2020年云南省全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)及解析.pdf

2 0 2 0 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试文 科 数 学（新 课 标 三）注意 事项：1答 卷前，考生 务必 将自己 的姓名 和准 考证号 填写 在答题 卡上.2 回答 选择 题时，选出 每小 题答案 后，用铅 笔把 答题卡 对应 题目的 答案标 号涂 黑.如需 改动，用橡 皮擦 干净后，再选 涂其 他答案 标号.回答 非选 择题时，将 答案写 在答题 卡上.写在 本试 卷上无 效.3考 试结 束后，将本 试卷和 答题卡 一并 交回.一、选择 题：本题 共 12 小题，每小 题 5 分，共 60 分.在每 小题 给出的 四个 选项中，只有 一项 是符合 题目 要求的.1.（5 分）已 知 集 合 1 2 3 5 7 1 1 A，3 1 5|B x x，则 A B 中 元 素 的 个 数 为（）A.2 B.3 C.4 D.52.（5 分）若 1 1 z i i，则 z=（）A.1 i B.1+i C.i D.i3.（5 分）设 一 组 样 本 数 据 x 1，x 2，x n 的 方 差 为 0.0 1，则 数 据 1 0 x 1，1 0 x 2，1 0 x n 的 方 差为（）A.0.0 1 B.0.1 C.1 D.1 04.（5 分）L o g i s t i c 模 型 是 常 用 数 学 模 型 之 一，可 应 用 于 流 行 病 学 领 城 有 学 者 根 据 公 布 数 据 建立 了 某 地 区 新 冠 肺 炎 累 计 确 诊 病 例 数 I(t)(t 的 单 位：天)的 L o g i s t i c 模 型：0.23(53)()=1 etIKt，其 中 K 为 最 大 确 诊 病 例 数 当 I(*t)=0.9 5 K 时，标 志 着 已 初 步 遏 制 疫 情，则*t约 为（）（l n 1 9 3）A.6 0 B.6 3 C.6 6 D.6 95.（5 分）已 知s i n s i n=31，则s i n=6（）A.12B.33C.23D.226.（5 分）在 平 面 内，A，B 是 两 个 定 点，C 是 动 点，若=1 A C B C，则 点 C 的 轨 迹 为（）A.圆 B.椭 圆 C.抛 物 线 D.直 线7.（5 分）设 O 为 坐 标 原 点，直 线 x=2 与 抛 物 线 C：y2=2 p x(p 0)交 于 D，E 两 点，若 O D O E，则 C 的 焦 点 坐 标 为（）A.（14，0）B.（12，0）C.（1，0）D.（2，0）8.（5 分）点(0，1)到 直 线 1 y k x 距 离 的 最 大 值 为（）A.1 B.2C.3D.29.（5 分）下 图 为 某 几 何 体 的 三 视 图，则 该 几 何 体 的 表 面 积 是（）A.6+42B.4+42C.6+23D.4+231 0.（5 分）设 a=l o g 3 2，b=l o g 5 3，c=23，则（）A.a c b B.a b c C.b c a D.c a 0，b 0)的 一 条 渐 近 线 为 y=2x，则 C 的 离 心 率 为_ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 5.（5 分）设 函 数e()xf xx a 若(1)4ef，则 a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 6.（5 分）已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 1，母 线 长 为 3，则 该 圆 锥 内 半 径 最 大 的 球 的 体 积 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 三、解答 题：共 70 分.解答 应写 出文字 说明、证明 过程或 演算 步骤.第 17 21 题为必考 题，每个试 题考 生都必 须作答.第 22、23 题为 选考 题，考 生根 据要求 作答.（一）必 考题：共 60 分.1 7.（1 2 分）设 等 比 数 列 a n 满 足1 24 a a，3 18 a a（1）求 a n 的 通 项 公 式；（2）记nS 为 数 列 l o g 3 a n 的 前 n 项 和 若1 3 m m mS S S，求 m 1 8.