全等三角形典型例题_中学教育-中考.pdf

学习必备 欢迎下载【典型例题】例 1.（20XX 年陕西）已知：如图，B、C、E 三点在同一直线上，AC DE，AC CE，ACD B求证：ABC CDE 分析：已知条件中具备 AC CE，要证明两个三角形全等，需要推证其它的对应边、对应角相等，而由 AC DE得 E ACB，D ACD，又因为 ACD B，所以 D B得到两个三角形全等的条件。解：AC DE，ACD D，BCA E 又 ACD B，B D 在 ABC 和 CDE 中，ABC CDE 评析：从已知条件入手寻找三角形全等的条件，灵活运用平行线的性质推导 D ACD，E ACE 解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件。例 2.（20XX 年浙江衢州）如图，AB CD（1）用直尺和圆规作 C 的平分线 CP，CP 交 AB 于点 E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）中作出的线段 CE 上取一点 F，连结 AF要使 ACF AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）分析：根据角平分线的作法，分三步得到 C 的平分线对于补充条件使 ACF AEF，由于已具备公共边AF AF，ACF AEF，根据全等三角形判定方法和题目要求再补充一个角相等即可 解：（1）作图略（2）AF CE，AFC AFB，CAF BAF（选一个即可）评析：掌握三角形全等的判定方法，分析已知，结合图形探索全等所需条件是解题关键 例 3.如图所示，在正方形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，F 是 BA 延长线上一点，AF AB，已知 ABE ADF（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使 ABE 变到 ADF 的位置（2）线段 BE 与 DF 有什么关系？证明你的结论 学习必备 欢迎下载 分析：根据平移、翻折、旋转的特点 ABE 经过旋转变到 ADF 的位置，因为平移后对应边平行，翻折后有一组对应边在同一直线上讨论 BE 与 DF 的关系要考虑它们之间的数量关系和位置关系，根据全等易得 BE DF对应位置关系，需要延长 BE 交 DF 于 G，观察证明 DGB 90 解：（1）图中通过绕点 A 旋转 90，使 ABE 变到 ADF 的位置（2）延长 BE 交 DF 于 G，ABE ADF，BE DF，ABE ADF 又 AEB DEG，DGB DAB 90 BE DF 评析：本题意在考查对平移、翻折、旋转的理解；合理猜想、探索、推理、论证能力也在考查之中 例 4.（20XX 年河南）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在 ABC 中，AB AC，P 是 ABC 内部任意一点，将 AP 绕 A 顺时针旋转至 AQ，使 QAP BAC，连接 BQ、CP，则 BQ CP”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了 ABQ ACP，从而证得 BQ CP 之后，将点 P 移到等腰三角形 ABC 之外，原题中的条件不变，发现“BQ CP”仍然成立，请你就图给出证明 分析：首先由旋转的特点得 AQ AP，又由 QAP BAC，结合图形，利用角的差得 QAB PAC，又 AB AC，得 AQB APC，从而 BQ CP而点 P 在 ABC 外部时，与点 P 在 ABC 内部时基本相同，只是在证 QAB PAC 时利用角的和而不是差 解：QAP BAC，需要推证其它的对应边对应角相等而由得又因为所以得到两个三角形全等的条件解又在和中评析从已知条件入手寻找三角形全等的条件灵活运用平行线的性质推导解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件例年浙江衢州如 件请你写出这个条件只要给出一种情况即可图中不再增加字母和线段不要求证明分析根据角平分线的作法分三步得到的平分线对于补充条件使由于已具备公共边根据全等三角形判定方法和题目要求再补充一个角相等即可解作图略选 是的中点是延长线上一点已知在图中可以通过平移翻折旋转中哪一种方法使变到的位置线段与有什关系证明你的结论学习必备欢迎下载分析根据平移翻折旋转的特点经过旋转变到的位置因为平移后对应边平行翻折后有一组对应边在学习必备 欢迎下载 QAP PAB BAC PAB，即 QAB PAC 在 QAB 和 PAC 中，QAB PAC，BQ CP 评析：分析已知条件，观察图形，培养“直觉”图形的意识，确认边、角之间的关系，尽快地找到解题的突破口 例 5.