青海省西宁市2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题.pdf

青海省西宁市 2019-2020 学年数学高二第二学期期末监测试题 一、单选题（本题包括 12 个小题，每小题 35，共 60 分每小题只有一个选项符合题意）1下列四个函数中，在区间0,上是减函数的是（）A3logyx B3xy Cyx D1yx 2如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A14 B8 C12 D4 3已知函数 2ln1f xaxx，在区间0,1内任取两个实数p，q，且pq，若不等式111fpf qpq恒成立，则实数a的取值范围是 A15,B15,C,6 D6,4将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，mint后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线ntyae，假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过minm甲桶中的水只有4a升，则m的值为（）A10 B9 C8 D5 5已知501221xxaa x2626a xa x则024aaa（）A123 B91 C152 D120 6使不等式14x 成立的一个必要不充分条件是（）A23x B63x C53x D62x 7七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A316 B38 C14 D18 8 已知集合1,2,3,4,5A，5,8,9B，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，则可以组成这样的新集合的个数为（）A8 B12 C14 D15 9 已知关于x的方程22coscos2sin02CxxAB的两根之和等于两根之积的一半，则ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形 C钝角三角形 D等边三角形 10PQ是异面直线,a b的公垂线，,ab Aa Bb C在线段PQ上(异于,P Q)，则ABC的形状是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D三角形不定 11某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A83 B2 33 C43 D4 33 12点 的直角坐标为，则点 的极坐标可以为（）A B C D 二、填空题（本题包括 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13若函数 3f xxa为奇函数，则 1f_ 14已知正ABC的边长为2 3，则到三个顶点的距离都为1的平面有_个.15满足方程221717xxCC的解为_ 16某高中十佳校园主持人比赛上某一位选手得分的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为_ 三、解答题（本题包括 6 个小题，共 70 分）17学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)（1）求在 1 次游戏中,摸出 3 个白球的概率;获奖的概率;（2）求在 2 次游戏中获奖次数X的分布列.18某饮料公司根据市场调查数据分析得到以下结果：如果某款饮料年库存积压率低于千分之一，则该款饮料为畅销产品，可以继续大量生产.如果年库存积压率高于千分之一，则说明需要调整生产计划.现公司 20132018 年的某款饮料生产，年销售利润及年库存积压相关数据如下表所示：年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年生产件数x（千万件）3 5 6 8 9 11 年销售利润y（千万元）22 40 48 68 82 100 年库存积压件数（千件）29 58 30 90 75 80 注：年库存积压件数年库存积压率年生产件数（1）从公司 20132018 年的相关数据中任意选取 2 年的数据，求该款饮料这 2 年中至少有 1 年畅销的概率.（2）公司根据上表计算出年销售利润与年生产件数的线性回归方程为9.909.30yx.现公司计划 2019 年生产 11 千万件该款饮料，且预计 2019 年可获利 108 千万元.但销售部 门发现，若用预计的 2019 年的数据与 20132018 年中畅销年份的数据重新建立回归方程，再通过两个线性回归方程计算出来的 2019 年年销售利润误差不超过 4 千万元，该款饮料的 年库存积压率可低于千分之一.如果你是决策者，你认为 2019 年的生产和销售计划是否需要调整？请说明理由.19（6 分）解关于x的不等式222axxax aR.20（6 分）数列 na满足*21nnSannN.（1）计算1234,a a a a，并由此猜想通项公式na；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.21（6 分）已知函数 2ln1f xxaxx .（1）当3a 时，求函数()f x的单调区间；（2）函数()f x在(2,4)上是减函数，求实数 a 的取值范围.22（8 分）在平面四边形ABCD中，90ADC，45A，4AB，3 2AD.（1）求sinADB；（2）若3 2DC，求四边形ABCD的面积.