2023年高考数学真题重组卷（参考答案）4.pdf

冲刺2023年高考数学真题重组卷04新高考地区专用(参考答案)一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题123456789101112DCCCCCDDCDACACDCD目要求的。1.D【解析】利用补集的定义可得正确的选项.【详解】由补集定义可知：句修=|-3 犬 4 2或l x 3 ,即条A=(-3,-2(1,3),故选：D.2.C【解析】设 z=a+历，利用共轨复数的定义以及复数的加减法可得出关于、匕的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z.【详解】设 2=+历，则-历，贝 1J2卜+可+3(2 可=40+6=4+61,14rz=4所以，右，解得。=1,因此，z=l+i.6b=6故选：C.3.C【解析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：164002%)(1 一 cos。)=l-co sa=-6400+36000 042=42%,44/2 2 一 故选：C.4.C【解析】化简得出/(x)=c o s 2 x,利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】H/(JV)=cos2 x-sin2 x=cos 2x.对于A 选项,对 于 B 选项,对于C 选项,对 于 D 选项,当时，一万 2尤 ,则 x)在一9，J上单调递增，A 错;2o 3 V 2 o y当时，则“力 在 船 上 不 单 调，B 错；4 12 2 o 4 127当0 x (时，02%笄，则 f(x)在(0,5)上单调递减，C 对；当时，3 2X +tan6 _ 4-2 _ 2sin +cos2!9 1 +tan2 0 1 +4 5故选：C.【点睛】易错点睛：本题如果利用tan6=-2,求出sin d co s的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论.6.C【解析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得|A周=|耳月由此可得出关于“、b、。的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线 2=4后的准线方程为工=-6,则C=5 则耳（-底 0）、工（近 0）,不妨设点A 为第二象限内的点，联立b-x _a,可得，x=-cbe,即点 A-。，一，jr因为A耳，石鸟且=则月工4 为等腰直角三角形,且M=|耳闾,BP =2 c,可得2 =2,所以，c=V5,解得b=2,因此，双曲线的标准方程为d-2 i =i.c2=a2+b2 c =yJs 4故选：C.7.D【解析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率出；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率P乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率P内.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为g ,则此时连胜两盘的概率为外则 R p =g （1 -0）Pl 3+P 2 P l（1 -P 3）+；（1 -P3）PI P l+P 3P 1（1 一2 2）=P i（P/P 3）-2P P 2P 3；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为。乙，则 P乙=（1 一 P|）P2 P3+P 1 P 2Q-P 3）=P2（P l +P 3）-2 RP2 P3记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为P丙则 P丙=（1 -P l）P 3P2+P l。3（1 一。2）=2（P 1 +）一 2,。2 P i则外，一。乙=P l（0 +0 3）一 2P l p 2P3-泾（月 +0 3）一 2月22P3 =（月 一小）2 0P乙一 P内=P a（P i+P i）-2 P i P 2P 3-P i（P l +P 2）-2P|P 2 A =（P 2-A ）P.0即p,p乙 p乙 p丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，夕最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；。与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D8.D【解析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线丫=d的图象，根据直观即可判定点（。