（1 2 分）某 学 生 兴 趣 小 组 随 机 调 查 了 某 市 1 0 0 天 中 每 天 的 空 气 质 量 等 级 和 当 天 到 某 公 园 锻炼 的 人 次，整 理 数 据 得 到 下 表（单 位：天）：锻 炼 人 次空 气 质 量 等 级 0，2 0 0(2 0 0，4 0 0(4 0 0，6 0 0 1（优）2 1 6 2 52（良）5 1 0 1 23（轻 度 污 染）6 7 84（中 度 污 染）7 2 0（1）分 别 估 计 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1，2，3，4 的 概 率；（2）求 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 平 均 人 次 的 估 计 值（同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 为 代表）；（3）若 某 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1 或 2，则 称 这 天“空 气 质 量 好”；若 某 天 的 空 气 质 量 等 级 为 3或 4，则 称 这 天“空 气 质 量 不 好”根 据 所 给 数 据，完 成 下 面 的 2 2 列 联 表，并 根 据 列 联 表，判断 是 否 有 9 5%的 把 握 认 为 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 与 该 市 当 天 的 空 气 质 量 有 关？人 次 4 0 0 人 次 4 0 0空 气 质 量 好空 气 质 量 不 好附：22()()()()()n a d b cKa b c d a c b d，P(K2 k)0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 1k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 81 9.（1 2 分）如 图，在 长 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 中，点 E，F 分 别 在 棱1D D，1B B 上，且12 D E E D，12 B F F B 证 明：（1）当 A B B C 时，E F A C；（2）点1C 在 平 面 A E F 内 2 0.（1 2 分）已 知 函 数3 2()f x x k x k（1）讨 论()f x的 单 调 性；（2）若()f x有 三 个 零 点，求 k 的 取 值 范 围 2 1.（1 2 分）已 知 椭 圆2 22:1(0 5)2 5x yC mm 的 离 心 率 为154，A，B 分 别 为 C 的 左、右顶 点（1）求 C 的 方 程；（2）若 点 P 在 C 上，点 Q 在 直 线 6 x 上，且|B P B Q，B P B Q，求 A P Q 的 面 积（二）选考 题：共 10 分.请考 生在 第 22、23 题中 任选 一题作 答.如果 多做，则按 所做的 第一 题计分.选修 4-4：坐 标系 与参数 方程 2 2.（1 0 分）在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为2222x t ty t t，(t 为 参 数 且 t 1)，C与 坐 标 轴 交 于 A，B 两 点.（1）求|A B|：（2）以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，求 直 线 A B 的 极 坐 标 方 程.选修 4-5：不 等式 选讲 2 3.（1 0 分）设 a，b，c R，a+b+c=0，a b c=1（1）证 明：a b+b c+c a 0；（2）用 m a x a，b，c 表 示 a，b，c 中 的 最 大 值，证 明：m a x a，b，c 342 0 2 0 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试文 科 数 学（新 课 标 三）一、选择 题：本题 共 12 小题，每小 题 5 分，共 60 分.在每 小题 给出的 四个 选项中，只有 一项 是符合 题目 要求的.1.（5 分）【答 案】B【解 析】【分 析】采 用 列 举 法 列 举 出 A B 中 元 素 的 即 可.