2023年高考数学一轮复习重难点训练：函数零点问题的综合应用（含答案）.pdf

专属教育考试复习专用考试参考习题一系统复习备考题库训练一习题强化考前模拟测试一模拟演练通关宝典梳理一真题体验技巧提升冲刺一技能技巧注：文本内容应以实际为准，下载前需仔细预览助你一战成名2023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习2023 一轮复习重难点专题突破专题09函数零点问题的综合应用【方法技巧与总结】1.函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴(或直线y=)在某区间上的交点问题：第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像：第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.【题型归纳目录】题型一：零点问题之一个零点题型二：零点问题之二个零点题型三：零点问题之三个零点题型四：零点问题之max,m in问题题型五：零点问题之同构法题型六：零点问题之零点差问题题型七：零点问题之三角函数题型八：零点问题之取点技巧【典例例题】题型一：零点问题之一个零点例 1.已知。0,函数/(x)=2渭 一 3(/+l)x，+6ax-2.(I)讨论/(x)的单调性；(2)若“X)在 R 上仅有一个零点，求。的取值范围.【解答】解：(1)由题可知：f (x)=6a x2-6(a2+l)x+6a =6(x-a)(a x-1),令r(x)=0,则,x=a或x=L当，a,即0 a 1 时，x(a或吐 0,此时，x)在(v,a),(L+oo)单调递增，/(x)在(“2)单调递减；a a当a=l 时，/(x).O恒成立，所以/(x)在 R 上单调递增.第1页，共50页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习当，0即 时，垢 时，/(X)O,此时，/(x)在(-00-),(。,内)上单调递增，/(X)在(L。)单调递减.a a综上，当0“1时，/(X)的增区间为(Y O)和m+o o),/(x)的减区间为(%。).(2)由题可得：J(a)=a4+3a2 2 =(a2 1)(2 -a2)；a a由(1)可得：当0 a l时，/(a)0,/(-!-)l时，/(-)0,又/*)在/;上仅有一个零点，则/(a)0,即2-/0,解得1 a 0 时，叭 x)Q=Q x 0时，H r)在(，+8)上单调递减，在(0,)递增.第2页，共50页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习(2)f(x)在 R 上有且仅有一个零点，即方程3m-2 =有唯一解,令g(x)=f g(x)=片 7 2 令g(x)=，可得x=或 x=2.(-00,0)时，g )0,X E(2,+O O)时，g(x)在(0,2)递 增,在(fo,0),(2,+oo)递减，且 xf+ooR寸，g(x)-0,X f-o o 时，g(x)-+002 八3i-2 r 或 3m-2 =0.e2 2 或_ ,=?22 2 2所以，的取值范围(+彳，+x)U .例 3.已知函数/(x)=(x-)ex-ar2+A.(I)讨论/C O 的单调性；(H)从下面两个条件中选一个，证明：/(x)恰有一个零点.1 /一2a；2 2 0 a 0 时，/(x)0,当x 0 时，x)0 时，令/(x)=0,可得x=0或 x=(2a),当 0 a 0 或 X 0,当勿(2a)x 0 时，fx)；时，当 x/”(2a)时，f(x)0,当 0 x/(2a)时,f(x)0,/(x)在(-8,0),(加(2。)，+00)上单调递增，在(0,(2a)上单调递减.综上所述：第3页，共50页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习当以 0 时，/(x)在(F,0)上单调递减；在(0,口)上 单调递增；当0 a；时，/(x)在(T O,历(2 a)和(0,+00)上单调递增；在(/“(2a),0)上单调递减：当时，在&上 单 调 递 增：当时，f(x)在(-肛0)和(历(2a),+)上单调递增；在(0,/(20)上单调递减.