力）在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线y =e*上任取一点尸卜,一）,对 函 数y =e 求导得y =e*,所以，曲线y =，在点P处的切线方程为y e=e（xT）,即y =e x+（l r）e,由题意可知，点（4 b）在直线y =e x+（l-r）e 上，可得匕=a e+（l f）e=（a+l ，）/,令。=（a+lT）e,则/（r）=（aT）e .当时，f（r）0,此时函数/单调递增，当，。时，尸（。0,此时函数/单调递减，所以，（，由题意可知，直线y =与曲线y =/（r）的图象有两个交点，则8/（，）3=e ,当，0,当/“+i 时，/(r)0,作出函数/的图象如下图所示:由图可知，当0 0 e时，直线y=6与曲线y=/(r)的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线y=的图象如图所示，根据直观即可判定点(/)在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0 b ff-l,-sin/3),所以|AP1|=/(cosz-l)2+sin2 a=/cos2 cr-2cos6 4,Vl2+22 石 5所以，点P 到直线A 8的 距 离 的 最 小 值 为 辿-4 2,最 大 值 为 迪+4,FB E D,则匕=g-E S 入必,%=，B S.c=g g(2 af=|,连接 BD 交 AC 于点 M,连接 EM,FM,易得 8：C,又 EOJ_ 平面 ABC。，AC u 平面 ABC。，则 J_ A C,又 ED BD=D,ED,BD u 平面 BDEF,则 4(7_1_平面 BDEF,又 8M=M=g8O=/5a,过尸作尸GJ_QE于G,易得四边形BOGF为矩形，则 FG=BO=2亿,EG=a,则 EM=J(2q+(亿)=瓜a,FM=.+(岛)=瓜,EF=.+(2 j =3a,i3 BEM2+FM2=EF2，AiEMYFM,S EFM=-E M-FM=a2,AC=2缶，“M 2 2则匕=%YFM+Z-FM=gAC-S“=2 a 3,则 2K3 =3乂，匕=3%,匕=匕+、，故 A、B 错误；C、D 正确.故选：CD.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.6 6【解析】【解析】写出展开式的通项，令x 的指数为T,求出参数的值，代入通项后即可得解.【详解】卜+芋展开式的通项为J=C(x3 g)=铲，令3 6-4r=Y,可得r=1 0,因此，展开式中含 项的系数为C；?=66.X故答案为：66.314.x=-【解析】先用坐标表示凡。，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.【详解】抛物线C：y2=2px(P 0)的焦点:尸为C上一点,P F 与x 轴垂直,所以P的横坐标为与，代入抛物线方程求得尸的纵坐标为土p,不妨设P(5,p),因为。为X轴上一点，且尸。_ L O P,所以。在尸的右侧，又1尸。1=6,nmi n(2(6 +,0),.PQ=(6,p)因为PQLOP,所以pQ.o p=5 x 6-p2=0,Q p 0,/.p=3,3所以C的准线方程为x =3故答案为：x =-1.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.9 915.【解析】推导出为=-,求出G、生的值，可判断；利用反证法可判断；利用数列an an-单调性的定义可判断.【详解】由题意可知，V/2 G N-,%0,当月=1时,=9,可得。=3；9 9 9 9当之2时，由S=一 可得S“_ 1=,两式作差可得为=-,an an-l 4 an-9 9 9所以，=一久,贝i j -%=3,整理可得d+3/-9 =0,an-an a2因为 0,解得“=d区 曰 0,可得可 a,所以，数列%为递减数列，对;%4%假设对任意的e N*,则品）0 0 no 2 10 0 0 0 0 x =10 0 0,9 9 1所以，C onoc o 一 工 而 而，与假设矛盾，假设不成立，对.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题在推断的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.16.aW 10【解析】设8(X)=炉-办+3 a-5 ,/?()=可-2,分析可知函数g(x)至少有一个零点,可得出A NO,求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数”的不等式，综合可求得实数。的取值范围.【详解】设g(x)=f-依+3“-5 ,%(x)=W-2,由闪-2 =0可得x =2.要使得函数x)至少有3个零点，则函数g(x)至少有一个零点，贝必=-12 4 +2 0 2 0,解得4 2或 心10.当a=2时，g(x)=2 _ 2 x+l ,作出函数g(x)、M H的图象如下图所示：此时函数.f(x)只有两个零点，不合乎题意；当a 2时，设函数g(x)的两个零点分别为玉、x2(x,10 时，设函数g(x)的两个零点分别为七、七(W 2 ,可得,2 ,解得a 4,此时a 10.(2)=4+a-5 0综上所述，实数。的取值范围是 10,物).故答案为：10,”).