2023年广东省专升本《高等数学》考点大纲复习资料.pdf

专属教育考试复习专用考试参考习题一系统复习备考题库训练一习题强化考前模拟测试一模拟演练通关宝典梳理一真题体验技巧提升冲刺一技能技巧注：文本内容应以实际为准，下载前需仔细预览 助你一战成名2023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本 考点汇编第一章函数、极限、连续第 一 节 函 数考点1:判断函数是否为同一函数方法：定义域和对应法则都相同的函数为同一函数。1.下列函数/(X)与g(x)为同一函数的是(A./(x)=|x|,g(x)=xB.f(x)=x,g(x)=V?D./(x)=ln x g(x)=3 1 n x【答案】D【考点】函数的三要素：定义域、值域、解析式【解析】解：判断函数是否是同一函数，需要定义域与解析式一样，D选项定义域和解析式都一样，是同一函数。A选项解析式不一样。考点2：求函数定义域,x 0(1)具体函数求定义域2V x,x 0lo g“x,x 0ar cs in x,ar cco sx,-1 x 0,(X-3)(X+4)0,X(-O O,-4 U 3,+O O)2.设函数y =/(x)的定义域为-2,2,求函数4)的定义域.【答案】XG1,3【考点】考察函数的定义域。【解析】解：一 2 W 2 x 4 W 2,l考点3：函数的解析式、反函数的求法函数的解析式：配凑法，换元法反函数：解出x =e(y)1 .已知/(力=1 则/()=(XA.x 1 B.C.1 -X-1【答案】D【考点】求函数的解析式。【解析】解：/(x)=i一一!=1 一一-X2 .已知函数=，曰，求反函数/T(x)1 _ r2【答案】f-x)=-【考点】求解反函数。2L 3)-x D.-1-X;_ 1-1 1 -X第2页，共48页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本考点汇编【解 析】解一4公,人，方i-r，尸（）=1-x21 +/1 +x2考点4：函数的基本性质基本性质:单调性:利用导数判断奇偶性:7（x）,偶函数-/（X）,奇函数有界性,周 期 性（不常考）1 .函数x）=l+l n x在（0,e）内（）4严格单调递增且有界8.严格单调递减且有界C.严格单调递增且无界D严格单调递减且无界【答案】C【考点】函数的基本性质。【解析】解：/（x）=l+l n x在（0,e）内是单调递增函数，且无下界。2 .判断函数y =ln（x +J?7T）的奇偶性:【答案】奇函数【考点】函数的基本性质。3第3页，共48页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 料 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本 考点汇编第 二 节 极 限考点1：数列的极限如果当无限增大时，数列%无限趋近于确定的常数a,那么a就叫做数列 x“当一 8时的极限,记作lim x”=a 或X”一 a(一 8).1.根据题意填空：(1)数列i,L L L，其通项为.2 3 4 5 6【答案】x“=(1)in【考点】求数列的通项公式。【解析】解：通项为=(-1),n(2)设数列1,则数列的前项和S =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 4 8 1 6lim S =.“T O O【答案】见解析【考点】求数列的极限。(1 丫【解析】解：通项为乙=一丁3,=4=2 1-上 ，l i m S.=22 _ 1 1 1 2 J2、1 但皿”口,2 3+6 7 7 52.计算极限hm-T 8 3/7 +2/7 +12【答案】一34第4页，共48页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本 考点汇编【考点】求数列的极限。解析解：limT8 23f/33+6 2f2-5=lim32+1 T ,2 1m n考 点 2：函数的极限【总 结】计算极限的常用方法：有 7 种未定式：,0 0-0 0,0-O O,lZ,0 0 ,0i.求下列函数的极限（？，2型，又称基本型）方法有:0 00约去零因式法（此法适用于xf/,）;0 0z、00除以适当无穷大（适用于Xf 8）时，一）;分子或分母有理化（适用于带有根号的极限问题）:通 分（适用于00 8）；利用基本极限公式（适用于）：0等价无穷小替换；无穷小量的性质（无穷小无穷小=无穷小，无穷小有界量=无穷小）;利用夹逼原理（进行适当放缩）；取e法或取对数法（适用于广，0和8）；第5页，共48页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本洛必达法则(一,一).0 o o1.