2023年新高考数学创新题型微01 函数与导数（数学文化）（解析版）.pdf

专 题 0 1 函数与导数(数学文化)一、单选题1.(2022春辽宁沈阳高二校联考期末)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔(L.E.J.Brouwer),简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数”外存在一个点陶，使得/(x0)=x0,那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的 是()A.f(x)=2x+x B.f(x)=x2-x+3【答案】C【分析】根据题意逐个解方程判断即可【详解】解：对于A,由x)=x,得2、+x=x,即2=0,方程无解，所以A不符合题意，对于B,由x)=x,得/_ x +3=x，即/+3 =0,方程无解，所以B不符合题意，对于C,由/(x)=x,得当x V l时，2x2-l=x,即2X2-X-1=0,解得x=l或=-；，所以此函数为“不动点函数”，所以C正确，对于D,由/(x)=x,W-+2x=x,B P x2+l=0,方程无解，所 以D不符合题意，X故选：C2.(2023高一单元测试)上高中的小黑为弟弟解答 九章算术中的一个题目：今有田，广15步，纵16步，此田面积有多少亩？翻译为：一块田地，宽15步，长16步，则这块田有多少亩？小黑忘记了亩与平方步之间的换算关系，只记得一亩约在200250平方步之间，则这块田地的亩数是()3A.v B.1 C.-D.222【答案】B-24 6【分析】先求出总的面积为240(平方步)，再转化为亩数为之间，对照四个选项，即可得到正确答案.【详解】总的面积为15*16=240(平方步).240 2401 F 24 6因为亩约在200250平方步之间，所 以 转 化 为 亩 数 为 之 间，即 之间，对照四个选项,只有B 正确.故选：B3.（2021秋高一课时练习）圆的内接正方形的边长与圆的半径的比例称为白银比例，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例 .山西应县释迦塔（即著名的应县木塔），是中国现存较为古老的木构塔式建筑.该木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比与白银比例高度吻合.已知木塔顶层檐柱柱头以下部分的高度为46.83米，则应县木塔的总高度大约是（）（参考数据：V2.1,414）B.63.23米D.70.50 米A.60.22 米C.66.22 米【答案】C【分析】由题意，木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比为 夜，又1.4（收/2r 易知白银比例为因为46x1.4=64.40,47x1.5=70.50,所以64.40 46.83x0 4 8 ,W W x|+yl og23 3.3 ,故该果树的高度超过4.8 m,至少需要4年.故选：B.7.（2 0 2 1秋江苏南通高三统考阶段练习）开普勒”K e p/”,1 5 7 1 1 6 3 0）,德国天文学家、数学家，他发现了八大行星与海王星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比，已知天王星离太阳的平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为1 0 7 5 3 4,则天王星的公转时间约为（）A.3 8 0 2 B.3 0 4 0 9/C.6 0 8 1 8/D.9 1 2 2 8【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为7和F.距离太阳的平均距离为r和/,根据,厂=2/,结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T,距离太阳的平均距离为，土星的公转时间为F，距离太阳的平均距离为，由题意知：r =1r,F=1 0 7 5 3 4,所以g=8,V-r3”所以 T =2 7 2 F =2y2x 0 7 5 3 1 0 7 5 3 x 2.8 2 8 =3 0 4 0 9.4 8 4。，故选：B.8.（2 0 2 1秋广东东莞高一校考阶段练习）中国古代十进制的算筹计数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹计数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出：十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出.如773 8可用算筹表示1 2 3 4 5 6 7 8 9纵式 I II III Illi Hill T K横 式 _=三三三 X X1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则图片n=fBi表示的结果和下列相同的是（）A.3 4B.3%的 C.812 D.2 l o g,26【答案】B【分析】根据题意，判断出 表示的数字，然后考察各选项计算后的值是否符合.