2023年高考第二次模拟考数学试卷——全国甲卷（理）（解析版）.pdf

2023年高考第二次模拟考试卷数 学（全国甲卷（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若集合4=卜,2-5彳-640,B=x|y=ln（2x-14）j,则 A）c 3=（）A.（-1,7 B.（-1,6 C.（7,-KO）D.（6,伊）K答 案 D cK解 析 A=1X|X2-5X-6 O!=X|-1 X0j=x|x7,.4A =（3,-1）（6,M）,.“QA）8=（7,田）.故选：c.2.采购经理指数（PMI）,是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用.制造业PM I高于50%时，反映制造业较上月扩张；低于5 0%,则反映制造业较上月收缩.下图为我国2021年 1 月2022年 6 月制造业采购经理指数（PMI）统计图.2021年:2022年根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（）A.2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩B.2021年第四季度各月制造业在逐月扩张C.2022年 1 月至4 月制造业逐月收缩D.2022年 6 月 PM I重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张R答 案 X D工解析对于A 项，由统计图可以得到，只有9 月份的制造业指数低于5 0%,故 A 项错误；对 于B项，由统计图可以得到，1 0月份的制造业指数低于5 0%,故B项错误；对于C项，由统计图可以得到，1、2月份的制造业指数高于5 0%,故C项错误；对于D项，由统计图可以得到，从4月份的制造业指数呈现上升趋势，且在2 0 2 2年6月P M I超过5 0%,故D项正确.故选：D.3 .若复数 z 满足 z S-(z +l).(z-l)=1 2,则|z +i|=()A.6 B.7 5 C.3 D.5K答 案D BK解 析D设z=x+y i,x,y w R.所以(x+M A(x-M).(x+l +y i).(x-l +y i)=1 2,所以，+丁)(/-/一 1 +2顼)=1 2,所以 x J y 4-x 2-y 2-1 2 +2 D(x 2 +y 2)i =0,所以x4-y4-x2-y2-12=02xy(x2+y2)=0,所以(x2+y2)(x2-y2-l)-1 2 =02xy(x2+y2)=0当V +y 2=o时，方程组无解;当x =0,y =0时，+1 2 =0没有实数解；当X HO,y=0时，J C4-X2-12=0,.X2=4,:.X=2,所以z =2或-2.所以当 z =2 时，|z+i|=|2+i|=6；当 z =-2时，|z +i|=|-2+i|=/5.所以|z+i|=6.故选：B4.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福“，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2 m g/c m ,排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少2 0%,当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 m g/c m 若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg2 ao.3,lg 3 0.477)()A.8 B.9 C.10 D.HK答 案 U AK解 析 过滤第一次污染物的含量减少2 0%,则为1.2(1-0.2)；过滤第两次污染物的含量减少20%,则为1.2(1-0.2)2.过滤第三次污染物的含量减少20%,贝仍1.2(1-0.2)3；过滤第次污染物的含量减少20%,则为1.2(1-0.2)；要 求 废 气 中 该 污 染 物 的 含 量 不 能 超 过-2,即(26,两边取以10为底的对数可得lg(21g 6,5x2即“lg（k）21g2+lg3,o所以2Ig2+lg3l-31g2因为 1g 2“0.3,1g 3=0.477,所以lg2+lg3l-31g20.3+0.4771-3x03=7.77,所以“2 7.7 7,又e N*,所以ms=8,故排放前需要过滤的次数至少为8 次.故 选:A.5.己知点尸(4,0)是双曲线C：-/=1(40,。0)的右焦点,过点F 向 C 的一条渐近线引垂线垂足为A,交另一条渐近线于点&若2AF=F B，则双曲线C 的方程为()A,工-f=1 B.