(I I)证明：若选，由(I)知，/(外 在(,0)上单调递增，(0,ln(2a)单调递减，(/(2a),+2aln(2a)-2 a-a In2 2a+2a=aln(2a)(2-ln(2a)，由!幺 得。0,当 X.0 时，/(x)./(/n(2a)0,此时/(x)无零点.综上：f M 在R 上仅有一个零点.另解：当 a e g,时，有/(2a)e(0,2,而/(x)=b-a-=0,于是 f(ln(2a)=(ln(2a)-)2 a-a In2(2)+b=/(2a)(2-ln(2a)+(b-2a)0,所以/(x)在(0,+oo)没有零点，当xvO 时,(0,1),于是8n所以f(x)在(-他，0)上存在一个零点，命题得证.aV a若选，则 由(I)知：/(x)在(Y0,/(2 a)上单调递增，在(及(2。)，0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增./(/(2a)=(ln(2a)-l)2a-aln22a+b.2aln(2a)-2 a-a ln22a+2a=aln(2a)(2-ln(2a),0 a ,/n(2a)0,/.aln(2a)(2-ln(2a)0,f(ln(2a)0,2 当 x.0 时,/(xK/(/w(2 a)0 时，x)单调递增，注意到/(0)=6-L 2 a-l 0,取 c=j2(l-b)+2,：b 2a /2 1 又易证 ec+l，f(c)=(c l)e*-ac2+6(c l)(c+1)-ac2+/=(1 a)c2+b-l+6 l=l-6+l+6-l=l 0,第4页，共50页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习“X)在(0,c)上有唯一零点，即x)在(0,+c o)上有唯一零点.综上：/(x)在 R上有唯一零点.题型二：零点问题之二个零点例 4.已知函数/(x)=(x-2)e*,a e R .(1)讨论/(x)的单调性；(2)若“X)有两个零点，求。的取值范围.【解答】解：(1)由/(x)=(x-(x-l)2,可得 f x)=(x-)ex 2 a(x-l)=(x-l)(e -2a),当a.0时，由r(x)0,可得x l；由/(x)0,可得x 0 时，由 八 x)=0,解得*=1 或 X =/2”，若。=1,则广(幻.0 恒成立，即有/(工)在H上递增：若 OVQ 0 ,可得 x l 或 ln(2a)；E&f (x)0 ,可得/”(2 a)x ；,由 f (x)0 ,可得 x /n(2a):由 八 x)0,可得l x 0 时，0 =1时，/(x)在尺上递增；0 a 时，/(x)在(YO,1),(/(2 a),+o o)递增：在(1,/(2 公)递减.(2)由(1)可得，当a 0 时，/(x)在(-8,1)递减：在(1,+)递增，且/(1)=-e 0,故 x)在(1,2)上存在 1 个零点,取b 满足6 0，且6 /(-今，则/=(1)八帅-心乎-机一拉0,第5页，共50页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习故 X)在S/)是也存在1个零点,故a 0时，若a =1时，在R递增，“X)不存在2个零点，不合题意；若0。二，在。,+)递增，又当x.1时，/(x)0,/(x)不存在2个零点，不合题意，当时，/(x)在(-o o,l)单调增，在(1,加(2。)递减,在(历(24，+o)递增,“X)极大值=/(1)=-e 0,此时/(x)在(0,+8)上单调递增；当a 0时，由r(x)0解得0 无，由(x)也，此 时/(x)在(0,正)上单调递增，a a a在(正,+0 0)上单调递减：a综上，当a.0时，/(x)在(0,+0 0)上单调递增；当a 0时，x)在(0,1)上单调递增，在(也,+o o)上单调递减；a a(2)由(1)知，当a.0时，/(x)在(0,内)上单调递增，函数“X)至多一个零点，不合题意；当。0时，/(x)在(0但)上 单 调 递 增，在(正,+o o)上 单 调 递 减，则a af Mma x=f()=/-7=a(-7=)2=一：/(。