2023年初升高数学衔接数学讲义.pdf

课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 1 页第一章乘法公式与因式分解1.1 乘法公式我们知道(a+b)2=a2+2ab+b2，将公式左边的指数变为 3 时，又有什么结论呢？由于(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a2+2ab+b2(a+b)=a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，因此得到和 的 立 方 公 式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3将公式中的 b 全部改为-b，又得到差 的 立 方 公 式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3上述两个公式称为完 全 立 方 公 式，它们可以合写为(a b)3=a3 3a2b+3ab2 b3【例 1】化简：(x+1)3-x x2+3x+3【解】(x+1)3-x x2+3x+3=x3+3x2+3x+1-x3-3x2-3x=1 由完全立方公式可得(a+b)3-3a2b-3ab2=a3+b3，即(a+b)(a+b)2-3ab=a3+b3，由此可得立 方 和 公 式(a+b)a2-ab+b2=a3+b3将立方和公式中的 b 全部改为-b，得到立 方 差 公 式(a-b)a2+ab+b2=a3-b3【例 2】对任意实数 a，试比较(1+a)(1-a)1+a+a2 1-a+a2 与 1 的大小【分析】观察(1+a)(1-a)1+a+a2 1-a+a2 的结构特点，可运用立方和(差)公式将其化简【解】(1+a)(1-a)1+a+a2 1-a+a2=(1+a)1-a+a2(1-a)1+a+a2=1+a3 1-a3=1-a6因为 1-a6-1=-a6，对任意实数 a，-a6 0，所以(1+a)(1-a)1+a+a2 1-a+a2 1 2023年初升高衔接数学讲义第 2 页课堂笔记通 过 将 完 全 平 方 公 式(a+b)2=a2+2 ab+b2中 的 指 数 2 推 广 到 3，我 们 得 到 了完 全 立 方 公 式 有 兴 趣 的 同 学 可 以 将 指 数 推 广 到 4，5，另 外，我 们 也 可 以 从 项数的角度推广(a+b+c)2=(a+b)+c 2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2 ab+b2+2 ac+2 bc+c2=a2+b2+c2+2 ab+2 bc+2 ca 灵活应用等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2 ab+2 bc+2 ca，可以为代数式运算带来方便【例 3】已知 a+b+c=0，ab+bc+ca=-12，求下列各式的值：(1)a2+b2+c2(2)a4+b4+c4【分析】将(1)与已知联系，联想已知中的等式，发现可将 a2+b2+c2用 a+b+c和 ab+bc+ca表示由于 a4+b4+c4=a2 2+b2 2+c2 2，由(1)得到启发，如果知道 a2b2+b2c2+c2a2的值，就能得解【解】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2 ab+2 bc+2 ca 由上式和已知得 0=a2+b2+c2-1，即 a2+b2+c2=1(2)由 ab+bc+ca=-12，得 a2b2+b2c2+c2a2+2 abc(a+b+c)=14因为 a+b+c=0，所以 a2b2+b2c2+c2a2=14再由(1)的结论，得 a4+b4+c4+2 a2b2+2 b2c2+2 c2a2=1 因此 a4+b4+c4=12【例 4】已知 x2+x-1=0，求证：(x+1)3-(x-1)3=8-6 x【证法 1】(x+1)3-(x-1)3=x3+3 x2+3 x+1-x3-3 x2+3 x-1=x3+3 x2+3 x+1-x3+3 x2-3 x+1=6 x2+2 由已知得 x2=1-x，故 6 x2+2=6(1-x)+2=8-6 x 因此，(x+1)3-(x-1)3=8-6 x【证法 2】(x+1)3-(x-1)3=(x+1-x+1)(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2=2 x2+2 x+1+x2-1+x2-2 x+1=6 x2+2 以下同证法 1课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 3 页习题 1.11.