2023年高三数学寒假作业18（含答案解析）.pdf

高三寒假作业18一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A=xeZ|x|B.=C.=D.=4 .我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数/（X）的部分图象如图所示，则函数/（尤）的解析式可能为（）A”）=奇 B./（无）=含。八力骂 D.小）用5 .从集合 1,2,3,，1 0 中任意选出三个不同的数,为（）使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数A.3 B.4 C.6 D.86.已知A、B为椭圆的左、右顶点，尸为左焦点，点 P为椭圆上一点，且轴，过点A的直线与线段P F 交于M 点、,与 y 轴交于E 点，若直线8 M经过0E 中点，则椭圆的离心率为（）A.；B.C.-D.2 2 3 37.设a,4 c均为正数，且 2 =l o g J,=lo g ，=lo g 2 c.则（）A.a b c B.c b a C.cah D.b a c/、x.I n -x.I n x,-8.若对任意的A,x2 e（/?z,+o o）,且玉 ，都有-2,则 m的最小值是（）入2%1 八 3A.-B.e C.1 D.一ee二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.若实数x,满足(x+i)(3 +y i)=2+4 i,贝 ij()A.1 +y i 的共规复数为1-i B.x y-1C.|y +i|的 值 可 能 为 屈 D.y-3 x =-21 0 .已知平面向量通=（1,Z）,恁=（2,1）若&4 8 c 是直角三角形，则的可能取值是（）A.-2 B.2 C.5 D.71 1 .在正方体A B C。A4G R 中，点 E 是棱8 c的中点，点尸是线段C Q 上的一个动点.以下四个命题A.异面直线AG与 所 成 的 角 是 定 值B.三棱锥B-A E 尸的体积是定值C.直线A/与平面BC2 所成的角是定值D.二面角E-8F 4是定值1 2.若 函 数/（%）=於 一/3 /?）有两个极值点引,，且 西 ，则下列结论中正确的是（）A.0 X,上 D.I n x,+I n x2 0,0 0,|。|5）的部分图象如图所示，已 知 分 别 是 最 高 点、最低点，且 满 足 函 _|_ 而（。为坐标原点），则/*）=.1 4 .已知小李每次打靶命中靶心的概率都为4 0%,现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概 率.先由计算器产生0 到 9 之间取整数值的随机数，指定0,1,2,3 表示命中靶心，4,5,6,7,8,9 表示未命中靶心，再以每个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20 组随机数；3 21 4 21 1 9 1 9 25 271 9 3 2 8 0 0 4 78 5 8 9 6 6 35 3 1 29 7 3 9 6 0 21 5 4 6 3 8 8 23 0 1 1 3 5 0 7 9 6 5据此估计，小李三次 打 靶 恰 有 两 次 命 中 靶 心 的 概 率 为.1 5 .“杨辉三角”是中国古代重耍的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 3 0 0 多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记明为图中虚线上的数1,3,6,1 0,依次构成的数列的第项，1 1 1则 一+的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _q a2 佝11 2/1 3311 4 4 11 5 1/10 5 116.在 三 棱 锥P A B C中，AP=2，AB=3,PA J,平 面A B C,且 在 三 角 形ABC中，有ccos B=(2a-Z?)cosC,则该 三 棱 锥 外 接 球 的 表 面 积 为.四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知数列。“,2 ,%满足 N*,=%,1，如=4.，2M=勿+2,C+=2+C+C2+%,4=。2=2(1)求数列出 ,q 的通项公式；(2)求数列 q 的前20项的和.7 F 2乃18.