如图所示，已知 ABC 中，a 5cm，b 4cm，c 3cm，B 53，C 37，请你从中选择适当的数据画一个三角形，使之与 ABC 全等，把你所能画的三角形全部画出来，不写画法，并在所画出的三角形中标出你选用到的数据，并说明符合条件的三角形可有多少种不同的画法？分析：利用 SSS、AAS 等方法画三角形与已知 ABC 全等时，同学们不够熟练，为此不妨利用三角形内角和为180，从而可知 A 90，在具体画图时可先画出 A 90后仍选用 SSS、AAS 等方案画图为宜，即在所画出的图形中仍只标明 B、C 的度数即可 解：要画出与 ABC 全等的三角形，可由题设中所给出的五个数据中任选三个得十种不同的画法，其中有四种画法不符合 SAS、SSS、ASA、AAS，故有六种画法符合要求（1）利用“SSS”，即 a 5cm，b 4cm，c 3cm；（2）利用“SAS”，即 a 5cm，c 3cm，B 53；（3）利用“SAS”，即 a 5cm，b 4cm，C 37；（4）利用“AAS”，即 c 3cm，B 53，C 37；（5）利用“AAS”，即 b 4cm，B 53，C 37；（6）利用“ASA”，即 B 53，a 5cm，C 37 需要推证其它的对应边对应角相等而由得又因为所以得到两个三角形全等的条件解又在和中评析从已知条件入手寻找三角形全等的条件灵活运用平行线的性质推导解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件例年浙江衢州如 件请你写出这个条件只要给出一种情况即可图中不再增加字母和线段不要求证明分析根据角平分线的作法分三步得到的平分线对于补充条件使由于已具备公共边根据全等三角形判定方法和题目要求再补充一个角相等即可解作图略选 是的中点是延长线上一点已知在图中可以通过平移翻折旋转中哪一种方法使变到的位置线段与有什关系证明你的结论学习必备欢迎下载分析根据平移翻折旋转的特点经过旋转变到的位置因为平移后对应边平行翻折后有一组对应边在学习必备 欢迎下载 评析：当题目要求在所给条件中选择进行作图时，可利用分类的思想进行讨论来作，因此其作图具有开放性 这就要求思考问题要周密，分类要准确，做到不重不漏【方法总结】1.在探索三角形全等方法的时候，利用了一个非常重要的数学思想，就是分类讨论思想在讨论问题时，我们常常用分类的方法，分类要有标准，标准不同，分类的结果也不同在分类讨论时，要注意标准的一致性，做到讨论的对象不丢，不漏，不交叉 2.全等三角形的几种识别方法都是采用直观感知，操作确认的方式得到的，这是数学发现的一种重要方法，就是由特殊事例推出一般结论的方法，在学习中，同学们要体会这种方法的运用 3.转化思想是数学中常见的一种思想方法，解题时运用转化思想，可将未知问题转化为已知问题，化复杂为简单【模拟试题】（答题时间：45 分钟）一.选择题 1.下列条件，不能使两三角形全等的是（）A.两边一角对应相等 B.两角及其中一角的对边对应相等 C.三边对应相等 D.两边及其夹角对应相等 2.如图所示，已知 OA OB，OC OD，AD、BC 相交于 E，则图中全等三角形有（）A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 3.（20XX 年成都）如图，在 ABC 与 DEF 中，已有条件 AB DE，还需添加两个条件才能使 ABC DEF，不能添加的一组条件是（）A.B E，BC EF B.BC EF，AC DF C.A D，B E D.A D，BC EF 4.如图所示，AB AC，AE AD，则 ABD ACE；BOE COD；点 O 在 BAC 的平分线上以上结论（）需要推证其它的对应边对应角相等而由得又因为所以得到两个三角形全等的条件解又在和中评析从已知条件入手寻找三角形全等的条件灵活运用平行线的性质推导解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件例年浙江衢州如 件请你写出这个条件只要给出一种情况即可图中不再增加字母和线段不要求证明分析根据角平分线的作法分三步得到的平分线对于补充条件使由于已具备公共边根据全等三角形判定方法和题目要求再补充一个角相等即可解作图略选 是的中点是延长线上一点已知在图中可以通过平移翻折旋转中哪一种方法使变到的位置线段与有什关系证明你的结论学习必备欢迎下载分析根据平移翻折旋转的特点经过旋转变到的位置因为平移后对应边平行翻折后有一组对应边在学习必备 欢迎下载 A.