【点睛】方法点睛：己知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共6小题，共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.(l)a=2 -6；(2)7.【解析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：$5=5/，则：4=5%，%=。，设等差数列的公差为，从而有：%4=(%-4)(4+)=-4 2，S4=4 +%+4+%=(4 -2 t/)+(a)-4)+%+(%+4)=一%,从而：-d?=-2 d,由于公差不为零，故：d=2,数列的通项公式为：q,=%+(-3”=2-6.(2)由数列的通项公式可得：=2-6 =-4,则：S“=x(-4)+X2=2-5,则不等式 E,4,即：n2-5 n 2 n-6,整理可得：(-1)(-6)0,解得：或 6,又为正整数，故的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.1 8.(1)答案见解析；(2)(i)证明见解析；(ii)R=6；【解析】(1)由所给数据结合公式求出正 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有9 9%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根 据(i)结合己知数据求R.(1)2 =n(a d-bc)。=2 0 0(4 0 x 9 0-6 0 x 1 0)2 =(。+b)(c +d)(a+c)(b+d)5 0 x 1 5 0 x 1 0 0 x 1 0 0又尸(Kb 6.6 3 5)=0.0 1,2 4 6,6 3 5,所以有9 9%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2),.皿 P(B I A)P(BA)_ P(AB)P(A)P(而)P(N)凶 9-P(BA)P(B A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)CCI1 1 P(AB)P(B)P(AB)P(月)n 以 A =P(B)P(AB)P(B)P(AB)吧生 迪国，P(AB)P(A|B)(i i)由已知P 所 款 尸 缶 画=篇.又 P(A一|B)=26 0 ，P(-A-B)9 0=91 0 0 1 0 0G r r I pP(A|8)P(A B)人P(A|B)P(AB)1 9.(1)s in C=；(2)t an N D 4 c 【解析】方 法 一：利用余弦定理求得人,利用正弦定理求得s in C.5 1 1(2)方法一：根据c os Z A D C的值,求得s in Z A Z J C的值，由(1)求得c os C的值，从而求得s in N D 4 C,c os N D 4 C的值，进而求得t an N Z M C的值.【详解】(1)方法一:正余弦定理综合法由余弦定理得/=2+c2-2accosB=9+2-2 x 3 x 0 x Y-=5,所以6=62由正弦定理得 一=-n s i n C =/*=亚.sinC sin B b 5 方法二【最优解】：几何法过点/作 A_L8C,垂足为 .在 Rt/XABE 中，由。=0,8=4 5?,可得 A=3E=1,又。=3,所以 EC=2.在 Rt.ACE 中,AC=yjAE2+EC2=V5-因此sinC=1 _ y/5=T(2)方法一：两角和的正弦公式法由于 cosZA)C=-g,NADC(5,万)，所以 sin ZADC=Jl-cos?/ADC=.由于4。八 仁,乃)，所以所以cosC=J l sir?C=竿.所以 sin ZZMC=sin(乃一 NZMC)=sin(ZAZX?+ZC)3?x/5(4 1 x 6 =2石=sin ZADC-cos C 4-cos ZADCsinC=-x -+5 5由于N D 4 C 4 0,1,所以 cos ZDAC=Jl-sin-A C =小叵25L il/八sin ZDAC 2所以 tan ADAC=-二cos ZDAC 11 方法二【最优解】：几何法+两角差的正切公式法,4,4在(1)的方法二的图中，由cosZADC=-一，可得cos/A)E=cos(-/AOC)=-cos/AZ)C=-,从而5 5sin ZDAE=cosZADE=-,ta n ZDAE=1 nzp.5 cosZDAfi 3又 由(1)可得 tanNEAC=2,所以 tanNQAC=tan(NE4C-NE4Z)=4c-1 3nze4p=2AE 1+tan Z.EAC-tan Z.EAD 11 方法三:几何法+正弦定理法在(1)的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=/.AR 厂 d在 RtA/4DE 中，AD=-=CE O E =.3在,.ACD中，由正弦定理可得s in A D A C =s in C=,A D 2 52由此可得t an N Z M C =方法四I：构造直角三角形法如图，作 A E L B C,垂足为E,作 QGLA C,垂足为点G.在（1）的方法二中可得AE =1,C E=2,AC =W.