2020年四川省高考数学(理科)试题及参考答案.pdf

2020 年全 国统 一高 考数 学试 卷（理科）（新课 标）一、选 择 题（共 1 2 小 题）.1 已 知 集 合 A（x，y）|x，y N*，y x，B（x，y）|x+y 8，则 A B 中 元 素 的 个数 为（）A 2 B 3 C 4 D 62 复 数 的 虚 部 是（）A B C D 3 在 一 组 样 本 数 据 中，1，2，3，4 出 现 的 频 率 分 别 为 p 1，p 2，p 3，p 4，且 p i 1，则 下 面四 种 情 形 中，对 应 样 本 的 标 准 差 最 大 的 一 组 是（）A p 1 p 4 0.1，p 2 p 3 0.4 B p 1 p 4 0.4，p 2 p 3 0.1C p 1 p 4 0.2，p 2 p 3 0.3 D p 1 p 4 0.3，p 2 p 3 0.24 L o g i s t i c 模 型 是 常 用 数 学 模 型 之 一，可 应 用 于 流 行 病 学 领 域 有 学 者 根 据 公 布 数 据 建 立 了某 地 区 新 冠 肺 炎 累 计 确 诊 病 例 数 I（t）（t 的 单 位：天）的 L o g i s t i c 模 型：I（t），其 中 K 为 最 大 确 诊 病 例 数 当 I（t*）0.9 5 K 时，标 志 着 已 初 步 遏 制疫 情，则 t*约 为（）（l n 1 9 3）A 6 0 B 6 3 C 6 6 D 6 95 设 O 为 坐 标 原 点，直 线 x 2 与 抛 物 线 C：y2 2 p x（p 0）交 于 D，E 两 点，若 O D O E，则 C 的 焦 点 坐 标 为（）A（，0）B（，0）C（1，0）D（2，0）6 已 知 向 量，满 足|5，|6，6，则 c o s，+（）A B C D 7 在 A B C 中，c o s C，A C 4，B C 3，则 c o s B（）A B C D 8 如 图 为 某 几 何 体 的 三 视 图，则 该 几 何 体 的 表 面 积 是（）A 6+4 B 4+4 C 6+2 D 4+29 已 知 2 t a n t a n（+）7，则 t a n（）A 2 B 1 C 1 D 21 0 若 直 线 l 与 曲 线 y 和 圆 x2+y2 都 相 切，则 l 的 方 程 为（）A y 2 x+1 B y 2 x+C y x+1 D y x+1 1 设 双 曲 线 C：1（a 0，b 0）的 左、右 焦 点 分 别 为 F 1，F 2，离 心 率 为 P是 C 上 一 点，且 F 1 P F 2 P 若 P F 1 F 2 的 面 积 为 4，则 a（）A 1 B 2 C 4 D 81 2 已 知 55 84，1 34 85 设 a l o g 5 3，b l o g 8 5，c l o g 1 3 8，则（）A a b c B b a c C b c a D c a b二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3 若 x，y 满 足 约 束 条 件 则 z 3 x+2 y 的 最 大 值 为 1 4（x2+）6的 展 开 式 中 常 数 项 是（用 数 字 作 答）1 5 已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 1，母 线 长 为 3，则 该 圆 锥 内 半 径 最 大 的 球 的 体 积 为 1 6 关 于 函 数 f（x）s i n x+有 如 下 四 个 命 题：f（x）的 图 象 关 于 y 轴 对 称 f（x）的 图 象 关 于 原 点 对 称 f（x）的 图 象 关 于 直 线 x 对 称 f（x）的 最 小 值 为 2 其 中 所 有 真 命 题 的 序 号 是 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共6 0 分。1 7 设 数 列 a n 满 足 a 1 3，a n+1 3 a n 4 n（1）计 算 a 2，a 3，猜 想 a n 的 通 项 公 式 并 加 以 证 明；（2）求 数 列 2na n 的 前 n 项 和 S n 1 8 某 学 生 兴 趣 小 组 随 机 调 查 了 某 市 1 0 0 天 中 每 天 的 空 气 质 量 等 级 和 当 天 到 某 公 园 锻 炼 的 人次，整 理 数 据 得 到 下 表（单 位：天）：锻 炼 人 次空 气 质 量 等 级 0，2 0 0（2 0 0，4 0 0（4 0 0，6 0 0 1（优）2 1 6 2 52（良）5 1 0 1 23（轻 度 污 染）6 7 84（中 度 污 染）7 2 0（1）分 别 估 计 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1，2，3，4 的 概 率；（2）求 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 平 均 人 次 的 估 计 