2023年全国甲卷高考数学(文)真题及答案.pdf

2 0 2 3 年 全 国 甲 卷 高 考 数 学(文)真 题 及 答 案注 意 事 项：1 答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上.2 回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上.写 在 本 试 卷 上 无 效.3 考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.设 全 集 1,2,3,4,5 U，集 合 1,4,2,5 M N，则UN M（）A.2,3,5 B.1,3,4 C.1,2,4,5 D.2,3,4,52.35 1 i2 i 2 i（）A.1 B.1 C.1 i D.1 i 3.已 知 向 量 3,1,2,2 a b，则 cos,a b a b（）A.117B.1717C.55D.2 554.某 校 文 艺 部 有 4 名 学 生，其 中 高 一、高 二 年 级 各 2 名 从 这 4 名 学 生 中 随 机 选 2 名 组 织校 文 艺 汇 演，则 这 2 名 学 生 来 自 不 同 年 级 的 概 率 为（）A.16B.13C.12D.235.记nS 为 等 差 数 列 na 的 前n项 和 若2 6 4 810,45 a a a a，则5S（）A.2 5 B.2 2 C.2 0 D.1 56.执 行 下 边 的 程 序 框 图，则 输 出 的 B（）A.2 1 B.3 4 C.5 5 D.8 97.设1 2,F F 为 椭 圆22:15xC y 的 两 个 焦 点，点 P 在 C 上，若1 20 P F P F，则1 2P F P F（）A.1 B.2 C.4 D.58.曲 线e1xyx在 点e1,2 处 的 切 线 方 程 为（）A.e4y x B.e2y x C.e e4 4y x D.e 3e2 4y x 9.已 知 双 曲 线2 22 21(0,0)x ya ba b 的 离 心 率 为5，其 中 一 条 渐 近 线 与 圆2 2(2)(3)1 x y 交 于 A，B 两 点，则|A B（）A.55B.2 55C.3 55D.4 551 0.在 三 棱 锥 P A B C 中，A B C 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，2,6 P A P B P C，则 该 棱 锥 的 体 积 为（）A.1 B.3C.2 D.31 1.已 知 函 数 2(1)exf x 记2 3 6,2 2 2a f b f c f，则（）A.b c a B.b a c C.c b a D.c a b 1 2.函 数 y f x 的 图 象 由 cos 26y x 的 图 象 向 左 平 移6个 单 位 长 度 得 到，则 y f x 的 图 象 与 直 线1 12 2y x 的 交 点 个 数 为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分.1 3.记nS 为 等 比 数 列 na 的 前n项 和 若6 38 7 S S，则 na 的 公 比 为 _ _ _ _ _ _ _ _ 1 4.若 2(1)sin2f x x ax x 为 偶 函 数，则 a_ _ _ _ _ _ _ _ 1 5.若 x，y 满 足 约 束 条 件3 2 3,2 3 31,x yx yx y，则 3 2 z x y 的 最 大 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ 1 6.在 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 中，4,A B O 为1A C 的 中 点，若 该 正 方 体 的 棱 与 球 O 的球 面 有 公 共 点，则 球 O 的 半 径 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ 三、解 答 题：共 7 0 分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答.（一）必 考 题：共 6 0 分.1 7.