江苏省南京市中华中学2023-2024学年高三暑期数学小练试卷（1）含答案.pdf

中华中学中华中学 2023-2024 学年度学年度暑期小练（暑期小练（1）试卷）试卷高三数学高三数学本卷考试时间：本卷考试时间：90 分钟分钟总分：总分：100 分分命题人：审核人：一一 选择题选择题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.）1已知复数11 3iz ，21 iz ，且复数z满足12zzz，则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2设命题p：x R，ln1xx，则p为（）A0 xR，00ln1xxBx R，ln1xxC0 xR，00ln1xxD0 xR，00ln1xx3在ABC中，角,A B C的对边分别为,6,3a b c aA，则ABC外接圆的面积为（）A4B12C16D484在ABC中，()()()ac acb bc，则A（）A30B60C120D1505设直线yx与椭圆2cossin,xy交于A、B两点，点P在直线3ykx上若2PAPB ，则实数k的取值范围是（）A(2,2)B 2 2,2 2C(,2)(2,)D(,2 22 2,)6比较，的大小（）ABCD7.设函数 11fxax xb为奇函数且在R上为减函数，则,a b的值正确的是（）A1,1abB1,1abC1,1abD1,1ab8.已知点G为三角形ABC的重心，且GAGBGAGB ，当C取最大值时，cosC=（）A45B35C25D15二二 多选题多选题（本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 4 4 分分，共共 1616 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有有多项符合题目要求的多项符合题目要求的.全部选对的得全部选对的得 4 4 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9若a，b，c为实数，下列说法正确的是（）A若ab，则22acbcB若0ab，则22aabbC“关于x的不等式20axbxc恒成立”的充要条件是“0a，240bac”D“1a”是“关于x的方程20 xxa有两个异号的实根”的必要不充分条件10声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为sinyAx，其中 A 影响音的响度和音长，影响音的频率，响度与振幅有关，振幅越大，响度越大；音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉平时我们听到的音乐都是由许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是 111sinsin2sin3sin323f xxxxnx nn 则下列说法正确的有（）A fx是偶函数；B fx的最小正周期可能为；C若声音甲的函数近似为 1sinsin33fxxx，则声音甲的响度一定比纯音 1sin22h xx的响度大；D若声音乙的函数近似为 1sinsin22g xxx，则声音乙一定比纯音 1sin33m xx低沉11.已知0,0,1abab，则下列结论正确的是（）A22a bab的最大值为14Bab的最大值为 1C22abab的最小值为74 3D1422abab的最小值为 312.已知两曲线exy 与lnyxa，则下列结论不正确的是（）A若两曲线只有一个交点，则这个交点的横坐标1,2xB若3a，则两曲线只有一条公切线C若2a，则两曲线有两条公切线，且两条公切线的斜率之积为eD若1,aP Q分别是两曲线上的点，则,P Q两点距离的最小值为 1二二 填空题填空题（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分.将答案填写在题中的横线上将答案填写在题中的横线上.）13已知命题 p：对x R，232 20 xxa，若 p 为真命题，则实数a的最小值是_14.已知 sin243，则sin2_15已知，是非零向量，向量在向量方向上的投影为，则|ab|.16.若存在实数,a b使得eeln3abab，则ab的值为_四四 解答题解答题（本大题共本大题共 4 小题小题，共共 4444 分分.解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤）17(10 分)已知集合18Axx，21=|=log,328By yx x.（1）求集合AB；（2）若121Cx mxm，CAB，求实数m的取值范围.18(10 分)在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且3 sincosaBbAb（1）求A；（2）若2bc，当a取最小值时，求ABC的面积19(12 分)已知函数 22sincos2 3cos3222xxxf x.（1）若不等式 3f xm对任意,63x 恒成立，求整数 m 的最大值；（2）若函数 2g xfx，将函数 g x的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12个单位，得到函数 yh x的图象.