【详解】根据题意，判断出7=四表示的数字为72 9,3 =81，不符合题意；3 脸64=3 =72 9,符合题意：8尸个位数字为1，不符合题意；2 1 0 g?2,=2 x 6=1 2 ,不符合题意.故选：B9.（2 0 2 2 秋辽宁朝阳高一建平县实验中学校考期中）中文“函 数（f u n ct i o n）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,下列四组函数，表示同一函数的是（）A./(x)=l,g(x)=x C./(x)=|x|与 g(x)=-x,x,+2 0 1 gF-2 0 1 gZ）-2 0 l gF =2 0 1 g+2 0 1 g,W J 2 0 1 g =1 8-2 0 l g2 1 2 ,即D F DD l g 0.6 l g4,从而0=4。，即传输距离增加了约3倍，故选：C.1 5.（2 0 2 2 辽宁抚顺市第二中学校联考三模）一热水放在常温环境下经过f分钟后的温度7将合公式：T-T=（T.-T,y其中刀是环境温度，又为热水的初始温度，人称为半衰期.一杯8 5 P的热水，放置在2 5笛的房间中，如果热水降温到55。（2,需 要1 0分钟，则一杯1 0 0%：的热水放置在2 5七的房间中，欲降温到55。大约需要多少分钟？（）（l g2 0.30 1 0,l g3 0.4 771）A.1 1.3 B.1 3.2 C.1 5.6 D,1 7.1【答案】B【分析】依题意求出半衰 期 人 再把的值代入利用换底公式计算，即可求出结果.【详解】解：根据题意，55-2 5=（芋（85-2 5）,即（1=g，解得 =1 0,.55-2 5=(gjo(1 0 0 -2 5)，即出 =!，所以=1U 72 l g5 2 l g2-l2 x 0.30 1 0-1-0.30 1 0 1.32 2所以以1 3.2；故选：B1 6.（2 0 2 2春安徽宣城高二安徽省宣城中学统考期末）我国古代数学典籍 九章算术第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半,问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1 0尺，则 在 第（）天墙才能被打穿？A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【分析】设需要天时间才能打穿，结合题设列不等式并整理得2 -2-9 2 0,令/()=2 -最2-9,利用函数零点存在性定理及函数单调性即可求出结果.2_1【详解】解：设需要天时间才能打穿，则 丁；+-1 0,2-1 1-22化简并整理得2-如-9 之0,2?2令/5)=2-域-9,则 3)=2 3-5-9 0,又“，”在口,+8)单调递增，.”在(3,4)内存在一个零点，.至少需要4 天时间才能打通.故选：B.17.(2022 陕西渭南统考一模)中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=b g 2(l+三).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽沙、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N 的大小.其中 三 叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽少，而将信噪比捻从1000提升至6 0 0 0,则C 的增长率为()N(lg 2 0.3010,lg30.4771)A.10%B.16%C.26%D.33%【答案】C【分析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得：【详解】解：当旦=1000时，C,log,1000,N9当 二 6000 时，C,二 log,6000,N.C2 _ iriog2 6000 _ lg6000_ 3+Ig2+lg3 3+0.3010+0.4771*1 2 6*-q-lo g2 1000 _ IglOOO-3 x 3 注.,C 的增长率约为26%.故选：C18.（2022高一课时练习）数学家欧拉曾得到这样的结论：小于数字x 的素数个数可以表示为无（切=六.根据欧拉得出的结论，可估计10,以内的素数的个数为（）（注：素数即质数，lge=0.4343）A.2172 B.4343 C.869 D.8686【答案】D【分析】根据所给函数代入，化简求值即可.【详解】=-=2xl04xlge*2xl04 x 0.4343=8686.InlO5 51nl0 InlO故选：D19.（2022全国高三专题练习）中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出.如7738可 用 算筹表示为_ 口 =纵式：Il HI m i m u T n1横式：一=三三三_L旦x1 2 3 4 56 7 8 91-9这 9 个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则3幅“的运算结果可用算筹表示为（）a-I I =I I I b-=L|=c-W=T D-T=W【答案】D【分析】利用对指数运算算出3晦6 4的结果，再对照题中数码即可得到结果.【详解】因为3喧64=3*=36=7 2 9,对照题中数码，注意纵式与横式，即可得到答案D.故选：D.20.