2018全国卷Ⅱ高考理科数学真题及答案.pdf

2 0 1 8 全 国 卷 高 考 理 科 数 学 真 题 及 答 案注 意 事 项：1 答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上。2 作 答 时，务 必 将 答 案 写 在 答 题 卡 上。写 在 本 试 卷 及 草 稿 纸 上 无 效。3 考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 1 1 2 i1 2 iA 4 3i5 5 B 4 3i5 5 C 3 4i5 5 D 3 4i5 5 2 已 知 集 合 2 23 A x y x y x y Z Z，则 A 中 元 素 的 个 数 为A 9 B 8 C 5 D 43 函 数 2e ex xf xx 的 图 像 大 致 为4 已 知 向 量a，b 满 足|1 a，1 a b，则(2)a a bA 4 B 3 C 2 D 05 双 曲 线2 22 21(0,0)x ya ba b 的 离 心 率 为3，则 其 渐 近 线 方 程 为A 2 y x B 3 y x C 22y x D 32y x 6 在 A B C 中，5c o s2 5C，1 B C，5 A C，则 A B A 4 2B 30C 29D 2 57 为 计 算1 1 1 1 112 3 4 99 100S，设 计 了 右 侧 的 程 序 框 图，则 在 空 白 框 中 应 填 入A 1 i i B 2 i i C 3 i i D 4 i i 开 始0,0 N T S N T S 输 出1 i 1 0 0 i 1N Ni 11T Ti 结 束是 否8 我 国 数 学 家 陈 景 润 在 哥 德 巴 赫 猜 想 的 研 究 中 取 得 了 世 界 领 先 的 成 果 哥 德 巴 赫 猜 想 是“每个 大 于 2 的 偶 数 可 以 表 示 为 两 个 素 数 的 和”，如 30 7 23 在 不 超 过 3 0 的 素 数 中，随机 选 取 两 个 不 同 的 数，其 和 等 于 3 0 的 概 率 是A 112B 114C 115D 1189 在 长 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 中，1 A B B C，13 A A，则 异 面 直 线1A D 与1D B 所 成 角的 余 弦 值 为A 15B 56C 55D 221 0 若()c os s i n f x x x 在,a a 是 减 函 数，则a的 最 大 值 是A 4B 2C 3 4D 1 1 已 知()f x是 定 义 域 为(,)的 奇 函 数，满 足(1)(1)f x f x 若(1)2 f，则(1)(2)(3)(50)f f f f A 5 0 B 0 C 2 D 5 01 2 已 知1F，2F 是 椭 圆2 22 21(0)x yC a ba b：的 左、右 焦 点，A 是 C 的 左 顶 点，点 P 在过 A 且 斜 率 为36的 直 线 上，1 2P F F 为 等 腰 三 角 形，1 21 2 0 F F P，则 C 的 离 心 率 为A 23B 12C 13D 14二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分 1 3 曲 线2 l n(1)y x 在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 4 若,x y满 足 约 束 条 件2 5 02 3 05 0 x yx yx，则z x y 的 最 大 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 5 已 知s i n c os 1，c os s i n 0，则s i n()_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 6 已 知 圆 锥 的 顶 点 为 S，母 线 SA，S B 所 成 角 的 余 弦 值 为78，SA 与 圆 锥 底 面 所 成 角 为 4 5，若 S A B 的 面 积 为5 1 5，则 该 圆 锥 的 侧 面 积 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 第 2 2、2 3 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7（1 2 分）记nS 为 等 差 数 列 na 的 前n项 和，已 知17 a，31 5 S（1）求 na 的 通 项 公 式；（2）求nS，并 求nS 的 最 小 值 1 8（1 2 分）下 图 是 某 地 区 2 0 0 0 年 至 2 0 1 6 年 环 境 基 础 设 施 投 资 额y（单 位：亿 元）的 折 线 图 为 了 预 测 该 地 区 2 0 1 8 年 的 环 境 基 础 设 施 投 资 额，建 立 了y与 时 间 变 量t的 两 个 线 性 回归 模 型 根 据 2 0 0 0 年 至 2 0 1 6 年 的 数 据（时 间 变 量t的 值 依 次 为1 2 1 7，）建 立 模 型：30.4 13.5 y t；根 据 2 0 1 0 年 至 2 0 1 6 年 的 数 据（时 间 变 量t的 值 依 次 为1 2 7，）建 立 模 型：99 17.5 y t（1）分 别 利 用 这 两 个 模 型，求 该 地 区 2 0 1 8 年 的 环 境 基 础 设 施 投 资 额 的 预 测 值；（2）你 认 为 用 哪 个 模 型 得 到 的 预 测 值 更 可 靠？