记 A B C 的 内 角,A B C 的 对 边 分 别 为,a b c，已 知2 2 22cosb c aA（1）求 b c；（2）若cos cos1cos cosa B b A ba B b A c，求 A B C 面 积 1 8.如 图，在 三 棱 柱1 1 1A B C A B C-中，1A C 平 面,90 A B C A C B（1）证 明：平 面1 1A C C A 平 面1 1B B C C；（2）设1 1,2 A B A B A A，求 四 棱 锥1 1 1A B B C C 的 高 1 9.一 项 试 验 旨 在 研 究 臭 氧 效 应，试 验 方 案 如 下：选 4 0 只 小 白 鼠，随 机 地 将 其 中 2 0 只 分 配到 试 验 组，另 外 2 0 只 分 配 到 对 照 组，试 验 组 的 小 白 鼠 饲 养 在 高 浓 度 臭 氧 环 境，对 照 组 的 小白 鼠 饲 养 在 正 常 环 境，一 段 时 间 后 统 计 每 只 小 白 鼠 体 重 的 增 加 量（单 位：g）试 验 结 果 如 下：对 照 组 的 小 白 鼠 体 重 的 增 加 量 从 小 到 大 排 序 为1 5.2 1 8.8 2 0.2 2 1.3 2 2.5 2 3.2 2 5.8 2 6.5 2 7.5 3 0.13 2.6 3 4.3 3 4.8 3 5.6 3 5.6 3 5.8 3 6.2 3 7.3 4 0.5 4 3.2试 验 组 的 小 白 鼠 体 重 的 增 加 量 从 小 到 大 排 序 为7.8 9.2 1 1.4 1 2.4 1 3.2 1 5.5 1 6.5 1 8.0 1 8.8 1 9.21 9.8 2 0.2 2 1.6 2 2.8 2 3.6 2 3.9 2 5.1 2 8.2 3 2.3 3 6.5（1）计 算 试 验 组 的 样 本 平 均 数；（2）（）求 4 0 只 小 白 鼠 体 重 的 增 加 量 的 中 位 数 m，再 分 别 统 计 两 样 本 中 小 于 m 与 不 小 于 m的 数 据 的 个 数，完 成 如 下 列 联 表m m 对 照 组试 验 组（）根 据（i）中 的 列 联 表，能 否 有 9 5%的 把 握 认 为 小 白 鼠 在 高 浓 度 臭 氧 环 境 中 与 在 正 常环 境 中 体 重 的 增 加 量 有 差 异？附：22()n a d b cKa b c d a c b d，2P K k 0.1 0 0 0.0 5 0 0.0 1 0k 2.7 0 6 3.8 4 1 6.6 3 52 0.已 知 函 数 2sin,0,cos 2xf x ax xx（1）当 1 a 时，讨 论 f x 的 单 调 性；（2）若 sin 0 f x x，求a的 取 值 范 围 2 1.已 知 直 线 2 1 0 x y 与 抛 物 线2:2(0)C y p x p 交 于,A B 两 点，4 15 A B（1）求p；（2）设 F 为 C 的 焦 点，,M N 为 C 上 两 点，且0 F M F N，求 M F N 面 积 的 最 小 值（二）选 考 题：共 1 0 分.请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答.如 果 多 做，则 按 所 做 的 第一 题 计 分.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）2 2.已 知 点 2,1 P，直 线2 cos,:1 sinx tly t（t 为 参 数），为 l 的 倾 斜 角，l 与x轴 正 半轴、y轴 正 半 轴 分 别 交 于,A B，且 4 P A P B（1）求；（2）以 坐 标 原 点 为 极 点，x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，求 l 的 极 坐 标 方 程 选 修 4-5：不 等 式 选 讲（1 0 分）2 3.已 知()2|,0 f x x a a a（1）求 不 等 式 f x x 的 解 集；（2）若 曲 线 y f x 与x轴 所 围 成 的 图 形 的 面 积 为 2，求a解 析 及 参 考 答 案注 意 事 项：1 答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上.2 回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上.