+1)，a yla 2 yja 2当时，f(x)nia x=/()=-ln(a+1)0 ,函数/x)至多有一个零点，不合题意；e a 2当 0 a 0 ,e a 2由于 1 W (0,y)，且/(I)=/l-4/,1 -.6 Z R f()=In-a ()=In-=0a yja a ci 2 a a a a a(由于 Inx 由零点存在性定理可知，/(X)在(-1，+8)上存在唯一零点;la综上，实数”的取值范围为(0,3 e例 6.已知函数/(x)=e e-2(a +l)+2ax(e为自然对数的底数，且a,1).(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)有两个零点，求的取值范围.【解答】解：(1)r(x)=2(e-lX e*-a)，a.0 时，ex-a 0,则x0 时，f(x)0 时，f(x)0,/(X)在(0,40 时，由/(x)=0 得内=/“，x2=0,若a=1 ,则/(X)0,故/(x)在&递增,若0 a 1 ,则当 x 0 时，f(x)0,Ina x 0 时，f(x)0.故/(x)在(-oo,/a),(0,+a)递增,在(加a,0)递减;综上：a.0 时，/(x)在(fo,0)递减，在(0,”)递增，0 a l 时，/(X)在(YO,/a),(0,”)递增，在(/a,0)递减；4=1时,“X)在夫递增；(2)4=1时，/(X)在/?递增，不可能有2 个零点，当 041 时，/(X)在(-8,/。)，(0,+00)递增，(小。,0)递减，故当 x=/”a 时，/(x)取极大值，极大值为/(/)=-a(“+2)+2a/a 0,此时，/(x)不可能有2 个零点，当 a=0 时，/(x)=e*(e、-2),由/(x)=0 得 x=/2,此时，x)仅 有 1个零点,当a 0 时，/(x)在(-8,0)递减，在(0,+oo)递增，故 f(x)min=/(0)=-2 a ,/(x)有 2 个零点，./()-，-6 7 0 取+,则/(b)=eb-(a +1)2+la b eh-(a +1)2.0 ,2a故x)在(7 0,0),(o,4)各 有 1 个零点,综上，a的取值范围是(-1,0).2题型三：零点问题之三个零点例 7.已知函数/(x)=a(/x +),a e R .X(1)求/(X)的极值；(2)若方程2/(x)-/”x +x +2=0有三个解，求实数。的取值范围.【解答】解：/(x)的定义域为(0,+a),仆)=篦 二)=处 口，X X-X*当。0 时,/(x)在(0,1)上递 减,在(1,+0 0)上递增，所以/(x)在x =l处取得极小值a,当a =0 时，/(x)=0,所以无极值，当a 0)x x若a.0,则当x e (0,1)时,h x)0,(x)单调递增，方(x)至多有两个零点.若。二 一 1,则x w(0,+o o),/f(x)0 (仅 I (1)=0),2/7(x)单调递增，僦外至多有一个零点.若一 t z 0 ,则 0 2a 0 ,li(x)单调递增；当x w(-2,l)时，/(x)0 成立./(1)0由 (1)0.得。-之，这与矛盾，所以(x)不可能有三个零点.2 2若 1.当 xe(0,l)或xe(-2a,+8)时，h(x)0,力(x)单调递增;2当 xw(l,-2“)时.，h(x)成立，h(-2a)0,得 一2,2由 h(-2a)=(2a-)ln(-2a)-1 0 及 a ，得 a ,a .并且,当 时,0 c 2a 2 2 2 2Me)=4+e+2a(e2-2)4+-e(e2-2)4+l-5 e e2-3(e 2+2)=e2-6-3e2 e2-7 0.综上，使/e时，f(x)0,函数单调递增，当0cx e时，fx)0 即y=x/x+l 0 ,e e故原方程可转化为1-2a=殳止，xlnx+1第9页，共50页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习令 g(x)=。+1)2xlnx+1则 g (x)=(x/nx +1)2因为x 0,易得当x e或0 x 0 ,函数单调递增，当l x e时，g，(x)0,函数单调递减,故当x =l时，函数取得极大值g (1)=4,当x =e时，函数取得极小值g (e)=e +l,由题意可得，y =l-2 a与g(x)3个交点，则e+l l-2 a 4,解可得，-0时，令r(x)0,解得：x 卡 或x -g令/(x)0时，/(X)在(-8,-去)递 增，在(-g，递减，在(g，+8)递增;(2)由(1)得：k 0,/(x)极 小 值=*/(X)极 大 值=40 *0),讨论力(x)零点的个数.