值（同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值为 代 表）；（3）若 某 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1 或 2，则 称 这 天“空 气 质 量 好”；若 某 天 的 空 气 质 量 等级 为 3 或 4，则 称 这 天“空 气 质 量 不 好”根 据 所 给 数 据，完 成 下 面 的 2 2 列 联 表，并根 据 列 联 表，判 断 是 否 有 9 5%的 把 握 认 为 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 与 该 市 当 天 的 空 气质 量 有 关？人 次 4 0 0 人 次 4 0 0空 气 质 量 好空 气 质 量 不 好附：K2P（K2 k）0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 1k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 81 9 如 图，在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 E，F 分 别 在 棱 D D 1，B B 1 上，且 2 D E E D 1，B F 2 F B 1（1）证 明：点 C 1 在 平 面 A E F 内；（2）若 A B 2，A D 1，A A 1 3，求 二 面 角 A E F A 1 的 正 弦 值 2 0 已 知 椭 圆 C：+1（0 m 5）的 离 心 率 为，A，B 分 别 为 C 的 左、右 顶 点（1）求 C 的 方 程；（2）若 点 P 在 C 上，点 Q 在 直 线 x 6 上，且|B P|B Q|，B P B Q，求 A P Q 的 面 积 2 1 设 函 数 f（x）x3+b x+c，曲 线 y f（x）在 点（，f（）处 的 切 线 与 y 轴 垂 直（1）求 b；（2）若 f（x）有 一 个 绝 对 值 不 大 于 1 的 零 点，证 明：f（x）所 有 零 点 的 绝 对 值 都 不 大 于1（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第一 题 计 分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程 2 2 在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为（t 为 参 数 且 t 1），C 与坐 标 轴 交 于 A，B 两 点（1）求|A B|；（2）以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，求 直 线 A B 的 极 坐 标 方 程 选 修 4-5：不 等 式 选 讲 2 3 设 a，b，c R，a+b+c 0，a b c 1（1）证 明：a b+b c+c a 0；（2）用 m a x a，b，c 表 示 a，b，c 的 最 大 值，证 明：m a x a，b，c 参考答案一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的。1 已 知 集 合 A（x，y）|x，y N*，y x，B（x，y）|x+y 8，则 A B 中 元 素 的 个数 为（）A 2 B 3 C 4 D 6【分 析】利 用 交 集 定 义 求 出 A B（7，1），（6，2），（5，3），（4，4）由 此能 求 出 A B 中 元 素 的 个 数 解：集 合 A（x，y）|x，y N*，y x，B（x，y）|x+y 8，A B（x，y）|（7，1），（6，2），（5，3），（4，4）A B 中 元 素 的 个 数 为 4 故 选：C 2 复 数 的 虚 部 是（）A B C D【分 析】直 接 利 用 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 化 简 得 答 案 解：，复 数 的 虚 部 是 故 选：D 3 在 一 组 样 本 数 据 中，1，2，3，4 出 现 的 频 率 分 别 为 p 1，p 2，p 3，p 4，且 p i 1，则 下 面四 种 情 形 中，对 应 样 本 的 标 准 差 最 大 的 一 组 是（）A p 1 p 4 0.1，p 2 p 3 0.4 B p 1 p 4 0.4，p 2 p 3 0.1C p 1 p 4 0.2，p 2 p 3 0.3 D p 1 p 4 0.3，p 2 p 3 0.2【分 析】根 据 题 意，求 出 各 组 数 据 的 方 差，方 差 大 的 对 应 的 标 准 差 也 大 解：选 项 A：E（x）1 0.1+2 0.4+3 0.4+4 0.1 2.5，所 以 D（x）（1 2.5）20.1+（2 2.5）2 0.4+（3 2.5）2 0.4+（4 2.5）2 0.1 0.6 5；同 理 选 项 