由 c o s Z ADC =,可得c o sZ.ADE=1,s i n Z A D E -/1-c o s2 Z.ADE=1.Ap 5 i-4 2在 MA A D E 中,A D =-=-,DE=ylAD2-A E2=-,CD=C E-D E =-.sin Z A D E 3 3 3由(1)知 s i n C =,所以在 R t Z C )G 中，D G =CDsinC=-,C G =y/CD2-D G2=-,从而5 15 15A G =A C-C G =-.15DG 2在 R t ADG 中，t a n X.DAG=.A G 112所以t a n/Z M C =H.【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得b =不，然后使用正弦定理求得s i n C；方法二：抓住45。角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得/C的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得ND 4 C的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有ND 4 c的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.巫 _20.（1）证明见解析；（2）3.【解析】（1）利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 得 平 面 PD C,利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得A 力乙从而得到/平 面 PD C；（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设 出 点 之 后 求 得 平面Q C D的法向量以及向量P B的坐标，求得卜os|的最大值，即为直线PB与平面QC。所成角的正弦值的最大值.【详解】(1)证明：在正方形ABC。中，AD/BC,因为4 9 a 平面PBC,B C u 平面PBC,所以AO平面P B C,又因为A Qu平面PA。，平面抬Qc平面P8C=/,所以4)/，因为在四棱锥P-A B C D中，底面A8C。是正方形，所以A。，C,_L DC,且 P)L 平面A B C D,所以 4D_LPD,，/_LPD,因为CD PD=D,所以/平面尸DC.(2)方法一【最优解】：通性通法因为P,ZM,OC两两垂直，建立空间直角坐标系。-个z,如图所示：因为 PD=A。=1,设 0(0,0,0),C(0,l,0),A(l,0,0),P(0,0,l),B(l,l,0),设 2(0,1),则有 0 c =(0,1,0),。=(见0,1),PB=(1,-1),设平面QCZ)的法向量为 =(x,y,z),D C n =0DQ.*=Qy=0/m+z=0即令x=l,则2=-，所以平面QC的一个法向量为“=(l,0,_ m),则cos =产 1 +0+加f3-Jm2+1根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PBr uir与平面Q C D所成角的正弦值等于I cos=11-W 27|73+1 3/1+2 2 +?2V 4+1=叵1 _ _ 4 立叵后=迈,当且仅当加=1时取等号，所以直线尸B与平面Q 8 所3 V m2+1 3 V w+1 3 3成角的正弦值的最大值为好.3 方法二:定义法如图2,因为/u平面P8C,Q e/,所以Q e 平面P8C.在平面尸 4中，过 P 点作尸尸，Q C,交。于 F,连接EF.因为P)_L平面A BCD O Cu平面A B C O,所以DC_LPD.又由。C_LAQ,AD P=E,Pu平面PAD,A O u平面上4。，所以。C_L平面PA。.又尸尸u平面2 4 0,所以。C J.P F.又由尸F_LQ2Qr =。=平面。,。l 时，e*-x =6 的解的个数、x-l nx =6 的解的个数均为2,构建新函数九(x)=e+l nx-2x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得 x),g(x)的大小关系，根据存在直线y =6与曲线y =x)、y =g(x)有三个不同的交点可得6 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【详解】(1)/(x)=e-“x 的定义域为R,而广(x)=e，一 a,若a 4 0,则。(功 0,此时/*)无最小值，故a 0.8(幻=6 1 1 1 的定义域为(0,+8),而 g(x)=a-g =V.当x l na时，fx)l na时，f(x)0 ,故/*)在(I na,物)上为增函数,故/(。而=/(l na)=a-al na.当0 x B时，g(x)0,故g(x)在 上 为 增 函 数，故 g(x)m in=g 目=l-l n-.3 a因为F(x)=e-ar 和 g(x)=ar-l nx 有相同的最小值，L-n-=a-a n a,整理得到=l n a,其中a 0,a +a.a-f/2 1 a?1设g(a)=-I na,a 0,则g()=-一 一 =-(0,l +(7(1 +。)