若关于 x 的方程 1sincos02h xkxx在5,12 12x 上有解，求实数k的取值范围.20(12 分)设函数 exfxax，其中aR.（1）讨论函数()f x在1,)上的极值；（2）若函数 f(x)有两零点1212,x xxx，且满足1211xx，求正实数的取值范围.中华中学中华中学 2023-2024 学年度学年度暑期小练（暑期小练（1）试卷）试卷高三数学高三数学本卷考试时间：本卷考试时间：90 分钟分钟总分：总分：100 分分命题人：审核人：一一 选择题选择题（本大题共（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知复数11 3iz ，21 iz ，且复数z满足12zzz，则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【分析】根据复数的除法运算先求出z，再根据共轭复数的关系求出复数z，根据复数的几何意义，即可求出结果.【详解】因为复数11 3iz ，21 iz ，所以1213i1i13i12i1 i1 i1izzz ，所以复数1 2iz ，所以z在复平面内对应的点为1,2，位于第三象限.故选：C.2设命题p：x R，ln1xx，则p为（）A0 xR，00ln1xxBx R，ln1xxC0 xR，00ln1xxD0 xR，00ln1xx【答案】A【分析】由全称量词命题的否定求解即可.【详解】全称量词命题的否定步骤为：“改量词，否结论”，因为p：x R，ln1xx，所以p为0 xR，00ln1xx.故选：A.3 在ABC中，角,A B C的对边分别为,6,3a b c aA，则ABC外接圆的面积为（）A4B12C16D48【答案】B【分析】利用正弦定理结合已知可求出三角形外接圆的半径，从而可求出外接圆的面积【详解】设ABC外接圆的半径为R，则624 3sin32aRA，解得2 3R，所以ABC外接圆的面积为12.故选：B.4在ABC中，()()()ac acb bc，则A（）A30B60C120D150【答案】C【分析】先由()()()ac acb bc得到222acbbc，结合余弦定理，即可求出结果.【详解】因为()()()ac acb bc，所以222acbbc，所以222bcbca，由余弦定理，可得：2221cos22bcaAbc，所以120A o.故选:C5设直线yx与椭圆2cossin,xy交于A、B两点，点P在直线3ykx上若2PAPB ，则实数k的取值范围是（）A(2,2)B 2 2,2 2C(,2)(2,)D(,2 22 2,)【答案】D【分析】先消参将参数方程转化为普通方程，得A、B两点关于原点对称，转化PAPB 为2 PO，则问题转化为定点 O 到直线上一点 P 距离为 1，建立不等式求斜率范围即可.【详解】椭圆方程为2214xy，椭圆中心在原点，直线yx与椭圆交于A、B两点，则由对称性可知，A、B关于原点对称，所以|2|2PAPBPO ，所以|1PO ，故原点到直线3ykx的距离2311dk，解得2 2k 或2 2k ，故选：D.【点睛】关于三角形中线的向量表示：在ABC中，AM是边BC上的中线，则1122AMABAC .6比较，的大小（）ABCD【答案】B【分析】由对数函数的性质可知，由指数函数的性质可求出，进而可判断三者的大小关系.【详解】解：因为，所以，则，故选：B.备选：设13a，7ln5b，1sin3c，则（）AcabBbcaCcbaDabc【答案】A【分析】因为72(1)145731215，所以构造函数2(1)()ln1xf xxx(0)x，利用导数判断单调性，可得ba，令()sing xxx，0,)2x，利用导数判断单调性，可得ac.【详解】因为72(1)145731215，所以设2(1)()ln1xf xxx(0)x，21(1)(1)()2(1)xxfxxx 22(1)(1)xx x0，所以()f x在(0,)上为增函数，所以7()(1)05ff，所以72(1)75ln07515，所以71ln053，即71ln53，所以ba.令()sing xxx，0,)2x，()1cos0g xx，所以()sing xxx在0,)2上为增函数，所以1()(0)03gg，所以11sin033，即11sin33，所以ac，综上所述：bac.故选：A【点睛】关键点点睛：构造函数2(1)()ln1xf xxx(0)x，()sing xxx，0,)2x，利用导数判断单调性，根据单调性比较大小是解题关键.7.设函数 11fxax xb为奇函数且在R上为减函数，则关于,a b的值表述正确的是（）A1,1abB1,1abC1,1abD1,1ab【答案】C【分析】根据函数奇偶性的定义结合二次函数的单调性即可得解.【详解】因为函数 11fxax xb为R上的奇函数，且递减，所以10a 且 11ff，即11 2abab，所以2bb，解得1b，经检验符合题意，故 221,011,0axxf xax xaxx，因为函数 1fxax x在R上为减函数，所以10a，所以1a.故选：C.8.已知点 G 为三角形 ABC 的重心，且GAGBGAGB ，当C取最大值时，cosC=（）A45B35C25D15【答案】A【分析】由题设可得0AG BG ，结合1()3AGACAB，1()3BGBABC 及余弦定理可得2cos()5abCba，根据基本不等式即可求解.