B：E（x）2.5，D（x）2.0 5；选 项 C：E（x）2.5，D（x）1.0 5；选 项 D：E（x）2.5，D（x）1.4 5；故 选：B 4 L o g i s t i c 模 型 是 常 用 数 学 模 型 之 一，可 应 用 于 流 行 病 学 领 域 有 学 者 根 据 公 布 数 据 建 立 了某 地 区 新 冠 肺 炎 累 计 确 诊 病 例 数 I（t）（t 的 单 位：天）的 L o g i s t i c 模 型：I（t），其 中 K 为 最 大 确 诊 病 例 数 当 I（t*）0.9 5 K 时，标 志 着 已 初 步 遏 制疫 情，则 t*约 为（）（l n 1 9 3）A 6 0 B 6 3 C 6 6 D 6 9【分 析】根 据 所 给 材 料 的 公 式 列 出 方 程 0.9 5 K，解 出 t 即 可 解：由 已 知 可 得 0.9 5 K，解 得 e0.2 3（t5 3），两 边 取 对 数 有 0.2 3（t 5 3）l n 1 9，解 得 t 6 6，故 选：C 5 设 O 为 坐 标 原 点，直 线 x 2 与 抛 物 线 C：y2 2 p x（p 0）交 于 D，E 两 点，若 O D O E，则 C 的 焦 点 坐 标 为（）A（，0）B（，0）C（1，0）D（2，0）【分 析】利 用 已 知 条 件 转 化 求 解 E、D 坐 标，通 过 k O D k O E 1，求 解 抛 物 线 方 程，即 可得 到 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 解：将 x 2 代 入 抛 物 线 y2 2 p x，可 得 y 2，O D O E，可 得 k O D k O E 1，即，解 得 p 1，所 以 抛 物 线 方 程 为：y2 2 x，它 的 焦 点 坐 标（，0）故 选：B 6 已 知 向 量，满 足|5，|6，6，则 c o s，+（）A B C D【分 析】利 用 已 知 条 件 求 出|，然 后 利 用 向 量 的 数 量 积 求 解 即 可 解：向 量，满 足|5，|6，6，可 得|7，c o s，+故 选：D 7 在 A B C 中，c o s C，A C 4，B C 3，则 c o s B（）A B C D【分 析】先 根 据 余 弦 定 理 求 出 A B，再 代 入 余 弦 定 理 求 出 结 论 解：在 A B C 中，c o s C，A C 4，B C 3，由 余 弦 定 理 可 得 A B2 A C2+B C2 2 A C B C c o s C 42+32 2 4 3 9；故 A B 3；c o s B，故 选：A 8 如 图 为 某 几 何 体 的 三 视 图，则 该 几 何 体 的 表 面 积 是（）A 6+4 B 4+4 C 6+2 D 4+2【分 析】先 由 三 视 图 画 出 几 何 体 的 直 观 图，利 用 三 视 图 的 数 据，利 用 三 棱 锥 的 表 面 积 公式 计 算 即 可 解：由 三 视 图 可 知 几 何 体 的 直 观 图 如 图：几 何 体 是 正 方 体 的 一 个 角，P A A B A C 2，P A、A B、A C 两 两 垂 直，故 P B B C P C 2，几 何 体 的 表 面 积 为：3 6+2故 选：C 9 已 知 2 t a n t a n（+）7，则 t a n（）A 2 B 1 C 1 D 2【分 析】利 用 两 角 和 差 的 正 切 公 式 进 行 展 开 化 简，结 合 一 元 二 次 方 程 的 解 法 进 行 求 解 即可 解：由 2 t a n t a n（+）7，得 2 t a n 7，即 2 t a n 2 t a n2 t a n 1 7 7 t a n，得 2 t a n2 8 t a n+8 0，即 t a n2 4 t a n+4 0，即（t a n 2）2 0，则 t a n 2，故 选：D 1 0 若 直 线 l 与 曲 线 y 和 圆 x2+y2 都 相 切，则 l 的 方 程 为（）A y 2 x+1 B y 2 x+C y x+1 D y x+【分 析】根 据 直 线 l 与 圆 x2+y2 相 切，利 用 选 项 到 圆 心 的 距 离 等 于 半 径，在 将 直 线 与曲 线 y 求 一 解 可 得 答 案；解：直 线 l 与 圆 x2+y2 相 切，那 么 直 线 到 圆 心（0，0）的 距 离 等 于 半 径，四 个 选 项 中，只 有 A，D 满 足 题 意；对 于 A 选 项：y 2 x+1 与 y 联 立 可 得：2 x+1 0，此 时：无 解；对 于 D 选 项：y x+与 y 联 立 可 得：x+0，此 时 解 得 x 1；直 线 l 与 曲 线 y 和 圆 x2+y2 都 相 切，方 程 为 y x+，故 选：D 1 1 设 双 曲 线 C：1（a 0，b 0）的 左、右 焦 点 分 别 为 F 1，F 2，离 心 率 为 P是 C 上 一 点，且 F 1 P F 2 P 若 P F 1 F 2 的 面 积 为 4，则 