写 在 本 试 卷 上 无 效.3 考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.设 全 集 1,2,3,4,5 U，集 合 1,4,2,5 M N，则UN M（）A.2,3,5 B.1,3,4 C.1,2,4,5 D.2,3,4,5【答 案】A【解 析】【分 析】利 用 集 合 的 交 并 补 运 算 即 可 得 解.【详 解】因 为 全 集 1,2,3,4,5 U，集 合 1,4 M，所 以 2,3,5UM，又 2,5 N，所 以 2,3,5UN M，故 选：A.2.35 1 i2 i 2 i（）A.1 B.1 C.1 i D.1 i【答 案】C【解 析】【分 析】利 用 复 数 的 四 则 运 算 求 解 即 可.【详 解】35 1 i5 1 i1 i(2 i)(2 i)5 故 选：C.3.已 知 向 量 3,1,2,2 a b，则 cos,a b a b（）A.117B.1717C.55D.2 55【答 案】B【解 析】【分 析】利 用 平 面 向 量 模 与 数 量 积 的 坐 标 表 示 分 别 求 得,a b a b a b a b，从而 利 用 平 面 向 量 余 弦 的 运 算 公 式 即 可 得 解.【详 解】因 为(3,1),(2,2)a b，所 以 5,3,1,1 a b a b，则2 25 3 34,1 1 2 a b a b，5 1 3 1 2 a b a b，所 以 2 17cos,17 34 2a b a ba b a ba b a b.故 选：B.4.某 校 文 艺 部 有 4 名 学 生，其 中 高 一、高 二 年 级 各 2 名 从 这 4 名 学 生 中 随 机 选 2 名 组 织校 文 艺 汇 演，则 这 2 名 学 生 来 自 不 同 年 级 的 概 率 为（）A.16B.13C.12D.23【答 案】D【解 析】【分 析】利 用 古 典 概 率 的 概 率 公 式，结 合 组 合 的 知 识 即 可 得 解.【详 解】依 题 意，从 这 4 名 学 生 中 随 机 选 2 名 组 织 校 文 艺 汇 演，总 的 基 本 事 件 有24C 6 件，其 中 这 2 名 学 生 来 自 不 同 年 级 的 基 本 事 件 有1 12 2C C 4，所 以 这 2 名 学 生 来 自 不 同 年 级 的 概 率 为4 26 3.故 选：D.5.记nS 为 等 差 数 列 na 的 前n项 和 若2 6 4 810,45 a a a a，则5S（）A.2 5 B.2 2 C.2 0 D.1 5【答 案】C【解 析】【分 析】方 法 一：根 据 题 意 直 接 求 出 等 差 数 列 na 的 公 差 和 首 项，再 根 据 前n项 和 公 式 即可 解 出；方 法 二：根 据 等 差 数 列 的 性 质 求 出 等 差 数 列 na 的 公 差，再 根 据 前n项 和 公 式 的 性 质 即 可解 出【详 解】方 法 一：设 等 差 数 列 na 的 公 差 为 d，首 项 为1a，依 题 意 可 得，2 6 1 15 10 a a a d a d，即13 5 a d,又 4 8 1 13 7 45 a a a d a d，解 得：11,2 d a，所 以5 15 45 5 2 10 202S a d 故 选：C.方 法 二：2 6 42 10 a a a，4 845 a a，所 以45 a，89 a，从 而8 418 4a ad，于 是3 45 1 4 a a d，所 以5 35 20 S a 故 选：C.6.执 行 下 边 的 程 序 框 图，则 输 出 的 B（）A.2 1 B.3 4 C.5 5 D.8 9【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 程 序 框 图 模 拟 运 行 即 可 解 出【详 解】当 1 k 时，判 断 框 条 件 满 足，第 一 次 执 行 循 环 体，1 2 3 A，3 2 5 B，1 1 2 k；当 2 k 时，判 断 框 条 件 满 足，第 二 次 执 行 循 环 体，3 5 8 A，8 5 13 B，2 1 3 k；当 3 k 时，判 断 框 条 件 满 足，第 三 次 执 行 循 环 体，8 13 21 A，21 13 34 B，3 1 4 k；当 4 k 时，判 断 框 条 件 不 满 足，跳 出 循 环 体，输 出 34 B 故 选：B.7.