尺规作图三等分线段最简方法.pdf

1 三等分角、三平分角 1、废话部分 先说明我没有破解，但是有很多很接近的作图方法，在这里都写出来，希望接下来有共同兴趣的人可以少一点的弯路。因为这方面的书籍和讯息都很少，我的想法不知道会不会和以前的人的想法重合 另一个就是，利用双曲线的这种方法可以解决任意角度（3600），相比我知道的几种工具解决三等分的办法是便捷了许多 另外就是由这个三等分衍生出来的好多概念在以后应该会有价值，就不知道是多少年后，最后对于想深入研究的人我奉劝一句|“放弃吧，很费脑细胞还有时间的”2、双曲线的由来 取任意一个角度 每一个角度，以顶点为圆心，以任意长度画圆，被这个角度的两条边截出一段弧 这段弧会根据圆半径的长短，弧长会相应变化，但是圆心角是不会变化的 我们只要三等分弧 AB，就能等到AOB的三平分角，这点不证明 把 A、B 为两点连接直线，从圆心 O 点作直线 AB 的垂线，我们会得到一个类似直角坐标系的图形（可能有人在这里要彪了，你这是要利用直角坐标系，不是的哈，乖乖看下去，我只是用这个方法来证明一点东西）2 如果 A、B 间距是固定的，随着圆心在垂线 DE 上下运动，我们就能得到任意一个角度 我用几何画板作图，大家可以学一下这个软件，毕竟手工作图误差是很大的 对于这个任意角度，我们反推，在已知弧 AB 的两个三等分点的情况下，得到三平分点随着圆心上下移动的轨迹 3 这个是一条栓曲线的一部分图像，接下来我给出证明 把两个三平分点与点 A、B 连接，我们会得到一个等腰梯形，并且线段 AF=FG=GB 因为 F、G 点事三平分点，GOBFOGAOF,点 A、F、G、B 在同一圆上，所以AF=FG=GB 接下来是证明线段 FG 平行 AB，弧 AF=弧 GB（因为 FG 是三平分点），所以线段 FG 平行于 AB，线段 FG 也是垂直于 DE 的 直线 DE 垂直于 AB，FG 平行于 AB，又 DE 平分线段 AB，所以直线 DF 也是FOG的平分线，最主要的，我们要得到线段 HG=21GB，FG=GB（相等角在同一个圆上所对应的弦是相等的），DE 平分线段 FG,HG=21 FG=21GB HG=21GB 4 HG=21GB 圆心 O 是直线 DE 上任一点，恒有 HG=21GB，这个符合双曲线的第二个定义：平面内到一个定点 B 和一条直线 DF 的距离的比是常数 e=2，e1 时的动点曲线轨迹叫做双曲线，AOB的之中右边的三等分点的轨迹是一条双曲线，同理得证左边的三等分点也是一条双曲线 3、接下来是推理出双曲线的解析式，求出解析式112422yx 当AOB是零度的时候,AB 的长度不随着圆点 O 的变动而变动 零度的弧就是与线段 AB 重合，三等分点如图所示为 i，i同时是线段 AB 的三等分点，同时也是三等分点轨迹与线段 AB 的轨迹的交点和双曲线的顶点之一 设直线 AB 与直线 DE 的交点是 j,假设线段 ji是一个距离单位，那么根据数量关系就有线段AB=6ji,iB=2ji B 点事双曲线的一个焦点 我们假设双曲线的解析式是12222byax，222cba，原点到双曲线顶点的距离是 a,原点到焦点的距离是 c,iB=c-a=2ij 我们已经把 ij 设为基本距离单位，c-a=2 5 离心率 e=ac=2 联立方程22acac解得 a=2,c=4,222cba b=32 所以双曲线的方程式112422yx 上边的是繁琐的一些证明，无非我们要得到的就是三等分点的轨迹是双曲线，要得到这条双曲线的相关的一些规律，希望这些规律能够在你尺规作图三等分角的时候有所帮助，现在我把我掌握的一些好玩的规律给大家介绍介绍。我们可以根据解析式，得到原点 K，以及双曲线的另一个焦点 L K 点是线段 AB 左边的三平分点，AL=2（这个都是根据解析式的来的）接下来我们可以做出辅助的直角坐标系，在原点 K 处作 AB 的垂线为 y轴，直线 AB 为 x 轴 x、y 轴、另一个焦点 L 还有原点 K 确定 双曲线还有另一个定义：平面内两个定点的距离差的绝对值等于常数 2a,(2a21FF)的点的轨迹叫做双曲线，定点21FF、叫做双曲线的焦点，21FF叫做焦距 根据定义由图像来表示是 6 GL-GB=2a=4，恒等于 4 个单位，用图像表示 GL-GB就是等于以点 L 为圆心，以 4 个单位作圆 所作得的圆与 LG 的交点是 N，NL=4，NG=GB 4、一些有趣的规律 下面是第一个规律 7 2HG=GB(上边已经给出证明)，GN=GB,2HG=GN,连接 NA、GL，有交点 M，如下图所示 HMG=LMA,HG平行于 AB,三角形 LMA全等于三角形 GHM LA/LM=HG/GM=1/2，LA=2，LM=4，N 点是以点 L 为圆心半径为 4 上的点，且 N落在 GL 连接的直线上M 点与 N 点是重合的 得到的规律 1 是连接 HA、GL，两条线段相交的点在以 L 为圆心半径为 4 单位的圆上，如点 M.