a（）A 1 B 2 C 4 D 8【分 析】利 用 双 曲 线 的 定 义，三 角 形 的 面 积 以 及 双 曲 线 的 离 心 率，转 化 求 解 a 即 可 解：由 题 意，设 P F 2 m，P F 1 n，可 得 m n 2 a，m2+n2 4 c2，e，可 得 4 c2 1 6+4 a2，可 得 5 a2 4+a2，解 得 a 1 故 选：A 1 2 已 知 55 84，1 34 85 设 a l o g 5 3，b l o g 8 5，c l o g 1 3 8，则（）A a b c B b a c C b c a D c a b【分 析】根 据，可 得 a b，然 后 由 b l o g 8 5 0.8 和 c l o g 1 3 8 0.8，得 到 c b，再 确定 a，b，c 的 大 小 关 系 解：l o g 5 3 l o g 5 8 1，a b；55 84，5 4 l o g 5 8，l o g 5 8 1.2 5，b l o g 8 5 0.8；1 34 85，4 5 l o g 1 3 8，c l o g 1 3 8 0.8，c b，综 上，c b a 故 选：A 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3 若 x，y 满 足 约 束 条 件 则 z 3 x+2 y 的 最 大 值 为 7【分 析】先 根 据 约 束 条 件 画 出 可 行 域，再 利 用 几 何 意 义 求 最 值，z 3 x+2 y 表 示 直 线 在 y轴 上 的 截 距 的 一 半，只 需 求 出 可 行 域 内 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 最 大 值 即 可 解：先 根 据 约 束 条 件 画 出 可 行 域，由 解 得 A（1，2），如 图，当 直 线 z 3 x+2 y 过 点 A（1，2）时，目 标 函 数 在 y 轴 上 的 截 距 取 得 最 大 值 时，此时 z 取 得 最 大 值，即 当 x 1，y 2 时，z m a x 3 1+2 2 7 故 答 案 为：7 1 4（x2+）6的 展 开 式 中 常 数 项 是 2 4 0（用 数 字 作 答）【分 析】先 求 出 二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式，再 令 x 的 幂 指 数 等 于 0，求 得 r 的 值，即 可 求得 展 开 式 中 的 常 数 项 的 值 解：由 于（x2+）6的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 T r+1 2r x1 23 r，令 1 2 3 r 0，求 得 r 4，故 常 数 项 的 值 等 于 24 2 4 0，故 答 案 为：2 4 0 1 5 已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 1，母 线 长 为 3，则 该 圆 锥 内 半 径 最 大 的 球 的 体 积 为【分 析】易 知 圆 锥 内 半 径 最 大 的 球 应 为 圆 锥 的 内 切 球，作 图，求 得 出 该 内 切 球 的 半 径 即可 求 出 球 的 体 积 解：因 为 圆 锥 内 半 径 最 大 的 球 应 该 为 该 圆 锥 的 内 切 球，如 图，圆 锥 母 线 B S 3，底 面 半 径 B C 1，则 其 高 S C 2，不 妨 设 该 内 切 球 与 母 线 B S 切 于 点 D，令 O D O C r，由 S O D S B C，则，即，解 得 r，V r3，故 答 案 为：1 6 关 于 函 数 f（x）s i n x+有 如 下 四 个 命 题：f（x）的 图 象 关 于 y 轴 对 称 f（x）的 图 象 关 于 原 点 对 称 f（x）的 图 象 关 于 直 线 x 对 称 f（x）的 最 小 值 为 2 其 中 所 有 真 命 题 的 序 号 是【分 析】根 据 函 数 奇 偶 性 的 定 义，对 称 性 的 判 定，对 称 轴 的 求 法，逐 一 判 断 即 可 解：对 于，由 s i n x 0 可 得 函 数 的 定 义 域 为 x|x k，k Z，故 定 义 域 关 于 原 点 对 称，由 f（x）s i n（x）+s i n x f（x）；所 以 该 函 数 为 奇 函 数，关 于 原 点 对 称，所 以 错 对；对 于，由 f（x）s i n（x）+s i n x+f（x），所 以 该 函 数 f（x）关 于 x 对 称，对；对 于，令 t s i n x，则 t 1，0）（0，1，由 双 勾 函 数 g（t）t+的 性 质，可 知，g（t）t+（，2 2，+），所 以 f（x）无 最 小 值，错；故 答 案 为：三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共6 0 分。