设1 2,F F 为 椭 圆22:15xC y 的 两 个 焦 点，点 P 在 C 上，若1 20 P F P F，则1 2P F P F（）A.1 B.2 C.4 D.5【答 案】B【解 析】【分 析】方 法 一：根 据 焦 点 三 角 形 面 积 公 式 求 出1 2P F F 的 面 积，即 可 解 出；方 法 二：根 据 椭 圆 的 定 义 以 及 勾 股 定 理 即 可 解 出【详 解】方 法 一：因 为1 20 P F P F，所 以1 290 F P F，从 而1 221 21tan 45 12F P FS b P F P F，所 以1 22 P F P F 故 选：B.方 法 二：因 为1 20 P F P F，所 以1 290 F P F，由 椭 圆 方 程 可 知，25 1 4 2 c c，所 以2 2 221 2 1 24 16 P F P F F F，又1 22 2 5 P F P F a，平 方 得：2 21 2 1 2 1 22 16 2 20 P F P F P F P F P F P F，所 以1 22 P F P F 故 选：B.8.曲 线e1xyx在 点e1,2 处 的 切 线 方 程 为（）A.e4y x B.e2y x C.e e4 4y x D.e 3e2 4y x【答 案】C【解 析】【分 析】先 由 切 点 设 切 线 方 程，再 求 函 数 的 导 数，把 切 点 的 横 坐 标 代 入 导 数 得 到 切 线 的 斜 率，代 入 所 设 方 程 即 可 求 解.【详 解】设 曲 线e1xyx在 点e1,2 处 的 切 线 方 程 为 e12y k x，因 为e1xyx，所 以 2 2e 1 ee1 1x xxxxyx x，所 以1e|4xk y 所 以 e e12 4y x 所 以 曲 线e1xyx在 点e1,2 处 的 切 线 方 程 为e e4 4y x.故 选：C9.已 知 双 曲 线2 22 21(0,0)x ya ba b 的 离 心 率 为5，其 中 一 条 渐 近 线 与 圆2 2(2)(3)1 x y 交 于 A，B 两 点，则|A B（）A.55B.2 55C.3 55D.4 55【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 离 心 率 得 出 双 曲 线 渐 近 线 方 程，再 由 圆 心 到 直 线 的 距 离 及 圆 半 径 可 求 弦 长.【详 解】由5 e，则2 2 2 22 2 21 5c a b ba a a，解 得 2ba，所 以 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 不 妨 取 2 y x，则 圆 心(2,3)到 渐 近 线 的 距 离2|2 2 3|552 1d，所 以 弦 长2 21 4 5|2 2 15 5A B r d.故 选：D1 0.在 三 棱 锥 P A B C 中，A B C 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，2,6 P A P B P C，则 该 棱 锥 的 体 积 为（）A.1 B.3C.2 D.3【答 案】A【解 析】【分 析】证 明 A B 平 面 P E C，分 割 三 棱 锥 为 共 底 面 两 个 小 三 棱 锥，其 高 之 和 为 A B 得 解.【详 解】取 A B 中 点 E，连 接,P E C E，如 图，A B C 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，2 P A P B，,P E A B C E A B，又,P E C E 平 面 P E C，P E C E E，A B 平 面 P E C，又32 32P E C E，6 P C，故2 2 2P C P E C E，即 P E C E，所 以1 1 13 3 2 13 3 2B P E C A P E C P E CV V V S A B，故 选：A1 1.已 知 函 数 2(1)exf x 记2 3 6,2 2 2a f b f c f，则（）A.b c a B.b a c C.c b a D.c a b【答 案】A【解 析】【分 析】利 用 作 差 法 比 较 自 变 量 的 大 小，再 根 据 指 数 函 数 的 单 调 性 及 二 次 函 数 的 性 质 判 断 即可.