，这个规律在尺规作图的时候可以很轻松的得到一个双曲线的点，但是这个点是随机的，比如下图所示 作法是任意一个角度以任意半径画弧，以此确定点 A、B，连接 AB 并延伸，六等分线段 AB，得到点 L，再以点 L 为圆心 4 个单位为半径作圆，点 N 落在所作的圆上，使得直线 LN 与直线 DE 有交点，连接直线 AN,交直线 DE 于点 Q，由点 Q 引直线 DE 的垂线，交直线 LN 于点 S，点恒是双曲线上的一点，这个在尺规作图之中可以利用 8 第二个规律 这里要强调一下，角度左边的三平分点的轨迹与右边三平分点的轨迹不是同一条双曲线 我们用软件作出两条相应的轨迹，补全所要求的角度的剩下部分，如图虚线部分，第二个规律是如图所示，连接两条轨迹与圆的交点如图所示 RT，直线 RT 不管圆心 O 如何变动都是平行于双曲线的一条渐近线，如图所示黑色的那条渐近线 第三个规律，连接轨迹上的点 BC、DE,如下图所示，有 BC 恒等于 DE，这里要说一个证明的办法，虽然有点粗糙但是对于三等分这种经常需要验证的题型证明提高效率很高，就是直接用电脑软件验算两个数值的关系，精确到小数点后五位，如果没有差别一般就是存在关系了，如果差别很大，连想都不用想直接扔了那种想法就是。效率可以提高很多，下面的规律证明你有兴趣可以证明一下，详细的可以共同讨论，证明我就不给出了，这个还没其他人给出，你可以试试，这是看到这个文档的一种福利，上边两个的证明也一样 9 第四种规律 如下图所示，连接 GD,GD平行于 x 轴，FDG 的角平分线 ID 刚好是经过圆心 O 注：下图四条双曲线轨迹与圆有八个交点，其中两个是固定的，剩下的六个点，只要能用尺规作图确定任何一个点，就可以破解三等分 5、最近进答案的错误作法 如下图所示，当要求的角度比较小的时候可以连接 DK，KJ+KC的长度的二分之一与 LC 的长度相差很小，比如下图相差的是 0.001，可惜，这是个错误的作法，根据的椭圆相近原则（双曲线两个焦点构成的椭圆，大小跟半径有关），错误的作法成千上万种，我没有办法在这里一 一列举 还有很多很多的规律是由双曲线延伸出来的，但是我还是找不到一个可以由已知半径或者圆 10 心就可以确定的关系点，也许是我还没有发现吧，随着研究的深入，有很多点只要以确定就可以反推得到三评分点的 6、我的一些想法 第一，曲线和曲线相交存在角度，这个角度由什么确定，有些人认为认为是交点处两条曲线的切线确定，但存在两条曲线相交有明显的角度，但是切线却是重合的，反推切线确定法就是错误的。这是一个很少开发的领域 同样的我找了很久还是找不到这方面的相关资料，这应该是一个很大的领域，但是到现在为止还没有任何人的开发，过去的几个世界都是代数占据数学的主导地位，几何反而是弱势，希望世人多点注意几何的价值与研究，毕竟代数是有数据差的，用代数的方法来证明几何问题不是一个非常严谨的方法，因为数差的存在，比如很简单的，用几何的表示办法很容易就能够显示2，但是用数据来表示就能能是一串不循环的小数，但是现在用几何办法来证明数学问题很少很少见，大部分规律都是用代数来证明几何问题，不仅繁琐还容易出错，不符合效率最高化，很多问题都很容易被带进无解领域。第二个是关于曲线平行的，这是一个假设，各位看官可以看看。在一个平面上，曲线的平行问题，这个也是很少有涉及的领域，没有相关的资料可以借鉴，如下图所示 曲线 1、2 是平行的，没有相交而且任意与 x 轴平行的直线与曲线 1、2 的交点所得的线段的数值是相等的，两条曲线是平行的，但是没有曲线平行的理论依据，这个是个空白，曲线 1、3，曲线 4、2，是同一双曲线的两部分，是不是 1、4 就是平行的呢，是不是双曲线的两部分也是平行的呢？，那么是不是可以得出这样子的一个推论，平面当中的曲线，要么相交，要么平行 11 7、曲线112422yx在日常生活之中的运用 可以用来快速解决一个角度的三平分问题，而且效率很高，误差不大，具有普及的可能性，下面是我的一个小想法，利用我们学习中的量角器，添加一小段的栓曲线，把双曲线刻成凹槽在量角器上，可以通过凹槽在纸上临摹出双曲线，如下图所示 因为量角器半径是固定的，且量角器大小有限制，这种方法可以解决 1800 到的三等分问题（双曲线理论上是可以解决 3600 到任意角的三等分问题），添加双曲线一部分后的用法是：1、作这个角度的角平分线 2、将量角器的中线与所要作的角平分线重合，如下图所示.让量角器的两端刚好落在所求角的两边上，量角器的两端要有凹槽，确定 A、B 点，12 3、临摹出凹槽部分的双曲线，以 O 点为圆心，以 AO 为半径用圆规作弧，如下图所示，弧与双曲线的交点就是三平分点之一，问题得解（大于180的角度可以先尺规作图除以二）大概的效果图如下图所示，在量角器上边临摹双曲线的凹槽，以便可以作出双曲线，量角器两边也要两个点 A、B 的凹槽可以确定具体的长度，下面是样图（版权所有禁止 cope哦）8、声明 以上都是个人观点想法，你可以看但不可以用，我希望有人可以跟我分享他的观点或者想法，这是我们这代人的责任，当然了那种没经过验证考究的作法多了去了，老子不稀罕，我要的是有探讨价值的，我是陈硕 20140331，给一个我的联系方式吧 qq:1062894909,希望有生之年可以看到有人在这个问题上有所作为。