-2 1 =C,=1 D,-2 1 =112 4 4 12 10 6 6 10K答 案 X A2 2K解 析 男双曲线C:二-4 =1的渐近线方程为：bxay=0,不妨令点4 在直线6-砂=0a-b-上，/+6=6,如图,即有 I EB|=21 AF|=2b,AB|=3b,10 4 1=-AF2=yj42-b2=a，sinZAOF=,由 2A尸=尸8 知，点 A,B在 y 轴同侧，T Th于是NAO8=2N A O f（0,一）,cosNAOB=1-2sin?NAOF=1 0,b2 ）2,化简得尸-144+40=0,8解得方=4或加=10（舍去）,）2所以=4,a、2,双曲线方程为三一汇=1.12 4故选：A.6.己知矩形4BC。中，AB=3,B C=2,将 CB。沿 B折起至ACBD当直线C 8 与 A。所成的角最大时，三棱锥C-48。的体积为（）CA 括 R 5 如 26 n 6713A.-15.-L -U.-3 13 3 13K答 案 CK解 析 1 因为异面直线最大角为直角，故当C 8，A 时，C B 与AD所成角最大,因为四边形A3C。是矩形，所以犯 立 他，又 CBJ.AO,AB CB=B,AB,C B u面 4BC,故/4。_ 1 _ 面 4 8(7,又因为 ACu 面 A B C ,所以 4)_ L A C(,在 R tZ A C D 中，A D =2,C/D=3,所以 AC=J c 3 2 -A D?=，9-4 =石，又 8 C =2,A C =MA8=3,所以 A 8 2 =8 C 2 +A C 2,故 3 C _ L A C ,所以匕,ABC=S ABC-AD=-X-X2X/5X2=-(.r t 5 U U n o .-3 3 2 3故选：c.7 .若 “不是等比数列，但 4 中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称 为 是局部等比数列.在 击，(一 2)+8 ,*-击，W+2 5 这 4个数列中，局部等比数列的个数是()K 答 案 C%,%成等比数列，因为 丁 不 是 等 比 数 列，所以 丁 二 是局部等比数列.3 +7 J 3 +7 J若=(-2)+8,则 q=6,%=1 2,(=24,由 1 2?=6 x2 4,得4，/，%成等比数列，因为(-2)+8)不是等比数列，所以(-2)+8 是局部等比数列.若4=蒜，则：=；，则 叫是等比数列，所 以 样-击 不是局部等比数列.若4 =2+2 5,则%=5 0,%=2 5 0,%=1 2 5 0,由 第=翳，得外,%，6 成等比数列，因为 1+2 5 不是等比数列，所以/+2 5 是局部等比数列.所以局部等比数列的个数是3,故选：C.T T8 .在中，A B =8,A C =6,A =,点E,尸分别在边A B,AC上，且线段所平分_MC的面积，则线段E F 的最小值为()A.V 1 3 B.2瓜 C.V 2 6 D.2不K 答 案 2BK 解 析 U 设=根据三角形面积公式可得，S；AR AC-sin=12道，S AE-AF-sin =-m n ，AEF 2 3 4又SA/M/SA H C，-mn=24.根据余弦定理可得 EF2=AE2+AF2-2AE-AF-c o s=m2+n2-mn 2mn-mn=mn=24当且仅当机=2时，等号成立，.lE F 的最小值为26.故选：B.9.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5 次飞行后，停在数轴上实数 3 位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有（）种.A.5 B.25 C.55 D.75R答 案 2 DK解 析 U 由题意知：小蜜蜂经过5 次飞行后，停在数轴上实数3 位于的点处，共有以下四种情形：一、小蜜蜂在5 次飞行中，有 4 次向正方向飞行，1次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有C；=5 种情况：二、小蜜蜂在5 次飞行中，有 3 次向正方向飞行每次飞行一个单位，1次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，1次向负方向飞行，且每次飞行两个单位，共有C；C；C；=20种情况；三、小蜜蜂在5 次飞行中，有 1 次向正方向飞行每次飞行一个单位，2 次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，2 次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有C；C；C=3 0 种情况；四、小蜜蜂在5 次飞行中，有 3 次向正方向飞行每次飞行两个单位，有 1次向负方向飞行且飞行两个单位，有 1 次向负方向飞行且飞行一个单位，共有C；A；=20种情况；故而共有5+20+30+20=75种情况，故选：D.i o.设/口）=吧丫2;2,则下列说法正确的是（）cos 4%A.x）值域为（y,-g u去e）B.x）在（o/上单调递增C.“X）在 上 单 调 递 减 D.