若 a+b=8，ab=2，则 a3+b3=()A.128 B.464 C.496 D.5122.若 x+y+z=0，则 x3+y3+z3=()A.0 B.x2y+y2z+z2xC.x2+y2+z2D.3 x yz3.设 A=n+1n 3，B=n3+1n3+6，对 于 任 意 n 0，则 A，B 大 小 关 系 为()A.A B B.A B C.A B D.不一定4.(5-x)25+5 x+x2=5.观察下列各式的规律：(a-b)(a+b)=a2-b2，(a-b)a2+ab+b2=a3-b3，(a-b)a3+a2b+ab2+b3=a4-b4可得到(a-b)an+an-1b+abn-1+bn=(其中 n 为正整数)6.求函数 y=(x-2)3-x3的最大值7.当 x=33 时，求代数式 2 x+1x 4 x2-2+1x2-1x3的值8.已 知 a，b，c 为 非 零 实 数，a2+b2+c2 x2+y2+z2=(ax+by+cz)2，求 证：xa=yb=zc第 4 页课堂笔记 1.2 因式分解因 式 分 解 就 是 将 一 个 多 项 式 化 成 几 个 整 式 的 积 的 形 式，它 与 多 项 式 乘 法 运 算是 互 逆 变 形 我 们 已 学 过 两 种 分 解 因 式 的 方 法：提 取 公 因 式 法 与 公 式 法 下 面 我们继续学习一些分解因式的方法1.十字相乘法我们知道，形如 x2+(p+q)x+pq 的二次三项式，它的特点是二次项系数是 1，常数 pq 与一次项系数 p+q 可以通过如图1 2-1 的“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)这种方法能否推广呢？如果要对 2 x2-7 x+3 分解因式，我们把二次项系数 2 分解为 1 2，把常数项 3 分解成 1 3 或(-1)(-3)，按图1 2-2 至图1 2-5 的运算方式，也用“十字相乘，乘积相加”验算12 311 3+2 1=512 131 1+2 3=712-3-11-3+2-1=-512-1-31-1+2-3=-7图1.2-2 图1.2-3 图1.2-4 图1.2-5可以发现图1 2-5 对应的结果 1(-1)+2(-3)=-7，恰好等于一次项系数-7 由于(x-3)(2 x-1)=2 x2-7 x+3，从而2 x2-7 x+3=(x-3)(2 x-1)像 这 样，通 过 十 字 交 叉 线 帮 助，把 二 次 三 项 式 分 解 因 式 的 方 法，叫 做 十 字 相 乘法【例 1】将下列各式分解因式：(1)2 x2+x-3；(2)-6 a2+7 a+5【分析】(1)因为 2=1 2，-3=(-1)3=1(-3)，且一次项系数是 1，所以可按图1 2-6用十字相乘法分解因式(2)当二次项系数为负时，二次项系数分解成的两个因数异号，则十字辅助图的各种可能性就会更多因此先把负号提到括号外面，即-6 a2+7 a+5=-6 a2-7 a-5，然后再把 6 a2-7 a-5按图1 2-7用十字相乘法分解因式【解】(1)因为 1 3+2(-1)=1，恰好等于一次项系数 1，所以2 x2+x-3=(x-1)(2 x+3)(2)因为-6 a2+7 a+5=-6 a2-7 a-5，而根据十字相乘法，6 a2-7 a-5=(2 a+1)(3 a-5)，所以-6 a2+7 a+5=-(2 a+1)(3 a-5)【例 2】分解因式：x2-x 2-x2-x-2 11pq1 p+1 q=p+q图1.2-1123-1123-1图1.2-6图1.2-7课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 5 页【分析】先将 x2-x视为一个整体，通过两次十字相乘法得到解决【解】x2-x 2-x2-x-2=x2-x-2 x2-x+1=(x-2)(x+1)x2-x+1 2.分组分解法观察多项式 x m+x n+ym+yn，它的各项并没有公因式，因此不能用提取公因式来分解因式；这是一个四项式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式观察多项式的各项，前两项有公因式 x，后两项有公因式 y，分别提取后得到 x(m+n)+y(m+n)这时又有了公因式(m+n)，因此能把多项式 x m+x n+ym+yn 分解因式分解过程是x m+x n+ym+yn=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)一 般 地，如 果 把 一 个 多 项 式 的 项 适 当 分 组，并 提 出 公 因 式 后，各 组 之 间 又 出 