参考答案 一、单选题（本题包括 12 个小题，每小题 35，共 60 分每小题只有一个选项符合题意）1D【解析】【分析】逐一对四个选项的函数进行判断，选出正确答案.【详解】选项 A:因为底数大于 1，故对数函数3logyx在区间0,上是增函数；选项 B:因为底数大于 1，故指数函数3xy 在区间0,上是增函数；选项 C:因为指数大于零，故幂函数yx在区间0,上是增函数；选项 D;反比例函数当比例系数大于零时，在每个象限内是减函数，故1yx在区间0,上是减函数，故本题选 D.【点睛】本题考查了指对幂函数的单调性问题，熟练掌握指对幂函数的单调性是解题的关键.2B【解析】设正方形边长为a，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a，圆的面积为24a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221 248aa，选 B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件 A 区域的几何度量，最后计算()P A.3B【解析】分析：首先，由11fpf qpq的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于 1，从而得到 f（x）=21axx1 在（1，2）内恒成立分离参数后，转化成 a2x2+3x+1 在（1，2）内恒成立从而求解得到 a 的取值范围 详解：11fpf qpq的几何意义为：表示点（p+1，f（p+1）与点（q+1，f（q+1）连线的斜率，实数 p，q 在区间（0，1）内，故 p+1 和 q+1 在区间（1，2）内 不等式11fpf qpq1 恒成立，函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于 1，故函数的导数大于 1 在（1，2）内恒成立 由函数的定义域知，x1，f（x）=21axx1 在（1，2）内恒成立 即 a2x2+3x+1 在（1，2）内恒成立 由于二次函数 y=2x2+3x+1 在1，2上是单调增函数，故 x=2 时，y=2x2+3x+1 在1，2上取最大值为 15，a15 a15，+）故选 A 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min()0f x，若()0f x 恒成立，转化为max()0f x;（3）若()()f xg x恒成立，可转化为minmax()()f xg x.4D【解析】由题设可得方程组5524nmnaeaaae，由55122nnaeae，代入(5)1142mnmnaeae，联立两个等式可得51212mnnee，由此解得5m，应选答案 D。5C【解析】【分析】由二项式定理及利用赋值法即令1x 和1，两式相加可得0246aaaa，结合最高次系数6a的值即可得结果.【详解】52012221xxaa xa x 34563456a xa xa xa x中，取1x，得0123aaaa 4563aaa，取1x ，得0123456243aaaaaaa，所以02462240aaaa，即0246120aaaa，又632a，则024152aaa，故选 C【点睛】本题主要考查了二项式定理及利用赋值法求二项式展开式的系数，属于中档题.6B【解析】解不等式14x，可得414x ，即53x，故“63x”是“53x”的一个必要不充分条件，故选 B.7A【解析】设2AB，则1BCCDDEEF.12212224BCIS，112242BCIEFGHSS平行四边形 所求的概率为113422 216P 故选 A.8C【解析】【分析】利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理计算即可，注意5这个特殊元素的处理.【详解】已知集合1,2,3,4,5A，5,8,9B，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，分为 2 类：含 5，不含 5；则可以组成这样的新集合的个数为3 4214 个.故选 C.9B【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到 A=B，即可确定出三角形形状 详解：设已知方程的两根分别为 x1，x2，根据韦达定理得：x1+x2=cosAcosB，x1x2=2sin22C=1cosC，x1+x2=12x1x2，2cosAcosB=1cosC，A+B+C=，cosC=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB，cosAcosB+sinAsinB=1，即 cos（AB）=1，AB=0，即 A=B，ABC 为等腰三角形 故选 B 点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键 10C【解析】【分析】用,PA PC CQ QB表示出,AC BC AB，结合余弦定理可得ACB为钝角【详解】如图，由,ab PQb可得b 平面APQ，从而bAQ，线段长如图所示，由题意22xmp，22ynt，222()zpmnt，显然222xyz，222cos02xyzACBxy，ACB为钝角，即ABC为钝角三角形 故选 C【点睛】本题考查异面直线垂直的性质，考查三角形形状的判断解题关键是用,PA PC CQ QB表示出,AC BC AB 11C【解析】【分析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据三棱锥体积公式直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为高为2的三棱锥 三棱锥体积：11142 2 23323VSh 本题正确选项：C【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图确定几何体的底面积和高，属于基础题.12D【解析】【分析】先判断点 的位置，然后根据公式：，求出，根据点 的位置，求出.