2023年高考数学考前信息必刷卷05（解析版）.pdf

绝密启用前2023年高考数学考前信息必刷卷05新高考地区专用二一一-二 日 开圈门新高考地区考试题型为8（单选题）+4（多选题）+4（填空题）+6（解答题），其中结构不良型试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及解三角形与数列两大模块，以解答题的方式进行考查。考查学生知识的应用能力，数学建模的核心素养。能够对已知条件进行综合分析、归纳与抽象，并正确地将实际问题转化为数学模型，再用相关的数学知识，进行合理设计，确定解题方案，进行数学上的计算求解.以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、方法等融为一体,能有效考查学生在新情景下对知识的理解以及迁移到不同情境中的能力，考查学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，例如本卷第16题，以中国传统刺绣工艺为背景，考查数列的知识，难点较大。本卷中预测考查数学建模的核心素数，例如本卷第20题以苏州博物馆八角亭为背景，考查二面角，线面角的同时，让学生体验数学的立体美。再如第22题以仓储型物流干线为背景，考查学生应用函数知识求解实际应用问题的方法。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.己知z 25=1 +6,贝ijz的虚部为()A.-6 B.-6i C.2 D.2i【答案】C【详解】设2=+历(”,b e R),则，-历,因为z-21=l+6i，即有3+bi)-2(a-匕i)=l+6i,整理得a+3历=l+6 i,解得。=-1/=2,所以z的虚部为2.故选：C2.已知集合4=卜|丫=2*+2,工4。,B=x|lnx 2 c o s Z A B C=1 =2 c o s Z A B C=1,可得c o s N A B C =-1，故Z A B C =1 2 0 ，2所以A D =6,故g(x)的周期为2 4,所 以 =24,。=白，co 1 2故选：A.4.为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各1 0名同学的体温记录(从 低 到 高)：高三一班：3 6.1,3 6.2,机，3 6.4,3 6.5,3 6.7,3 6.7,3 6.8,3 6.8,3 7.0 (单位：),高三二班：3 6.1,3 6.1,3 6.3,3 6.3,3 6.4,3 6.4,3 6.5,3 6.7,3 7.1 (单位：)若这两组数据的第2 5百分位数、第9 0百分位数都分别对应相等，则-加为()A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3【答案】C【详解】由1 0 x 0.2 5 =2.5,可得第2 5百分位数分别为加和3 6.3,则帆=3 6.3；由1 0 x 0.9 =9 ,可得第9 0百分位数分别为3 6 8；3 7.0=3 6 9和巴 宇！，则 +/1=3 6.9,解得 =3 6.7；f e w-/7 7 =3 6.7-3 6.3 =0.4.故选：c.5.如图，直三棱柱A B C-A fG 中，ZACB=,AC=AAl=l,BC=2,点A7是8 c 的中点，点P 是线段 A1 上一动点，点Q在平面A G 上移动，则 P,。两点之间距离的最小值为（）A.3 B.g C.-D.I3 2 3【答案】A【详解】连接A C 交AG于点0,连接OM，；0，M 分别为A C 8 C 的中点，则。用 B,且O M u 平面4M G，A 8 S 平面A G，A7平面AMG，则点尸到平面4M G 的距离相等，设为，则P,。两点之间距离的最小值为d,即点A 到平面AMG的距离为d,A C 的中点。在 AG上，则点c 到平面4M G 的距离为d,由题意可得为 AC=CM=C、M=1,AC=AM=MCX=f2,由-A M G =%-ACM 解得d=,3 2 2 3 2 3故尸，。两点之间距离的最小值为d=迫.36.如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡尸（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点.若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为A,椭圆的右顶点到A 点的距离为3 个单位长度，则此时椭圆的离心率e等 于（）【答案】D则直线PR：-2 +2=l,即4x-3y+12=0,3 4设3）,则点M 到直线尸R的距离4=也 4 =1,解得：=-：，5 27 1/.|07?|=-3 4-=,即设直线PN:y=Ax+4（Z0）,即区-），+4=0,点M 到直线P N 的距离=1解得：&珠8或 4OQ又直线如 做，；.=宜，即直线附:石、-卜+4=0,令 y=0,解得：x=-y ,即 N（-7 1 s:.NQ=-+=4,即+c=4；1 Y由 2 得：；，.