【详解】由题意GAGBGAGB ，所以22()()GAGBGAGB ，即222222GAGBGA GBGAGBGA GB ，所以0GA GBuur uuu r，所以AGBG，又211()()323AGACABACAB ，211()()323BGBABCBABC ，则11()()()099AG BGACABBABCAC BAAC BCAB BAAB BC ，所以2CA CBAC ABBA BCAB ，即2coscoscosabCbcAacBc，由222cos2bcaAbc，222cos2acbBac，222cos2abcCab，所以2225abc，所以222244cos()2555abcaba bCabbab a，当且仅当ab时等号成立，又cosyx在0,上单调递减，0,C，所以当C取最大值时，cosC=45.故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得2225abc，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.二二 多选题（本大题共多选题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616分分.在每小题给出的四在每小题给出的四个选项中个选项中，有多项符合题目要求的有多项符合题目要求的.全部选对的得全部选对的得 4 4分分，部分选对的得部分选对的得 2 2分，分，有选错的得有选错的得 0 分）分）9若a，b，c为实数，下列说法正确的是（）A若ab，则22acbcB若0ab，则22aabbC“关于x的不等式20axbxc恒成立”的充要条件是“0a，240bac”D“1a”是“关于x的方程20 xxa有两个异号的实根”的必要不充分条件【答案】BD【解析】若0c=，则 A 选项不成立；根据不等式的性质，可判断 B 正确；根据充要条件的概念，可判断 C 错；根据充分条件和必要条件的概念，结合方程根的个数，可判断D 正确.【详解】A 选项，若ab，0c=，则22acbc，A 错；B 选项，若0ab，则2aab，2abb，即22aabb，B 正确；C 选项，不等式20axbxc不一定是一元二次不等式，所以不能推出0a；由0a，240bac，可得出不等式20axbxc恒成立，所以“关于x的不等式20axbxc恒成立”的充要条件不是“0a，240bac”，C 错；D 选项，若关于x的方程20 xxa有两个异号的实根，则01 40aa，即a，fx单调递增，当0 x 时，0fx，fx单调递减，所以 0=0f xf，可得e1xx，所以ln1e1eln1 1,abab，即ln1eeln3+abab，当且仅当0 ln10,ab即1eb 等号成立，此时ab的值为1e.故答案为：1e.备选在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，C为最大角，若222sinsinsin2ABC.且25ba，则ac的最小值为_【答案】4【解析】由222sinsinsin2ABC，利用二倍角公式，和差化积化简为2cos CcoscosCAB，再根据C为最大角，得到2C，设0,2B，则cos,sinacbc，由25ba，得到5sin2cosc，从而得到5 1cossin2cosac，然后令1cos0sin2cost，利用三角函数的性质求解.【详解】因为222sinsinsin2ABC，所以21cos21cos21cos222AbC，21coscos2cos22CAB，coscosABAB，coscosCAB，又因为C为最大角，所以ABC，所以cos0C，即2C，设0,2B，则cos,sinacbc，所以2sin2 cos5bacc，解得5sin2cosc，所以5 1cossin2cosac，令1cos0sin2cost，则21 cossin1tt，所以222221sin21tttt，即22211tt，解得45t 或0t（舍去），所以ac的最小值为 4，故答案为：4【点睛】关键点点睛：本题关键是由2cos CcoscosCAB，结合C为最大角，得到2C，从而设0,2B，建立5 1cossin2cosac，利用三角函数的性质得解.四四 解答题（本大题共解答题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 4444 分分.解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明 证明过程或证明过程或演算步骤）演算步骤）17(10 分)已知集合18Axx，21=|=log,328By yx x.(1)求集合AB；(2)若121Cx mxm，CAB，求实数m的取值范围.【答案】(1)3,8(2)3m【分析】（1）先化简集合 A、B，再利用并集定义去求AB即可解决；（2）利用题给条件列出关于实数 m 的不等式，解之即可求得实数 m 的取值范围.