并 说 明 理 由 1 9（1 2 分）设 抛 物 线24 C y x：的 焦 点 为 F，过 F 且 斜 率 为(0)k k 的 直 线 l 与 C 交 于 A，B 两 点，|8 A B（1）求 l 的 方 程（2）求 过 点 A，B 且 与 C 的 准 线 相 切 的 圆 的 方 程 2 0（1 2 分）如 图，在 三 棱 锥 P A B C 中，2 2 A B B C，4 P A P B P C A C，O 为 A C 的 中点（1）证 明：P O 平 面 A B C；（2）若 点 M 在 棱 B C 上，且 二 面 角 M P A C 为 3 0，求 P C 与 平 面 P A M 所 成 角 的 正弦 值 PAOCBM2 1（1 2 分）已 知 函 数2()exf x a x（1）若 1 a，证 明：当 0 x 时，()1 f x；（2）若()f x在(0,)只 有 一 个 零 点，求a（二）选 考 题：共 1 0 分 请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第一 题 计 分 2 2 选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）在 直 角 坐 标 系x O y中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为2 c o s4 s i nx y，（为 参 数），直 线 l 的 参 数方 程 为1 c os2 s i nx t y t，（t为 参 数）（1）求 C 和 l 的 直 角 坐 标 方 程；（2）若 曲 线 C 截 直 线 l 所 得 线 段 的 中 点 坐 标 为(1,2)，求 l 的 斜 率 2 3 选 修 4 5：不 等 式 选 讲（1 0 分）设 函 数()5|2|f x x a x（1）当 1 a 时，求 不 等 式()0 f x 的 解 集；（2）若()1 f x，求a的 取 值 范 围 绝 密 启 用 前2 0 1 8 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试理 科 数 学 试 题 参 考 答 案一、选 择 题1 D 2 A 3 B 4 B 5 A 6 A7 B 8 C 9 C 1 0 A 1 1 C 1 2 D二、填 空 题1 3 2 y x 1 4 9 1 5 12 1 6 4 0 2 三、解 答 题1 7 解：（1）设 na 的 公 差 为 d，由 题 意 得13 3 1 5 a d 由17 a 得 d=2 所 以 na 的 通 项 公 式 为 2 9na n（2）由（1）得2 28(4)16nS n n n 所 以 当 n=4 时，nS 取 得 最 小 值，最 小 值 为 1 6 1 8 解：（1）利 用 模 型，该 地 区 2 0 1 8 年 的 环 境 基 础 设 施 投 资 额 的 预 测 值 为 3 0.4 1 3.5 1 9 2 2 6.1 y(亿 元)利 用 模 型，该 地 区 2 0 1 8 年 的 环 境 基 础 设 施 投 资 额 的 预 测 值 为 9 9 1 7.5 9 2 5 6.5 y(亿 元)（2）利 用 模 型 得 到 的 预 测 值 更 可 靠 理 由 如 下：（）从 折 线 图 可 以 看 出，2 0 0 0 年 至 2 0 1 6 年 的 数 据 对 应 的 点 没 有 随 机 散 布 在 直 线3 0.4 1 3.5 y t 上 下 这 说 明 利 用 2 0 0 0 年 至 2 0 1 6 年 的 数 据 建 立 的 线 性 模 型 不 能 很好 地 描 述 环 境 基 础 设 施 投 资 额 的 变 化 趋 势 2 0 1 0 年 相 对 2 0 0 9 年 的 环 境 基 础 设 施 投 资 额有 明 显 增 加，2 0 1 0 年 至 2 0 1 6 年 的 数 据 对 应 的 点 位 于 一 条 直 线 的 附 近，这 说 明 从 2 0 1 0年 开 始 环 境 基 础 设 施 投 资 额 的 变 化 规 律 呈 线 性 增 长 趋 势，利 用 2 0 1 0 年 至 2 0 1 6 年 的 数 据建 立 的 线 性 模 型 9 9 1 7.5 y t 可 以 较 好 地 描 述 2 0 1 0 年 以 后 的 环 境 基 础 设 施 投 资 额 的变 化 趋 势，因 此 利 用 模 型 得 到 的 预 测 值 更 可 靠（）从 计 算 结 果 看，相 对 于 2 0 1 6 年 的 环 境 基 础 设 施 投 资 额 2 2 0 亿 元，由 模 型 得 到的 预 测 值 2 2 6.1 亿 元 的 增 幅 明 显 偏 低，而 利 用 模 型 得 到 的 预 测 值 的 增 幅 比 较 合 理 说明 利 用 模 型 得 到 的 预 测 值 更 可 靠 以 上 给 出 了 2 种 理 由，考 生 答 出 其 中 任 意 一 种 或 其 他 合 理 理 由 均 可 得 分 1 9 解：（1）由 题 意 得(1,0)F，l 的 方 程 为(1)(0)y k x k 设1 2 2 1(,),(,)A y x y x B，由2(1),4y k xy x 得2 2 2 2(2 4)0 k x k x k 21 6 1 6 0 k，故1 2222 