求下列极限a r c t a n x-x(1)h m-：-1 0 x考点汇编-sinx 八x(2)l i m-_:x s i n x【答案】见解析【考点】求函数的极限。【解析】解：_ 1 _ _ 1 1(1)l i marctan-x=加1 式 厂=l i 山I。x3 J。3x2 J。3x2 3e s i n x e*ex(esinxx(2)l i m -一二=l i m 一x s i n*x i o xs i n x-x c o s x-1 1=h m-=h m-；=X T Ox 3x 6考点3：无穷小的阶设 l i m a(x)=O,l i m (x)=0.(1)如果l i m 2 =0,就说乃是比a高阶的无穷小，记作夕=o(a),a(2)如果l i m 2 =8,就说/是比a低阶的无穷小.a(3)如果l i m 2 =cwO,就说仅是比a同阶无穷小.特别地，当c =l时,a即l i m 2 =l,此时称力与。是等价无穷小，记作a6.a1.当x -0时，下 列()是x的高阶无穷小量.A B V l +x-1 C.x s i n-D.1-c o s xx6第6页，共48页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本考点汇编【答案】D【考点】考察无穷小量。lx21 c o s x。【解析】解：l i m e=l i m 2 =0,可判断D正确。x-0 x x 0 x2.当x -0时，l n(c o s x)与 是 等 价 无 穷 小，则常数力=,常数上二.【答案】A=-,k=22【考点】考察无穷小量。-Lx2【解析】解：l i mlnCfX=l i mCSX1=-,k=2x-o Axk i o Axk Ax 2考点4：用极限解决参数问题(2X2+A1.已知l i m -ax-b=2,求常数。力 的值.-I X+l ,【答案】a =2,b =-4【考点】考察无穷小量。.(2x2+1 )F2x2+l-(x+l)(ax+b)解析解：l i m-ax-b=l i m -X +1 )x-8 x+1=l i m -2-x-+-1-b-x-a-x-h-=l i mt (4 x-2 ax-bt-a)=2,1 8 I X +l J 1 8a=2,a b=2,6 =47第7页，共48页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本考点汇编第 三 节 连 续考点1：函数的连续性判断函数在某一点是否连续遵循以下步骤：/(x)在点/处是否有定义；左右极限是否都存在；左右极限是否相等并且等于函数在这一点的值.1.若函数/(外卜1 +*尸，#在=0处连续，试确定。的值=0【答案】A=-,k=22【考点】考察无穷小量。3【解析】li m/(x)=li m(l+x)；欲/(X)在x =0处连续,必须使X TO X TOli m f(x)=/(O)故 a =/.x-0考点2：求函数的间断点及其类型第一类间断点(/(%)/(%+)存在)可去间断点：/)=/)：跳跃间断点：/(/-)=/(/+)：第二类间断点(/(%-)J(x 0+)至少有一个不存在)无穷间断点：li m/(x)=o o 或 li m/(x)=o ox-x0_1.设函数/(x)=|:7 则x =0是/(x)的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 间断点.矶 x【答案】跳跃8第8页，共48页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 料 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体验实战梳理复习广东专插本 考点汇编【考点】函数间断点类型的判断。【解析】解：li m /(x)=li m-T r =2,i i m /(x)=li m r =-2 左 右 极i。-1)，o x(x2-i)限都存在，但不相等。x =0是跳跃间断点。考 点3：求渐近线1 .水平渐近线如 果J im(/(x)=A,就称直线y =Z为曲线y =/(x)的水平渐近线.注：有时需要考察xf+8或x f-o o时的单侧水平渐近线.2 .垂直渐近线如 果li m /(x)=o o,就称直线x =x 0为曲线y =/(x)的斜渐近线.3 .斜渐近线如果曲线存在渐近线，且既不是水平渐近线，又不是垂直渐近线，就称之为斜渐近线.斜渐近线的求法。设直线y =o x +6(a w 0)是曲线y =/(x)的渐近线，则有li m /(x)-a x-Z)=0从而得到li m /(x)=q,li mf(x)-a x l=bXTQO X x-oo /y=a x+b为斜渐近线.1,求=+1 1 1(1+0)的渐近线。9第9页，共48页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 料 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体验实战梳理复习广东专插本 考点汇编【答案】见解析。