现新的公因式，那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式【例 3】将下列各式分解因式：(1)x3-x2+x-1；(2)x2+4(x y-1)+4 y2【解】(1)【解法 1】x3-x2+x-1=x3-x2+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)x2+1【解法 2】x3-x2+x-1=x3+x-x2+1=x x2+1-x2+1=x2+1(x-1)(2)x2+4(x y-1)+4 y2=x2+4 x y-4+4 y2=x2+4 x y+4 y2-4=(x+2 y)2-4=(x+2 y+2)(x+2 y-2)【注】本题第(2)小题的解法是先将多项式分组，再用公式法分解因式先 将 多 项 式 分 组 后 分 解 因 式 的 方 法 称 为 分 组 分 解 法 用 这 种 方 法 分 解 因 式，分组时应预见到下一步分解的可能性【例 4】分解因式：x3+3 x-4【分析】本题用前面学过的方法似乎均不奏效，若将其中一项拆成两项，就可考虑分组分解【解】x3+3 x-4=x3+3 x-1-3=x3-1+(3 x-3)=(x-1)x2+x+1+3(x-1)=(x-1)x2+x+4【例 5】已知 x3-2 x2y-x y2+2 y3=0，x y 0，化简：x z-2 yz+1 第 6 页课堂笔记【解】因为 x3-2 x2y-x y2+2 y3=x2(x-2 y)-y2(x-2 y)=(x-2 y)x2-y2=(x-2 y)(x+y)(x-y)，所以(x-2 y)(x+y)(x-y)=0 又因为 x y 0，所以 x+y 0，x-y 0，即只有 x-2 y=0 从而x z-2 yz+1=z(x-2 y)+1=1 习题 1.21.对多项式 4 x2+2 x-y-y2用分组分解法分解因式，下面分组正确的是()A.4 x2+2 x-y+y2 B.4 x2+2 x-y2-y C.4 x2-y+2 x-y D.4 x2-y+(2 x-y2)2.要 使 二 次 三 项 式 x2-6 x+m 在 整 数 范 围 内 可 分 解，m 为 正 整 数，那 么 m 的 取值可以有()A.2 个 B.3 个 C.5 个 D.6 个3.把多项式 2 ab+1-a2-b2分解因式，结果是()A.(a+b-1)(b-a+1)B.(a-b+1)(b-a+1)C.(a+b-1)(a-b+1)D.(a-b+1)(a-b-1)4.m4+m2+1=m4+-m2+1=m2+m2+5.将下列各式分解因式：(1)4 x2-x-3；(2)3 x2+2 ax-a26.将下列各式分解因式：(1)x3-y3-x2y+x y2；(2)2 a2-b2+ab-2 a+b 7.已知 m=x-y，n=x y，试用 m，n 表示 x3+y3 28.当 x=-1 时，x3+2 x2-5 x-6=0 请 根 据 这 一 事 实，将 x3+2 x2-5 x-6 分 解因式课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 7 页第一章测试题(满分为 100 分，考试时间 45 分钟)一、选择题(本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1.多项式-3 y2-2 yx+x2分解因式的结果是()A.-(y+x)(3 y+x)B.(x+y)(x-3 y)C.-(y-x)(3 y-x)D.(x+y)(3 x-y)2.若 a3-b3=3 a2b-3 ab2+1，其中 a，b 为实数，则 a-b=()A.0 B.-1 C.1 D.13.若 多 项 式 2 x2+7 x+m 分 解 因 式 的 结 果 中 有 因 式 x+3，则 此 多 项 式 分 解 因 式的结果中另一因式为()A.2 x-1 B.2 x+1 C.x+1 D.x-14.若 a+1a=3，则 a2+a3+a4+1a2+1a3+1a4=()A.7 B.25 C.47 D.725.多项式 4-x2-2 x y-y2分解因式的结果是()A.(2+x+y)(2-x-y)B.(2+x+y)(2-x+y)C.(1+x-y)(4-x-y)D.(1-x+y)(4+x+y)6.若 x-y-z=3，yz-x y-x z=3，则 x2+y2+z2=()A.0 B.3 C.9 D.-1二、填空题(本题有 3 小题，每小题 8 分，共 24 分)7.若 8 x3+12 x2y2+6 x y4+y6可分解为 2 x+ym 3，则 m=8.若关于 x 的二次三项式 ax2+3 x-9 的两个因式的和为 3 x，则 a=9.x2+x+1x2+1x-4=1x+x+1x+x-三、解答题(本题有 3 小题，第 10，1 1 题各 15 分，第 12 题 16 分，共 46 分)10.