4kxkx 所 以1 2224 4|(1)(1)xkA B A F B Fkx 由 题 设 知224 48kk，解 得 1 k（舍 去），1 k 因 此 l 的 方 程 为 1 y x（2）由（1）得 A B 的 中 点 坐 标 为(3,2)，所 以 A B 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 2(3)y x，即 5 y x 设 所 求 圆 的 圆 心 坐 标 为0 0(,)x y，则0 022 0 005,(1)(1)1 6.2y xy xx 解 得003,2xy 或001 1,6.xy 因 此 所 求 圆 的 方 程 为2 2(3)(2)1 6 x y 或2 2(1 1)(6)1 4 4 x y 2 0 解：（1）因 为 4 A P C P A C，O 为 A C 的 中 点，所 以 O P A C，且 2 3 O P 连 结 O B 因 为22A B B C A C，所 以 A B C 为 等 腰 直 角 三 角 形，且 O B A C，122O B A C 由2 2 2O P O B P B 知 P O O B 由,O P O B O P A C 知 P O 平 面 A B C（2）如 图，以 O 为 坐 标 原 点，O Bu u u r的 方 向 为 x 轴 正 方 向，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O x y z 由 已 知 得 取 平 面 P A C 的 法 向 量(2,0,0)O B u u u r设(,2,0)(0 2)M a a a，则(,4,0)A M a a u u u r设 平 面 P A M 的 法 向 量 为(,)x y z n 由 0,0 A P A M u u u r u u u rn n 得2 2 3 0(4)0y zax a y，可 取(3(4),3,)a a a n，所 以2 2 22 3(4)c o s,2 3(4)3aO Ba a a u u u rn 由 已 知 可 得3|c o s,|2O B u u u rn 所 以2 2 22 3|4|3=22 3(4)3aa a a 解 得 4 a（舍 去），43a 所 以8 3 4 3 4(,)3 3 3 n 又(0,2,2 3)P C u u u r，所 以3c o s,4P C u u u rn 所 以 P C 与 平 面 P A M 所 成 角 的 正 弦 值 为342 1 解：（1）当 1 a 时，()1 f x 等 价 于2(1)e 1 0 xx 设 函 数2()(1)e 1xg x x，则2 2()(2 1)e(1)ex xg x x x x 当 1 x 时，()0 g x，所 以()g x 在(0,)单 调 递 减 而(0)0 g，故 当 0 x 时，()0 g x，即()1 f x（2）设 函 数2()1 exh x a x()f x 在(0,)只 有 一 个 零 点 当 且 仅 当()h x 在(0,)只 有 一 个 零 点（i）当 0 a 时，()0 h x，()h x 没 有 零 点；（i i）当 0 a 时，()(2)exh x a x x 当(0,2)x 时，()0 h x；当(2,)x 时，()0 h x 所 以()h x 在(0,2)单 调 递 减，在(2,)单 调 递 增 故24(2)1eah 是()h x 在 0,)的 最 小 值 若(2)0 h，即2e4a，()h x 在(0,)没 有 零 点；若(2)0 h，即2e4a，()h x 在(0,)只 有 一 个 零 点；若(2)0 h，即2e4a，由 于(0)1 h，所 以()h x 在(0,2)有 一 个 零 点，由（1）知，当 0 x 时，2exx，所 以3 3 34 2 2 41 6 1 6 1 6 1(4)1 1 1 1 0e(e)(2)a aa a ah aa a 故()h x 在(2,4)a 有 一 个 零 点，因 此()h x 在(0,)有 两 个 零 点 综 上，()f x 在(0,)只 有 一 个 零 点 时，2e4a 2 2 解：（1）曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为2 214 1 6x y 当 c o s 0 时，l 的 直 角 坐 标 方 程 为 t a n 2 t a n y x，当 c o s 0 时，l 的 直 角 坐 标 方 程 为 1 x（2）将 l 的 参 数 方 程 代 入 C 的 直 角 坐 标 方 程，整 理 得 关 于 t 的 方 程2 2(1 3 c o s)4(2 c o s s i n)8 0 t t 因 为 曲 线 C 截 直 线 l 所 得 线 段 的 中 点(1,2)在 C 内，所 以 有 两 个 解，设 为1t，2t，则1 20 t t 又 由 得1 2 24(2 c o s s i n)1 3 c o st t，故 2 c o s s i n 0，于 是 直 线 l 的 斜 率t a n 2 k 2 3 解：（1）当 1 a 时，2 4,1,()2,1 2,2 6,2.x xf x xx x 可 得()0 f x 的 解 集 为|2 3 x x（2）()1 f x 等 价 于|2|4 x a x 而|2|2|x a x a，且 当 2 x 时 等 号 成 立 故()1 f x 等 价 于|2|4 a 由|2|4 a 可 得6 a 或2 a，所 以a的 取 值 范 围 是(,6 2,)