【详 解】由 题 意，5,7,1 1 A B，故 A B 中 元 素 的 个 数 为 3.故 选：B【点 晴】本 题 主 要 考 查 集 合 的 交 集 运 算，考 查 学 生 对 交 集 定 义 的 理 解，是 一 道 容 易 题.2.（5 分）【答 案】D【解 析】【分 析】先 利 用 除 法 运 算 求 得z，再 利 用 共 轭 复 数 的 概 念 得 到z即 可.【详 解】因 为21(1)21(1)(1)2i i iz ii i i，所 以 z i=.故 选：D【点 晴】本 题 主 要 考 查 复 数 的 除 法 运 算，涉 及 到 共 轭 复 数 的 概 念，是 一 道 基 础 题.3.（5 分）【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 新 数 据 与 原 数 据 关 系 确 定 方 差 关 系，即 得 结 果.【详 解】因 为 数 据(1,2,)iax b i n L，的 方 差 是 数 据(1,2,)ix i n L，的 方 差 的2a倍，所 以 所 求 数 据 方 差 为21 0 0.0 1=1 故 选：C【点 睛】本 题 考 查 方 差，考 查 基 本 分 析 求 解 能 力，属 基 础 题.4.（5 分）【答 案】C【解 析】【分 析】将t t代 入 函 数 0.2 3 5 31tKI te 结 合 0.9 5 I t K 求 得t即 可 得 解.【详 解】0.23 531tKI te，所 以 0.2 3 5 30.9 51tKI t Ke，则 0.23 5319te，所 以，0.2 3 5 3 l n 1 9 3 t，解 得35 3 6 60.2 3t.故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 对 数 的 运 算，考 查 指 数 与 对 数 的 互 化，考 查 计 算 能 力，属 于 中 等 题.5.（5 分）【答 案】B【解 析】【分 析】将 所 给 的 三 角 函 数 式 展 开 变 形，然 后 再 逆 用 两 角 和 的 正 弦 公 式 即 可 求 得 三 角 函 数 式 的 值.【详 解】由 题 意 可 得：1 3s i n s i n c o s 12 2，则：3 3s i n c o s 12 2，3 1 3s i n c os2 2 3，从 而 有：3s i n c o s c o s s i n6 6 3，即3s i n6 3.故 选：B.【点 睛】本 题 主 要 考 查 两 角 和 与 差 的 正 余 弦 公 式 及 其 应 用，属 于 中 等 题.6.（5 分）【答 案】A【解 析】【分 析】首 先 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，然 后 结 合 数 量 积 的 定 义 求 解 其 轨 迹 方 程 即 可.【详 解】设 2 0 A B a a，以 A B 中 点 为 坐 标 原 点 建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系，则：,0,0 A a B a，设,C x y，可 得：,A C x a y B C x a y，从 而：2A C B C x a x a y，结 合 题 意 可 得：21 x a x a y，整 理 可 得：2 2 21 x y a，即 点 C 的 轨 迹 是 以 A B 中 点 为 圆 心，21 a 为 半 径 的 圆.故 选：A.【点 睛】本 题 主 要 考 查 平 面 向 量 及 其 数 量 积 的 坐 标 运 算，轨 迹 方 程 的 求 解 等 知 识，意 在 考 查学 生 的 转 化 能 力 和 计 算 求 解 能 力.7.（5 分）【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 题 中 所 给 的 条 件 O D O E，结 合 抛 物 线 的 对 称 性，可 知4C O x C O x，从 而 可以 确 定 出 点 D 的 坐 标，代 入 方 程 求 得p的 值，进 而 求 得 其 焦 点 坐 标，得 到 结 果.【详 解】因 为 直 线 2 x 与 抛 物 线22(0)y px p 交 于,C D 两 点，且 O D O E，根 据 抛 物 线 的 对 称 性 可 以 确 定4D O x C O x，所 以(2,2)C，代 入 抛 物 线 方 程 4 4 p，求 得 1 p，所 以 其 焦 点 坐 标 为1(,0)2，故 选：B.