【考点】求函数的渐近线。【解析】解：li m =o o,li m y =0,y =0 为水平渐近线：X T+o c X T-O 0li m y =8,x =0 为铅直渐近线；x-0y r J.ln（l +，）e，yh m =h m +li m -=li m-=1,X-X X X T 8 JT T 8 X X T B 1 +exli m （y-x）=li m +ln=*=0+0=0,y =x 为斜渐近线。X T+8 ，X T+a X e”考点4：零点定理 介值定理相关证明1.证明方程d 4/+1 =0 在区间（0）内至少有一根.【答案】见解析【考点】零点定理证明题。【解析】解：设/（%）=/-4/+1,/（0）=1,/0）=-2,由零点定理知，在区间（0,1）内至少有一点J 使得/（4）=0，即方程/-4 产+1 =0 在区间（0,1）内至少有一根.，即证。10第1 0页，共4 8页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本 考点汇编第二章一元函数微分学第一节导数的概念考 点1：导 数 的 定 义（记住两个公式），左导数、右导数/（/+）一/伍）小）=妈:或者/（%）=同犯二9取,百 X T.%X-Xo1./（X）在X =X o处可导，则/（毛）（）4 i n/（、。匕/（%+2力1 0 XC j i m /（/）/（/2AX）AIO 2 A x【答案】C【考点】导数的定义。R 加小。叫 /伉+”)D.1 1 1 T 1-2 0 2hD.li m Z f e W)A v-4 0 0A x【解析】解：/（%）=li m /上史，广义化后，C符合定义。X-XQ/（X。）存在o （%）和 （X。）都存在，且（x。）=，（x。）.考 点2：导数的几何意义，求斜率、切线方程相关问题1 .曲线歹=2 x+l n x在点（1,2）处的切线方程是.【答案】y =3x-【考点】求函数的切线。11第 11页，共 4 8 页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本考点汇编 解析解：y=2+-,k =y ）=3,y-2=3（x-i）,y=3x-.考 点 3：连续可导的关系函数在某一点可导，则函数在此点一定连续；函数在某一点连续则函数在此点不一定可导第二节函数的求导法则基本求导公式（1）（c =o （。为任意常数）;(2)(X)=XT,(4)，=*G=J.(3)(优)I n a ：(5)(l o gux/=J ；x m a(7)(s i nx)=cosx；(9)(t a n x)r=s e c2 x：(1 1)(s e c x)r=s e c x t a n x；(1 3)(a r cs i nx)=*；VT7(1 5)(a r ct a n x)=-7；+x(4)(ex)=ex；(6)(I n x)1=；x(8)(co s x)=-s i n x；(1 0)(co t xy =-cs c2x；(1 2)(e s c x)*=-e s c x co t x；(1 4)(a r cco s x)=F；(1 6)(a r cco t x)，=-.l +x-考 点 3：显函数求导、反函数 参数方程求导1.求 函 数旷=2/+4工 2-6、+4+7的导数12第1 2页，共4 8页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本考点汇编【答案】y-6x+8x-6 4-十，2y/x【考点】求函数的导数。【解析】解:=6x2+8x-6+12 x2.设 y=+2 x-l(x0),则 其 反 函 数 x=(p(y)在 歹=2()处导数是2【答案】B【考点】反函数求导数。【解析】解：y=2,则x2+2x-=2,x=)=12+23.求曲线X=t-Sint,rr八 、在，=一处的切线方程为y=a-cost)2【答案】y=ax【考点】参数方程确定的函数求导。【解析】解:fy=a sin/E,yx=-i,y =a2切 线 方 程：y-a13第13页，共4 8页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本考点汇编考点4：隐函数求导、对数求导法、塞指函数求导和高阶导数隐函数求导：方程两边同时对自变量求导：对数求导法：方程两边同时取对数，然后再求导；事指函数求导；取e法；或方程两边同时取对数，然后再求导；高阶导数：求出一阶、二阶、三阶导数，找规律总结.1.方程F+/-3孙=0所确定的隐函数y=y(x),求(隐 函 数 求 导)【答案】y =-2y-3x【考点】隐函数求导。【解析】解：方程两边同时对X求导，得，+2 9 -3歹 一 3 k=0,了=.2y-3x2.已知函数y=(cosx而 求 了.(塞指函数求导),/.sinxfl+sinx)【答案】y=(cosx)cos x In cosx-cosx【考点】幕指函数求导。