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    集合公式汇总.pdf

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    集合公式汇总.pdf

    1 集合公式汇总 集合(简称集)是数学中一个基本概念,它是集合论的研究对象,集合论的基本理论直到 19 世纪才被创立。最简单的说法,即是在最原始的集合论朴素集合论中的定义,集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”,叫作元素。由一个或多个元素所构成的叫做集合。若 x 是集合 A 的元素,则记作 xA。集合中的元素有三个特征:1.确定性(集合中的元素必须是确定的)2.互异性(集合中的元素互不相同。例如:集合 A=1,a,则 a 不能等于 1)3.无序性(集合中的元素没有先后之分。)并交集 并集定义:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,记作 AB(或 BA),读作“A 并 B”(或“B 并 A”),即 AB=x|xA,或 xB。并集越并越多。交集定义:由属于 A 且属于 B 的相同元素组成的集合,记作 AB(或 B A),读作“A 交 B”(或“B 交 A”),即 A B=x|xA,且 xB。交集越交越少。若 A 包含 B,则 A B=B,AB=A 补集 相对补集定义:由属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合,称为 B 关于 A 的相对补集,记作 A-B 或 A A B,即 A-B=x|xA,且 x B 绝对补集定义:A 关于全集合 U 的相对补集称作 A 的绝对补集,记作 A 或 u(A)或A。U=;=U (一)元素与集合 1、元素与集合的关系:、若a是集合A的元素,就说a属于A,记作:aA,读作“a属于A”若a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作:aA,读作“a不属于A”。2、集合的表示:列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.形如:1,2,3,5 描述法:x|x具有的性质,其中x为集合的代表元素.形如:x|x22x30 图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.3、常见数集的符号表示:自然数集(非负整数集)N;正整数集N或N;整数集Z;有理数集Q;实数集R;正实数集R 符号法 N:非负整数集合或自然数集合0,1,2,3,2 N*或 N+:正整数集合1,2,3,Z:整数集合,-1,0,1,Q:有理数集合 Q+:正有理数集合Q-:负有理数集合R:实数集合(包括有理数和无理数)R+:正实数集合R-:负实数集合C:复数集合 :空集合(不含有任何元素的集合称为空集合,又叫空集)(二)集合间的基本关系概念 写法 含义 相等 ABA(B)子集 AB 读作“A包含于B”或“B包含A”(1)(2)A (3)AB真子集 AB 读作“A真包含于B”或“B真包含A”(1)(2)A 非空真子集 AB 且 A 空集 空集是任何集合的子集 注:1、任何集合都是它本身的子集、空集是任何集合的子集。集合 3 2、集合个数:集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集有(2n)个,真子集有(21n)个,非空真子集有(22n)个 元素 子集 真子集 非空子集 非空真子集 n 2n 21n 21n 22n (三)集合的基本运算及运算法则 集合 韦恩图 数轴表示 交集 在画数轴时,要注意层次感和实心空心!并集 只要是线下面的部分都要!补集 U UAA 注:1、集合运算法则:从括号内开始,由内而外 Cu(AB)=Cu ACu B Cu(AB)=Cu ACu B 2、常见结论:若 AB=B,则AB 若ABA,则AB 集合 4 一知识归纳:1集合的有关概念。1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集)其中每一个对象叫元素 注意:集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。集合中的元素具有确定性(a?A 和 a?A,二者必居其一)、互异性(若 a?A,b?A,则 ab)和无序性(a,b与b,a表示同一个集合)。集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类:有限集,无限集,空集。4)常用数集:N,Z,Q,R,N*2子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。1)子集:若对 xA 都有 xB,则 A B(或 A B);2)真子集:A B 且存在 x0B 但 x0 A;记为 A B(或,且)3)交集:AB=x|xA 且 xB 4)并集:AB=x|xA 或 xB 5)补集:CUA=x|x A 但 xU 注意:?A,若 A?,则?A;若,则;若 且,则 A=B(等集)3弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1)与、?