【解答】解：f(x)=3x2+a.设曲线y =/(x)与戈轴相切于点P*o ,0),贝丫(%)=0，八%)=0，.叶+叽+上。.4 ,3/2 +。=0解得/=；,a =因此当 =-时，x轴为曲线y =/(x)的切线；4(2)F(x)=/(x)-g(x)=x3+a x+-+lnx,4导数为 Fr(x)=3 x2+a 4-,x由题意可得3 x 2+a +1.O在 1,内)恒成立，X即有-a.3 x 2+1的最小值，X由3犬+，的导数为6x-30在X递增，X X即有最小值为4,则-q,4,解得a.-4；(3)当x w(l,+o o)时，g(x)=-I nx 0 ,函数 h(x)=min f(x),g(x).,g(x)0 ,故力(x)在X E(1,+O O)时无零点.当 x =l 时，若 a.-2,则/(1)=a +-.0,4 4h(x)=min f(1)g (1)=g (1 )=0 故x =l是函数M x)的一个零点；第11页，共50页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习若 a ,则f (1)=a +0,4 4/.h(x)=min f(1),g (1)=f(1)0 ,因此只考虑了(x)在(0,1)内的零点个数即可.当以-3或a.O时，r(幻=3/+。在(0,1)内无零点，因此/(x)在区间(0,1)内单调,而/(。)=，f(1)=0 4-,4 4 当a,-3时,函 数/(4)在区间(0,1)内有一个零点,当a.O时，函数/(幻在区间(0,1)内没有零点.当-3。0，HP-a0,则/(x)在(0,1)内无零点.V 3 4若“昌 =0,即0 =二，则/(x)在(0,1)内有唯一零点V 3 4/(J )0.B P-3 a -.由/(0)=,，f(1)=a +,V 3 4 4 4.当-a-3时，/(X)在(0,1)内有两个零点.4 4当-3-3或。-工时，久x)有一个零点：4 4当。=-3或-2时，力(X)有两个零点；4 4当-2。0),讨论h(x)零点的个数.【解答】解：(1)若 函 数 的 定 义 域 为则任意xe R ,使得 f(x)=x2 4-6/X +-0 4所以=a 2-4 x l x 1 0,解得 一1 4 0,所以 1 ,且/(I)0 即-2 1 ,且 1 +。+1 0,2 4解得”-2,4所以a的取值范围为(-2,+o o).4(3)因为当x l 时，g(x)=-lnx0,所以 h(x)=minf(x)，g(x),g(x)0,即 a 时，令/(x)=0,解 得 演=笠-,x2=，且 0 玉 1 ,0 0).若函数力(x)在(0,+o o)上恰有2个零点，求实数a的取值范围.【解答】解：(1)/V)=3x2-3a,第 1 6 页，共 5 0 页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习当.0时，/(x)0,7(x)在 K上单调递增,当 4 0 时，f x)=3(x+f a)(x-y/a)当 xw(-o o,-石)，(6，-KO),f x)0 ,/(x)单调递增，当-w(-疯 4),/V)0 ,/7(x).g(x)0 ,(x)在(0,e)无零点,当x=e 时，g (e)=0 ,f(e)=e3-3a e+e,若/(e)“0,即a.宁，则e 是/?(x)的一个零点，/+,若f (e)0 .即”一-.则e 不是(x)的零点，当xe(e,+o o)时，g(x)-3a ,当&e?时,f (x)0,/(x)在(e,y o)上单调递增.所以：(i)当a.时,/()在(。,+)上无零点；(i i )当-4 /时，/(e)0 ,所以此时 f (x)在(e,+o o)上恰有一个零点：当a e 2 时，由(1)知，/(x)在(e,6)递减，(G,+)递增，又因为/(e)=e3-3a e+ee-3e+e 8a2-6a2+e=2a2+e 0 ,所以此时/(x)恰有一个零点.题型五：零点问题之同构法/J Y例 1 3.已知函数八式)=二彳+%-/(4%)-2(。0),若函数/(X)在区间(0,+0 0)内存在零点，求实数4 的e取值范围【解答】解：方法一：由/(x)=+x-/(a r)-2(。