力=/卜+|K答 案 D B3R解 析 2,/n2xcos2x+（如 4 x+3,cos4x 2cos4x由）=sin 4+3,可得 2ycos4x-sin4x=3,2cos4x/.A/（2y）2+（-l）2 3,即 yr 夜 或函数的值域为（一8、一夜 M +8）,故 A 错误;./、sin4x+3 1 .3 /（）=-=-tan4x+-,2cos4%2 2cos4x,4呵当问喋0,：时，y=,1a n 4 x 单 调 递 增 y=2cos4x单调递 减 ），=而3孩单调递增,故f（x）在 o,R）上单调递增，故 B 正确;$0 ,4xw,0，/（*）=sin 4x+32cos4x人 s inr +3令 y=7e71Q j 则）,_ 285，+2$也/由/+3）_1+35山4cos212 cos21V x e2由y=0,可得s i n -；,Z e -p O j,根据正弦函数在（g,o）上单调递增，可知在（-，）上存在唯一的实数（e _，），$山/0=-g ,当时，y 0,、=半 艺 单 2 J 2cos/2 cos/调递增，所以“X）在 卜 会 0）上有增有减，故 C 错误;sin 4x+32 cos 4 1由可得x+sin（4x+兀）+3 _-sin4x+3 _ sin4x-3、4）2cos（4x+兀）-2cos4x 2 cos 4%HX），故 D 错误.故选：B.1 1.已知三棱锥P-A B C,Q 为BC中点，P B=P C=A B=B C=A C=2,侧面B B C/底面A B C,则过点Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（）57rl 兀 2兀 2兀 r-iA.B.C.可，2兀 D.兀,2可K答 案 U AR解 析 2 连接PQ,Q A,由 PB=PC=Afi=BC=A C=2,可知：ABC和：PBC是等边三角形，设三棱锥P-A B C外接球的球心为0,所以球心0 到平面4 8 c 和平面P B C的射影是二 4 3 C 和.P8C 的中心尸，E,P8C 是等边三角形，Q 为BC中点，所以P Q L 8 C,又 因 为 侧 面 依 底 面 A B C,侧面P B C c底面ABC=BC,所以P。工底面4 8 C,而 A Q u底面A 8 C,因此P Q L A Q,所以OFQE是矩形，4?C 和 P8C 是边长为2 的等边三角形，所以两个三角形的高=,2-序21=6，在矩形 OFQE 中，O E=F Q =h=g.AE=-h=-,连接 OA,3 3 3 3所以 OA=yJ O E E A2=Jg +g =半,设过点。的平面为a,当OQ，a 时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形,OQ=JO尸+/=也卜+川=争=争6邛,因此圆。的半径为：“比 2 _ 0”聘=1,所以此时面积为兀心兀,当点Q 在以。为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为:5兀T所以截面的面积范围为J i,y故选：A.1 2.设定义在R上的函数 x)与 g(x)的导函数分别为尸(x)和g (x),若g(x)-/(3-x)=2,尸(x)=g (x 1),且 g(x+2)为奇函数，g =1.现有下列四个结2022论：g(f=g ；2)+4)=-4；g(2 0 2 2)=l；/伍)=-4 0 4 3.其中所k=有正确结论的序号是()A.B.C.D.K 答 案 DK 解 析 U 因为/(x)=g (x-l),所以 f (x)+a =g(x-l)+6.因为g(x)-3-x)=2,所以 x)=g(3-x)-2,所以g(3-x)-2 +a =g(x-l)+6.因为 g(l)=l，所以 g(l)_ 2+a =g(l)+6 ,得 a-2=b,所以 g(3-x)=g(x _ l),所以g(2-x)=g(x),所以g(x)的图象关于直线x =l 对称，所以g(-l)=g ，故正确.因为 g(x+2)为奇函数，所以 g(x+2)=-g(-x+2),且 g(2)=0.因为g(2-x)=g(x),所以g(x+2)=-g(x),则g(x)的周期7 =4，所以g(2 02 2)=g(2)=0,故错误.因为f(x)=g(3-x)-2,所以f(x)的周期也为4,所以 2)=g -2 =-1，4)=g(-l)-2 =g(3)-2 f l)-2 =-3,所以/(2)+/(4)=T,故正确.因为八l)=g(2)2=-2,/(2)=g(l)-2=-l,3)=g(0)2 =2,/(4)=-3,2（P2所以 /仕）=1）+2）+/（2022）=505x（-8）+l）+2）=_4043,k=所以正确.故选:D.第 II卷二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.己知曲线y=（F+2）e*在（0,2）处的切线的斜率为T,则机=.（答 案 X -3K解 析X 因为y=（s+2）e”,所以 =（，派+?+2）e*,当x=0 时，y=m +2,因为曲线在点（0,2）处的切线的斜率为T,所以 z+2=-l,解得加=-3,故 K答 案 为：-314.