的区别;(2)与 的区别;(3)与 的区别。4有关子集的几个等价关系 AB=A A B;AB=B A B;A B C uA C uB;ACuB=空集 CuA B;CuAB=I A B。5交、并集运算的性质 AA=A,A?=?,AB=BA;AA=A,A?=A,AB=BA;Cu(AB)=CuACuB,Cu(AB)=CuACuB;6有限子集的个数:设集合 A 的元素个数是 n,则 A 有 2n 个子集,2n1 个非空子集,2n2 个非空真子集。二例题讲解:【例 1】已知集合 M=x|x=m+,mZ,N=x|x=,nZ,P=x|x=,pZ,则 M,N,P 满足关系 A)M=N P B)M N=P C)M N P D)N P M 分析一:从判断元素的共性与区别入手。解答一:对于集合 M:x|x=,mZ;对于集合 N:x|x=,nZ 对于集合 P:x|x=,pZ,由于 3(n-1)+1 和 3p+1 都表示被 3 除余 1 的数,而 6m+1 表示被 6 除余 1 的数,所以 M N=P,故选 B。分析二:简单列举集合中的元素。集合 5 解答二:M=,N=,,,P=,,,这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。=N,N,M N,又=M,M N,=P,N P 又 N,P N,故 P=N,所以选 B。点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。变式:设集合,则(B)AM=N BM N CN M D 解:当 时,2k+1 是奇数,k+2 是整数,选 B 【例 2】定义集合 A*B=x|xA 且 x B,若 A=1,3,5,7,B=2,3,5,则 A*B 的子集个数为 A)1 B)2 C)3 D)4 分析:确定集合 A*B 子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合 A=a1,a2,an有子集 2n 个来求解。解答:A*B=x|xA 且 x B,A*B=1,7,有两个元素,故 A*B 的子集共有 22 个。选 D。变式 1:已知非空集合 M 1,2,3,4,5,且若 aM,则 6?aM,那么集合 M 的个数为 A)5 个 B)6 个 C)7 个 D)8 个 变式 2:已知a,b A a,b,c,d,e,求集合 A.解:由已知,集合中必须含有元素 a,b.集合 A 可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e.评析 本题集合 A 的个数实为集合c,d,e的真子集的个数,所以共有 个.【例 3】已知集合 A=x|x2+px+q=0,B=x|x2?4x+r=0,且 AB=1,AB=?2,1,3,求实数 p,q,r 的值。解答:AB=1 1B 12?41+r=0,r=3.B=x|x2?4x+r=0=1,3,AB=?2,1,3,?2 B,?2A AB=1 1A 方程 x2+px+q=0 的两根为-2 和 1,变式:已知集合 A=x|x2+bx+c=0,B=x|x2+mx+6=0,且 AB=2,AB=B,求实数 b,c,m 的值.解:AB=2 1B 22+m?2+6=0,m=-5 B=x|x2-5x+6=0=2,3 AB=B 又 AB=2 A=2 b=-(2+2)=4,c=22=4 b=-4,c=4,m=-5 【例 4】已知集合 A=x|(x-1)(x+1)(x+2)0,集合 B 满足:AB=x|x-2,且 AB=x|1 分析:先化简集合 A,然后由 AB 和 AB 分别确定数轴上哪些元素属于 B,哪些元素不属于 B。解答:A=x|-21。由 AB=x|1-2可知-1,1 B,而(-,-2)B=。综合以上各式有 B=x|-1x5 变式 1:若 A=x|x3+2x2-8x0,B=x|x2+ax+b0,已知 AB=x|x-4,AB=,求 a,b。(答案:a=-2,b=0)集合 6 点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。变式 2:设 M=x|x2-2x-3=0,N=x|ax-1=0,若 MN=N,求所有满足条件的 a 的集合。解答:M=-1,3,MN=N,N M 当 时,ax-1=0 无解,a=0 综得:所求集合为-1,0,【例 5】已知集合,函数 y=log2(ax2-2x+2)的定义域为 Q,若 PQ,求实数 a 的取值范围。分析:先将原问题转化为不等式 ax2-2x+20 在 有解,再利用参数分离求解。解答:(1)若,在 内有有解 令 当 时,所以 a-4,所以 a 的取值范围是 变式:若关于 x 的方程 有实根,求实数 a 的取值范围。解答:点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

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