【详 解】令2()(1)g x x，则()g x 开 口 向 下，对 称 轴 为 1 x，因 为6 3 6 3 41 12 2 2 2，而2 2(6 3)4 9 6 2 16 6 2 7 0，所 以6 3 6 3 41 1 02 2 2 2，即6 31 12 2 由 二 次 函 数 性 质 知6 3()()2 2g g，因 为6 2 6 2 41 12 2 2 2，而2 2(6 2)4 8 4 3 16 4 3 8 4(3 2)0，即6 21 12 2，所 以6 2()()2 2g g，综 上，2 6 3()()()2 2 2g g g，又 exy 为 增 函 数，故 a c b，即 b c a.故 选：A.1 2.函 数 y f x 的 图 象 由 cos 26y x 的 图 象 向 左 平 移6个 单 位 长 度 得 到，则 y f x 的 图 象 与 直 线1 12 2y x 的 交 点 个 数 为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】C【解 析】【分 析】先 利 用 三 角 函 数 平 移 的 性 质 求 得 sin 2 f x x，再 作 出 f x 与1 12 2y x 的部 分 大 致 图 像，考 虑 特 殊 点 处 f x 与1 12 2y x 的 大 小 关 系，从 而 精 确 图 像，由 此 得 解.【详 解】因 为cos 26y x 向 左 平 移6个 单 位 所 得 函 数 为 cos 2 cos 2 sin 26 6 2y x x x，所 以 sin 2 f x x，而1 12 2y x 显 然 过10,2 与 1,0 两 点，作 出 f x 与1 12 2y x 的 部 分 大 致 图 像 如 下，考 虑3 3 72,2,22 2 2x x x，即3 3 7,4 4 4x x x 处 f x 与1 12 2y x 的大 小 关 系，当34x 时，3 3sin 14 2f，1 3 1 42 8 4312y；当34x 时，3 3sin 14 2f，1 3 1 3 412 4 2 8y；当74x 时，7 7sin 14 2f，1 7 1 7 412 4 2 8y；所 以 由 图 可 知，f x 与1 12 2y x 的 交 点 个 数 为 3.故 选：C.二、填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分.1 3.记nS 为 等 比 数 列 na 的 前n项 和 若6 38 7 S S，则 na 的 公 比 为 _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】12【解 析】【分 析】先 分 析 1 q，再 由 等 比 数 列 的 前n项 和 公 式 和 平 方 差 公 式 化 简 即 可 求 出 公 比q.【详 解】若 1 q，则 由6 38 7 S S 得1 18 6 7 3 a a，则10 a，不 合 题 意.所 以 1 q.当 1 q 时，因 为6 38 7 S S，所 以 6 31 11 18 71 1a q a qq q，即 6 38 1 7 1 q q，即 3 3 38 1 1 7 1 q q q，即 38 1 7 q，解 得12q.故 答 案 为：121 4.若 2(1)sin2f x x a x x 为 偶 函 数，则 a_ _ _ _ _ _ _ _【答 案】2【解 析】【分 析】根 据 常 见 函 数 的 奇 偶 性 直 接 求 解 即 可.【详 解】2 221 sin 1 cos(2)1 cos2f x x a x x x a x x x a x x，且 函 数 为 偶 函 数，2 0 a，解 得 2 a，故 答 案 为：21 5.若 x，y 满 足 约 束 条 件3 2 3,2 3 31,x yx yx y，则 3 2 z x y 的 最 大 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】1 5【解 析】【分 析】由 约 束 条 件 作 出 可 行 域，根 据 线 性 规 划 求 最 值 即 可.【详 解】作 出 可 行 域，如 图，由 图 可 知，当 目 标 函 数32 2zy x 过 点 A 时，z有 最 大 值，由2 3 33 2 3x yx y 可 得33xy，即(3,3)A,所 以max3 3 2 3 15 z.