已知夹角为6 0 的非零 向 量 满足卜|=2忖，（2 a-心）J _ b,则/=.K答 案 2 2K解 析H 因为。力的夹角为60,且 忖=2忖，而（2 一?）_Lb,则（2。一加）为=0,所以（2一%）/=2a b-tb2=2问网cos600-1忖=0,则2X2小卜3-中（=0,解得：t=2.故 K答 案 为：2.15.尸为椭圆鸟+=1上一点，曲线区+3=1 与坐标轴的交点为A,B,C,D,若|PA|+|P+|PC|+|PD|=4V6,则 P 到 x 轴的距离为.K答 案 叵13K解 析 D 不妨设 4（一 2,0）,8（2,0）,C（0,l）,0（0,1）,2 2则A,8 为椭 圆 上+汇=1的焦点，所以|酬+|叫=26，又I F+I网+|p q+|p q=4 后,所 以|p q+|p q=2卡,2a=2 瓜且|8|=2/6b=y5所以尸为椭圆反+反=1上一点，由6 2，解 得2=2，则 苗=叵,5 6 X y ,1 3 1 3+=15 6故尸到X轴的距离为叵做K答 案U为：恒.1 3 1 31 6.己知/（x）=s i n（3 x +e）a ）为奇函数，若对任意a e ,存在jr-,a,满足“CH/?）=0,则实数a的取值范围是.TT 27r（答 案D 0,A 午 K解 析?因 为 x）=s i n（3 x +e）（M）为奇函数，故/(-X)=-/(x),.s i n(-3%+夕)=-s i n(3 x+夕)，即c os 3 x s i n 0=0,由于x e R,故s i n*=0,则。=E,Z eZ,由于|同 故 夕=0,所以/(x)=s i n 3 x,由/(c)+/(/?)=0,可得 s i n 3 a =-s i n 3 4，IT 2kn即 3/3=3 a +允+2E,/3=c r +,A：G Z2 4 7 r或3/?=-3 a+2 E,/.p -a +&e Z,对任意a e ,存在-q二,满足f(a)+6)=。,y J _ 9,.7 i 兀 2krc.i t 2kn 八 4 n 2kn,一故一344=2+1+亍。，则7+亍4 0,。之 一-,k e Z,左取负值,则只能=-1,此时a =个，一兀 八 2 E ku,Tt 2kn,“i八 i t或 J 3=-a+-a,则 一 a H-,k G Z,则 0 a 0,2(+2)4-而 匕 H，即结论成立.1 8.直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收.某贫困地区有统计数据显示，2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2 所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”(2 0 岁 39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者4 0 岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6 次或6 次以上的称为“经常使用直播销售用户“，使用次数为5 次或不足5 次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有3 是“年轻人650.0%40.0%30.0%20.0%10.0%0直播俏伴卞播年龄等级分布（1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系 的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2x 2列联表，根据a =0.1 0的独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播售用户不常使用直播销售用户合计（2）某投资公司在2023年年初准备将1 000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利3 0%,可能亏损1 5%,也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为7 1 1.方案二：线上直播销售根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利1 1 35 0%,可能亏损3 0%,也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为子,而.针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.参考数据：独立性检验临界值表a0.150.100.0500.02 50.0102.07 22.7 063.8 415.02 46.6 35其中*=n(ad-be)?(+)(c+d)(Q +c)(/?+d)n=a+b+c+d.