椭圆离心率6=?A1a 9o+c=4 c=【I 4故选：D.7.已知数列 4 满足：当2b七1000成立的的1=1最小值为（）A.52 B.41 C.36 D.24【答案】C【详解】记数列。“的前”项和为5“，当2,T V”1 0 0 0,可得甲1501,因为4,=10241501 1501的无的最小值为以因为 S g =S=|（45-1）=682,5、=S63=|（46-1）=2730,1 0 0；：6 8 2 =4.97,故 的最小值为 2$-1+5=36.故选：C.8.已知a=e3-l,b=nl.3,c=tan0.3.其中e=2.71828为自然对数的底数，则（）A.c a b B.a c b C.b a c D.abc【答案】B,斗 刀 /1 ,m c 人 *.eY cos x-cos x-sin x 八 n 详解】由 a-b-e 3-1 -tan 0.3,令 f (x)=e-1 -tan x=-,0 x ,cosx 4令 g(%)=e cos x-cos x-sin x,则 g(x)=(e*-l)(cos x-sin x),当0 x 0,所以g(x)在(0,2)上单调递增，又 g(0)=e cos0-cos0-sin0=l-l =0,所以g(x)0,又cos%0,所以/(x)0,在(0,；)成立，所以/(0.3)0,即/(0.3)=eft3-l-tan 0.3 0,所以e03_ltan0.3，即”c,令/z(x)=ln(l+x)-x,所以=,因为x e（0,）,所 以*0,即所以可可在（0 5 上单调递减，所以3 （。）=。，即 ln（l+x）x,令心）=一ta n x,工 （0,三 所以加3=1-1,2；cos x因为T。,?，所以1_忌厂0,即加（司 0,所以加（x）在（0,；）上单调递减，所以加（x）/n（O）=O,即x ctan x,所以ln（l+x）x ta n x,在（吟）成立，令x=0.3,则上式变为ln（l+0.3）0.3 tan 0.3,所以b 0.3 c,即6 c b.故选：B.二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在 每 小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得。分.9.“50米跑”是 国家学生体质健康标准测试项目中的一项.已知某地区高中女生的“50米跑”测试数据4（单位：秒）服从正态分布N（9.5,），且 P（4 4 8）=0.1.现从该地区高中女生中随机抽取5 人，并记这5人“50米跑”的测试数据J 落在（8,11）内的人数为X,则下列正确的有（）A.P（8 J ll）=0.9 B.仁）=9.5C.X 6（5,0.8）D.E（X）=4.5【答案】BC【详解】因为J 服从正态分布%（9.5,4），故E（1）=9.5,尸 仁 48）=尸（：NU）=0.1,则 P（8J 1a bT T1c =-,AB边 上 的 高 为 则 下 列 说 法 中 正 确 的 是（）62c.的最小值为2 D.正一L 的最大值为2a b a b【答案】ABD【详解】设 AB边上的高为C D,则CO=gS ABC=sin C =,S.C=；ABCD=；C,.)=+，即=C，A 正确:由余弦定理得：c1=a1+b2-2abcosC=a2+芹-0:ib=(a+b$一(G +2)Q ,又 H=C,+(5/5 +2)(;=(+。),.J=a+”a +b_J c 2+(6+2)c,I 3 +2,B 正确;a b ah c c v cs i n A0 =L s i n 3 =0A C 2bBC 2a1.7 =2 s i n A ,=2-3 s i n B,b a!-=2 /3 s i n B-2 s i n A =2 /3 s i n S-2 s i n f B+b.e(-1,2 1,C 错误，D 正确.a h v故选：A B D.1 2.设xdR,当 一 3“-0.6 +-0.6),所以 A 错误；对于 B 中，由 2+/+!=(+y，所以 J”：+L4 2 2所以 J 胃+V J 2+g ,所以+)=,所以B正确;对于C中，因为-1 s i n J V 1-1 C O S J V 1s i n x e -1,0,1)c o s x w -1,0,1 ，可得当工=季 兀,季：,0 时，可得y=(s i n x)+8 S x)=-2,T,0,l,2 ,即函数 y=(s i n x)+(c o s x)的值域为 M =-2,-1,0,1,2),所以集合M 的子集个数为2、=3 2,所以C正确；若 e N*，可得对于D 中，设/（x）1 1x +2 n+1nx20则/（x+：）-x）=所以f（x）的周期为1,n又当0-4时，可得此时卜 彳=0；1 1 1 1-F X-F 22 n 2 n-,止 匕 时（工 !+，）=0：/?2 22n1 n 1 n 1 2-1-x-1-,/1 n-l 八此时 0；2 2 n 2 n,此时（以 _；）=0,2 2 2所以X）=0（0 4X,=1 6 0 0,1 ，=46。，8=0.8 5.