0)可得八x)=p-(-a),e e x设 y=-a x 0 ,a 0 ,则 y =-，令 y =0 =x=1,y 在 x w (0,1)单调递减，在 x w (1,-FOO)XX单调递增，故 =y =l-a.当O c a 0 ,此时/(x)在区间(0,+o o)内无零点;第17页，共50页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习当Q =1 时，/(1)=0-1-历4=0,此时/(X)在区间(0,+O 0)内有零点；v _ l当a 1 时，令/(X)=F(-。)=0,解得X =X 或 1 或毛，且 0 玉 1 石，此时/(X)在xe(0,xJ 单减，xe(xt,1)单增，(1 两)单减，xe(x2,内)单增，当x=占或.马时，/(x)极 小 值=0，此时/a)在区间(0,”)内有两个零点：综合 知f(x)在区间(0,+8)内有零点n a.方法二：由题意可得e-a+Mg =ln(a x)-x+2,即 _ _x +j+/n(a x)-l=0,因为e；./+l 当x=0 时等号成立，所以 x+1 +/“(a x)=0 .即 a x=e11.人，、e-,、1(x-l Xa =,令g(x)=，g (x)=-x-；，x x e x易知g(x)在(0,1)单减，在(1,+o o)上单增，所以g(x).g(I)=1,又x 趋近于0和正无穷时，g(x)趋近于正无穷，所以a.例 1 4.已知/(外=皿次+犬+1(1)若函数g(x)=/(x)+x c o s x-s i n x-x-1 在(0,自 上 有 1 个零点，求实数a 的取值范围.(2)若关于x的 方 程 比-=/)-/+6-1有两个不同的实数解，求。的取值范围.【解答】解:(1)g(x)=y+xc os x-s i n x ,XG(0,f ,所以 g (x)=x(a-s i n x),当a时，t z?s i n x.O,所以g(x)在(0,单调递增，又因为g(o)=o,所以g(x)在(0,g 上无零点；当 0 a 0,即 空2时，g(x)在(0,马上无零点，8 n 2若 竺？L0,即0a,二时，g(x)在(0，名 上 有一个零点，8 4 2当a.0时，g (x)=x s i n x 0),即 xex a=xlnx+a x 即 exa=I nx+a，贝|J 有 exa+(x a)=x +,令h(x)=x +I nx,x 0 则/()=exa+(x -a)h(x)=l+-0,所以函数 h(x)在(0,-t o o)上递增，X所以”一0=，贝i j有 x-a =/x,a =x-I nx f x 0,因为关于X的方程x e、-=/(x)-罗+”-1有两个不同的实数解，则方程a =x-/x,x 0有两个不同的实数解，1 V _ 1令(p(x)=x-I nx,则(p x)=1 =-,X X当 Ov x v l 时,(p x)l 时，(p x)0,所以函数p(x)=x-历x在(0,1)上递减，在(1,+00)上递增，所以。(%)加“=。=1，当 X -0 时，(p(x)+O0,当 X 4-00 时，(p(x)+O0,所以 a|a 1 .例 1 5.已知函数/(x)=a e-/(工+1)+/4一1 .(1)若。=1,求函数/(x)的极值；(2)若函数/(%)有且仅有两个零点，求a的取值范围.【解答】解析：(1)当4 =1 时,f(x)=ex-/H(X+1)-1,f x)=ex-,x-x +1显然八x)在(T+o o)单调递增,且八0)=0,当-l x 0时，/F(x)0,/(x)单调递增./(X)在x =0处取得极小值/(0)=0,无极大值.(2)函数/(x)有两个零点，即f(x)=0有两个解,即4/+/(a/)=/(x+l)+(x +l)有两个解,第 1 9 页，共 5 0 页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用（含答案）精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习设力(。=+/，则伍/)=1 +10,力单调递增，t=x +l(x -l)有两个解，即a =上?(工 一1)有两个解.e令s(x)=?(x.-l),则 s，(x)=-1,e e当刀(-1,0)时，s，(x)0,s(x)单调递增：当 x e(0,+o o)时，*x)0 时s(x)0,/.0 a 1 .题型六：零点问题之零点差问题例1 6.