解：（1）由图1 知，年轻人”占比为45.5%+34.5%=80%,即有2 00 x8 0%=16 0（人），“非年轻人”有2 00-16 0=40(人)由图2知，“经常使用直播销售用户”占比为30.1%+19.2%+10.7%=60%,即有2 00 x 6 0%=12 0(人)，“不常使用直播销售用户”有2 00-12 0=8 0(人).“经常使用直播销售用户中的年轻人”有12 0 x3=100(人)，“经常使用直播销售用户中的非6年轻人”有 12 0-100=2 0(A).二补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户1002 012 0不常使用直播销隹用户6 02 08 0合计16 0402 00零假设“。：经常使用网络直播销售与年龄相互独立，即经常使用网络直播销售与年龄无关.于是 a=100,Z?=2 0,c =6 0,d =2 0.22 00 x(00 x2 0-6 0 x2 0)212 0 x8 0 x16 0 x40=2.08 3 2.7 06.12根据小概率。=0.10的独立性检验，我们推断儿 成立,即认为经常使用网络直播销售与年龄无关.(2)若按方案一，设 获 利 万 元，则X 1可取的值为3()(),-150,(),则X 1的分布列为:300-1500P7T o _51i o7 1E(X j =300 x丁+(-150”,+0*丁=18 0(万元).71D(XI)=(300-18 0)2X+(-150-18 0)2X-+(0-18 0)27 11x =12 02x +3302x-+18 02x =351(X)10 10 5 107 1 i.(或。(X J =3O Q 2X而+(_150)2乂+02*历18()2 =35100.)若按方案二,设获利X 2万元，则X?可取的值为500,-300,0,则X 2的分布列为:X?500-3000P253WI 1 3（X2）=500 x-+（-300）x-+0 x =19 0（7 5%）,D（X2）=（500 19 0）2 x g +（一 s o。一 9 0）2 xl +（0-i 9 0）2 x 3=310.2 x-1 +49 0.2 x-1 +19 002 x 3=10 2 5 10106 9 00.i i 3（或 ）（X J =S O O?x 万 +（一3o o）2 X-+02x-19 02=106 9 00.）：E（X,）（X2）,D（X,）=C。时，且 BC=3C4,则 C=OC=AC,:.AD1OD,又 OD PO=O,8,P O u 平面 POO,.4)1.平面尸。),又Mu 平面PAD,.,.平 面 平 面 POD；(2)解：由题可知。4=08=4,且轴截面为等腰直角三角形，,P8=4应，PO=4,当三棱锥P-B CD的体积最大时，AOBC的面积最大，此时。为弧8c的中点，如图，以点O为坐标原点，过。点且垂直AB的直线为x轴，OB,0 P分别为了轴，z轴，建立空间直角坐标系O-z,则 A（0,-4,0）,8（。，4,0），*0,0,4）,D（3,l,0）,.-.BP =（0,-4,4）,叨=（3,1）,A P =（O,4,4）,设平面P A 的法向量为4=(a,h,c),n.AP=0 4b+4c=0,即 V ,q PD=0 3a+h-4c=0令a=5,则人=3,c =3,/.=（5,3,3）,in设 平 面 的 法 向 量 巧=(x,y,z),则n2BP=0n2 PD=0-4y +4z =03x+y 4z =0令 x=l,则 y =iz=1 f-*2 =（L 1/），则 C 0S=|l|l2 I5-3+3 _5x/12 9V3X752+（-3）2+32=12 9由图可知该二面角为钝角,，二面角B-P D-A 的余弦值为-独型.12 9出2 4 A2 0.己知椭圆C的中心在原点，离心率等于方，它的一个短轴端点恰好是抛物线y =的焦点.(1)求椭圆C的方程;（2）己知尸（2,3）、Q（2,-3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线P Q两侧的动点.若直线AB的斜率为方，求四边形AP8Q面积的最大值；当A,3运动时，满足直线抬、P B与x轴始终围成一个以底边在x轴的等腰三角形,试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.