【解析】解：方程两边同时对X求导，得(l+sinx)lncosx,(l+sin.v In cos A i sifl X Q+sif)X jy=e f 9y=e f cosx In cosx-cosx/、i+s in*i sinx(l+sinx)=(cos x)cos x In cos x-cosx3.设 y=2;则/)=.【答案】歹=2、(ln2)”.【考点】高阶导数。14第1 4页，共4 8页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本 考点汇编【解析】解：y=2X I n 2,y=2x(I n 2)2,n)=2v(I n 2)”.第三节函数的微分考 点1：微分1.微分计算公式(1)J(C)=0 (C为任意常数)；(2)d(x、=p-dx,dG=-j=dx,d =彳 dx ，14x x X2)(3)dax =ax xadx；(5)4/(l o g,x)=-dx；xxa(7)d(s i n x)=co s xt/r ；(9)d(t a n x)=s e c2 xdx；(1 1)d(s e cx)=s e cx t a n xdx；(4)d(e*)=exdx；(6)d(l n x)=dx；(8)d(co s x)=-s i n xf/x；(1 0)t/(co t x)=-cs c2 xdx；(1 2)d(cs cx)=-cs cxco t xi/x；(1 3)(a r cs i n x)=dx；l-x2(1 4)d(a r cco s x)=J -dx；(1 5)d(a r ct a nx)=.-不dx；2.复合函数微分(微分形式不变性)(1 6)d(a r cco t x)=2 dx.设函数歹=/()和“=0(x)都可导，则复合函数y =/(0(x)的微分为dy=(u)du或力.15第15页，共4 8页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 料 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本 考点汇编第四节中值定理考点1：罗尔定理、拉格朗日中值定理及推论1.罗尔定理设函数y =/（x）满足：（1）在闭区间 a,6 上连续：（2）在开区间（a,b）内可导；（3）/（a）=/（b）；那么，则 至 少 存 在 一 点 使 得/（9=0.2.拉格朗日定理设函数y =/（x）满足：（1）在 闭 区 间 上 连 续；（2）在开区间（a,6）内可导；那么，则至少存在一点ge（a,b）,使得/C）=4 S）二/（”）.b-a1 .下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有（）C.=x e x e 0,l D.y=x2-l,xe -l,l【答案】D【考点】罗尔定理的验证条件。【解析】解：y =f_l在11 上满足罗尔定理的三个条件。2 .函数/（x）=x JT在 0,3 上满足罗尔定理，则4二（）A.2 8.3 C.O D.1【答案】A【考点】罗尔定理的验证条件。4/(x/)、=x+1,x 5,xe r0,5 i B.y1,X D16第16页，共4 8页2/112 0 2 3 年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本考点汇编【解析】解:f x)=y/3-X-X2J3 X,(x)=0,得t=2.8.设0 a 1,证明不等式arctanb-arctana b-a2ab【答案】见解析。【考点】拉格朗日定理相关的证明题。【解析】解：证 明：设/、(x)=arctanx,故/.(X)满 足 拉 格 朗 日 定 理 条件,在(。力)上 至 少 存 在 一 点 多 使 得 =/=/)=-即arctan b-arctan ab-a.b-aarctan b-arctan a 0,则y=/(x)在 a,可 上单调增加;(a,b)内可导称为单调递增区间；(2)若在(a,b)内/(x)0,则y=/(x)在 可 上 单 调 减 少.(a,b)内可导称为单调递减区间；1 7第 1 7 页，共 4 8页2/1 12023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本考点汇编求函数极值的步骤：(1)求出导数/(X):(2)求驻点，即方程/(x)=0的根，并求使/(x)不存在的点；(3)检查/(x)在(2)中求出的点左右符号变化，对于/(x)存在但不等于零的驻点，还可由/(X)正负判定这些点是否极值点，是极大(小)值点；求函数最值的步骤如下：(1)求驻点与不可导的点；(2)求区间端点、驻点和不可导点处的函数值，比较这些值的大小，哪个值最大就是最大值，哪个值最小就是最小值.1 .下列函数在(0,+8)上单调减少的是()A.y=ex-B.y=4x-3x2C.y=a r c t a nx-x D.y=2sinx【答案】C【考点】函数导数的应用。