已知关于x的函数y =/(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k w R)在区间。上恒有/(x)./(x).g(x).(1)若/(k)=犬+2 x ,g(x)=-x2+2x,)=(-o o,+a o),求(x)的表达式：(2)若/)=/一x +1 ,g(x)=klnx,h(x)=kx-k,D =(0,+o o),求A 的取值范围：(3)若/(幻=/一2/，g(x)=4 x2-8,(工)=4(/-。工-3,4+2/(0 0,p(x)单调递增，在(0,1)上，(p x)p(O)=l+%.0,k 一 I,所以欠=一1,当左+1 0时,即&一1时，“0,即(1)2-4(+”.0,第2 0页，共50页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用（含答案）精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习解得一1仁 3,综上，)t0,3.(3)当 L,4&时,由 g(x，A(x),得4r&4(t)x 3 r+2广,整理得 X?-(P-/)x+3 r42 r 8.0,(*)4令=(产-。-(3八-2产-8),则=-5/+3/+8,记夕(。=_ +3/+8(1 回,则砍=6t5-20/+6/=2 3/-1)(-3)0,恒成立，所以而)在0,0 上是减函数，则例五)“夕(“.9(1),即2.夕(“.7,所以不等式(*)有解，设 解 为&EX?,因此-m x2-xt=4.V 7.当0 /1 时，/(-1)-/?(-1)=3/+4-2/-4/-1,设 v(，)=3J+4广一 2/-4/-1,则叭。=12r+12/-4/-4=4(7+1)(3/2-1),令 v*(/)=0,得 t=,当/w(0,且)时，/(/)0.叩)是增函数，v(0)=1 ,v(I)=0 则当 0/1 时，v(t)0,贝！|/(T)力(T)/2,7 2 ,所以一1 及+1疗，当-贝./=-3,求/(x)的单调区间；第2 1页，共50页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用（含答案）精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习(2)若/(x)在(2,4)单调增加,在(a,2),(夕,2)单调减少,证明：夕-a 6.【解答】解：(I )当a =b =-3 时，f(x)=，+3 x 2-3 x-3)e T,故 f x)=+3 x 2 -_ 3)e-+(3 x2+6 x -3)*=-ex(Xs-9 x)=-x(x-3)(x +3)当 x -3 或 0 x 0 ；当一 3 x 3 时，f x)0 .从而/(x)在(-8,-3),(0,3)单调增加，在(-3,0),(3,+8)单调减少；(I I)f (x)=-(x3+3x2+a x+b)ex+(3 x2+6 x +a)ex=-el x3+(a-6)x+b-a.由条件得：f(2)=0,B P 23+2(a-6)+b-a =0,故 b =4-a,从而 f x)=-ex x3+(a-6)x +4-2 a .因为/(a)=/(夕)=0，所以 x、+(a -6)x +4 -2 a =(x -2)(x -a)(x -4)=(x -2)(以(a +J 3)x+a(J).将右边展开，与左边比较系数得，a +夕=-2,a p=a-l.故 -a =J(1+a f -4a。=J 1 2-4 a .,又(7 7-2)(a-2)0,即 a P-2(a+/7)+4 0 .由此可得 a 6 .例 1 8.已知函数/(x)=；a e -x?-a x,a e R .(1)当a =l 时，求函数g(x)=/(x)+x 2 的单调区间；4(2)当0 2 .【解答】(1)解：当 a =l 时，/(x)=|e2 x-x2-x,g(x)=/(x)+x 2 =g e 2-x,g (x)=e2-1 ,令g 0,可得x0,令g，(x)0,可得x 0,所以g(x)的单调递增区间为(0,+oo),单调递减区间为(-c o,0).