解：（1）由抛物线y=即=8百y可得焦点坐标为（0,2 6）,椭圆C的中心在原点，离 心 率 等 于 它的一个短轴端点恰好是抛物线）=*V的焦点，2,:设椭圆c方程为左）,_ j _a 2则由，6 =2/a=b+ca =4解 得6=26,c=2,2故椭圆C的方程为三+汇=1；1 6 1 2（2）设A（x，yJ,8（毛,%）,直线A B的方程为y=x +t,代 入:十 其=1中，整理得f+a+产-1 2 =0,1 6 1 2二厂4（厂1 2）0,解得一4 v/v 4,x+x2=t,x1x2=z2 1 2 ,四边形 A P 8 Q 的面积 S =-x6 x|xj -x2|=3 x（x,+x2）2=3 4 4 8-3产，当 r =0 时，5i r a x=1 2 ,所以四边形AP 3 Q面积的最大值为1 2 v L当A,8运动时，满足直线以、尸B与x轴始终围成一个以底边在x轴的等腰三角形,则24、心 的斜率之和为0,设直线R4的斜率为女，贝I J P 8的斜率为-k,R 4的直线方程为丁一3 =%（尤-2）,2 2代 入 会+卷=1中整理得：（3 +4公）x+8（3-2人）丘+4（3-2%）2-4 8 =0,二螫半同=密邛，3+4/-3+4公16/-12-48%则 西+=目 1 6-12从而以B=丛二2 1=左（石+）-4.=-上 嗡=；,即直线AB的斜率为定值.x2-x,王一&-48k 23+4公2 1.若函数/（x）=alnx-gx2+a+g（x0）有两个零点4,与，且玉 七.（1）求。的取值范围；（2）若/（X）在（百,0）和（私 0）处的切线交于点（七,必），求证：2X,玉+2（a+l）.解：（1）f（x）=-x =-X X当a 0,r（x）0,/（X）在（0,+8）上单调递减，不可能两个零点；当”0 时，令/(x)=0得X=&x O,6),/x)0,x)单调递增，x e(6,+8),r(x)0；x,/(X)Xx e(0,6)有唯一零点且x e(6,+8)有唯一零点，满足题意，综上：ae(0,+oo)；(2)先证右边：令 g(x)=lnx(xl)则 g，(x)=q,A x e(0,1),gz(x)0,g(x)单调递增，X G(l,4oo),g x)0,g(x)单调递减,8(%)的最大值为1)=0,8(力4 0,B Plnxx-l,/(2a+l)=ln(2a+l)-g(2a+l)+a+g a.2 a-g(2a+l)2+。+；=一 ya,/.x2 0,%1 a=-I nX j -l nx21 1 X)x2要证2 曰百十%,即证A 1 _ 2即证一l,中 2即证.2I n再x2 1,令，=立1,即证l nf；（）（0令人=I n=_(1)/?(1)=0,v 7 2t2I n/，1）得证.综上：2 A3 V xi+w v 2(a +l).（二）选考题：共 1 0 分.请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2.R 选修4-4：坐标系与参数方程H （10 分）x=l+t2已知直线/的参数方程为 广（其中，为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴2为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=4 si n O.（1）求曲线C的直角坐标方程及直线/的极坐标方程；（2）若/（1,百），直线/与曲线C的两个交点分别为A,B,求 黑 +情算的值.解：（1）由曲线C的极坐标方程夕=4 si n 8得 夕 2 =4 夕si n。，化为直角坐标方程为f+/-4 y =0.又由直线/的参数方程I 1X=1 H-12尸 肉 争得直线y=拒x,所以直线/的极坐标方程为6=e R）.（2）解法一：将直线/的参数方程代入曲线可得,1+缶+用一4曲目）=0,整理可得，/+（4-2间-46+4=0.设点A,3 对应的参数分别为乙则乙由是方程的两个根.由韦达定理可得,4+=2 百 4t2=-4/3+4心+网_ +回 _/；+片+f J -2 代所 以 IMAI M B-t2 fj-时一同一_（2 6 _ 4）_ 2（-4石+4）3 6 T.4 -4 -2=/i解法二：联立直线/与曲线C 的 方 程），c 可得，X2-瓜=0,x+y-4 y =0解得演=0,X2=A/3.代入y=可得，X=0,%=3.不妨设A（0,0）,8（3）,则|M4|=J（0 _ l）2+（0 _ 可=2,MB=（V 3-l）2+（3-7 3）2=2（A/3-1）.6f.|M 8|M 4|2（6-l）2 3 6-1所以|MA|MB 2 2（3-l）2 23.R选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数/（x）=|x-l1 2|X+4（1）当“=；时，求不等式/（O,。的解集；(2)当a.-l时，若函数g(x)=gx+b 的 图 象 恒 在 图 象 的 上 方，证明：2b-3a2.x+2,x 2(1)解：当 4=5 时，/(x)=|x-3x,1所以当工 一2 时，X+2W 0,解得x K-2；当一一4x41 时，一 3%1时，-x-2 l.综上，不等式/(x)K。的解集为 乂入-2或 2 0 .x+2 +l,x 一。(2)证明：当aZ-1 时，/(x)=|x-l|-2|x+a|=-3x-2a+l,-iz 1所以当x=-a 时，“X)取得最大值，且 f(x)n ax=l+a.要使函数g(x)=；x+b 的图象恒在 x)图象的上方，由数形结合可知，必须满足g(-a)=-；a+人 1 +a,B P 2b-?a 2,原不等式得证.