【详解】因为点 的直角坐标为，所以点 在第二象限.，因为点 在第二象限，所以，故本题选 D.【点睛】本题考查了点的直角坐标化为极坐标，关键是要知道点的具体位置.二、填空题（本题包括 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）131【解析】【分析】由函数 3f xxa在0 x 时有意义，且 f x为奇函数，由奇函数的性质可得 00f，求出,a再代入求解即可.【详解】解：因为函数 3f xxa为奇函数，所以 3000fa，即0a，所以 3f xx，所以 3111f，故答案为：1.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题.141【解析】【分析】分类讨论，三个顶点都在平面的同一侧，三个顶点在平面的两侧，一侧一个，另一侧两个【详解】若此平面与平面ABC平行，这样的平面有 2 个到三顶点距离为 1，若此平面与平面ABC相交，则一定过三角形其中两边的中点，由于三角形边长为2 3，因此如过AB的中点D和AC的中点E的平面，到三顶点距离为 1 的有两个，这样共有 6 个，所以所求平面个数为 1 故答案为：1【点睛】本题考查点到平面的距离，由于是三角形的三个顶点到平面的距离相等，因此要分类讨论，即三角形所在平面与所求平面平行和相交两种情形，相交时为保证距离相等，平面必定过三角形两边中点 152x 或5x,【解析】【分析】根据组合数性质列方程解得即可.【详解】因为221717xxCC,所以根据组合数的性质可得22xx或2217xx,解得2x 或5x,经检验均符合题意.故答案为:2x 或5x.【点睛】本题考查了组合数的性质,属于基础题.162【解析】【分析】由题意，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为 83，84，85，86，87，先求出所剩数据的平均数，由此能求出所剩数据的方差【详解】解：某高中十佳校园主持人比赛上某一位选手得分的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为：83，84，85，86，87，所剩数据的平均数为：18384858687855x，所剩数据的方差为：2222221(8385)(8485)(8585)(8685)8785)25S 故答案为 1【点睛】本题考查方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 三、解答题（本题包括 6 个小题，共 70 分）17（I）（i）1.5；（ii）7.10（II）X 的分布列见解析，数学期望57【解析】解：(1)设“在一次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i0,1,2,3)，则 P(A3)2325CC1223CC15.设“在一次游戏中获奖”为事件 B，则 BA2A3，又 P(A2)22322253C CC C113225C CC1223CC12，且 A2，A3互斥，所以 P(B)P(A2)P(A3)1215710.(2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2，P(X0)711029100，P(X1)C2171071102150，P(X2)710249100，所以 X 的分布列是 X 0 1 2 P 9100 2150 49100 X 的数学期望E(X)091001215024910075.18（1）1415；（2）不需要调整.【解析】【分析】（1）计算出每年的年度库存积压率，可知 13，15，17，18 年畅销，14，16 年不畅销；列举出所有年份中任取 2 年的取法共 15 种，其中 2 年均为不畅销的取法仅有 1 种，故根据古典型及对立事件的概率可求得结果；2）数据重组后依据公式计算出新的回归直线方程，并求出 2019 年的年销售利润预估值；再计算出原回归直线方程的 2019 年的年销售利润预估值，可知两值相差 3.66 千万元，由此可得结论【详解】（1）公司年年度存积压率分别为：2.9130001000，5.8150001000，3160001000，9180001000，7.5190001000，81110001000 则该饮品在 13，15，17，18 年畅销记为1A，2A，3A，4A，14，16 年不畅销记为1B，2B 任取 2 年的取法有：12,A A，13,A A，14,A A，11,A B，12,A B，23,A A，24,A A，21,A B，22,A B，34,A A，31A B，32,A B，42,A B，12,B B，共 15 种.