分解因式：(1)x3-5 x2+6 x；(2)4 m3+m-1 11.已知 x2-x-1=0，求 x5-x4-3 x3+3 x2+x 的值12.已知a2-9 x2+6 x y-y2(a+3 x)2-(ay+3 x y)=1，求证：y=6 x 第 8 页课堂笔记第二章分式与根式 2.1 分式及其运算1.分式的运算分 式 运 算 与 因 式 分 解 关 系 密 切，掌 握 了 各 种 乘 法 公 式 和 因 式 分 解 方 法，可 以 使我们的分式运算能力得到提高【例 1】计算：a2+7 a+10a2-a+1a3+1a2+4 a+4a+1a+2【分析】分式乘除运算与约分相关，应考虑先将各分式的分子分母分解因式【解】原式=a+2 a+5 a2-a+1a+1 a2-a+1 a+2 2a+2a+1=a+5【例 2】先 化 简，再 求 值：m2+n2m2+2 mn+n2-2mnm+nmn 2 m3+3 m2n+3 mn2+n3m3+m2n-mn2-n3，其中 m=57，n=3【分析】分式混合运算时需合理安排运算顺序，小心完成每一步本题代数式最后乘上的分式其分子是完全立方，分母可以进行分组分解【解】原式=m2+n2(m+n)2-2mnm2n2(m+n)2(m+n)3(m+n)2(m-n)=m2+n2(m+n)2-2 mn(m+n)2(m+n)(m-n)=m2-2 mn+n2(m+n)2(m+n)(m-n)=m-nm+n当 m=57，n=3 时，原式=m-nm+n=57-357+3=910【例 3】已知xx2-3 x+1=1，求x2x4-9 x2+1的值【分析】观察题目特点，对条件与结论采用取倒数处理，建立条件与结论间的联系，从而达到解题的目的【解】因为xx2-3 x+1=1，所以x2-3 x+1x=1，得 x+1x=4 于是x4-9 x2+1x2=x2+1x2-9=x+1x 2-1 1=16-1 1=5 因此x2x4-9 x2+1=15【注】本题解答中灵活应用了 x2+1x2=x+1x 2-2 2.分式的证明【例 4】已知 b+1c=1，c+1a=1，求证：a+1b=1，课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第 9 页【分析】由已知两式消去 c，即可得到含 a，b的关系式【解】由 b+1c=1，得1c=1-b；由 c+1a=1，得 c=1-1a所以(1-b)1-1a=1，得 1-1a-b+ba=1，即-1a-b+ba=0 两边都乘以 a，得-1-ab+b=0，两边再都除以 b，得-1b-a+1=0，移项得a+1b=1【例 5】已知 abc=1，求证：aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1=1【分析】此题直接通分太繁，不可取观察求证式子的左边，发现作轮换 a b c a，可将其中一项变为另两项，结合已知条件，可以有以下两种策略【解】【解法 1】因为 abc=1，所以 a，b，c 均不为零原式=aab+a+1+aba(bc+b+1)+abcab(ac+c+1)=aab+a+1+ababc+ab+a+abcabac+abc+ab=aab+a+1+ab1+ab+a+1a+1+ab=a+ab+1ab+a+1=1【解法 2】因为 abc=1，所以 a，b，c 均不为零原式=aab+a+abc+bbc+b+1+bcb(ac+c+1)=1b+1+bc+bbc+b+1+bcbac+bc+b=1b+1+bc+bbc+b+1+bc1+bc+b=1+b+bcbc+b+1=1 3.繁分式我们知道，像2m，ab1+b，这样分母中含有字母的代数式叫做分式而像1x+1x，a1+bb1+a，这样分子或分母中含有分式的分式就叫繁分式繁 分 式 可 以 通 过 适 当 的 代 数 变 换 转 化 成 普 通 的 分 式 例 如，1x+1x=xx x+1x=xx2+1【例 6】化 简：1+1-xx1-1-x yx y【分析】对于繁分式化简，可以利用分式基本性质，在分式的分子、分母上都乘以它们各分母的最简公分母，从而达到使分子、分母转化为整式的目的；也可以利用分式的概念，将繁分式转化为分式的除法第10 页课堂笔记【解】【解法 1】原式=1+1-xx x y1-1-x yx y x y=x y+y-x yx y-1+x y=y2 x y-1【解法 2】原式=1+1-xx 1-1-x yx y=x+1-xxx y-1+x yx y=y2 x y-1【例 7】化简：x+1x 2-x+1x-11-x-1x 2x2+1x2-x-1x+3x2+1x2-2 x-2x+3【分析】观察发现，上式中出现最多的是 x+1x，而 x2+1x2=x+1x 2-2，因此设 x+1x=a，原式的形就变简单了，从而有利于化简换元法在繁分式化简中是一种常用的方法【解】设 x+1x=a，则 x2+1x2=x+1x 2-2=a2-2 原 式=a2-a-11-a 2a2-a+1a2-2 a+1=a2-a2-a+1a-1 2(a-1)2a2-a+1=a2-a2-a+1=a-1=x+1x-1 课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第11 页习题 2.11.