1 7 设 数 列 a n 满 足 a 1 3，a n+1 3 a n 4 n（1）计 算 a 2，a 3，猜 想 a n 的 通 项 公 式 并 加 以 证 明；（2）求 数 列 2na n 的 前 n 项 和 S n【分 析】（1）利 用 数 列 的 递 推 关 系 式 求 出 a 2，a 3，猜 想 a n 的 通 项 公 式，然 后 利 用 数 学归 纳 法 证 明 即 可（2）化 简 数 列 的 通 项 公 式，利 用 错 位 相 减 法 求 解 数 列 的 前 n 项 和 S n 解：（1）数 列 a n 满 足 a 1 3，a n+1 3 a n 4 n，则 a 2 3 a 1 4 5，a 3 3 a 2 4 2 7，猜 想 a n 的 通 项 公 式 为 a n 2 n+1 证 明 如 下：（i）当 n 1，2，3 时，显 然 成 立，（i i）假 设 n k 时，a k 2 k+1（k N+）成 立，当 n k+1 时，a k+1 3 a k 4 k 3（2 k+1）4 k 2 k+3 2（k+1）+1，故 n k+1 时 成 立，由（i）（i i）知，a n 2 n+1，猜 想 成 立，所 以 a n 的 通 项 公 式 a n 2 n+1（2）令 b n 2na n（2 n+1）2n，则 数 列 2na n 的 前 n 项 和S n 3 21+5 22+（2 n+1）2n，两 边 同 乘 2 得，2 S n 3 22+5 23+（2 n+1）2n+1，得，S n 3 2+2 22+2n（2 n+1）2n+1 6+（2 n+1）2n+1，所 以 S n（2 n 1）2n+1+2 1 8 某 学 生 兴 趣 小 组 随 机 调 查 了 某 市 1 0 0 天 中 每 天 的 空 气 质 量 等 级 和 当 天 到 某 公 园 锻 炼 的 人次，整 理 数 据 得 到 下 表（单 位：天）：锻 炼 人 次空 气 质 量 等 级 0，2 0 0（2 0 0，4 0 0（4 0 0，6 0 0 1（优）2 1 6 2 52（良）5 1 0 1 23（轻 度 污 染）6 7 84（中 度 污 染）7 2 0（1）分 别 估 计 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1，2，3，4 的 概 率；（2）求 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 平 均 人 次 的 估 计 值（同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值为 代 表）；（3）若 某 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1 或 2，则 称 这 天“空 气 质 量 好”；若 某 天 的 空 气 质 量 等级 为 3 或 4，则 称 这 天“空 气 质 量 不 好”根 据 所 给 数 据，完 成 下 面 的 2 2 列 联 表，并根 据 列 联 表，判 断 是 否 有 9 5%的 把 握 认 为 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 与 该 市 当 天 的 空 气质 量 有 关？人 次 4 0 0 人 次 4 0 0空 气 质 量 好空 气 质 量 不 好附：K2P（K2 k）0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 1k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 8【分 析】（1）用 频 率 估 计 概 率，从 而 得 到 估 计 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1，2，3，4的 概 率；（2）采 用 频 率 分 布 直 方 图 估 计 样 本 平 均 值 的 方 法 可 得 得 答 案；（3）由 公 式 计 算 k 的 值，从 而 查 表 即 可，解：（1）该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1 的 概 率 为：；该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 2 的 概 率 为：；该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 3 的 概 率 为：；该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 4 的 概 率 为：；（2）由 题 意 可 得：一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 平 均 人 次 的 估 计 值 为：1 0 0 0.2 0+3 0 0 0.3 5+5 0 0 0.4 5 3 5 0；（3）根 据 所 给 数 据，可 得 下 面 的 2 2 列 联 表，人 次 4 0 0 人 次 4 0 0 总 计空 