都正确 B.都不正确 C.只有一个正确 D.只有一个不正确 5.如图所示，欲测量内部无法到达的古塔相对两点 A、B 间的距离，可延长 AO 至点 C，使 CO AO，延长 BO 至点 D，使 DO BO，则 COD AOB，从而通过测量 CD 就可得 A、B 间的距离，其全等的根据是（）A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 6.如图所示，ABC 是不等边三角形，DE BC，以 D、E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与ABC 全等，这样的三角形最多可以作出（）A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 二.填空题 7.已知 ABC DEF，A 52，B 31，ED 10，则 F _，AB _ 8.如图所示，BD AC，CE AB，垂足分别为 D、E，若 ABD ACE，则 B _，BAD _，ADB _，AB _，AD _，BD _，如果 BEO CDO，那么 BOE _，DO _ 9.已知 ABC DEF，BC EF 6cm，ABC 的面积是 18cm2，则 EF 边上的高是 _cm 10.（20XX 年海南）已知在 ABC 和 A1B1C1中，AB A1B1，A A1，要使 ABC A1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是 _ 11.如图所示，已知：ABC 中，AC BC，ACB 90，l 是过 C 的任意一条直线，AD l 于 D，BE l 于 E，且 AD 2 厘米，BE 5 厘米，那么线段 DE _厘米 需要推证其它的对应边对应角相等而由得又因为所以得到两个三角形全等的条件解又在和中评析从已知条件入手寻找三角形全等的条件灵活运用平行线的性质推导解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件例年浙江衢州如 件请你写出这个条件只要给出一种情况即可图中不再增加字母和线段不要求证明分析根据角平分线的作法分三步得到的平分线对于补充条件使由于已具备公共边根据全等三角形判定方法和题目要求再补充一个角相等即可解作图略选 是的中点是延长线上一点已知在图中可以通过平移翻折旋转中哪一种方法使变到的位置线段与有什关系证明你的结论学习必备欢迎下载分析根据平移翻折旋转的特点经过旋转变到的位置因为平移后对应边平行翻折后有一组对应边在学习必备 欢迎下载 12.如图所示，已知点 C 是 AOB 平分线上的点，点 P、P分别在 OA、OB 上，如果要得到 OP OP，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号：_ OCP OCP；OPC OP C；PC P C；PP OC 三.解答题 13.（20XX 年济南）已知：如图，AB DE，AC DF，BE CF求证：AB DE 14.（20XX 年北京）已知：如图，C 为 BE 上一点，点 A、D 分别在 BE 两侧 AB ED，AB CE，BC ED求证：AC CD 需要推证其它的对应边对应角相等而由得又因为所以得到两个三角形全等的条件解又在和中评析从已知条件入手寻找三角形全等的条件灵活运用平行线的性质推导解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件例年浙江衢州如 件请你写出这个条件只要给出一种情况即可图中不再增加字母和线段不要求证明分析根据角平分线的作法分三步得到的平分线对于补充条件使由于已具备公共边根据全等三角形判定方法和题目要求再补充一个角相等即可解作图略选 是的中点是延长线上一点已知在图中可以通过平移翻折旋转中哪一种方法使变到的位置线段与有什关系证明你的结论学习必备欢迎下载分析根据平移翻折旋转的特点经过旋转变到的位置因为平移后对应边平行翻折后有一组对应边在学习必备 欢迎下载 15.