故 答 案 为：1 51 6.在 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 中，4,A B O 为1A C 的 中 点，若 该 正 方 体 的 棱 与 球 O 的球 面 有 公 共 点，则 球 O 的 半 径 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】2 2,2 3【解 析】【分 析】当 球 是 正 方 体 的 外 接 球 时 半 径 最 大，当 边 长 为 4 的 正 方 形 是 球 的 大 圆 的 内 接 正 方 形时 半 径 达 到 最 小.【详 解】设 球 的 半 径 为 R.当 球 是 正 方 体 的 外 接 球 时，恰 好 经 过 正 方 体 的 每 个 顶 点，所 求 的 球 的 半 径 最 大，若 半 径 变 得更 大，球 会 包 含 正 方 体，导 致 球 面 和 棱 没 有 交 点，正 方 体 的 外 接 球 直 径 2 R 为 体 对 角 线 长2 2 214 4 4 4 3 A C，即2 4 3,2 3 R R，故max2 3 R；分 别 取 侧 棱1 1 1 1,A A B B C C D D 的 中 点,M H G N，显 然 四 边 形 M N G H 是 边 长 为 4 的 正 方形，且 O 为 正 方 形 M N G H 的 对 角 线 交 点，连 接 M G，则4 2 M G，当 球 的 一 个 大 圆 恰 好 是 四 边 形 M N G H 的 外 接 圆，球 的 半 径 达到 最 小，即 R 的 最 小 值 为2 2.综 上，2 2,2 3 R.故 答 案 为：2 2,2 3三、解 答 题：共 7 0 分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答.（一）必 考 题：共 6 0 分.1 7.记 A B C 的 内 角,A B C 的 对 边 分 别 为,a b c，已 知2 2 22cosb c aA（1）求 b c；（2）若cos cos1cos cosa B b A ba B b A c，求 A B C 面 积【答 案】（1）1（2）34【解 析】【分 析】（1）根 据 余 弦 定 理 即 可 解 出；（2）由（1）可 知，只 需 求 出 sin A 即 可 得 到 三 角 形 面 积，对 等 式 恒 等 变 换，即 可 解 出【小 问 1 详 解】因 为2 2 22 cos a b c bc A，所 以2 2 22 cos2 2cos cosb c a bc AbcA A，解 得：1 b c【小 问 2 详 解】由 正 弦 定 理 可 得cos cos sin cos sin cos sincos cos sin cos sin cos sina B b A b A B B A Ba B b A c A B B A C sin sin sinsin1sin sin sinA B A B BBA B A B A B，变 形 可 得：sin sin sin A B A B B，即 2cos sin sin A B B，而 0 sin 1 B，所 以1cos2A，又 0 A，所 以3sin2A，故 A B C 的 面 积 为1 1 3 3sin 12 2 2 4A B CS bc A 1 8.如 图，在 三 棱 柱1 1 1A B C A B C-中，1A C 平 面,90 A B C A C B（1）证 明：平 面1 1A C C A 平 面1 1B B C C；（2）设1 1,2 A B A B A A，求 四 棱 锥1 1 1A B B C C 的 高【答 案】（1）证 明 见 解 析.（2）1【解 析】【分 析】(1)由1A C 平 面 A B C 得1A C B C，又 因 为 A C B C，可 证 B C 平 面1 1A C C A，从 而 证 得 平 面1 1A C C A 平 面1 1B C C B；(2)过 点1A 作1 1A O C C，可 证 四 棱 锥 的 高 为1A O,由 三 角 形 全 等 可 证1A C A C，从 而 证得 O 为1C C 中 点，设1A C A C x，由 勾 股 定 理 可 求 出x，再 由 勾 股 定 理 即 可 求1A O.