气 质 量 好 3 3 3 7 7 0空 气 质 量 不 好 2 2 8 3 0总 计 5 5 4 5 1 0 0由 表 中 数 据 可 得：K2 5.8 0 2 3.8 4 1，所 以 有 9 5%的 把 握 认 为 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 与 该 市 当 天 的 空 气 质 量 有 关 1 9 如 图，在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 E，F 分 别 在 棱 D D 1，B B 1 上，且 2 D E E D 1，B F 2 F B 1（1）证 明：点 C 1 在 平 面 A E F 内；（2）若 A B 2，A D 1，A A 1 3，求 二 面 角 A E F A 1 的 正 弦 值【分 析】（1）在 A A 1 上 取 点 M，使 得 A 1 M 2 A M，连 接 E M，B 1 M，E C 1，F C 1，由 已 知证 明 四 边 形 B 1 F A M 和 四 边 形 E D A M 都 是 平 行 四 边 形，可 得 A F M B 1，且 A F M B 1，A D M E，且 A D M E，进 一 步 证 明 四 边 形 B 1 C 1 E M 为 平 行 四 边 形，得 到 E C 1 M B 1，且 E C 1 M B 1，结 合 A F M B 1，且 A F M B 1，可 得 A F E C 1，且 A F E C 1，则 四 边 形 A F C 1 E为 平 行 四 边 形，从 而 得 到 点 C 1 在 平 面 A E F 内；（2）在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中，以 C 1 为 坐 标 原 点，分 别 以 C 1 D 1，C 1 B 1，C 1 C 所 在直 线 为 x，y，z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 分 别 求 出 平 面 A E F 的 一 个 法 向 量 与 平 面 A 1 E F的 一 个 法 向 量，由 两 法 向 量 所 成 角 的 余 弦 值 可 得 二 面 角 A E F A 1 的 余 弦 值，再 由 同 角三 角 函 数 基 本 关 系 式 求 得 二 面 角 A E F A 1 的 正 弦 值【解 答】（1）证 明：在 A A 1 上 取 点 M，使 得 A 1 M 2 A M，连 接 E M，B 1 M，E C 1，F C 1，在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中，有 D D 1 A A 1 B B 1，且 D D 1 A A 1 B B 1 又 2 D E E D 1，A 1 M 2 A M，B F 2 F B 1，D E A M F B 1 四 边 形 B 1 F A M 和 四 边 形 E D A M 都 是 平 行 四 边 形 A F M B 1，且 A F M B 1，A D M E，且 A D M E 又 在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中，有 A D B 1 C 1，且 A D B 1 C 1，B 1 C 1 M E 且 B 1 C 1 M E，则 四 边 形 B 1 C 1 E M 为 平 行 四 边 形，E C 1 M B 1，且 E C 1 M B 1，又 A F M B 1，且 A F M B 1，A F E C 1，且 A F E C 1，则 四 边 形 A F C 1 E 为 平 行 四 边 形，点 C 1 在 平 面 A E F 内；（2）解：在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中，以 C 1 为 坐 标 原 点，分 别 以 C 1 D 1，C 1 B 1，C 1 C 所 在 直 线 为 x，y，z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A B 2，A D 1，A A 1 3，2 D E E D 1，B F 2 F B 1，A（2，1，3），B（2，0，2），F（0，1，1），A 1（2，1，0），则，设 平 面 A E F 的 一 个 法 向 量 为 则，取 x 1 1，得；设 平 面 A 1 E F 的 一 个 法 向 量 为 则，取 x 2 1，得 c o s 设 二 面 角 A E F A 1 为，则 s i n 二 面 角 A E F A 1 的 正 弦 值 为 2 0 已 知 椭 圆 C：+1（0 m 5）的 离 心 率 为，A，B 分 别 为 C 的 左、右 顶 点（1）求 C 的 方 程；（2）若 点 P 在 C 上，点 Q 在 直 线 x 6 上，且|B P|B Q|，B P B Q，求 A P Q 的 面 积【分 析】（1）根 据 e，a2 2 5，b2 m2，代 