该班某女生的身高为170cm,据此估计其体重为 kg./=1 i=l【答案】54.5_ 1 10 _ 1 10【详解】X=G%=1 60,y=X=4 6-IU j=1U,=|故46=085x160+名，解 得:由=-90,故回归直线方程为 =0.85x-90，则当x=170时，=0.85xl70-90=54.5（kg）.故答案为：54.549 114.如图，已知圆K 的方程为（+1）2+/=彳，圆F?的方程为（x-iy +y2=若动圆M 与圆写内切与圆O O为外切.则动圆圆心M 的轨迹C 的方程为.【详解】因为圆耳：(x+l)2+y2=学的圆心为耳(T.O),半径为 逑,8 4圆K：(x-l)2+y2=1 的圆心为巴(1.0)，半径为 辽，8 4设动圆M 的半径为，因为动圆M 与圆耳内切，与圆尸2外切，所以=7,_ r,M F 2 +r,于是|M制+|M段=2 0 怩 段=2,所以动圆圆心M 的轨迹是以耳，用为焦点，长轴氏为2a的椭圆，从而。=应,。=1,所以b=l.所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为+y2=i.故答案为：F _ y2=1.21 5.随着疫情解除，经济形势逐渐好转，很多公司的股票价格开始逐步上升.经调查，A 公司的股价在去年年 初(f=0 时)的股价是每股5 元人民币，到了年末C =12时)涨到了每股6 元人民币.经过建立模型分析发现，在第f 个月的时候，A 公司的股价可以用函数A=4 e”来表示，其中左 为常数.假设A 公司的股价继续按照上述的模型持续增长，则当A 公司的股价涨到10元时，的值约为(结果精确到个位数，参考数据：ln20.7,ln 3 l.l,ln 5 1.6.)【答案】42【详解】解：因为A 公司的股价在f=0 时是每股5 元人民币，所以5=4 e ,所以4=5.经 过 12个月后，得到6=5e，所以上=*吟根据题意，要股价涨到10元，则据=5 ,所以h =ln2,In 2所以/=-二k12xln2In 2+In 3-In 512x0,70.7+1.1-1.6=42.故答案为：4 2.1 6.刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，己经有2 0 0 0多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案-即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形A B C i，取正三角形各边的三等分点a.,与,C 2,得到第一个阴影三角形人及鸟；在 正 三 角 形2 G中，再取各边的三等分点得到第二个阴影三角形人生与；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则4 8?=：图 中 螺 旋 形 图 案 的 面 积 为.【详解】解：设正三角形A B C的边长为可，后续各正三角形的边长依次为/，%，设第一个阴影:角形面积为5一后 续 阴 影 :角形面积为邑S,S,由题意知 q =3 ,a=J*)?+(,%_2 x沁 x|%co s 60。=与a“_、,：.&=，所以”为以3为首项,an-J理 为公比的等比数列,3所以4名=|生=|x用=当,y,)(6,)s i n 60 =所以s“=3|(又 S|=1 2 1 V31 62*，所以 ,是以 乎 为 首项,为g公比的等比数列，故图中阴影部分故答案为：;31 2 1 731 62四、解答题：本题共6小题，共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.（1 0分）已知锐角 A 8 C的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且s i n A s i n B c2.-+-=+1.s i n B s i n A ab 求 角C的大小；若。+。=2,求c的取值范围.【答案】（l）c =【详解】（1）由已知及正弦定理，得+2=+1,b a ab艮|J a2-b2-c2=ab2abab2ab2XV Cel 0,1,a _ b _ c(2)由(1)及正:弦定理得s i n A sin(-A)6，：a+b =2,.cs i n -A.csinA I 3 )_ F 忑-2,T T_ 西_ _ 0 _ a*.4.(2兀 八 3 y/3.(.71 1s m A +s i n l y-A I-s i n A+c osA s i n l A+-IC0 AA 兀2八 c 2兀 .7 10 B =-A o,所以 S“0,故S“=2”-1.当 =1 时，$=4=1 适合上式，所以 S”=2 l,e N*.(2)(方法 1)因为S“=2-l,e N*所以当“2 2 时，4=S“-S“T=(2 -1 H 2”-3)=2.所以q,=1,n=l,2,n2.所以数列也 ：1,1,2,1,2,2,1,2,2,2,设 1 +2+=Sjl)W 1 0 0,贝 I J*+”-2 0 0 W 0,因为e N ,所以41 3.所以圾 的 前 1 0 0 项是由1 4个 1 与 86个 2组成.所 以 小=1 4x 1 +86x 2 =1 86.