（2022秋河北邢台 高一邢台一中校考阶段练习）17世纪，苏格兰数学加皮纳尔在研究天文学过程中，为了简化大数运算，发明了对数，对数的思想方法即把乘方、乘法运算转化为乘法、加法运算，从而简化运算过程.数学家拉普朗斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价”给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙已知电2 0.3010,则2血所在的区间为（）A.(1 0l 0,1 05 0)B.(1 O2 9,1 O3 0)C.(1 O3 O,1 O3 1)D.(1 03 l,1 03 2)【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合已知数据、对数的运算公式进行求解即可.【详解】设2 1 =/=怆2 必=炮/=炮/=1 00吆2=尼/*3 0.1=，=1 0如，故选：C2 1.（2 02 2 秋 北京海淀高三北大附中校考阶段练习）成书于约两千多年前的我国古代数学典籍 九章算术中记载了通过加减消元求解元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极高的算法.按照这种算法，求解元一次方程组大约需要对实系数进行C-3 （C为给定常数）次计算.1 9 4 9年，经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”（该工作后来获得1 9 7 3 年诺贝尔经济学奖），利用当时的计算机求解一个4 2 元一次方程组，花了约5 6 机时.事实上，他的原始模型包含5 00个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于（）A.1（）3 机时 B.1（）4 机时 C.1 0$机时 D.1 0。机时【答案】C【分析】设 1 机时能进行。次计算，由题意得。4 2,=5 6%设所需机时为,，得出C-5 00晨 口,两式相比，可得t 鬻x 5 6，化间计算可得答案.【详解】设 1 机时能进行a次计算，则由题意得C-4 2 3 =5 6，原始模型包含5 00个未知数，如果不进行化筒，设所需机时为f,则 C-5 00 xta，故C=5 0,x 5 6 =5 J 2 ,=1250*05 5 s o.9 4 x 1 0，,4 23 33 X 72 1 3 2 3故结果最接近于I O,机时，故选:C2 2.（2 02 1 秋陕西渭南高一统考期中）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是刀（）,空气的温度是4（）,经过f分钟后物体的温度T （C）可由公式7=4 +口-公 屋 矽求得把温度是90%：的物体，放在1 0。3 的空气中冷却，分钟后，物体的温度是5 0。（2,那么f的值约等于（参考数据：ln3 1.1 0,In 2 0.6 9）（）A.1.76 B.2.76 C.2.98 D.4.40【答案】B【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果.【详解】由题可知：（=90,7；=1 0,7=5 0,代入方程 7=4+(_ 4)e-2 S,得：5 0=1 0+(90-1 0)e-2 S,即e42 =_ l,两边取对数得：-0.2 5 z =ln1 =-ln2,2 2而 In 2 a 0.6 9,故-0.2 5/-0.6 9 解得：小 2.76.故选：B2 3.(2 02 1 秋陕西榆林高一陕西省神木中学校考阶段练习)中国清朝数学家李善兰在1 85 9年翻译 代数学中 首 次 将 译 做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数已知集合加=-1,1,2,4,7=1,2,4,1 6 ,给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到N的函数的是()A.y=2x B.y=x+2C.y=2 D.y x2 I【答案】C【分析】对 ABD 利用特殊值即可判断；对 C利用函数的定义逐一验证即可.【详解】对于A,当x=-l时，y=-2iN,故 A错误；对于B,当x =l时，歹=1 +2 =3 e N,故 B错误；对于C,当x=-l时，y=k=2 e N ,当x =l 时，y=2h l=2 e N ,当x =2 时，y=22=4 e N ,当x =4时，y =2 椅=1 6 eM,即任取xe M,总有卜=2 W%，故 C正确；对于D 中，当x=-l时，y =(-1)2-1 =0 e N,故 D 错误.故选：C.2 4.(2 02 1 秋 江苏扬州高三校考期中)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.在数学的学习和研究中我们常用函数的图象来研究函数的性质，X，3 x也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.函数/(X)=|、川的部分图象大致为()In e -e答.【详解】由x)=x3-3 x /sI n Q e-，产l e-e-、快0 且|e-e-、快1 ,当|e、-e f|=O 时，x=0,当 时,V5+1x =In-，2于是得函数/(X)的定义域为(-0 0,111 1)匚,0)5 0,In21),+,结合定义域及图象，选项A,D不正确；当 0 x l n l 里 时，e-e-、单调递增，则 0 e、-e-、正 里-一 一=1,BP In|er-e-x|0,而2 2 V5+1x3-3x=x(x2-3)0,显然选项C不正确，选项B 满足.