1x2【解析】解：y=7-1 =-?0.1 +x2 1 +X22.求函数/(*)=4一22 +2的极值.【答窠】见解析【考点】极值的求法。【解析】r(x)=4x3-4x=4x(x2-l),令/(x)=0,得驻点再=0,x2=-l,x3=1 .f(x)-1 2 x2-4=4(3x2-1),第18页，共4 8页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 料 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体验实战梳理复习广东专插本 考点汇编r（o）=-4 o,所以由第二充分条件知，点士=0 为极大值点，极大值为/（0）=2；点匕=-1,再=1，为两个极小值点，极 小 值 为=考点2：拐点及凹凸区间及拐点凹凸区间：根据二阶导数符号判定：函数的拐点：若函数/（X）在点x =x 0左右邻近二阶导数存在且符号相反，则点（%,/（七）称为函数曲线/（x）的拐点.拐点存在的必要 条 件 若 点（x o，/（x。）称为函数曲线）（x）的拐点，则/（%）=0 或/（%）不存在；拐点存在的充分 条 件 若/（x）在点x =x 的左右邻域二阶导数存在且符号相反，则点（%,/（%）为曲线/（x）的拐点，若符号相同，则点。，/（%）不是拐点.1 .讨论下列函数图形的凹凸性：（1）y=ex;（2）y=x3+3x2+5;【答案】见解析。【考点】导数的应用。【解析】解:y=2xex,/=2（1 +2X2）Z 0;,所以y =e 在（-oo,+8）内是凹的.（2）y=3x2+6x;,y =6x +6=6（x +l）;.当 x l 时，y0 y”0;；当 x -l 时，/0,曲线为凹的；在（1,+8）内y”/x =/(x)+CJ#(x)=/(x)+C;j /(x)g(x)t/x=j/(x)t/rj g(x)6Z x;(4)Jkfxix=fx)dx(A为常数).3.不定积分基本公式 J()d x =C(C为常数)；(3)J =l n|x|+C(5)fexdx=ex+C(7)J c o s j Z x =s i n x +C(9)J t a n xdx=-I n|c o s x|+C(11)J c s c x t Z r=l n|c s c x-c o t x|+C(13)j e s c2 xdx=-c o t x +C(15)s e c x t a n xdx=s e c x +C(4)axdx=-a +CJ I n a(6)J s i n x c Z r=-c o s x +C(8)j s e c2 xdx=t a n x +C(10)j c o t xdx=I n|s i n x|+C(12)j s e c xdx=I n|s e c x +t a n x|+C(14)jcscxcotxdx=-c s c x +C(16)dx=a rc s i n x +CJ V l-x221第2 1页，共4 8页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本考点汇编(17)(-dx=a rc t a nx+C(18)-.-dx=a rc t a n+CJ 1 +x x+a a a(19)f ,1,dx=I n +C(20)f i ,dx=a rc s i n -+CJ-a 2a x+a J yla2-x2 a1.已知函数/(x)为可导函数，且尸(x)为/(x)的一个原函数，则下列关系式不成立的是()4 d J/(x)x =/(x)d x 8.(J/(x g y =/(x)C.jF(xy/x=F(x)+C D.=F(x)+C【答案】D【考点】不定积分的性质。【解析】解：J/(x W x =/(x)+C2.若/(力 的导函数是c o s x,则/(x)有一个原函数为()A.1 +s i n x B.1 -s i n x C.1 +c o s x D.1 -c o s x【答案】D【考点】导函数与原函数之间的关系。【解析】解：/(x)=s i n x 为c o s#J 一个原函数J/(x)=-c o s x +C.C =13.求不定积分(4公.【答案】见解析【考点】求不定积分。【解析】解：原式=)(/e)心:一;22第2 2页，共4 8页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本考点汇编考点2：不定积分的第一换元法(凑微分法)核心思想：配对，目的主要在被积函数中找到e(x)与0(x)【答案】见解析。【考点】第一换元法求不定积分。【解析】解：2x 1。小、+ljc/x=e+x +C2.J t a n3 xdx【答案】见解析。【考点】第一换元法求不定积分。