【点 睛】该 题 考 查 的 是 有 关 圆 锥 曲 线 的 问 题，涉 及 到 的 知 识 点 有 直 线 与 抛 物 线 的 交 点，抛 物线 的 对 称 性，点 在 抛 物 线 上 的 条 件，抛 物 线 的 焦 点 坐 标，属 于 简 单 题 目.8.（5 分）【答 案】B【解 析】【分 析】首 先 根 据 直 线 方 程 判 断 出 直 线 过 定 点(1,0)P，设(0,1)A，当 直 线(1)y k x 与A P垂 直时，点A到 直 线(1)y k x 距 离 最 大，即 可 求 得 结 果.【详 解】由(1)y k x 可 知 直 线 过 定 点(1,0)P，设(0,1)A，当 直 线(1)y k x 与A P垂 直 时，点A到 直 线(1)y k x 距 离 最 大，即 为|2 A P.故 选：B.【点 睛】该 题 考 查 的 是 有 关 解 析 几 何 初 步 的 问 题，涉 及 到 的 知 识 点 有 直 线 过 定 点 问 题，利 用几 何 性 质 是 解 题 的 关 键，属 于 基 础 题.9.（5 分）【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 三 视 图 特 征，在 正 方 体 中 截 取 出 符 合 题 意 的 立 体 图 形，求 出 每 个 面 的 面 积，即 可 求 得 其表 面 积.【详 解】根 据 三 视 图 特 征，在 正 方 体 中 截 取 出 符 合 题 意 的 立 体 图 形根 据 立 体 图 形 可 得：12 2 22A B C A D C C D BS S S 根 据 勾 股 定 理 可 得：2 2 A B A D D B A D B 是 边 长 为2 2的 等 边 三 角 形根 据 三 角 形 面 积 公 式 可 得：21 1 3s i n 6 0(2 2)2 32 2 2A D BS A B A D 该 几 何 体 的 表 面 积 是：2 3 6 2 3 3 2.故 选：C.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 根 据 三 视 图 求 立 体 图 形 的 表 面 积 问 题，解 题 关 键 是 掌 握 根 据 三 视 图画 出 立 体 图 形，考 查 了 分 析 能 力 和 空 间 想 象 能 力，属 于 基 础 题.1 0.（5 分）【答 案】A【解 析】【分 析】分 别 将 a,b 改 写 为331l o g 23a，351l o g 33b，再 利 用 单 调 性 比 较 即 可.【详 解】因 为33 31 1 2l o g 2 l o g 93 3 3a c，35 51 1 2l o g 3 l o g 2 53 3 3b c，所 以 a c b.故 选：A【点 晴】本 题 考 查 对 数 式 大 小 的 比 较，考 查 学 生 转 化 与 回 归 的 思 想，是 一 道 中 档 题.1 1.（5 分）【答 案】C【解 析】【分 析】先 根 据 余 弦 定 理 求c，再 根 据 余 弦 定 理 求 c o s B，最 后 根 据 同 角 三 角 函 数 关 系 求 t a n.B【详 解】设,A B c B C a C A b 2 2 222 c o s 9 1 6 2 3 4 9 33c a b a b C c 2 2 221 1 4 5c o s s i n 1()t a n 4 52 9 9 9a c bB B Ba c 故 选：C【点 睛】本 题 考 查 余 弦 定 理 以 及 同 角 三 角 函 数 关 系，考 查 基 本 分 析 求 解 能 力，属 基 础 题.1 2.（5 分）【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 基 本 不 等 式 使 用 条 件 可 判 断 A;根 据 奇 偶 性 可 判 断 B;根 据 对 称 性 判 断 C,D.【详 解】s i n x 可 以 为 负，所 以 A 错；1s i n 0()()s i n()s i nx x k k Z f x x f xx Q Q()f x关 于 原 点 对 称；1 1(2)s i n(),()s i n(),s i n s i nf x x f x f x x f xx x Q 故 B 错；()f x 关 于 直 线2x 对 称，故 C 错，D 对故 选：D【点 睛】本 题 考 查 函 数 定 义 域 与 最 值、奇 偶 性、对 称 性，考 查 基 本 分 析 判 断 能 力，属 中 档 题.