下列运算中，错误的是()A.ab=acbc(c 0)B.-a-ba+b=-1C.0.5 a+b0.2 a-0.3 b=5 a+10 b2 a-3 bD.x-yx+y=y-xy+x2.若 x+1x=4，则x2x4+x2+1=()A.10 B.15 C.115D.1163.若 a+1b=1，b+2c=1，则 c+2a=()A.1 B.2 C.3 D.44.化简：11-11-1x5.化简：a3-a2-a+1a3-3 a2+3 a-16.计算：1-a-11-a 2a3+1a2-2 a+1 11-a7.已知1a+1b+1c=0，求证：a2+b2+c2=(a+b+c)28.已 知 x yz=1，x+y+z=2，x2+y2+z2=16，求1x y+2 z+1yz+2 x+1zx+2 y的值第12 页课堂笔记 2.2 根式及其运算1.根式的运算一 个 代 数 式 的 运 算 结 果 若 含 有 根 式，就 必 须 把 它 化 为 最 简 根 式 最 简 根 式 满足以下 3 个条件：(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；(3)被开方数不含分母把分母中的根号化去，叫分母有理化例如，620=62 5=6 52 5 5=3 55在根式运算中，一般最后结果要进行分母有理化，使分母不含根号【例 1】化简：(1)12-3；(2)x-yx+y(x y)；(3)x-y3x-3y-x+y3x+3y【分析】分母有理化通常是把分子和分母都乘以同一个不等于零的适当代数式(有理化因式)，使分母不含根号其中第(2)题还可以将分子用平方差公式分解因式后进行约分，同样第(3)题也可以将分子用立方和(差)公式分解因式后进行约分【解】(1)【解】12-3=2+3(2-3)(2+3)=2+32-3=-(2+3)=-2-3(2)【解法 1】x-yx+y=(x-y)(x-y)(x+y)(x-y)=(x-y)(x-y)x-y=x-y【解法 2】x-yx+y=(x+y)(x-y)x+y=x-y(3)【解】x-y3x-3y-x+y3x+3y=(3x)3-(3y)33x-3y-(3x)3+(3y)33x+3y=(3x)2+3x3y+(3y)2-(3x)2+3x3y-(3y)2=23x y【例 2】计算：1+2 3+5(1+3)(3+5)+5+2 7+3(5+7)(7+3)【分析】观察分式的分子和分母，发现(1+3)+(3+5)=1+2 3+5，(5+7)+(7+3)=5+2 7+3因此可先将他们拆成两项之和，然后分别进行分母有理化【解】原式=11+3+13+5+15+7+17+3=1-3(1+3)(1-3)+3-5(3+5)(3-5)+5-7(5+7)(5-7)+7-3(7+3)(7-3)=-12(1-3+3-5+5-7+7-3)=-12(1-3)=1课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第13 页【例 3】计算：1-x-11+x-1+22-x2+xx-1【分析】二次根式的混合运算，要根据算式的形式特征安排计算程序，使计算简便【解】原式=(1-x-1)2(1+x-1)(1-x-1)+22-xx-12+x=1-2 x-1+x-11-x+1+2 x-12-x=x2-x【例 4】已知 a=12+3，求1-2 a+a2a-1-a2-2 a+1a2-a的值【分析】先化简再求值，同时注意(a-1)2=|a-1|【解】因为 a=12+3=2-3 b 0，求证：x2a2+y2b2=1【分析】当已知等式中含有二次根式时，可以考虑把等式两边平方【解】【证明】因为(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2 a，所以(x+c)2+y2=2 a-(x-c)2+y2两边平方，整理得 a2-cx=a(x-c)2+y2两边再平方，整理得 a2-c2 x2+a2y2=a2a2-c2 把 a2-c2=b2代入得 b2x2+a2y2=a2b2，两边同除以 a2b2，得x2a2+y2b2=1【例 6】已 知 a，b 都 是 非 负 数，并 且 1-a2 1-b2=ab，求 证：a 1-b2+b 1-a2=1【分析】当已知式或求证式中含有二次根式时，可以考虑把两边平方化为整式再证明但 A2=B2，未必有 A=B，因此在证明过程中必须确定 A，B是否同号【解】【证明】将 1-a2 1-b2=ab 两边平方，得 1-a2 1-b2=a2b2，即 1-a2-b2+a2b2=a2b2，得 a2+b2=1 a 1-b2+b 1-a2 2=a21-b2+b21-a2+2 ab 1-b21-a2=a2+b2-2 a2b2+2 a2b2=1.