故选：B25.(20 23 全国高三专题练习)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”：设xeR,用表示不超过x的最大整数，则了=幻称为高斯函数，也称取整函数，例如：-3.7=-4,2.3=2.已知/*）=一一-则函数了 =/（创 的值域为（）e+1 2A.0B.-1,0C.-2,-1,0 D.-1,0,1【答案】B【分析】利用常数分离法将原函数解析式化为/（）=-，+；,然后分析函数/（x）的值域，再根据高斯函数的含义确定=/（力 的值域.【详解】/=!-1 =-1 -1-2 2 ev+lI 1 C e+l l,-1 ;-0,e+11111-2 2，+1 2/(x)0,0/(x)0(e,T=lim L=lim e*=e =l，则 哂 ifD i x-o f x 1A.0C.1D.2XB-7)【答案】B【分析】【详解】判定当X f 1时，理 B 的极限即为:型，再利用给定法则计算即可得解.x2-l 0显然，当X f 1时，孚Y In 2Y 的极限即为0，型，X2-0g、i x2lnx所以：哂目=物(x2 Inx)x2-=limX-12xnx+x.(1-=lim In x+2xX T llnl+L -22 2故选：B27.（2022秋河南驻马店高一校考期中）意大利画家达 芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题“，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为coshx=士;，相应的双曲正弦函数的表达式为sinhx=交 土.设函数2 2y(x)=2 学，若实数m 满足不等式/(2?+3)+-加2)0,则m 的取值范围为()cosh xA.(-1,3)B.(-3,1)C.(-3,3)D.(-a?,-3)1,+oo)【答案】A【分析】由题可判断/(x)为奇函数，且在R 上为增函数，所以不等式化为/(2 冽+3)/()，利用单调性即可求解.【详解】由题意可知，/()=J 的 定 义域为R,.(3=三5=一切，/(为奇函数，、pX -X 2x _ 1 2/、2v/(x)=-=-=1 -，且g(x)=F 7在 R 上为减函数,e*+eT e2x+e2 x+1 v 7 e2 x+2.由复合函数的单调性可知/(x)=l3 在R 上为增函数./(2加+3)+/(-/)0 ,./(2加 +3)/(),/.m2-2m 3 0,-1 A W 0,且 有 且 仅 有 3 个不同的零点，则实数。的取值范围是()A.(2,3 B.2,3)C.(3,4 D.3,4)【答案】D【分析】将函数的零点问题转化为V=10&X的图象与函数 =1-的图象有且仅有3 个交点的问题，根据高斯函数的定义，求出V=1-*的解析式，作出其图象，数形结合即可得参数的取值范围.【详解】函数N=x-l+log.x有且仅有3 个零点，即 的 图 象 与 函 数 y=1 -的图象有且仅有3 个交点.而 y =l-x =l+x -x=l-x,O x l2 -x,1 x 23-x,2 x 3 ,4-x,3 x 4画出函数、=1 -任 的图象,易知当0。1时，J=1 0 gHX与y =l-x 的图象最多有1个交点，故a l,作出函数y=k g,x的大致图象，结合题意可得l o g”3 1,解得：3a l所以实数。的取值范围是 3,4),2 9.(2 0 2 2 全国高三专题练习)十八世纪，数学家泰勒发现了公式尸-7 2-1s in x =x-+-+-其中“EN=X CR,若3!5!7!(2/-1)!鼻2&4 鼻6 鼻2-27 =1-百+7?一”+(T尸 石 一+，下列选项中与T的值最接近的是()2!4!6!(2/1-2)!A.-c o s 8 0【答案】AB.-s in 8 C.-c o s l 8 0D.-s in 1 8【分析】已知式两边同时求导，然后令x =3代入，并结合角的变换，诱导公式变形可得.户 丫5 7【详解】因为s i n x =x +-L+(I)”“3!5!7!/T(2/7-1)!+y-2 y4 V-6 2 2所以 c o s x=i-二 +土一二+-+(-i r +,2!4!6!-2)!32 3，3 2 n-2令x =3得c o s 3=l-5+疝-&+(-1式访而+.,540 一B|J T=c o s 3=c o s(-)c o s 1 7 2 =-c o s 8 .71故 选:A.30.（2022秋江苏镇江高三江苏省丹阳高级中学校联考阶段练习）意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年，雅各布 伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰 伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的X X数学表达式为双曲余弦型函数：x）=ac o sh =a 巴 亘（e 为自然对数的底数）.当。=2时，记p=/（-2）,“，a 2用=/（；）,=/（1）则p,m,”的大小关系为（）A.