如图，在平面四边形48C。中，已知A=，B=,AB=6.在48边上取点E,使得BE=I，2 327r连接 EC,ED.若 NCED=,EC=S.3CDB E A(1)求 sin/BCE 的值；(2)求CO的长.高三寒假作业18答案解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A=x e Z|x|2|门1.已 知 集 合I 1 J,则An*（）A 1 B,1,2 C.1,2,3 D.-1,0,1【答案】B【解析】【分析】由题知A =-2,-l,0,l,2 ,B =1,2 ,再求交集即可.【详解】解：A =x e Z|%|2 =x e Z|-2 x lx01 =x e Z,（3 x）o =1,2 ,所以 A 0 8=1,2 故选：B2.若已知直线/：y=x+。与圆C：f+y2=i交于A,8两点，则“匕=1”是“弦AB71所对圆心角为一”的（）2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】TT【分析】结合已知条件，首先利用匕=1,看是否能推出弦A3所对圆心角为一，然后再利2兀用弦A3所对圆心角为一，求出人的值，最后根据充分性和必要性定义即可求解.2【详解】由圆C：x2+y2=l,故圆C的圆心坐标为（0,0）,半径R =I，直线/：y=x+b化 成 一 般 式：x-y +b=O,若。=1,则直线/：y=x+,即x-y +l =O,J1 0-0 +1 1 V 2所以圆心到直线/的距离d=-A/1+（-1）2所以由圆的弦长公式得，|倜=2正筋=万JT所以|CA+|C8|2=|A 6|2,故Z A C B =5,JI从而弦A 5所对圆心角为一；2jr若弦AB所对圆心角为一，结合圆的性质可知，A C8为等腰直角三角形,26易得，圆心C到直线的距离4 =注2又因为7i2+（-i）2 2故/?=1，T T从 而“=1”是“弦AB所对圆心角为一”的充分不必要条件.2故选：A.3.已知直线。和平面a、有如下关系：。，尸；a 力；。，尸；a/a.则下列命题为真的是（）A.=B.n C.n D.=【答案】c【解析】【分析】利用面面垂直的性质可判断A选项的正误；由空间中线面位置关系可判断B选项的正误；利用线面垂直的判定定理和线面平行的性质定理可判断C选项的正误；利用面面平行的性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由可知，a/a或a u a,A错；对于B选项，由可知，。与 月 的位置关系不确定，B错；对于C选项，过直线a作平面7,使得yc a=Z?,则山乃，:.bj3,:b u a,：.a L/3,C 对；对于D选项，由可知，a l a,D错.故选：C.【点睛】本题考查空间中有关线面位置关系命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.4 .我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔 离 分 家 万 事 休 在 数 学 的 学 习 和 研 究 中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数/（力 的部分图象如图所示，则 函 数“X）的 解 析 式 可 能 为（）【答 案】CB.上含D【解 析】【分 析】根据图象函数为奇函数，排 除D；再根据函数定义域排除B；再 根 据x I时函数值 为 正 排 除A；即可得出结果.【详 解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数,而D中的函数为偶函数，故 排 除D；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故 排 除B；对 于A,当寸，y 1时，y 0,满足图象.故 排 除A,选C.故选：C5 .从集合 1,2,3,，1 0 中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等 比 数 列 的 个 数 为（）A.3 B.4 C.6 D.8【答 案】D【解 析】【分 析】直接利用枚举法写出所有的等比数列即可得到答案.【详 解】（2）以1为 首 项 的 等 比 数 列 为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9；把 这4个数列的顺序颠倒，又 得 到 另外的4个数列，所求的数列共有2 (2+1 +1)=8个.