已知：如图所示，D、A、E 在一条直线上，ADC AEB，BAC 40，D 45 求：（1）B 的度数；（2）BMC 的度数 16.如图，若点 C 是 AB 的中点，CD BE 且 CD BE，则 D 与 E 相等吗？小华的思考过程如下：CD BE 1 B AC CB，1 B，CD BE ACD CBE ACD CBE D E 你能说明每一步的理由吗？17.如图所示，AD 和 BC 相交于点 O，BE AD，DF BC，BE DF，ABC CDA，那么 AB CD 吗？说明需要推证其它的对应边对应角相等而由得又因为所以得到两个三角形全等的条件解又在和中评析从已知条件入手寻找三角形全等的条件灵活运用平行线的性质推导解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件例年浙江衢州如 件请你写出这个条件只要给出一种情况即可图中不再增加字母和线段不要求证明分析根据角平分线的作法分三步得到的平分线对于补充条件使由于已具备公共边根据全等三角形判定方法和题目要求再补充一个角相等即可解作图略选 是的中点是延长线上一点已知在图中可以通过平移翻折旋转中哪一种方法使变到的位置线段与有什关系证明你的结论学习必备欢迎下载分析根据平移翻折旋转的特点经过旋转变到的位置因为平移后对应边平行翻折后有一组对应边在学习必备 欢迎下载 理由 四.应用与探究题 18.如图所示，小冰想测量一下他手中举起的等腰直角三角板的斜边 BC 是否水平，于是他采用如下行动，从 BC的中点 D 处悬挂一物体，若自然下垂后刚好垂直通过 A，则说明：（1）AD BC；（2）BC 处于水平位置，请解释其中的几何道理 19.在一次战役中，如图所示，我军阵地与敌军阵地隔河相望为炸掉它需知我军阵地与碉堡的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部，然后，他转过一个角度，保持刚才姿态，这时视线落在自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离（1）按这个战士的方法，找出教室或操场与你距离相等的两点，并通过测量加以验证（2）你能解释其中的道理吗？需要推证其它的对应边对应角相等而由得又因为所以得到两个三角形全等的条件解又在和中评析从已知条件入手寻找三角形全等的条件灵活运用平行线的性质推导解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件例年浙江衢州如 件请你写出这个条件只要给出一种情况即可图中不再增加字母和线段不要求证明分析根据角平分线的作法分三步得到的平分线对于补充条件使由于已具备公共边根据全等三角形判定方法和题目要求再补充一个角相等即可解作图略选 是的中点是延长线上一点已知在图中可以通过平移翻折旋转中哪一种方法使变到的位置线段与有什关系证明你的结论学习必备欢迎下载分析根据平移翻折旋转的特点经过旋转变到的位置因为平移后对应边平行翻折后有一组对应边在学习必备 欢迎下载【试题答案】一.选择题 1.A 2.C 3.D 4.A 5.A 6.B 二.填空题 7.97 10 8.C CAE AEC AC AE CE COD EO 9.6 10.如：B B1，AC A1C1等 11.7 12.三.解答题 13.利用 ASA 证明 14.证 ABC CED（SAS）15.（1）25（2）65 16.两直线平行，同位角相 等；SAS；全等三角形对应角相等 17.先证 BEO DFO，再证 BOA DOC 四.应用与探究题 18.可用 SSS 证 ABD ACD 19.（1）略（2）他两次所确定的三角形全等 需要推证其它的对应边对应角相等而由得又因为所以得到两个三角形全等的条件解又在和中评析从已知条件入手寻找三角形全等的条件灵活运用平行线的性质推导解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件例年浙江衢州如 件请你写出这个条件只要给出一种情况即可图中不再增加字母和线段不要求证明分析根据角平分线的作法分三步得到的平分线对于补充条件使由于已具备公共边根据全等三角形判定方法和题目要求再补充一个角相等即可解作图略选 是的中点是延长线上一点已知在图中可以通过平移翻折旋转中哪一种方法使变到的位置线段与有什关系证明你的结论学习必备欢迎下载分析根据平移翻折旋转的特点经过旋转变到的位置因为平移后对应边平行翻折后有一组对应边在