【小 问 1 详 解】证 明：因 为1A C 平 面 A B C，B C 平 面 A B C,所 以1A C B C,又 因 为90 A C B，即 A C B C，1,A C A C 平 面1 1A C C A，1A C A C C,所 以 B C 平 面1 1A C C A，又 因 为 B C 平 面1 1B C C B,所 以 平 面1 1A C C A 平 面1 1B C C B.【小 问 2 详 解】如 图，过 点1A 作1 1A O C C，垂 足 为 O.因 为 平 面1 1A C C A 平 面1 1B C C B，平 面1 1A C C A 平 面1 1 1B C C B C C，1A O 平 面1 1A C C A，所 以1A O 平 面1 1B C C B，所 以 四 棱 锥1 1 1A B B C C 的 高 为1A O.因 为1A C 平 面 A B C，,A C B C 平 面 A B C,所 以1A C B C,1A C A C,又 因 为1A B A B，B C 为 公 共 边，所 以 A B C 与1A B C 全 等，所 以1A C A C.设1A C A C x，则1 1A C x，所 以 O 为1C C 中 点，1 1112O C A A,又 因 为1A C A C,所 以2 2 21 1A C A C A A,即2 2 22 x x，解 得2 x，所 以 22 2 21 1 1 12 1 1 A O A C O C，所 以 四 棱 锥1 1 1A B B C C 的 高 为1 1 9.一 项 试 验 旨 在 研 究 臭 氧 效 应，试 验 方 案 如 下：选 4 0 只 小 白 鼠，随 机 地 将 其 中 2 0 只 分 配到 试 验 组，另 外 2 0 只 分 配 到 对 照 组，试 验 组 的 小 白 鼠 饲 养 在 高 浓 度 臭 氧 环 境，对 照 组 的 小白 鼠 饲 养 在 正 常 环 境，一 段 时 间 后 统 计 每 只 小 白 鼠 体 重 的 增 加 量（单 位：g）试 验 结 果 如 下：对 照 组 的 小 白 鼠 体 重 的 增 加 量 从 小 到 大 排 序 为1 5.2 1 8.8 2 0.2 2 1.3 2 2.5 2 3.2 2 5.8 2 6.5 2 7.5 3 0.13 2.6 3 4.3 3 4.8 3 5.6 3 5.6 3 5.8 3 6.2 3 7.3 4 0.5 4 3.2试 验 组 的 小 白 鼠 体 重 的 增 加 量 从 小 到 大 排 序 为7.8 9.2 1 1.4 1 2.4 1 3.2 1 5.5 1 6.5 1 8.0 1 8.8 1 9.21 9.8 2 0.2 2 1.6 2 2.8 2 3.6 2 3.9 2 5.1 2 8.2 3 2.3 3 6.5（1）计 算 试 验 组 的 样 本 平 均 数；（2）（）求 4 0 只 小 白 鼠 体 重 的 增 加 量 的 中 位 数 m，再 分 别 统 计 两 样 本 中 小 于 m 与 不 小 于 m的 数 据 的 个 数，完 成 如 下 列 联 表m m 对 照 组试 验 组（）根 据（i）中 的 列 联 表，能 否 有 9 5%的 把 握 认 为 小 白 鼠 在 高 浓 度 臭 氧 环 境 中 与 在 正 常环 境 中 体 重 的 增 加 量 有 差 异？附：22()n a d b cKa b c d a c b d，2P K k 0.1 0 0 0.0 5 0 0.0 1 0k 2.7 0 6 3.8 4 1 6.6 3 5【答 案】（1）19.8（2）（i）23.4 m；列 联 表 见 解 析，（i i）能【解 析】【分 析】（1）直 接 根 据 均 值 定 义 求 解；（2）（i）根 据 中 位 数 的 定 义 即 可 求 得 23.4 m，从 而 求 得 列 联 表；（i i）利 用 独 立 性 检 验 的 卡 方 计 算 进 行 检 验，即 可 得 解.【小 问 1 详 解】试 验 组 样 本 平 均 数 为：1(7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.220 39621.