加B.n tn p pm 0,即函数/（X）在区间（0,”）上单调递增因为/（2）=/（2）,又所以即，0时;令/(x)=0,则2-2-(2-2)2-2k rr-rr rrs i n6x =0,得x =(Zw N),则当x 0时，函数的第一个零点为x =-,当0%0,6 6 6-2*0,所以/(x)0时，令/(x)=0,则co s 6x =0,得x =A+等/6 N),所以当x 0时，函数的第一个零点为x =2，当0 x 0,卜*-2一|0,所以,f(x)0,所以符合题意，对于D,因为/(-)=s i n(-6x)_ -s i n6x _ s i n6x1-X-2X 2X-2 X-|2x-2-x|*所以/(x)是奇函数，所以不合题意,故选：C32.（2022秋 福建厦门高三厦门双十中学校考期中）纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617）,而最大的贡献是对数的发明，著 有 奇妙的对数定律说明书，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是工（）,空 气 的 温 度 是 （）,经过f 分钟后物体的温度T（。0 可由公式f=4 log3（7J-4）-log3（T-4）得出；现有一杯温度为7（TC的温水，放在空气温度为零下10。（3的冷藏室中,则当水温下降到10。（2时，经过的时间约为（）参考数据：lg2a0.301,lg30.477.A.3.048 分钟 B.4.048 分钟 C.5.048 分钟 D.6.048 分钟【答案】C【分析】先将己知数据代入公式，再用对数运算性质得到 l o g 4,用换底公式将3 为底的对数换成10为底的对数，代入已知对数值计算即可.【详解】依题意，（=70,4=7 0，7=1 0,代入公式得：t=4 log,（7；）-logs（7-）=4（log3 80-log.,20）故选：C.33.（2022秋江苏南京高一江苏省高淳高级中学校考阶段练习）点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰 减 量 与 传 播 距 离，,（单位：米）的关系视为A i =101gV （单位：dB）,取lg5=0.7,则厂从5 米变化到80米时，衰减量的增加值约为（）A.18dBB.20dBC.24dBD.27dB【答案】C【分析】将，=5,8 0,分别代入方程，变化量就是它们之差.【详解】当r=5 时,AZ,=101g,当r=80时,A2=10lgl600n,25兀则 衰 减 量 的 增 加 值 约 为-=101gl600TT-101g=801g2=80（lgl0-lg5）80 x（l-0.7）=24.故选：C二、多选题34.（2022 全国高三专题练习）17世纪初，约翰 纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为1 7 世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数N可以表示成 =。、1 0 （1 4。1 0,2）的形式，两边取常用对数，则有l g N =+l g“，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有（）真数X23456789101 g X （近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000真数X1112131415161718191 g X （近似值）1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279A.在区间0 0 ,1 0 )内B.2 是 1 5 位数C.2-5 0=a x 1 0m(l a 1 0,w e Z),则掰=-1 6D.若/2(/e N*)是一个3 5 位正整数，则?=1 2【答案】A C D【分析】根据对数运算法则对选项一一判断即可.【详解】对 A，令x =3%l g x =l g 3 =1 0 1 g 3 =4.7 7所以x =1 04 0()4,1 0 5),人正确；对 B,令 =2$。，l g y =l g 25 O=5 0 1 g 2 =1 5.0 5所以y =1 0 6 睦 0 0 匕 0),则2 5。是 1 6 位数，B错；对 C,令z =2-。,l g z =l g 2-s o=-5 O l g 2 =-1 5.0 5乂因为2 =a x l 0”(l V a 1 0,w e Z),所以 1 0 皿 5 =1 0”则 10-15.05-.,所以机=T 6,C 正确；对 D ,令=，反4=g 产=3 2 1 g m ,因为产(加e N*)是一个3 5 位正整数，所以3 4 3 2 1 g 在 3 5,则3 4 会3 5即 1.0 6 3 1 g 加 1.0 9 4,所以m=1 2,D正确;故选：A C D35.(2021秋重庆沙坪坝高三重庆南开中学校考阶段练习)悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形，在工程中(如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆)有广泛的应用.