其中 2 年均不畅销的取法是12,B B，共 1 种 该款饮料这年中至少有 1 年畅销的概率为：11411515P （2）由题意得，2019 年数据与 2013，2015，2017，2018 年数据重组如下表：年份 2013 2015 2017 2018 2019 年生产件数x（千万件）3 6 9 11 11 年销售利润y（千万元）22 48 82 100 108 经计算得8x，72y 513380iiix y，521368iix 51252155iiiiix yx ybxx233805 8 7212510.423685 812 72 10.42 811.36ayb x 10.4211.36yx 当11x时，10.42 11 11.36103.26y，此时预估年销售利润为 103.26 千万元 将11x代入9.909.30yx中得，9.90 11 9.3099.6y，此时预估年销售利润为 99.6 千万元|103.26-99.6|=3.664，故认为 2019 年的生产和销售计划不需要调整.【点睛】本题考查了概率的计算，回归方程，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.19当0a 时，不等式的解集为|1x x ；当0a 时，不等式的解集为2|x xa或1x ；当20a 时，不等式的解集为2|1xxa；当2a 时，不等式的解集为 1；当2a时，不等式的解集为2|1xxa.【解析】【分析】将原不等式因式分解化为210axx，对参数a分 5 种情况讨论：0a，0a，20a，2a ，2a，分别解不等式 【详解】解：原不等式可化为2220axax，即210axx，当0a 时，原不等式化为10 x，解得1x，当0a 时，原不等式化为210 xxa，解得2xa或1x，当0a 时，原不等式化为210 xxa.当21a，即2a时，解得21xa；当21a，即2a 时，解得1x 满足题意；当21a，即20a 时，解得21xa.综上所述，当0a 时，不等式的解集为|1x x ；当0a 时，不等式的解集为2|x xa或1x ；当20a 时，不等式的解集为2|1xxa；当2a 时，不等式的解集为 1；当2a时，不等式的解集为2|1xxa.【点睛】本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对a分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述.20（1）1*212nnnanN；（2）见解析【解析】分析：（1）根据题设条件，可求 a1，a2，a3，a4的值，猜想an的通项公式（2）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明 详解：（1）根据数列 na满足*21nnSannN，当1n 时，11121Saa，即132a；当2n 时，212241Saaa，即274a；同理341531,816aa，由此猜想1*212nnnanN；（2）当1n 时，132a，结论成立；假设nk（k为大于等于 1 的正整数）时，结论成立，即1212kkka，那么当1nk（k大于等于 1 的正整数）时 11121121kkkkkaSSkaka ，122kkaa，12112122212222kkkkkkaa，即1nk时，结论成立，则1*212nnnanN.点睛：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证 n=1 成立；（2）假设 n=k 成立；（3）利用已知条件证明 n=k+1 也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法 21(1)减区间为（0，12），（1，+），增区间为（12，1）；(2)9(,.2【解析】分析：（1）求导得 2231xxfxx，得到减区间为（0，12），（1，+），增区间为（12，1）；（2）120fxxax，在 x（2，4）上恒成立，等价于122,4xaxx在上恒成立，即可求出实数 a 的取值范围.详解：（1）12fxxax 212313,23;xxafxxxx 时 212310,1,2xxxx 解得或 函数()f x的定义域为（0，+），在区间（0，12），（1，+）上 f（x）0.函数()f x为减函数；在区间（12，1）上 f（x）0.函数()f x为增函数.（2）函数()f x在（2，4）上是减函数，则 120fxxax，在 x（2，4）上恒成立.112022,4.xaxaxxx在上恒成立 2112,20,2,4,g xxg xxxx令则 122,4.g xxx函数在上为增函数 192 2.22g x 实数 a 的取值范围9,.2 点睛：本题考查导数的综合应用 导数的基本应用就是判断函数的单调性，0f x，单调递增，0f x，单调递减当函数含参时，则一般采取分离参数法，转化为已知函数的最值问题，利用导数求解.22（1）2 5sin5ADB（2）9【解析】【分析】（1）在ABD中由余弦定理得BD，再由正弦定理能求出sinADB；（2）2 5cossin5BDCADB，四边形 ABCD 的面积ADBBDCSSS，由此能求出结果【详解】（1）在平面四边形ABCD中，90ADC，45A，4AB，3 2AD ABD中，由余弦定理可得：222216182 4 3 2102BDABADABADcosBAD ，sinsinABBDADBBAD，242 5252 10AB sin BADsin ADBBD（2）BCD中，2 5cossin5BDCADB，11sinsin922ADBBDCSSSAD BDADBCD BDCDB【点睛】本题考查角的正弦值、四边形面积的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题