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5)19.820【小 问 2 详 解】（i）依 题 意，可 知 这 4 0 只 小 鼠 体 重 的 中 位 数 是 将 两 组 数 据 合 在 一 起，从 小 到 大 排 后 第 2 0位 与 第 2 1 位 数 据 的 平 均 数，由 原 数 据 可 得 第 1 1 位 数 据 为18.8，后 续 依 次 为19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,，故 第 2 0 位 为 23.2，第 2 1 位 数 据 为 23.6，所 以23.2 23.623.42m，故 列 联 表 为：m m 合 计对 照 组 6 1 4 2 0试 验 组 1 4 6 2 0合 计 2 0 2 0 4 0（i i）由（i）可 得，2240(6 6 14 14)6.400 3.84120 20 20 20K，所 以 能 有 95%的 把 握 认 为 小 白 鼠 在 高 浓 度 臭 氧 环 境 中 与 在 正 常 环 境 中 体 重 的 增 加 量 有 差异.2 0.已 知 函 数 2sin,0,cos 2xf x ax xx（1）当 1 a 时，讨 论 f x 的 单 调 性；（2）若 sin 0 f x x，求a的 取 值 范 围【答 案】（1）f x 在0,2 上 单 调 递 减（2）0 a【解 析】【分 析】（1）代 入 1 a 后，再 对 f x 求 导，同 时 利 用 三 角 函 数 的 平 方 关 系 化 简 f x，再 利 用 换 元 法 判 断 得 其 分 子 与 分 母 的 正 负 情 况，从 而 得 解；（2）法 一：构 造 函 数 sin g x f x x，从 而 得 到 0 g x，注 意 到 0 0 g，从 而得 到 0 0 g，进 而 得 到 0 a，再 分 类 讨 论 0 a 与 a 0 两 种 情 况 即 可 得 解；法 二：先 化 简 并 判 断 得2sinsin 0cosxxx 恒 成 立，再 分 类 讨 论 0 a，a 0 与 0 a 三 种 情况，利 用 零 点 存 在 定 理 与 隐 零 点 的 知 识 判 断 得 0 a 时 不 满 足 题 意，从 而 得 解.【小 问 1 详 解】因 为 1 a，所 以 2sin,0,cos 2xf x x xx，则 2 24 32cos cos 2cos sin sincos 2sin1 1cos cosx x x x xx xf xx x 333 32 22cos cos 2 1 coscos cos 2cos cosx x xx xx x，令 cos t x，由 于0,2x，所 以 cos 0,1 t x，所 以 2 3 2 3 3 2 2 2cos cos 2 2 2 2 1 2 1 1 x x t t t t t t t t t 22 2 1 t t t，因 为 222 2 1 1 0 t t t，1 0 t，3 3cos 0 x t，所 以 2 33cos cos 20cosx xf xx 在0,2 上 恒 成 立，所 以 f x 在0,2 上 单 调 递 减.【小 问 2 详 解】法 一：构 建 2sin sin sin 0cos 2xg x f x x ax x xx，则 231 sin cos 0cos 2xg x a x xx，若 sin 0 g x f x x，且 0 0 sin 0 0 g f，则 0 1 1 0 g a a，解 得 0 a，当 0 a 时，因 为2 2sin 1sin sin 1cos cosxx xx x，又0,2x，所 以 0 sin 1 x，0 cos 1 x，则211cos x，所 以 2sinsin sin 0cosxf x x xx，满 足 题 意；当 a 0 时，由 于02x，显 然 0 a x，所 以 2 2sin sinsin sin sin 0cos cosx xf x x a x x xx x，满 足 题 意；综 上 所 述：若 sin 0 f x x，等 价 于 0 a，所 以a的 取 值 范 围 为,0.法 二：因 为 22 32 2 2 2sin cos 1sin sin cos sin sinsincos cos cos cosx xx x x x xxx x x x，因 为0,2x，所 以 0 sin 1 x，0 cos 1 x，故2sinsin 0cosxxx 在0,2 上 恒 成 立，所 以 当 0 a 时，2sinsin sin 0cosxf x x xx，满 足 题 意；当 a 0 时，由 于02x，显 然 0 a x，所 以 2 2sin sinsin sin sin 0cos cosx xf x x a x x xx x，满 足 题