 1 1|，同 理 可 得 当 时，S A P Q，综 上，A P Q 的 面 积 是（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的第 一 题 计 分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程 2 2 在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为（t 为 参 数 且 t 1），C 与坐 标 轴 交 于 A，B 两 点（1）求|A B|；（2）以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，求 直 线 A B 的 极 坐 标 方 程【分 析】（1）可 令 x 0，求 得 t，对 应 的 y；再 令 y 0，求 得 t，对 应 的 x；再 由 两 点 的距 离 公 式 可 得 所 求 值；（2）运 用 直 线 的 截 距 式 方 程 可 得 直 线 A B 的 方 程，再 由 由 x c o s，y s i n，可 得 所求 极 坐 标 方 程 解：（1）当 x 0 时，可 得 t 2（1 舍 去），代 入 y 2 3 t+t2，可 得 y 2+6+4 1 2，当 y 0 时，可 得 t 2（1 舍 去），代 入 x 2 t t2，可 得 x 2 2 4 4，所 以 曲 线 C 与 坐 标 轴 的 交 点 为（4，0），（0，1 2），则|A B|4；（2）由（1）可 得 直 线 A B 过 点（0，1 2），（4，0），可 得 A B 的 方 程 为 1，即 为 3 x y+1 2 0，由 x c o s，y s i n，可 得 直 线 A B 的 极 坐 标 方 程 为 3 c o s s i n+1 2 0 选 修 4-5：不 等 式 选 讲 2 3 设 a，b，c R，a+b+c 0，a b c 1（1）证 明：a b+b c+c a 0；（2）用 m a x a，b，c 表 示 a，b，c 的 最 大 值，证 明：m a x a，b，c【分 析】（1）将 a+b+c 0 平 方 之 后，化 简 得 到 2 a b+2 a c+2 b c（a2+b2+c2）0，即可 得 证；（2）利 用 反 证 法，假 设 a b 0 c，结 合 条 件 推 出 矛 盾【解 答】证 明：（1）a+b+c 0，（a+b+c）2 0，a2+b2+c2+2 a b+2 a c+2 b c 0，2 a b+2 a c+2 b c（a2+b2+c2），a b c 1，a，b，c 均 不 为 0，2 a b+2 a c+2 b c（a2+b2+c2）0，a b+a c+b c 0；（2）不 妨 设 a b 0 c，则 a b，a+b+c 0，a b c，而 a b 2，与 假 设 矛 盾，故 m a x a，b，c