因为 a，b 都是非负数，所以 a 1-b2+b 1-a2 0 因此 a 1-b2+b 1-a2=1 第14 页课堂笔记3.n 次根式实际上，数的平方根的概念可以推广一般地，如果 xn=a，那么 x 叫做 a 的 n次方根例如，由于 24=16 和(-2)4=16，我们把 2 或-2 叫做 16 的 4 次方根当 n是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号-na 表示，也可以把两个方根合起来写作 na 例如，416=2，-416=-2，合起来写作416=2 类比平方根与立方根的性质，我们不难发现：在实数范围内，正数有两个相反的偶次方根，负数没有偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根本节所讨论的 n 次方根运算都限在实数范围内【例 7】(1)求-32243的 5 次方根；(2)求(-8)2的 6 次方根【分析】根据 n次方根的定义，可以逆用乘方运算求得开方运算的结果需要注意正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个求方根时，为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数作质因数分解【解】(1)5-32243=5-2535=-23(2)6(-8)2=626=2【例 8】(1)当 x 0 时，求|x|+4x4+23x3的值(2)若 n 为自然数，2 na2 n=-a，a 的取值范围是什么？【分析】根据 n次根式的性质，可以对含字母的根式进行化简与讨论【解】(1)当 x 0 时，|x|+4x4+23x3=|x|+|x|+2 x=-x-x+2 x=0(2)因为 n 为自然数，所以 2 n 为偶数，于是2 na2 n=|a|又因为2 na2 n=-a，所以 a 0 类似于二次根式的性质，我们也可以得到 n 次根式的性质：(1)(na)n=a(2)当 n 为奇数时，nan=a；当 n 为偶数时，nan=|a|=a,a 0；-a,a 0)，nam=(na)m(a 0)从指数式的角度看，a=a12，3a=a13，na=a1n，所以 am=nam，a-mn=1nam课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第15 页习题 2.21.下列说法正确的是()A.正数有一个偶次方根 B.负数没有偶次方根C.负数有两个奇次方根 D.正数有两个奇次方根2.当 a 0 时，-ax3=()A.x ax B.x-ax C.-x-ax D.-x ax3.把a-ba+b(a b)分母有理化的结果是()A.-1 B.a+ba-bC.a+b-2 aba-bD.a+b-2 abb-a4.(-1)101的 7 次方根是，0 的 8 次方根是，(-4)2的 4 次方根是，(-4)4的 4 次方根是，5.计算：-5-132=，6(-27)2=，(2 32)4=，18 32=6.已知 a=13+2 2，b=13-2 2，求1b-1-1a-1的值7.化简：(a-b)3+2 a a+b ba a+b b-3 b-3 aba-b8.化简：(1)a-2 a-1(1 a 2)；(2)n(a-b)n+n(a+b)na b 1,n N 9.证明：a2+1b2+a2(ab+1)2=a+1b-aab+1 第16 页课堂笔记第二章测试题(满分为 100 分，考试时间 45 分钟)一、选择题(本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1.若分式x+yx-y中的 x，y 的值都变为原来的 3 倍，则此分式的值()A.不变 B.是原来的 3 倍C.是原来的13D.是原来的162.计算ab-ba a+ba的结果是()A.a-baB.a+bbC.a-bbD.a+ba3.把a+ba-b(a b)分母有理化的结果是()A.-1 B.a+ba-bC.a+b+2 aba-bD.a+b+2 abb-a4.下列式子错误的是()A.(a)2=a B.3a3=aC.(na)n=a(n 1 的整数)D.nan=a(n 1 的整数)5.化简 x-|x|x的结果是()A.-|x|B.-x C.x2D.x6.