(2)证明：函数/(x)=-a x 的定义域为 A ,f (x)=a e2-7.x-a ,令 h(x)=f x)=a e2x-2 x -Q,因为函数/(x)有两个极值点X 1 ,x2(x _L_L,令(x)0,nJWx-/-,2 a 2 a所以万(x)在(-oo,g/L)上单调递减，在(；/,+00)上单调递增，所以不 ln,2 a 2 a41 1 I P4-1由 0 -ln-0,e4-l 2 a 2 4因为7/(0)=0 所以 =0,所以要证勺-王 2,即 证 三 2,只需证方(2)0,4因为0 匚一,4所以6(2)=ae4-4-a =a(e4-1)-4 -j(e4-1)-4 2,得证.题型七：零点问题之三角函数例 1 9.已知函数/=sinx-/(l+x),八工)为/(x)的导数.证明：(1)r(x)在 区 间 存 在 唯 一 极 大 值 点；(2)“X)有且仅有2 个零点.【解答】证明：(1)/(x)的定义域为(-L+OO),/V)=c o s x-./(x)=-sin X+r -1 +x(1+x)令 g(x)=-sinx+，则 g,()=-co sx-0 在(一 1,m)恒成立，/(x)在(-1,)上为减函数，又=/(-)=-1+-1+1 =0,由零点存在定理可知，2 0+函数/“(X)在(-1,9 上存在唯一的零点%,结合单调性可得，/(x)在(T,x。)上单调递增,在(.%,上单调递减，可 得/(X)在区间(-1,)存在唯一极大值点：(2)由(1)知，当x e(-l,0)时，广(x)单 调 递 增,f(x)r(0)=0,/(x)单调递增；第2 3页，共50页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用（含答案）精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习由于八X）在（,工）上单调递减，且八与）0,/（）=-/G）=0,/（x）单调递增：当时，/（X）单调递减，/（x）/,（xl）=0,x）单调递减.当 X（,万）时，C O S X 0 .0 ,于是/x）=c os x-l-/M(l +学=1 一 比 2.6 l-lne=0,f(n)=一/(1 +)一/3 0 .于是可得下表：X(-1,(0(0,X j（外,；n亨，7T（X-0+0-/（X）单调递减0单调递增大于 0单调递减大于。单调递减小于。结合单调性可知，函数/（X）在（-1,g 上有且只有一个零点o,由函数零点存在性定理可知，“X）在（5,“）上有且只有一个零点X?,当 x 万，+0 0）时,s i n x.,1 ln（y+x）,M,J /（x）=s i n x-/?（1+x）0 恒成立,因此函数/）在 乃，+oo）上无零点.综上，/（x）有且仅有2个零点.例 2 0.已知函数/=/x-x +2 s i n x ,证明：（1）在区间（0,外存在唯极大值点；（2）/（工）有且仅有2个零点.【解答】证 明:（1）函数/（x）=/n x-x +2 s i n x ,x e（0,）,./（x）=-l +2 c os x，X令 g（x）=l +2 c os x，J C W（0。），x第24页，共50页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习 g(x)=-V-2sinx0 时,g(x)-400,w g(y)=-1 0,即 ff(x)0,函数/(x)单调递增；当 x (x0,乃)时，g(x)0,即/(X)吗)=/吟 一 2=呜 +与 0,又 ,当 x 0 时，f(x)-oo；f(7t)=ln7t 一 乃 0,.在区间(0,为)内存在一个零点，在区间(与，外上存在一个零点，11 V当 x e(乃,+8)时，设 h(x)=Inx-x,贝 U hx)=1 =-0 X X二.力(幻在(乃,+oo)上单调递减，/(x)h(7r)=Inn-/r 0,当xw(4,2乃)时，sinx0,当 xw(瑞2万)时,f(x)0,无零点,xe(2;r,+oo)时，h(x)4(2乃)=加(2 乃)-2/r Ine3-2乃 一 2,又 一 2.2sinx,2,，当 x w(2乃,+8)时，/(x)0,无零点，当x w (肛+8)时，f(x)=/,a-x +2sinx 0，函数f(x)在区间(乃,中)内无零点，函 数 有 且 仅 有 2 个零点.例 2 1.己知函数/(x)=sinx-c*.求证：(1)f(x)在区间(0,9 存在唯一极大值点；(2)/(x)在(0,+oo)上有且仅有2 个零点.