【解析】解：j t a n3 xdx=2 1=j(s e c2 x-l j t a n xdx,令 =s e c x,J (s e c2 x-1 j t a n xdx=J-du=一=一1 叩/|+(?,代 回 _ I n 川+-4-C,2 2-l n|w|+-+C =-l n|s e c x|+s e X+C.3.1 s i n4 xdx【答案】见解析。【考点】第一换元法求不定积分。【解析】解：23第2 3页，共4 8页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本考点汇编1 -c o s 2x2)dx=11(1-2c o s 2x+c o s2 2xyx=-J(l-2c o s 2x+c o s22x)t Z r=-(x-s i n 2x)+J c o s?2xdx1 i.、rl+c o s 4x,1 ,.、1 s i n 4x =(x-s i n 2x)+J-ax=(x -s i n 2x)+x+F C考 点3：不定积分的第二换元法（主要是三角换元：c o s2x =l-s i n2x s e c2x-t a n2 x =l ；根式换元）【答案】见解析。【考点】第二换元法求不定积分。【解析】解：/4-4c o s-t ,-;-dt4 c o s t令x =2c o s W x =-2s i n m 与晨=J【答案】见解析。【考点】第二换元法求不定积分。【解析】解：.r qX 9令 x =3 s e c 公=3 s e c Z t a n tdt,-axJ x=3 f -s e c t t a n tdt=3 f t a n2 tdt=3J s e c f JJ (s e c2/-1=3 t a n r -3/+C24第24页，共4 8页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本 考点汇编/3=lx2-9 -3arccos+Cxrl,3.dxJ 5/W【答案】见解析。【考点】第二换元法求不定积分。【解析】解：令 x=2tan/,6/r=2sec2 tdt,f-/1 ；dx=J=J sec tdt=In|secz+tanz|+CV r 人 -x Jx2+4=In +-+C2 24.J J2x+1【答案】见解析。【考点】第二换元法求不定积分。【解析】解：J V2x+11 r 2,x+6 1 r 2x+1 +5,1 2,2x+l 2缶+1 A 2 J=；J J2x+c/x+(2x+l)dx=；考点4：不定积分的分部积分法(反、2x+l.1(1 5./tZ xT 1 ,dxg x +1 2J a+13 5 1-(2x+1 户 +(2x+1 尸 +C对、悬、指、三；不要忘方程)第25页，共4 8页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本考点汇编设=u(x),v=v(x)是可微函数，且或“(x)v(x)有原函数，则有分部积分公式:|“(%)/(x)rZr=(x)v(x)-j v(x)-u(x)dx或1.求 j xexdx【答案】见解析。Jwt/v=MV-|vdu.【考点】分部积分法求不定积分。【解析】解：j xe dx-1 xdey=-xex-J exdx)=-xex-ex+C2.求，ex sin xdx【答案】见解析。【考点】分部积分法求不定积分。解析 解：原式=f sin xdex=ex sin x-f ex cos xdx=ex sin x-f cos xde=ex sin x-ex cos x+Jexd cos x=ex(sin x-cos x)-J ex sin xdx.所以，Jex sin xdx=e(sin x-cosx)+C.第二节定积分考 点1：定积分的定义1.定积分的值与哪些因素无关()4积分变量 A被积函数。.积分上限。.积分下限【答案】A2 6第2 6页，共4 8页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本 考点汇编【考点】定积分的定义。【解析】解：定积分的数值与积分变量无关。2.已知/(x)在 区 间 可上可积,则 为)(#=-【答案】/(X)【考点】定积分的性质。【解析】解：*j：f(x)dx=f(x)考点2：定积分的几何意义(1)设/(x)0,则/(工 协 的值等于/(x),x =a,x =b,x 轴所围成曲边梯形的面积.(2)设/(x)0)；1 2【答案】(I)3(2)-7ta4【考点】定积分的几何意义。【解析】解：通过画图计算面积即可。考点3：定积分存在的充分条件1.下列说法正确的是()27第2 7页，共4 8页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本考点汇编4若/(x)在 a,可连续，则 公 一 定 存 在；8.若/(x)在 a,可可导，则公 不一定存在；C.若公 存在，则/(x)在 a,b上一定连续：D若J (x)公 存在，则/(x)在 a,b上一定可导.【答案】A【考点】定积分的性质。