入 计 算 m2的 值，求 出 C 的 方 程 即 可；（2）设 出 P，Q 的 坐 标，得 到 关 于 s，t，n 的 方 程 组，求 出 A P（8，1），A Q（1 1，2），从 而 求 出 A P Q 的 面 积 解：（1）由 e 得 e2 1，即 1，m2，故 C 的 方 程 是：+1；（2）由（1）A（5，0），设 P（s，t），点 Q（6，n），根 据 对 称 性，只 需 考 虑 n 0 的 情 况，此 时 5 s 5，0 t，|B P|B Q|，有（s 5）2+t2 n2+1，又 B P B Q，s 5+n t 0，又+1，联 立 得 或，当 时，A P（8，1），A Q（1 1，2），S A P Q|8 2 1 1 1|，同 理 可 得 当 时，S A P Q，综 上，A P Q 的 面 积 是 2 1 设 函 数 f（x）x3+b x+c，曲 线 y f（x）在 点（，f（）处 的 切 线 与 y 轴 垂 直（1）求 b；（2）若 f（x）有 一 个 绝 对 值 不 大 于 1 的 零 点，证 明：f（x）所 有 零 点 的 绝 对 值 都 不 大 于1【分 析】（1）求 出 原 函 数 的 导 函 数，由 题 意 可 得 f（）3，由 此 求得 b 值；（2）设 x 0 为 f（x）的 一 个 零 点，根 据 题 意，且|x 0|1，得 到，由|x 0|1，对 c（x）求 导 数，可 得 c（x）在 1，1 上 的 单 调 性，得 到 设 x 1 为 f（x）的 零 点，则 必 有，可 得，由 此 求 得 x 1 的 范 围 得 答 案【解 答】（1）解：由 f（x）x3+b x+c，得 f（x）3 x2+b，f（）3，即 b；（2）证 明：设 x 0 为 f（x）的 一 个 零 点，根 据 题 意，且|x 0|1，则，由|x 0|1，令 c（x）（1 x 1），c（x），当 x（1，）（，1）时，c（x）0，当 x（，）时，c（x）0可 知 c（x）在（1，），（，1）上 单 调 递 减，在（，）上 单 调 递 增 又 c（1），c（1），c（），c（），设 x 1 为 f（x）的 零 点，则 必 有，即，得 1 x 1 1，即|x 1|1 f（x）所 有 零 点 的 绝 对 值 都 不 大 于 1（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第一 题 计 分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程 2 2 在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为（t 为 参 数 且 t 1），C 与坐 标 轴 交 于 A，B 两 点（1）求|A B|；（2）以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，求 直 线 A B 的 极 坐 标 方 程【分 析】（1）可 令 x 0，求 得 t，对 应 的 y；再 令 y 0，求 得 t，对 应 的 x；再 由 两 点 的距 离 公 式 可 得 所 求 值；（2）运 用 直 线 的 截 距 式 方 程 可 得 直 线 A B 的 方 程，再 由 由 x c o s，y s i n，可 得 所求 极 坐 标 方 程 解：（1）当 x 0 时，可 得 t 2（1 舍 去），代 入 y 2 3 t+t2，可 得 y 2+6+4 1 2，当 y 0 时，可 得 t 2（1 舍 去），代 入 x 2 t t2，可 得 x 2 2 4 4，所 以 曲 线 C 与 坐 标 轴 的 交 点 为（4，0），（0，1 2），则|A B|4；（2）由（1）可 得 直 线 A B 过 点（0，1 2），（4，0），可 得 A B 的 方 程 为 1，即 为 3 x y+1 2 0，由 x c o s，y s i n，可 得 直 线 A B 的 极 坐 标 方 程 为 3 c o s s i n+1 2 0 选 修 4-5：不 等 式 选 讲 2 3 设 a，b，c R，a+b+c 0，a b c 1（1）证 明：a b+b c+c a 0；（2）用 m a x a，b，c 表 示 a，b，c 的 最 大 值，证 明：m a x a，b，c【分 析】（1）将 a+b+c 0 平 方 之 后，化 简 得 到 2 a b+2 a c+2 b c（a2+b2+c2）0，即可 得 证；（2）利 用 反 证 法，假 设 a b 0 c，结 合 条 件 推 出 矛 盾【解 答】证 明：（1）a+b+c 0，（a+b+c）2 0，a2+b2+c2+2 a b+2 a c+2 b c 0，2 a b+2 a c+2 b c（a2+b2+c2），a b c 1，a，b，c 均 不 为 0，2 a b+2 a c+2 b c（a2+b2+c2）0，a b+a c+b c 0；（2）不 妨 设 a b 0 c，则 a b，a+b+c 0，a b c，而 a b 2，与 假 设 矛 盾，故 m a x a，b，c