a (l +a)故g 为(0,+8)上的减函数，而 g(l)=0 ,故g(“)=o 的唯一解为a=l，故品I na的解为。=1综上，l时，考虑e x=6的解的个数、x lnx=Z?的解的个数.TS(x)=ex-x-b,5,(x)=e-1,当x 0时，S(x)0时，S(x)0,故S(x)在(-8,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数，所以 S(x L=S(0)=l-b 0,s(b)=eh-2b,设(6)=e-力，其中6 1,则/=e一20,故在。依)上为增函数，故 “(l)=e-2 0,故S 0,故S(x)=O-x-6有两个不同的零点,即e*-x=b的解的个数为2.设T(x)=x-lnx-b,T,(x)=,当 0 xl 时，7(x)l 时，T(x)0,故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,一)上为增函数，所以 T(x L=T =1-6 0,T(e)=e一2%0,7(力=-1门-6有两个不同的零点即尸1门=6的解的个数为2.当b=l,由(1)讨论可得x lnx=b、e-x =6仅有一个解，当81.设 (x)=e*+ln x-2 x,其中 x 0,故(x)=e*+工-2,x设s(x)=e*x-1,%0,贝!|s(x)=e*-l0,故S(x)在(0,+8)上为增函数，故s(x)s(o)=o即e*x+l,所以/?(x)x +g-1 2 2-1 0,所以/?(x)在(0,+e)上为增函数，而版l)=e-2 0,/j(l-)=e7-3-4 e-3-4 0.故(x)。(0,+o。)上有且只有一个零点%,*%1且：当 0 x X。时，九(x)0 即 e*-x x -I n x 即/(x)x 0时，(可0即6*-%工一比天即/(x)g(x),因此若存在直线y =力 与曲线y =/(X)、y =g(X)有三个不同的交点,故。=，a)=g(%)i，此时e*-x =有两个不同的根XI,x Q1 O Xo),此时x-l n x=6有两个不同的根毛,兀(0 1 1,故1*-*4，即 玉+匕=2%.方法二:由知，f(x)=ex-x,g(x)=x-nx,且/(x)在(T O,0)上单调递减，在(0,物)上单调递增；g(x)在(0,1)上单调递减，在(l,+o o)上单调递增，且f Wui=g(x),i n=l.6 显然y =b与两条曲线y =f(x)和y =g(x)共有0个交点，不符合题意；b =l时,此 时“必 =弟 焉=1=6,故y =6与两条曲线y =f(x)和y =g。)共有2个交点,交点的横坐标分别为o和1 ；时，首先，证明y =6与曲线y =/(x)有2个交点，即证明 F(x)=/(X)-匕 有 2 个零点，F(X)=f(x)=e*-1,所以尸(X)在(-8,0)上单调递减，在(0,母)上单调递增，又因为 F(-6)=e0,尸(0)=1 6 0 ,(令1$)=廿-2b,则“b)=e _ 2 0,r(b)r(l)=e-2 0)所以F(x)=/(x)-b在(-8,0)上存在且只存在1个零点，设为不，在(0,田)上存在且只存在1个零点，设为x2.其次，证明y =b与曲线和y =g(x)有2个交点，即证明 G(x)=g(x)-6有 2 个零点，G，(x)=g，(x)=l，X所以G(x)(O,l)上单调递减，在(1,物)上单调递增，又因为 G(e-)=e 0,G(l)=l-Z?0,(令S)=0-l n 2 b,贝 1“(力=1-0,A()M D =l-l n 2 0)b所以G(x)=&(x)-6在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为X 3,在(1,内)上存在且只存在1个零点，设为打再次，证明存在6,使得=三：因为尸(xj =G(X3)=O,所以 b =*_%=弓 _ I n x,若大2=七，则-/=电-I n*,即 e -2受 +I n x?=0,所以只需证明炉-2 x+l n x=0在(0,1)上有解即可，即叭x)=e-2 x+I n x在(0,1)上有零点，因为奴二)=/-N-S vO,奴 l)=e-2 0,e e所以奴x)=e，-2 x+l n x在(0,1)上存在零点，取一零点为%,令 =x；,=玉)即可，此时取6=e&-x0则此时存在直线y=b,其与两条曲线y =/(X)和y =g(x)共有三个不同的交点，最后证明玉+%=2%,即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，因为 F(x,)=F(x,)=尸()=0=G )=G(X 0)=G(X4)所以 F(再)=G(%)=F(ln%),又因为尸(x)在(一00，。)上单调递减，玉 0,。1即I n/)上单调递增，%0 即6%1,再 1,所以又因为*-2X(,+lnx(,=0,所以芭+4=(?*+ln%=2.%,即直线y=匕与两条曲线y=fx)和 y=g(x)从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论,而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.