(方法 2)设 1 +2+n=-2-b 0)焦距为2,过点p(2,l)的直线/与椭圆C交于A8两点.当直线/过原点时，|尸0卜 百|A。.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若存在直线/,使得归力|心卜?，求机的取值范围.【答案】工+丁=12 女 停，4）【详解】（1）因为直线/过原点时，归。=6|4。，设了=M，由尸（2,1）可得：机=1,即y =设不妨点A（x。,%）在第一象限,所以也，x ；+y；=J F +2?=GJX（；+%；x0=,%=等,4 I代入椭圆C的方程，可得意+泰=1，又由题意可知，c=l,且/=+。2,解得 =应，6=1,所以椭圆C的标准方程为+/=1：2（2）易知直线/的斜率存在，设/：y=k（x-+kx+-2k,f y=kx+-2k与椭圆。的方程联立，；。2。八 x +2y-2 =0消去V ,整理得（2公+1）/+4左（1一2人）工+2（1一2女）2 2 =0 ,由题意可知，公=1 6公（l-2 A）2-4（2/+l）2（l-2 A）2-2 0,整理得二一2%0,解得Ze（0,2）,设 A（x“3 B（x2,y2）,则J；：；）,刊=2（1。?；-2,由 题 意,|。4卜归同=（2 玉）（2 +1）=无52（玉 +X2）+4（42 +1）=f将代入上式，整理得，”=竺 二2k2+1（止+2）+2 “2乍I 7=-T-=2 d-2二+1 2k2+12由 八（0,2）,则2公+1 1,9）,故机=2 +m1即m e 管,4）.2 2.（1 2分）我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元42 9年-50 0年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公 元1 5 4 0年-1 6 1 0年）用一生精力计算出了圆周率的3 5位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新.例如：我们很容易能利用计算器得出函数j（x）=e*+x（e =2.7 1 8 2 8）的零点%的近似值，为了实际应用，本题中取与的值为-0.5 7.哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线C-其在已经建立的1直角坐标系中的函数解析式为g（x）=l n x-2,其在x=2处的切线为L,:y =（x）,现计划再建一条总干线G：y =e ，其中，为待定的常数.注明：本题中计算的最终结果均用数字表示.(1)求出。的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线G上的点不在直线右的上方；(2)在直角坐标系中，设直线4：丫 =“1-?)，计划将仓库中直线。与心之间的部分设为隔离区，两条运货总干线c G 分别在各自的区域内，即曲线G 上的点不能越过直线4,求实数，的取值范围.【答案】(l)y =0.5 7 x-0.5 7,证明见解析.-2.3 8,+：)【详解】(1)解：由函数g(x)=l n x-2-，可得x-2-XJ 与则/(2)=-/R.(2)=l n -=-l n(-x0),所以右的方程为丁 +山(一七)=一式0(工 一 2),即y=-xQx+2 x0-l n(-x0)因为函数J(x)=e +%的零点%的 近 似值，即e +x =0,所以铲=-%,可得 y =-xox+2 x0-In e =-xQx+x0又因为%=-0.5 7，所以乙的直线方程为y =0.5 7 x-0.5 7令 x)=g(x)，(x)=l n x-2-(-xox+xo)=l n x-2-4-(xox-xo)k x0 J Xo J其中 x 2 +,，则，(x)=2+，令 r(x)=0,解得 X =2,X。X。当x w (2 +,2)时，fx0,/(x)单调递增；玉)当x e(2,用)时，尸(k 0,单调递减，所以当x =2 时，函数f(x)取得极大值，也为最大值/(2)=0,即 x)4 0,所以在直角坐标系中，智能运货总干线G 上的点不在直线 4的上方.(2)解：由曲线G：y =e*“且 右：、=以工-5)=-%(*-学+2%-1 1 1(一%),令g)=e。,1 4 =产 +x (x-争-2%+l n(r 0),要使得两条运货总干线G、G 分别在各自的区域内，则满足秋司2 0 恒成立,又由/7(力=已+工0，令厅(1)=0,可得x+m =l n(-X o),即x=侬一/)一根，当xl n(-)-加时，/Z(x)l n(-x0)一 加时，0,(x)单调递增，当x=l n(T)-7时，函数M6取得最小值,最小值为/z(l n(-x0)-帆)=+x0(l n(-x0)-争-2x0+l n(-x0),令 x。)一 心)2 0,I J el n A0*+x0(l n(x0)in)J 2x0+l n(x0)0 ,xR|J ITIXQ-AQ+XQ l n(-XQ)2x0 +l n(-%)因为与-3 +2二57)+=_2 38)所以实数机的取值范围是卜2.3 8,饮）.