【解析】解：函数在区间上连续，则定积分一定是存在的。考点4：定积分的性质设/(x)，g(x)可积，定积分具有以下主要性质：性质 1 土g(x)拉=f/(x 论士 J：g(x)公-即函数线性运算的定积分等于它们的定积分的线性运算.同时,这个性质也适用于有限多个函数线性运算的情形.性质2 如 公=4：/a)dx.(左为常数).即被积函数的常数因子可以提到积分号前面.性质3无论a,b,c三点的相对位置如何，恒有，f/(X)2 J：/(x)公+J：/(x)dx.这表明定积分具有区间可加性.1 .求定积分J J x|c Z r.【答案】见解析【考点】定积分的性质。2 2 I 勺 解析原式=J (x)dx +J。x dx =1 2|+|o =5+2=.28第2 8页，共4 8页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本2.求定积分 J。J+cos2xdx.【答案】见解析【考点】定积分的性质。【解析】原式=J V 2 COS2 xdx=|c o s x|t/x =考点汇编(|、=A/2 s i nx J-s i nx =/2(l-0-0 +l)=2 性 质4若在区间 凡可上，/(x)2 0,则公2 0.推 论1推 论2若在区间 a,b 上,/(x)Kg(x),则 J /(x)i/r cosxx l 1h m-=l i m-z =l i m -=zo x 30 3x 1 3x 6考 点6：定积分的计算1 .牛顿-莱布尼茨公式设函数”X）在可上连 续,产（X）为/（X）在 a,b 上的一个原函数,则1/卜 协=尸（切：=尸（6）尸（4）.2 .换元积分法如果/（x）为 a,可 上 的连续函数，x =o）满足下列条件：（1）（p（a）=a,（p（P）=b;x =在 a,闭（或 夕,a）有连续导数,尹 的值域 c a,b,则J：/（x W x=J：7 次）切（。力.3.分部积分法J udv=uvu-J vdu.1.计算定积分：（一+二dx【答案】-530第 3 0 页，共 4 8 页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本考点汇编【考点】定积分的计算。【解析】解：【答案】3【考点】定积分的计算。【解析】解：令12x+l=t,x=(Z2 l),tr=tdtj x=0,f=l,x=4,f=3 则原定积分=d j)+2 团 4 X +2,ax J2x+12 3 1 3 3 I-+-X/=(-r+-0|3I考点7：偶函数与奇函数在对称区间上的定积分设函数/(x)在卜。,可上连续，则“OJ(x)为奇函数：=2 j(x g J(x)为偶函数1.产 泌 公=【答案】0【考点】定积分的计算。【解析】为奇函数，奇函数在对称区间上的定积分为0.31第 3 1 页，共 4 8 页2/112 0 2 3年广东省专升本 高 等 数学 知识点考点大纲复习 资 料精研考纲料纳核心题海训练归纳总结体 验实战梳理复习广东专插本 考点汇编第三节广义积分和定积分应用考点1 :广义积分的概念和计算 f(x)dx=li m1/(x)d x;J a bffJ a f(x)dx=l i m f f(x)dx;J-oo a oo J a HJOf 0 r+aoJ f(x)dx=f(x)dx+J。f(x)dx.1.求 j xe dx.【答案】-2【考点】广义积分的计算。【解析】原式=l i m xex dx=-l i m e x d(-x?)=-l i m (eh-1)=.bT+ooJ。ZB T EJO /2 1 I|30 /2考点2：定积分的应用求 面 积：函 数y =/(x)在 区 间%可 上 的 定 积 分 的 数 值 等 于 由 函 数y =/(X),X =q,x =6和x轴所围成的平面区域D的面积的代数和.求旋转体体积：1.由连续曲线歹=/(x)与直线x =a,x =6(a Z)和x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为匕=勺：/2(丫)公2 .由连续曲线x =/(y)与直线y =c,y =d(c x 0,x2+y2 x 0,x2+y2 /(x,y)=x2+5.考点2：多元函数的极限l i m/(x,y)=4 或 l i m f(x,y)=A方法：转化成一元函数求极限。X1.讨论l i m 1 +1-丫”.(a r O常数)34第 3 4 页，共 4 8 页2/112023年广东省专升本 高等数学知识点考点大纲复习资料精 研 考 纲 内 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习广东专插本考点汇编I【答案】e【考点】多元函数的极限。【解析】解：原式=l i mX T XJ T。1+rxy)w(x+.v)而l i mXT8y-axy j又l i mx 00y-axy(x+y)=l i mX f 8J T y 1 +k x)1 +1 )令，=x