故选：D.【点睛】本题考查了等比关系的确定，考查了学生观察问题的能力，是中档题.6.已 知 为 椭 圆 的 左、右顶点，尸为左焦点，点P为椭圆上一点，且P F L x轴，过点A的直线与线段P F交于M点，与y轴交于E点，若直线8 M经过0 E中点，则椭圆的离心率 为()AA.1_ RK c 1 n V6D L.D.2 2 3 3【答案】C【解析】【分析】根 据 已 知 条 件 求 出 三 点 坐 标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出a=3 c可得答案.【详解】由题意可设厂(-c,0),A(-a,0),8(a,0),设直线AE的方程(由题知斜率存在)为y =A;(x+a),令x =-c,可得A/(-c,Z(a-c),令x =0,可得E(0,3)，设OE的中点为H,可得(0,一),由民三点共线，可得原H=%8”，即如c 12 k(a-c),即为Q=3C,可得e =,=-a 3-a-c-a故选：C.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是根据三点共线找到关于Q，c的等量关系.7.设a,历 c均为正数，且2 T g r，(g)=l o g*,(=l o g2c.则()A.abc B.c b a C.cab D.bac【答案】A【解析】【分 析】试题分析：在同一坐标系中分别画出y=2、y=5.|y=log2x,y=log丁的图象,y=2,与y=lg的交点的横坐标为“，y=与 的 图 象 的 交 点 的 横 坐J _ Y标 为2 Jh,y=与y=k)g2的图象的交点的横坐标为c,从图象可以看出a b c考 点：指数函数、对数函数图象和性质的应用.【方法点 睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解.【详 解】/、x In x9-x9 In x,八8.若 对 任 意 的A,Xj G(m,+oo),且 玉%，都 有-%二J-2,则m的最小值 是()1A.-eB.eC.13D.-e【答 案】A【解 析】【分 析】In x,+2 In JC,+2己 知 不 等 式 变 形 为 一=!一%,引入函数/(x)=E x +2X则其为减函数，由 导 数 求 出 的 减 区 间 后 可 加 的 最 小 值.【详解】因为所以由 X.1 H X 2 fm X y,X2-X j可得 x j n /_ /m x 2 一 2内，I n x2+2x1 x2l n%+2x2,I n X)+2 I n x,+2即=一 0 ,/(x)递增，e当 时，f(x)的可能值，然后判断各选项.【详解】因为(x+i)(3+y i)=(3 x-y)+(3+j q y)i=2+4 i.所以3 x-y =2,3 +盯=4,3即 y 3 x=-2,xy=l,则 y-=一2.解得y =l或 丁=-3 ,y故A错误，B,C,D均正确.故选：B C D.10 .已知平面向量通=（1,Z）,/=（2,1）若人钻C是直角三角形，则Z的可能取值是（）A.-2 B.2 C.5 D.7【答案】B D【解析】【分析】讨论三角形直角的情况，结合向量垂直的坐标表示即可求解【详解】=衣=（2,1）,B C A C-A B =（3,l-k）,若 A =9（）,则 而.而=0,：.-2+k=0,解得左=2；若 3 =9 0。，则 通 就=0，.-3 +%（1一%）=0,此时方程无解；若 C=9 0。，则 恁 前=0.6+（1 k）=0,解得=7.结合选项可知BD正确，故选：B D11.在正方体A 3 C D -ASCA中，点 E是棱AG的中点，点 尸 是线段CQ上的一个动点.以下四个命题中真命题是（）A.异面直线AG与用F所成的角是定值B.三棱锥8-AEF的体积是定值C.直线A/与平面8c2 所成的角是定值D.二面角七一8/一4是定值【答案】A B【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解异面直线所成角判断A；根据三棱锥8-4 E F的体积等于三棱锥F-A S E的体积，C/面A B E判断B；利用坐标法求解线面角判断C；讨论点F为C R中点时和点口与C点重合时二面角E-8 F-4的大小判断D.