若 n 为自然数，2 n+1a2 n+1=a，则 a 的取值范围是()A.a 0 B.a 0 C.a 0 D.a 为全体实数二、填空题(本题有 4 小题，每小题 6 分，共 24 分)7.64 的平方根是，立方根是，6 次方根是 8.化简：1x-1+1x+1+2 xx2+1+4 x3x4+1=9.化简：11+11+1x=10.当 x 0 时，5x5+4x4+3x3=三、解答题(本题有 3 小题，第 1 1，12 题各 15 分，第 13 题每题 16 分，共 46 分)11.若(x-10)2+4y-4=0，求 yx的 10 次方根12.化简：x+1x-1-x-1x+11x2-113.当 a=12-1时，求a2+6a2-1-a+1a-1+1 a3+8a4+3 a3+2 a2的值课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第17 页第三章方程与方程组 3.1 三元一次方程组我 们 已 经 学 习 了 二 元 一 次 方 程 组 及 其 解 法,知 道 解 二 元 一 次 方 程 组 的 基 本 思 想是:二 元 一 次 方 程 组 消元一 元 一 次 方 程.解 二 元 一 次 方 程 组 的 基 本 方 法 有 代 人 消 元 法和加减消元法.消元的目的是把二元一次方程组化归为一元一次方程.在 现 实 生 活 中,我 们 会 遇 到 末 知 数 不 止 两 个 的 方 程,下 面 我 们 就 来 学 习 三 元 一次方程组.像x+y+z=12,x+2 y+5 z=22,x=4 y,4 x+2 y+z=0,x+2 y-z=3,2 x-y+2 z=-4 这 类 方 程 组 中 含 有 三 个 末 知 数,含 末 知 数 的 项 的 次 数 都 是 1,这 样 的 方 程 组 叫 做三元一次方程组.解 三 元 一 次 方 程 组 的 基 本 思 想 与 解 二 元 一 次 方 程 组 一 致,通 过 消 元 转 化 为 我 们会 解 的 方 程 组:三 元 一 次 方 程 组 消元二 元 一 次 方 程 组 消元一 元 一 次 方 程.解 三 元 一 次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法.【例 1】解方程组x+y+z=12,x+2 y+5 z=22,x=4 y.【分析】将方程分别代入方程,得到只含 y,z 的二元一次方程组.【解】将方程 分别代入方程,得方程组5 y+z=12 6 y+5 z=22 解得y=2,z=2.把 y=2,z=2 代人方程,得 x+2+2=12,所以 x=8.方程组的解是x=8,y=2,z=2.【例 2】解方程组4 x+2 y+z=0 x+2 y-z=3 2 x-y+2 z=-4 第18 页课堂笔记【分析】解三元一次方程组的关键是逐步消元,转化为二元一次方程组.将方程+,可以消去 z,将方程+2,也可以消去 z,从而得到二元一次方程组.【解】方程+,得 5 x+4 y=3.方程+2,得 4 x+3 y=2.方程和方程组成方程组5 x+4 y=34 x+3 y=2 解得x=-1,y=2.把 x=-1,y=2 代人方程,得-1+2 2-z=3,所以 z=0.方程组的解是x=-1,y=2,z=0.【例 3】解方程组x:y:z=1:2:7,2 x-y+3 z=21.【分析】本题含有三个末知数,只有两个方程,其中方程含有比例.如果设 x=a,则 y=2 a,z=7 a,就得到了关于 x,y,z三个末知数之间的关系,代入方程即可求解.【解】由方程,设 x=a,y=2 a,z=7 a.代人方程,得 2 a-2 a+21 a=21,即 a=1.于是 x=1,y=2,z=7.方程组的解是x=1,y=2,z=7.【注】本 题 的 解 答 实 际 上 用 了 比 例 的 性 质(第 五 章).虽 然 方 程 组 形 式 上 是 两 个 方程,但方程实际上隐含了两个方程:2 x=y,7 y=2 z.通 过 上 面 几 道 例 题,我 们 发 现,三 元 一 次 方 程 组 的 解 法 仍 是 用 代 人 法 或 加 减 法消 元,化 归 为 二 元 一 次 方 程 组,再 化 归 为 一 元 一 次 方 程.实 际 上,消 元 是 解 一 次 方 程 组的 主 要 方 法.解 一 次 方 程 组 的 消 元“化 归”基 本 思 想,可 以 推 广 到“四 元”“五 元”等 多 元方程组.Z 习题 3.11.解方程组3 x-y+2 z=3,2 x+y-4 z=1 1,若要使运算简便,消元的方法应选取.7 x+y-5 z=1,()A.先消去 x.B.先消去 y.C.先消去 z.D.以上说法都不对.2.已知方程组2 x-y+z=5,5 x+8 y-z=9,则 x+y 的值是()A.14.B.2.C.