二、填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.1 3.（5 分）【答 案】7【解 析】【分 析】作 出 可 行 域，利 用 截 距 的 几 何 意 义 解 决.【详 解】不 等 式 组 所 表 示 的 可 行 域 如 图因 为 3 2 z x y，所 以32 2x zy，易 知 截 距2z越 大，则z越 大，平 移 直 线32xy，当32 2x zy 经 过 A 点 时 截 距 最 大，此 时 z 最 大，由21y xx，得12xy，(1,2)A，所 以m a x3 1 2 2 7 z.故 答 案 为：7.【点 晴】本 题 主 要 考 查 简 单 线 性 规 划 的 应 用，涉 及 到 求 线 性 目 标 函 数 的 最 大 值，考 查 学 生 数形 结 合 的 思 想，是 一 道 容 易 题.1 4.（5 分）【答 案】3【解 析】【分 析】根 据 已 知 可 得 2ba，结 合 双 曲 线 中,a b c 的 关 系，即 可 求 解.【详 解】由 双 曲 线 方 程2 22 21x ya b 可 得 其 焦 点 在x轴 上，因 为 其 一 条 渐 近 线 为 2 y x，所 以 2ba，221 3c bea a.故 答 案 为：3【点 睛】本 题 考 查 的 是 有 关 双 曲 线 性 质，利 用 渐 近 线 方 程 与 离 心 率 关 系 是 解 题 的 关 键，要 注意 判 断 焦 点 所 在 位 置，属 于 基 础 题.1 5.（5 分）【答 案】1【解 析】【分 析】由 题 意 首 先 求 得 导 函 数 的 解 析 式，然 后 得 到 关 于 实 数 a 的 方 程，解 方 程 即 可 确 定 实 数 a 的 值【详 解】由 函 数 的 解 析 式 可 得：2 21x x xe x a e e x af xx a x a，则：12 21 111 1e aa efa a，据 此 可 得：241ae ea，整 理 可 得：22 1 0 a a，解 得：1 a.故 答 案 为：1.【点 睛】本 题 主 要 考 查 导 数 的 运 算 法 则，导 数 的 计 算，方 程 的 数 学 思 想 等 知 识，属 于 中 等 题.1 6.（5 分）【答 案】23【解 析】【分 析】将 原 问 题 转 化 为 求 解 圆 锥 内 切 球 的 问 题，然 后 结 合 截 面 确 定 其 半 径 即 可 确 定 体 积 的 值.【详 解】易 知 半 径 最 大 球 为 圆 锥 的 内 切 球，球 与 圆 锥 内 切 时 的 轴 截 面 如 图 所 示，其 中 2,3 B C A B A C，且 点 M 为 B C 边 上 的 中 点，设 内 切 圆 的 圆 心 为 O，由 于2 23 1 2 2 A M，故12 2 2 2 22S A B C，设 内 切 圆 半 径 为 r，则：A B C A O B B O C A O CS S S S 1 1 12 2 2A B r B C r A C r 13 3 2 2 22r，解 得：22r=，其 体 积：34 23 3V r.故 答 案 为：23.【点 睛】与 球 有 关 的 组 合 体 问 题，一 种 是 内 切，一 种 是 外 接 解 题 时 要 认 真 分 析 图 形，明 确切 点 和 接 点 的 位 置，确 定 有 关 元 素 间 的 数 量 关 系，并 作 出 合 适 的 截 面 图，如 球 内 切 于 正 方 体，切 点 为 正 方 体 各 个 面 的 中 心，正 方 体 的 棱 长 等 于 球 的 直 径；球 外 接 于 正 方 体，正 方 体 的 顶 点均 在 球 面 上，正 方 体 的 体 对 角 线 长 等 于 球 的 直 径.三、解答 题：共 70 分.解答 应写 出文字 说明、证明 过程或 演算 步骤.第 17 21 题为必考 题，每个试 题考 生都必 须作答.第 22、23 题为 选考 题，考 生根 据要求 作答.（一）必 考题：共 60 分.1 7.（1 2 分）【答 案】（1）13nna；（2）6 m.【解 析】【分 析】（1）设 等 比 数 列 na 的 公 比 为q，根 据 题 意，列 出 方 程 组，求 得 首 项 和 公 比，进 而 求 得 通 项公 式；（2）由（1）求 出3 l o g na 的 通 项 公 式，利 用 等 差 数 列 求 和 公 式 求 得nS，根 据 已 知 列 出 关 于m的 等 量 关 系 式，求 得 结 果.