【详解】解：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，所以，4（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,（0,2,0）,（0,0,2）,4 （2,0,2）,G（2,2,2）,0（0 2 2）,（2,1,2）,所以，对于A选项，阳=（2,2,2）,*=前+方=配+2再=（0,2,2）+X（2,0,2）=（2 4 2,22-2）,所 以 属4户=-44+4+4 4 4=0,即*_1厅户，所以异面直线AG与四尸所成的角是90,，是定值，A选项正确；对于B选项，由正方体的性质知4。/5。，4乌=B C,故四边形A 2 C 8是平行四边形，所以，CD/BA,因为。2仁面 A fE,BA U 面 ARE,所以C Q/面A f E,而E是线段CQ上的一个动点，即产到面A BE距离恒定，所以，三棱锥F-A.B E的体积恒定.因为三棱锥8-AEF的体积等于三棱锥F -A B E的体积，所以三棱锥8-4后尸的体积是定值，故B选项正确；对于C选项，设平面8 c的法向量为3=（x,y,z）,西,=（2,0,2）,西=（0,2,2）7F=A C+C F =A C+%西=(2,2,-2)+2(-2,0,2)=(-2 2+2,2,2 2-2),2 e 0,1所以，一 _ A尸cos+4 月1 2(4-以+1显然cos（同下,刀随着;L的变化在变化,所以，直线4尸与平面与c q所成的角不是定值，故C选项错误;对于D选项，设平面 厂 的法向量为 =（毛,%*0），平面8 F 4的法向量为b=(x，y,z j，所以，当点尸为C R中 点 时,尸(1,2,1),B F =(-1,2,1),丽=(0,1,2),肝即卜o=2%+Z oBE a=0 Jo=-2 z(j令z()=l,则。=(一3,-2,1),B F b =Q 即(玉=2 y+4庭.B =0 z|=X+2 y令 4=1,则 5=(1,0,1),所以，当点尸为C Q中点时，二面角E-B/一 4的 余 弦 值 为 立；7当点尸与C点重合时，尸(2,2,0),丽=(0,2,0),诙=(0,1,2),*=(2,2,2),BF a=0 y0=0 -、一 ，即4 .,贝ij a =(1,0,0),BEa=0 yQ=-2zQBF-b=Q f N i =。_ ,、一.一，即，令4=1,则b =(l,0,l ,AtF-b=0 1 4=%+乂H=而a b二 可1 一y/2所以，当点尸与C点重合时，二面角5-8尸-4的 余 弦 值 为 亚，2所以，二面角后一8/一4不是定值，故错误；故选：A B12.若 函 数/(幻=四,一/3 6/?)有两个极值点内,，且罚 9，则下列结论中正确的是()A.0 X(1 D.I n x,+I n x2 有 两 个 交 点(%,a),e2 x(W，a),利用导数研究g(x)=/的性质并画出图象，应用数形结合即可判断A、B的正误；由零点可得工=,应用放缩即可判断C的正误；令f =Xl易得e由 应e1 e*%用分析法需证2 1nxx (x=l)成立，结合导数研究T(x)=2 1n无一(工一一)的值域范围，即可判断D的正误.【详解】F(x)=aex-x2,aeH有两个极值点多,/且 玉 龙2，A F Xx)=f(x)=aex-2x,4/?有两个零点，x 且在玉，巧各自两边广异号，y =a与y =7有两个交点(玉,a)，(x2,a)，e记g(x)=4，则 g，(x)=2(j),易知：X0,X1 时 g(x)0,e ex.g(x)在(8,1)上递增，在(1,+?)上递减，即力(x)在(F,1)上递增，在(1,+?)上递减.2g(x)有最大值g(l)=-,且x 0时g(x)0时g(x)0,又.2x(2 x)2 2x 0l i m =l i m 1=hm =0 i jm_ =_=nx 田 e*乂+田标*)，xT c e*，ex eo，由上g(x)的图象如下,y正确，B不正确.才符合条件，且。玉1入 2，故 A又/(王)=/(工2)=0 =a e 2 x,=0 =aeX1 2x2 工=,x 1 而0*21 0烹 口 芸 0X 2炉 1，故 C 正确.令Y则去”条宗o l n f 1)令T(x)=2 1 n x _ j x _,则T，(X)=2 _1-=一厂-2“+14 0,k x)x x2 x2，T(x)在(1,+?)上单调递减，即x l时 T(x).(l,A(4,-A)=0,则 1x4 A?=0，A 0,得A=2,/(x)=2 sin x+(pll TT TT由五点作图法知：一x i+e=,得。=一，3 2 6(TT JT综上，函数的解析式为/(x)=2 sin二工十二故答案为：2sin g x +fv 3 614.