-14.D.-2.3.已知方程 3 x-y-7=0,2 x+3 y=1,y=kx-9 有公共解,则 k 的值是()A.6.B.5.C.4.D.3.课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第19 页4.当 x=0,1,-1 时,二 次 三 项 式 ax2+bx+c 的 值 分 别 为 5,6,10,则 a=b=,c=.5.已知方程组x-2 y+z=0,2 x+4 y-z=0,则 x:y:z=6.解下列三元一次方程组:x-4 y+z=-32 x+y-z=18x-y-z=7 x:y:z=2:3:5x+y+z=100 7.若|a-b-1|+(b-2 a+c)2+|2 c-b|=0,求 a,b,c 的值.8.己知4 x-3 y-6 z=0,x+2 y-7 z=0,求2 x2+3 y2+6 z2x2+5 y2+7 z2的值.3.2 一元二次方程的根的判别式一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0)由配方法可化为x+b2 a 2=b2-4 ac4 a2.因为 a 0,所以 4 a2 0.式子 b2-4 ac 的值有以下三种情况:b2-4 ac 0这 时b2-4 ac4 a2 0,由 式 得 x+b2 a=b2-4 ac2 a,方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数根x1=-b+b2-4 ac2 a,x2=-b-b2-4 ac2 a.b2-4 ac=0这时b2-4 ac4 a2=0,由式得 x+b2 a 2=0,方程有两个相等的实数根x1=x2=-b2 a.b2-4 ac 0这 时b2-4 ac4 a2 0,由 式 得 x+b2 a 2 0,而 x 取 任 何 实 数 都 不 能 使x+b2 a 2 0,因此方程无实数根.第20 页课堂笔记这 说 明,根 据 b2-4 ac 的 值 的 符 号,我 们 可 以 判 定 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0(a 0)的 根 的 情 况.一 般 地,式 子 b2-4 ac 叫 做 方 程 ax2+bx+c=0(a 0)的 根 的 判别式,通常用希腊字母 表示它,即=b2-4 ac.归纳起来,有 0 方程有两个不相等的实数根;=0 方程有两个相等的实数根;0,所以方程有两个不相等的实数根.将原方程整理,可得 5 x2-2 x+20=0.因为=(-2)2-4 5 20=-396 0.【解】方程(k-2)x2+k=(2 k-1)x 可化为(k-2)x2-(2 k-1)x+k=0.因为方程有两个不相等的实数根,所以k-2 0,=-(2 k-1)2-4 k(k-2)=4 k+1 0.解得 k-14且 k 2.所以 k 的取值范围是 k-14且 k 2.【例 3】证明:关于 x 的一元二次方程 m2+1 x2-2 mx+m2+4=0 没有实数根.【分析】要证一元二次方程没有实数根,只要证 0即可.【证明】二次项系数 m2+1 0.课堂瞎记课堂瞎记课堂笔记第21 页=(-2 m)2-4 m2+1 m2+4=-4 m4+4 m2+4=-4 m2+2 2.因 为 无 论 m 取 什 么 实 数,都 有 m2+2 0,所 以-4 m2+2 2 0,即 0.因 此,一元二次方程 m2+1 x2-2 mx+m2+4=0 没有实数根.【例 4】当 m 为何值时,关于 x 的方程 m2-4 x2+2(m+1)x+1=0 有实数根.【分析】因为未指明方程 m2-4 x2+2(m+1)x+1=0的次数，所以应分 m2-4=0和 m2-4 0两种情形讨论.【解】当 m2-4=0,即 m=2 时,2(m+1)0,方 程 为 一 元 一 次 方 程,总 有 实数根.当 m2-4 0,即 m 2 时,要 使 方 程 m2-4 x2+2(m+1)x+1=0 有 实 数根,则=2(m+1)2-4 m2-4=8 m+20 0,解得 m-52.因此,当 m-52且 m 2 时,方程有实数根.综合,当 m-52时,方程有实数根.Z 习题 3.21.方程 x2+1=0,x2+x=0,x2+x-1=0,x2-x=0 中,无实根的方程有()A.1 个.B.2 个.C.3 个.D.4 个.2.关于 x 的方程 ax2-2 x+1=0 中,若 a 0,则根的情况是().A.有两个相等的实数根.B.有两个不相等的实数根.C.没有实数根.D.无法确定.3.关于 x 的方程 ax2+bx+c=0(a 0)中,若 a 与 c 异号,则根的情况是()A.有两个不相等的实数根.B.有两个相等的实数根.C.没有实