【详 解】（1）设 等 比 数 列 na 的 公 比 为q，根 据 题 意，有1 121 148a a qa q a，解 得113aq，所 以13nna；（2）令313l o g l o g 3 1nn nb a n，所 以(0 1)(1)2 2nn n n nS，根 据1 3 m m mS S S，可 得(1)(1)(2)(3)2 2 2m m m m m m，整 理 得25 6 0 m m，因 为 0 m，所 以 6 m，【点 睛】本 题 考 查 等 比 数 列 通 项 公 式 基 本 量 的 计 算，以 及 等 差 数 列 求 和 公 式 的 应 用，考 查 计算 求 解 能 力，属 于 基 础 题 目.1 8.（1 2 分）【答 案】（1）该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 分 别 为 1、2、3、4 的 概 率 分 别 为 0.4 3、0.2 7、0.2 1、0.0 9；（2）3 5 0；（3）有，理 由 见 解 析.【解 析】【分 析】（1）根 据 频 数 分 布 表 可 计 算 出 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 分 别 为 1、2、3、4 的 概 率；（2）利 用 每 组 的 中 点 值 乘 以 频 数，相 加 后 除 以 1 0 0 可 得 结 果；（3）根 据 表 格 中 的 数 据 完 善 2 2 列 联 表，计 算 出2K的 观 测 值，再 结 合 临 界 值 表 可 得 结 论.【详 解】（1）由 频 数 分 布 表 可 知，该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1 的 概 率 为2 1 6 2 50.4 31 0 0，等 级 为 2 的 概 率 为5 1 0 1 20.2 71 0 0，等 级 为 3 的 概 率 为6 7 80.2 11 0 0，等 级 为 4 的 概 率为7 2 00.0 91 0 0；（2）由 频 数 分 布 表 可 知，一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 的 平 均 数 为1 0 0 2 0 3 0 0 3 5 5 0 0 4 53 5 01 0 0（3）2 2 列 联 表 如 下：人 次 4 0 0 人 次 4 0 0 空 气 质 量 不 好 3 3 3 7空 气 质 量 好 22 8 22100 33 8 37 225.820 3.84155 45 70 30K，因 此，有 9 5%的 把 握 认 为 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 与 该 市 当 天 的 空 气 质 量 有 关.【点 睛】本 题 考 查 利 用 频 数 分 布 表 计 算 频 率 和 平 均 数，同 时 也 考 查 了 独 立 性 检 验 的 应 用，考查 数 据 处 理 能 力，属 于 基 础 题.1 9.（1 2 分）【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）证 明 见 解 析.【解 析】【分 析】（1）根 据 正 方 形 性 质 得 A C B D，根 据 长 方 体 性 质 得1A C B B,进 而 可 证 A C 平 面1 1B B D D,即 得 结 果；（2）只 需 证 明1/E C A F 即 可，在1C C 上 取 点M使 得12 C M M C,再 通 过 平 行 四 边 形 性 质 进行 证 明 即 可.【详 解】（1）因 为 长 方 体1 1 1 1A B C D A B C D,所 以1B B 平 面 A B C D 1A C B B,因 为 长 方 体1 1 1 1,A B C D A B C D A B B C,所 以 四 边 形 A B C D 为 正 方 形 A C B D 因 为1 1,B B B D B B B B D I、平 面1 1B B D D,因 此 A C 平 面1 1B B D D,因 为 E F 平 面1 1B B D D,所 以 A C E F；（2）在1C C 上 取 点M使 得12 C M M C,连,D M M F,因 为1 1 1 1 12,/,=D E E D D D C C D D C C,所 以1 1,/,E D M C E D M C 所 以 四 边 形1D M C E 为 平 行 四 边 形，1/D M E C 因 为/,=,M F D A M F D A 所 以 四 边 形 M F A D 为 平 行 四 边 形，1/,/D M A F E C A F 因 此1C 在 平 面 A E F 内【点 睛】本 题 考 查 线 面 垂 直 判 定 定 理、线 线 平 行 判 定，考 查 基 本 分 析 论 证 能 力，属 中 档 题.2 0.