已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指 定0,1,2,3表示命中靶心，4,5,6,7,8,9表示未命中靶心，再以每个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下2 0组随机数：32 1 42 1 19 1 9 2 5 2 71 9 32 8 00 478 5 8 9 6635 31 2 9 7 39 6 02 1 5 46 38 8 2 30 113 5 07 9 65据此估计，小 李 三 次 打 靶 恰 有 两 次 命 中 靶 心 的 概 率 为.3【答案】0.3#10【解析】【分析】确定随机数组中以恰有两个数字是0,1,2,3,再由古典概型的概率公式计算即可.【详解】解：由题意，随机数组42 1,19 1,2 71,9 32,8 00,5 31共 6 个，表示恰有两次命中十环，所以小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为尸=上=0.3.2 0故答案为：0.3.15.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记。“为图中虚线上的数1,3,6,1 1 110,依次构成的数列的第,项，则一+的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.q a2%11 11 2 1 3311 4 4 11 5 1X 10 5 19【答案】1.8#-【解析】【分析】由累加法求出耳，再由裂项相消法求和即可【详解】设第个数为%,则 4=1,a2-a=2,a3-a2=3,a4-=4,，an-an A-n,.c n(n +l)叠加可得 a a =1+2 +3+=)1 1 1 2 2 2，-1-F -I-=-1-1-1-ax a2%1x 2 2 x 3 9 x 10故答案为：1.816.在三棱锥P ABC中，AP=2，4?=3,2 4,平面A 8C,且在三角形A8C中，有ccos B=(2a-/?)cos C,则 该 三 棱 锥 外 接 球 的 表 面 积 为.【答案】16%【解析】T T【分析】由正弦定理化边为角化简可求得C=,再由正弦定理可求得J R C的外接圆的半径，即可利用勾股定理求出三棱锥外接球的半径，进而求出表面积.【详解】解：在 ABC中，ccosB=(2tz-Z?)cosC,则由正弦定理得，sinCcosB=2sinAcosC-sinBcosC,:.sin(B+C)=sin A=2 sin Acos C,0 A v),sin A w 0,/.cos C=,27 10 c 2),c“+i=C“+cn,则 为 =2(2 2)且 2 =2,CnCA=2(1),即%为等比数列，公比q=2,f T=2-(2)数列 q 的前2 0 项的和 2 0 =4 +。2+。2 0=仿 +q+b-+c2+瓦)+C 0(向 +8 -伪o)+(q+c,H-c)0)10z、c J l-210)=(/?,+fen)+-=110+2046=215 6-2,107 1-2jr 27r18.如图，在平面四边形ABC。中，己知A =,B=,4 3 =6.在4 8边上取点;2 3使得 8 =1，连接 EC,ED若NCEO=年，EC=J7.C._ DB E A(1)求 s i n/B C E 的值；(2)求 CO 的长.【答案】(1)立(2)7.14【解析】BE CE【分析】（1）在ABEC中，由正弦定理可得-=，代入已知条件即可求s i n Z.BCE s i n B解；（2）由同角三角函数关系求出C 0 S/D E 4,进而求出E Z）,由余弦定理得C D2=C E2+D E2-2 C ED E-co s Z C ED，计算可得 CD.BE C E【详解】（1）在B E C中，由正弦定理，知-=，s i n Z B C E s m B因为 B ,B E 1，CE -y/1，g、一 /D F BE -sin B V 3 V 2 1所 以 s i n /-BCE =-=f=-；CE 1 1 4(2)因为 NCEO=ZB=3,所以 NDEA=NBCE,3所以co sZ D E A=V l-s i n2Z D E 4 =A/1-s i n2 Z B C =71因为A =一,所以4 为直角三角形，又4 E =5,2E D -_ _ _ _ _ _ _ 5 _ 2 J 7 -所以 cosZDE A 一 5币一 5近，在 )中，C O?=。炉+。炉-2 C E 0 E .co s N C E 0 =7 +2 8 -2 x g x 2近 x g)=4 9 ,所以C =7.