【解答】证明：(1)因为/(x)=sin x-e*-2,所以八x)=cosx-eA2,设 g(x)=/(x),则 g(x)=sinx e 2,则当 xe(O,夕 时，g(x)0/(=一 0,且八口是连续函数，故 八 x)在(0,9上有唯一零点a.第2 5页，共50页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习当 xe(0,a)时，/(x)0；当 x e g,/)时，f (x)0,所以/(x)在(0,a)内递增，在(a,9上递减，故“X)在(0,乡上存在唯一极大值点.(2)因为/(x)=s in x-e i,所 以/(x)=cosx-e2,设g(x)=7(x),则g(x)=-sinx-e”，则当xw(0,力 时,g(x)0,所以g(x)在(0,乃)内单调递减.由(1)知，/(x)在(0,a)内递增，在(a,5)内递减，又/(0)=-2 0，所以/(a)/(y)0,又/(x)的图象连续不断，所以存在再w(0,a),使得/(x J =0；当x e,句内时，f (x)0,/(x)在 g 内 递 减，又 因 为/=-e 2 0,且f(x)的图象连续不断，所以存在()，使 得/区)=0；当 xe(;r,+8)时，ex2 1 sin A;,1 所以/(x)0,从而/(x)在(肛+00)上没有零点,综上，/(x)有且仅有两个零点.例 2 2.已知函数/(x)=cosx+L 2-14(1)证明：f(x.0,x e-y,j(2)判断y=/(x)的零点个数，并给出证明过程.【解答】解：(1)证明：因为/(x)=cosx+；x2+1,xe-,自，所以/(x)为偶函数，不妨设 g(x)=cosx+L2+1,x e 0.,4 2所以 g(x)=-sinx+；x,x e-y ,y ,所以 g(x)=-cosx+；,当 xe0,时，g(x)0,当 自 时，g%v)0,第2 6页，共50页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习即函数g，(x)在 o,g 为减函数，在 华，g 为增函数，又g (0)=0,g g)=：-l 0,4即函数y =/(x)在 3,内)无零点，当x w(工，3)时，2/(X)=-c o s X +g 0,即函数/(x)=-s i n x +；x 为增函数，又/畛f 0,即存在/使得/(xo)=O,即当 x X。时，f (x)0.当 x()x 0,即函数/(x)在 弓，X。)为减函数，在(x 0,3)为增函数，又/(乙)=二 1 0,2 1 6 4即函数/(x)在g,3)只有1 个零点，又函数y =x)在 R为偶函数，综合可得：第27页，共50页2/22023年高考数学一轮复习重难点专题训练：函数零点问题的综合应用(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习函数在-3,-5)有1个零点，在(70,-3)无零点，在0)无零点，故函数f(x)在R上有3个零点.题型八：零点问题之取点技巧例23.(2022黑龙江双鸭山一中高二期末(理)已知函数/(x)=odnx(1)当。=1,求函数/(x)的单调区间；(2)若g(x)=/(x)+x-(q2+。)有且只有一个零点，求实数”的取值范围.【答案】(1)单调递减区间为(0,J，单 调 递 增 区 间 为(2)-lu(0,o).【分析】(1)求导函数/(X),结合定义域由/(幻0得单调递增区间；(2)求得 g(x)=alnx+x-a2,xe(0,+oo),分 a0,q=0,a0 时，g(x)单调递增，由零点存在性定理可作出判断；当。=0时，可直接代入判断；当a0时，g(x)有最小值g(-a)=aln(-a)-1-a ,再分。=-1,-1 a 0,a 0),则/(x)=lnx+l.由/，(x)0得0 x0得x Le e所以，函数/(x)单调递减区间为(0,：),单调递增区间为(2)依题意得g(x)=alnx+x-/,xe(0,+co),g,(x)=-+l=X X 当a 0时，g(x)o恒成立，g(x)单调递增,g(e)=e 0,取 061 且 U!l g(6)=aln/,+A-a2 0,所以，存在唯一%0,+8),使g(x0)=0,符合题意；当a=0时，g(x)=x,xe(O,-h),g(x)无零点,与题意不符：当a0时，由gx