（1 2 分）【答 案】（1）详 见 解 析；(2)4(0,)2 7.【解 析】【分 析】（1）2()3 f x x k，对 k 分 0 k 和 0 k 两 种 情 况 讨 论 即 可；（2）()f x有 三 个 零 点，由（1）知 0 k，且()03()03kfkf，解 不 等 式 组 得 到 k 的 范 围，再利 用 零 点 存 在 性 定 理 加 以 说 明 即 可.【详 解】（1）由 题，2()3 f x x k，当 0 k 时，()0 f x 恒 成 立，所 以()f x在(,)上 单 调 递 增；当 0 k 时，令()0 f x，得3kx，令()0 f x，得3 3k kx，令()0 f x，得3kx 或3kx，所 以()f x在(,)3 3k k 上 单 调 递 减，在(,)3k，(,)3k 上 单 调 递 增.（2）由（1）知，()f x有 三 个 零 点，则 0 k，且()03()03kfkf 即22203 3203 3kk kkk k，解 得402 7k，当402 7k 时，3kk，且2()0 f k k，所 以()f x在(,)3kk 上 有 唯 一 一 个 零 点，同 理 13kk，3 2(1)(1)0 f k k k，所 以()f x在(1,)3kk 上 有 唯 一 一 个 零 点，又()f x在(,)3 3k k 上 有 唯 一 一 个 零 点，所 以()f x有 三 个 零 点，综 上 可 知 k 的 取 值 范 围 为4(0,)2 7.【点 晴】本 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 以 及 已 知 零 点 个 数 求 参 数 的 范 围 问 题，考查 学 生 逻 辑 推 理 能 力、数 学 运 算 能 力，是 一 道 中 档 题.2 1.（1 2 分）【答 案】（1）2 216125 25x y；（2）52.【解 析】【分 析】（1）因 为2 22:1(0 5)2 5x yC mm，可 得 5 a，b m，根 据 离 心 率 公 式，结 合 已 知，即 可求 得 答 案；（2）点 P 在 C 上，点 Q 在 直 线 6 x 上，且|B P B Q，B P B Q，过 点 P 作x轴 垂 线，交 点 为M，设 6 x 与x轴 交 点 为 N，可 得 P M B B N Q，可 求 得 P 点 坐 标，求 出 直 线A Q 的 直 线 方 程，根 据 点 到 直 线 距 离 公 式 和 两 点 距 离 公 式，即 可 求 得 A P Q 的 面 积.【详 解】（1）2 22:1(0 5)2 5x yC mm 5 a，b m，根 据 离 心 率2 21 541 15c b mea a，解 得54m 或54m(舍)，C 的 方 程 为：2 22142 55x y，即2 216125 25x y；（2）点 P 在 C 上，点 Q 在 直 线 6 x 上，且|B P B Q，B P B Q，过 点 P 作x轴 垂 线，交 点 为M，设 6 x 与x轴 交 点 为 N根 据 题 意 画 出 图 形，如 图|B P B Q，B P B Q，9 0 P M B Q N B，又 9 0 P B M Q B N，9 0 B Q N Q B N，P B M B Q N，根 据 三 角 形 全 等 条 件“A A S”，可 得：P M B B N Q，2 216125 25x y，(5,0)B，6 5 1 P M B N，设 P 点 为(,)P Px y，可 得 P 点 纵 坐 标 为 1Py，将 其 代 入2 216125 25x y，可 得：21 612 5 2 5Px，解 得：3Px 或 3Px，P 点 为(3,1)或(3,1)，当 P 点 为(3,1)时，故 5 3 2 M B，P M B B N Q，|2 M B N Q，可 得：Q 点 为(6,2)，画 出 图 象，如 图(5,0)A,(6,2)Q，可 