当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直 到 1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推/X _x 导出悬链线的方程y=：e7+e,其中c 为参数.当c=l 时，我们可构造出双曲函数：双曲正弦函数sinh(x)=f 和双曲余弦函数cosh(x)=.关于双曲函数，下列结论正确的是()A.sinh(-x)=-sinh(x)B.(cosh(x)r=-sinh(x)C.cosh(-l)cosh(2)D.sinh(x)4-cosh(x)=1【答案】AC【分析】利用题设条件给出的函数，对各选项逐一分析、推理计算即可判断作答.【详解】因双曲正弦函数sinh(x)=三”和双曲余弦函数cosh(x)=F，对于 A,sinh(-x)=g g-=-sin h(x),A 正确；对于 B,(cosh(x)=(g +e)=-=sinh(x),B 不正确；对于C,显然双曲余弦函数cosh(x)=交 詈 是 偶 函数，且在(0,+8)递增，cosh(-1)=cosh D 不正确.故选：AC36.(2021秋浙江湖州高一校联考期中)在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率乃准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率万(=3.14159265358979323846264338327950288.)小数点后第 位上的数字为y，则y 是关于的函数，记为y=/().设此函数定义 域 为 值域为8,则关于此函数，下列说法正确的有（）A.-2 iA B.3.14e5C.4 4）=5 D.值域8=xeN|x10【答案】ACD【分析】根据题意即可求得函数的定义域和值域，即可得出答案.【详解】根据题意可得函数丁 =/（）的定义 域/=|x e N.,则 2 任/,故 A 正确；函数的值域8=x eN|x )卜.【答案】1【分析】根据“狄利克雷函数 的定义，直接化简目标式求值即可.详解】由题设，。仅(2+O()+O(6+O(3)=O(Q(2)+O(C l)=O+0(6 1)=1 .故答案为：1.41.(2022全国高一假期作业)2021年 3 月 2 0 日，国家文物局公布，四川三星堆考古发掘取得重大进展,考古人员在三星堆遗址内新发现6 座祭祀坑，经 碳 14测年法测定，这 6 座祭祀坑为商代晚期遗址，碳 14测年法是根据碳1 4 的衰变程度测度样本年代的一种测量方法，已知样本中碳1 4 的原子数N随时间，（单位:年）的变化规律是N=N2-募，则该样本中碳1 4 的原子数由N。个减少到.个时所经历的时间（单位：年）为.【答案】1 1 4 6 0【分析】代入函数值，求出自变量.N ,t【详解】当f=0 时，N=NO,若 NT，则？一 两 _ 户，所以一=；=一2,”1 1 4 6 0.4 2 一/5 7 3 0故答案为：1 1 4 6 04 2.（2 0 2 1 春 福建南平高二校考期中）L ogi s ti c 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/（，的单位：天）的乙。gi s 血 模型：/）=+占寸 其中K为最大确诊病例数 当/（）=0.9 5 K 时，标志着已初步遏制疫情，则f*约为.（参考数据：l nl 9 3）【答案】6 6【分析】将f =/代 入函数/（/）=-熬而结合/V）=0.9 5 K 求得f即可得解.【详解】/（，）=+捻西，所以*）=蒜强沟=0 9 5 K，则/期 刊=9,所以，0.2 3（f*-5 3）=l nl 9 x 3,解得 小 六+5 37 6 6.故答案为：6 6.4 3.（2 0 2 1 秋 江苏高一专题练习）田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例，故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜，该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，在比大小游戏中（大者为胜），已知我方的三个数为Q=0.32,/,=iOg30.8,c =3%对方的三个数以及排序如表：第一局第二局第三局对方30.90.0 2 7则 我 方 必 胜 的 排 序 是.【答案】b,c,a【分析】根据对数函数、指数函数的性质比较大小后可得【详解】由指数函数性质知0.9 0.32 l a=0.32,e(0,l),c =3*e(l,+8),由对数函数性质知b 0,因此可排序为6,c,a时必胜.故答案为：b,c,a.4 4.(2 0 2 2 全国高三专题练习)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文的过程中，通过对运算体系的研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，发明了对数，这是数学史上的大事件.他的朋友布里格斯构造了现在常用的以1 0 为底的常用对数I gx,并出版了常用对数表，以下是部分数据(保留到小数点后三位)，瑞士数学家欧拉则在1 7 7 0 年指出了“对数源于指数”，根据下表中的参考数据和指对数之间关系，判断下面的结论，其 中 正 确 的 序 号 是.铲在区间(1 0 ，I。7)内；严 是 1 5 位数：若 3 =k x 1 0 (1 4左 1 0,/ne Z),则加=-9 ；若/是一个7 0 位正整数，则加=5.