【详解】（1）因为集合18Axx，21=|=log,32|358By yx xyy，所以=|35|18|383,8AByyxxxx （2）由（1）得，=|35|18|151,5AByyxxxx 当2m时，+121mm，C，满足()CAB，符合题意；当2m时，C，若1,5C 则211215mmm ，解之得23m综上，实数 m 的取值范围是3m18(10 分)在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且3 sincosaBbAb（1）求A；（2）若2bc，当a取最小值时，求ABC的面积【答案】（1）3；（2）34ABCS!.【分析】（1）先由正弦定理得3sincos1AA，利用三角恒等变换及特殊角的三角函数即得；（2）利用余弦定理得222abcbc及基本不等式可得不等式成立时可得ABC为等边三角形，进而即得.【详解】（1）在ABC中，由正弦定理得3sinsinsincossinABBAB，又0,B，所以sin0B，3sincos1AA，2sin16A，得1sin62A，又0,A，所以66A，即3A（2）因为3A，所以222222cosabcbcAbcbc又2bc，所以22223312bcabcbcbc当且仅当1bc时，a取得最小值 1，即ABC为等边三角形所以34ABCS!19(12 分)已知函数 22sincos2 3cos3222xxxf x.(1)若不等式 3f xm对任意,6 3x 恒成立，求整数 m 的最大值；(2)若函数 2g xfx，将函数 g x的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12个单位，得到函数 yh x的图象，若关于 x 的方程 1sincos02h xkxx在5,12 12x 上有解，求实数 k 的取值范围.【答案】(1)4(2)22,22(1)由题意得，22sincos2 3cos3222xxxf x 2sin3 2cos12xxsin3cosxx2sin3x.因为,6 3x，所以2633x，所以1sin123x，所以当6x 时，fx的最小值为 1；当6x 时，fx的最大值为 2，所以 12f x.由题意得，33fxm，所以 33mf xm 对一切,6 3x 恒成立，所以3132mm，解得14m，所以整数 m 的最大值为 4.(2)由题意知，2sin2sin2236g xfxxx，将函数 g x的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得2sin 26yx，再向右平移12个单位得 2sin 22sin2126h xxx，因为关于 x 的方程 1sincos02h xkxx在区间 5,12 12上有解，整理得：sin2sincos0 xkxx，即2sin cossincos0 xxkxx（*）在区间 5,12 12上有解，sincos2sin4txxx，因为 5,12 12x，所以 2,436x令22sin,242tx，（*）式可转化为：210tkt 在2,22t内有解，所以1ktt，2,22t，又因为yt和1yt 在2,22t为增函数，所以1ytt 在2,22为增函数，所以当22t 时，1ktt 取得最小值22；当2t 时，1ktt 取得最大值22，所以22,22k，综上所述：k 的取值范围为22,22.20(12 分)设函数 exf xax，其中aR.(1)讨论函数()f x在1,)上的极值；(2)若函数 f(x)有两零点1212,x xxx，且满足1211xx，求正实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)1,)【分析】（1）求出 exfxa，分ea、ea 讨论，可得答案；（2）由零点存在定理可知120lnxax，而题设1212ee0 xxaxax，消去 a 可得221121eeexxxxxx，令211xtx，且21lntxx，求出2x，1x，将其代入1211xx得(1)(1)()ln01tF ttt，再利用导数分1、01讨论可得答案.【详解】（1）由 exfxax知 exfxa，1）当ea时，且有1,)x，()0fx，()f x单调递增，故无极值；2）当ea 时，有(1,ln)xa，()0fx，()f x单调递减，而(ln,)xa，()0fx，()f x单增，故()(ln)lnf xfaaaa极小值，()f x无极大值.综上，当ea时，()f x无极值；当ea 时，()f x极小值为lnaa，()f x无极大值；（2）由（1）可知当ea 时，(ln)(1 ln)0faaa，1(00f），且xf x，（），由零点存在定理可知120lnxax，而题设可知1212ee0 xxaxax，消去 a 可得221121eeexxxxxx，令211xtx，且21lntxx，即2ln1ttxt，1ln1txt，将其代入1211xx，整理可令得(1)(1)()ln01tF ttt，而 22221(1)1(1)(1)(1)ttF ttttt，1)当1时，且(1,)t，有 22(1)0(1)tFttt，F t单调递增，()(1)0F tF，满足题设；2)当01时，且211,t，有()0F t，F t单调递减，()(1)0F tF，不满足题设；综上，的取值范围为1,).【点睛】关键点点睛：第二问解题关键点是1212ee0 xxaxax消去 a 可得221121eeexxxxxx，令211xtx得2x、1x，将 其 代 入1211xx构 造 函 数(1)(1)()ln01tF ttt，本题还考查了学生思维能力、运算能力.