求 得 直 线 A Q 的 直 线 方 程 为：2 1 1 1 0 0 x y，根 据 点 到 直 线 距 离 公 式 可 得 P 到 直 线 A Q 的 距 离 为：2 22 3 1 1 1 1 0 555 1 2 52 1 1d，根 据 两 点 间 距 离 公 式 可 得：2 26 5 2 0 5 5 A Q，A P Q 面 积 为：1 5 55 52 5 2；当 P 点 为(3,1)时，故 5+3 8 M B，P M B B N Q，|8 M B N Q，可 得：Q 点 为(6,8)，画 出 图 象，如 图(5,0)A(6,8)Q，可 求 得 直 线 A Q 的 直 线 方 程 为：8 1 1 4 0 0 x y，根 据 点 到 直 线 距 离 公 式 可 得 P 到 直 线 A Q 的 距 离 为：2 28 3 1 1 1 4 0 551 8 5 1 8 58 1 1d，根 据 两 点 间 距 离 公 式 可 得：2 26 5 8 0 1 8 5 A Q，A P Q 面 积 为：1 5 51852 2 185，综 上 所 述，A P Q 面 积 为：52.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 求 椭 圆 标 准 方 程 和 求 三 角 形 面 积 问 题，解 题 关 键 是 掌 握 椭 圆 的 离 心率 定 义 和 数 形 结 合 求 三 角 形 面 积，考 查 了 分 析 能 力 和 计 算 能 力，属 于 中 档 题.（二）选考 题：共 10 分.请考 生在 第 22、23 题中 任选 一题作 答.如果 多做，则按 所做的 第一 题计分.选修 4-4：坐 标系 与参数 方程 2 2.（1 0 分）【答 案】（1）4 10（2）3 c o s s i n 1 2 0【解 析】【分 析】（1）由 参 数 方 程 得 出,A B 的 坐 标，最 后 由 两 点 间 距 离 公 式，即 可 得 出 A B 的 值；（2）由,A B 的 坐 标 得 出 直 线 A B 的 直 角 坐 标 方 程，再 化 为 极 坐 标 方 程 即 可.【详 解】（1）令 0 x，则22 0 t t，解 得 2 t 或 1 t（舍），则 2 6 4 1 2 y，即(0,1 2)A.令 0 y，则23 2 0 t t，解 得 2 t 或 1 t（舍），则 2 2 4 4 x，即(4,0)B.2 2(0 4)(1 2 0)4 1 0 A B；（2）由（1）可 知1 2 030(4)A Bk，则 直 线 A B 的 方 程 为 3(4)y x，即 3 1 2 0 x y.由 c o s,s i n x y 可 得，直 线 A B 的 极 坐 标 方 程 为 3 c o s s i n 1 2 0.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 利 用 参 数 方 程 求 点 的 坐 标 以 及 直 角 坐 标 方 程 化 极 坐 标 方 程，属 于 中档 题.选修 4-5：不 等式 选讲 2 3.（1 0 分）【答 案】（1）证 明 见 解 析（2）证 明 见 解 析.【解 析】【分 析】（1）由2 2 2 2()2 2 2 0 a b c a b c ab ac bc 结 合 不 等 式 的 性 质，即 可 得 出 证 明；（2）不 妨 设 m a x,a b c a，由 题 意 得 出 0,0 a b c，由 22 23 22b cb c b ca a ab c b c，结 合 基 本 不 等 式，即 可 得 出 证 明.【详 解】（1）2 2 2 2()2 2 2 0 a b c a b c ab ac bc，2 2 212a b b c c a a b c.,a b c 均 不 为 0，则2 2 20 a b c，2 2 2120 a b b c c a a b c；（2）不 妨 设 m a x,a b c a，由 0,1 a b c a b c 可 知，0,0,0 a b c，1,a b c ab c，22 23 22 2 24b cb c bc bc bca a abc bc bc.当 且 仅 当 b c 时，取 等 号，34 a，即3m a x,4 a b c.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 不 等 式 的 基 本 性 质 以 及 基 本 不 等 式 的 应 用，属 于 中 档 题.