参考数据如下表：真数X23571 11 31 71 91 g X (近似值)0.3 0 10.4 7 7 0.6 9 9 0.84 51.0 4 11.1 1 41.2 3 01.2 7 9【答案】#【分析】利用对数的运算性质求出，g N,由此分析求解即可.【详解】解：4|0=(22)=22 0,则 1 g，。=l g2?=2 0 1 g2 =2 0 x 0.3 0 1 =6.0 2,所以4%(1 0 1 1 0 7),故正确;因为 l g2 5=5 0 1 g2 =5 0 x 0.3 0 1 =1 5.0 5,所以 2$e(1 0”,1 0),即产 是 1 6 位数，故错误；因为l g3-=-2 0 1 g3*-2 0 x 0.4 7 7=-9.5 4,BP 3-2 0 I O-9 5 4=1 O0 4 6 x l Q-0，所以歹2 0=左 x l(T(l W左 1 0,z e Z),则相=-1 0 ,贝 i j 错误；因为1 g加。=1 0 0 1 g机，因为加是一个7 0 位正整数，所以6 9 4 1 0 0 1 g，”7 0,所以0.6 9 4 l gm 0.7,所以m=5,故正确故答案为：4 5.(2 0 2 1 秋河南信阳高三统考阶段练习)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一 个 水 斗 从 点 出 发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经 过，秒后，水斗旋转到尸点，设点尸的坐标为（xj）,其纵坐标满足y =/S=R i n f+s）f N O M 、,则当时，函数川）恰有2个极大值，则的取值范围是.【分析】根据题意先求解出函数/的解析式，再结合函数的极值求解出参数的取值范围.【详解】根据点4的坐标（1,-b）可得圆周的半径R=J=2又旋转一周用时6 秒，所以周期7=6,从而得。=即=.-./（/）=2 s i n f y/+又 点 f =0 时，y =-石 在函数图像上.,./（0）=2 s in（1 x 0+9）=d,且 网 ,:.（p=-.J（f）=2 s in序闻根据三角函数的性质，/（。在 0,加）内恰有两个极大值时，5 71 7t 兀 9兀1 7,2 9 解 得 ,r系数为9,面积为2 0 m 2,在墙上有一门，其透射系数为卷，面积为2 m 3 则组合墙的平均隔声量约为d B.（注：e0M 3 2,el 0 9 5）【答案】2 7.62 4【分析】根据已知公式卜=7+求得组合墙的透射系数的平均值,根据R=4 1 nl即可求得答案.2 0 x 1 +2 x 1【详解】由题意得：组合墙的透射系数的平均值：.=S E+S 2G二 1 0 4 1 0 2二0.3,E+/2 0 +2故组合墙的平均隔声量为R=4 1 n!=4 1 nl()3 =2 1 nioT设lnl0 =%,则e*=1 0，由于 2,e1 60 9 x 5 ,故于693+1.60 9-2.3 0 2 =1 0,故=2.3 0 2 ,所以 R=1 2 1 nl0 a 1 2 x 2.3 0 2 =2 7.62 4 ,故答案为：2 7.62 44 7.(2 0 2 2春 河南安阳高二统考阶段练习)德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为 的 小 正方形，保留靠角的4个，删除其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删除；以此方法继续下去，经过次操作后，若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过，,则 至 少 需 要 操 作 的 次 数 为.(Ig 2 =0.3 0 1 0,1 g 3 =0.4 7 7 1 )【答案】1 8【分析】依题意，笫次操作后共保留4 个小正方形，其边长为，即可得到保留下来的所有小正方形面积之和，从而得到不等式，再两边取对数，根据换底公式及对数的运算法则计算可得；【详解】解：依题意，第次操作后共保留4 个小正方形，其边长为，所以保留下来的所有小正方形面积之和为4H=若使得系表1Og 0 2 0两 边 取 对 数 可 得 即l g92。妒2 l g 3-2 1 g 21 0 1 g 2 1 0 x0.3 0 1 0Ig 3-l g 2 -0.4 7 7 1-0.3 0 1 0 1 7.0 9,所以至少操作18次；故答案为：1848.(2022全国高一专题练习)1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间 0,1 平均分成三段，去掉中间的一段，1 2剩下两个闭区间 0,和第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：0,$,弓,；,|,孑，白 刀；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历加步构造后，髭2021不 属于剩下的闭区间，则 的 最 小 值 是.【答案】7【分析】求得去掉的开区间，根 据20黑21属于去掉的开区间列不等式，由此求得的最小值.2022【详解】黑2021不 属于剩下的闭区间，2黑021属 于 去掉的开区间2022 20222经历第1步，剩下的最后一个区间为