2018年福建中考数学真题及答案(A卷).pdf

2 0 1 8 年 福 建 中 考 数 学 真 题 及 答 案（A 卷）一、选 择 题（每 题 只 有 一 个 正 确 选 项，本 题 共 1 0 小 题，每 题 3 分，共 4 0 分）1.在 实 数|3|，2，0，中，最 小 的 数 是（）A.|3|B.2 C.0 D.【答 案】B【解 析】【分 析】直 接 利 用 利 用 绝 对 值 的 性 质 化 简，进 而 比 较 大 小 得 出 答 案【详 解】在 实 数|-3|，-2，0，中，|-3|=3，则-2 0|-3|，故 最 小 的 数 是：-2 故 选 B【点 睛】此 题 主 要 考 查 了 实 数 大 小 比 较 以 及 绝 对 值，正 确 掌 握 实 数 比 较 大 小 的 方 法 是 解 题 关 键 2.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 几 何 体 是（）A.圆 柱 B.三 棱 柱 C.长 方 体 D.四 棱 锥【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 常 见 几 何 体 的 三 视 图 逐 一 判 断 即 可 得【详 解】A、圆 柱 的 主 视 图 和 左 视 图 是 矩 形，但 俯 视 图 是 圆，不 符 合 题 意；B、三 棱 柱 的 主 视 图 和 左 视 图 是 矩 形，但 俯 视 图 是 三 角 形，不 符 合 题 意；C、长 方 体 的 主 视 图、左 视 图 及 俯 视 图 都 是 矩 形，符 合 题 意；D、四 棱 锥 的 主 视 图、左 视 图 都 是 三 角 形，而 俯 视 图 是 四 边 形，不 符 合 题 意；故 选 C【点 睛】本 题 主 要 考 查 由 三 视 图 判 断 几 何 体，解 题 的 关 键 是 掌 握 常 见 几 何 体 的 三 视 图 3.下 列 各 组 数 中，能 作 为 一 个 三 角 形 三 边 边 长 的 是（）A.1，1，2 B.1，2，4 C.2，3，4 D.2，3，5【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 三 角 形 中 任 意 两 边 之 和 大 于 第 三 边，任 意 两 边 之 差 小 于 第 三 边 即 可 求 解【详 解】A、1+1=2，不 满 足 三 边 关 系，故 错 误；B、1+2 4，不 满 足 三 边 关 系，故 错 误；C、2+3 4，满 足 三 边 关 系，故 正 确；D、2+3=5，不 满 足 三 边 关 系，故 错 误 故 选 C【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 三 角 形 三 边 关 系 的 运 用，判 定 三 条 线 段 能 否 构 成 三 角 形 时 并 不 一 定 要 列 出 三 个不 等 式，只 要 两 条 较 短 的 线 段 长 度 之 和 大 于 第 三 条 线 段 的 长 度 即 可 判 定 这 三 条 线 段 能 构 成 一 个 三 角 形 4.一 个 n 边 形 的 内 角 和 为 3 6 0，则 n 等 于（）A.3 B.4 C.5 D.6【答 案】B【解 析】【分 析】n 边 形 的 内 角 和 是（n-2）1 8 0，如 果 已 知 多 边 形 的 内 角 和，就 可 以 得 到 一 个 关 于 边 数 的 方程，解 方 程 就 可 以 求 n【详 解】根 据 n 边 形 的 内 角 和 公 式，得：2 1 8 0 3 6 0 n（），解 得 n=4 故 选：B【点 睛】本 题 考 查 了 多 边 形 的 内 角 和，熟 记 多 边 形 内 角 和 公 式 是 解 题 的 关 键 5.如 图，等 边 三 角 形 A B C 中，A D B C，垂 足 为 D，点 E 在 线 段 A D 上，E B C=4 5，则 A C E 等 于（）A.1 5 B.3 0 C.4 5 D.6 0【答 案】A【解 析】【分 析】先 判 断 出 A D 是 B C 的 垂 直 平 分 线，进 而 求 出 E C B=4 5，即 可 得 出 结 论【详 解】解：等 边 三 角 形 A B C 中，A D B C，B D=C D，即：A D 是 B C 的 垂 直 平 分 线，点 E 在 A D 上，B E=C E，E B C=E C B，E B C=4 5，E C B=4 5，A B C 是 等 边 三 角 形，A C B=6 0，A C E=A C B-E C B=1 5，故 选 A【点 睛】此 题 主 要 考 查 了 等 边 三 角 形 的 性 质，垂 直 平 分 线 的 判 定 和 性 质，等 腰 三 角 形 的 性 质，求 出 E C B是 解 本 题 的 关 键 6.投 掷 两 枚 质 地 均 匀 的 骰 子，骰 子 的 六 个 面 上 分 别 刻 有 1 到 6 的 点 数，则 下 列 事 件 为 随 机 事 件 的 是（）A.两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 大 于 1B.两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 等 于 1C.两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 大 于 1 2D.两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 等 于 1 2【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 事 先 能 肯 定 它 一 定 会 发 生 的 事 件 称 为 必 然 事 件，事 先 能 肯 定 它 一 定 不 会 发 生 的 事 件 称 为 不可 能 事 件，在 一 定 条 件 下，可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 的 事 件，称 为 随 机 事 件 进 行 分 析 即 可【详 解】A、两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 大 于 1，是 必 然 事 件，故 此 选 项 错 误；B、两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 等 于 1，是 不 可 能 事 件，故 此 选 项 错 误；C、两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 大 于 1 2，是 不 可 能 事 件，故 此 选 项 错 误；D、两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 等 于 1 2，是 随 机 事 件，故 此 选 项 正 确；故 选：D【点 睛】此 题 主 要 考 查 了 随 机 事 件 的 判 断，关 键 是 掌 握 随 机 事 件，确 定 性 事 件 的 定 义 7.已 知 m=4+3，则 以 下 对 m 的 估 算 正 确 的（）A.2 m 3 B.3 m 4 C.4 m 5 D.5 m 6【答 案】B【解 析】【分 析】直 接 化 简 二 次 根 式，得 出3的 取 值 范 围，进 而 得 出 答 案【详 解】m=4+3=2+3，1 3 2，3 m 4，故 选 B【点 睛】此 题 主 要 考 查 了 估 算 无 理 数 的 大 小，正 确 得 出3的 取 值 范 围 是 解 题 关 键 8.我 国 古 代 数 学 著 作 增 删 算 法 统 宗 记 载”绳 索 量 竿”问 题：“一 条 竿 子 一 条 索，索 比 竿 子 长 一 托 折回 索 子 却 量 竿，却 比 竿 子 短 一 托“其 大 意 为：现 有 一 根 竿 和 一 条 绳 索，用 绳 索 去 量 竿，绳 索 比 竿 长 5 尺；如 果 将 绳 索 对 半 折 后 再 去 量 竿，就 比 竿 短 5 尺 设 绳 索 长 x 尺，竿 长 y 尺，则 符 合 题 意 的 方 程 组 是（）A.5152x yx y B.51+52x yx y C.52-5x yx y D.-52+5x yx y【答 案】A【解 析】【分 析】设 索 长 为 x 尺，竿 子 长 为 y 尺，根 据“索 比 竿 子 长 一 托，折 回 索 子 却 量 竿，却 比 竿 子 短 一 托”，即 可 得 出 关 于 x、y 的 二 元 一 次 方 程 组【详 解】解：设 索 长 为 x 尺，竿 子 长 为 y 尺，根 据 题 意 得：5152x yx y 故 选 A【点 睛】本 题 考 查 了 二 元 一 次 方 程 组 的 应 用，找 准 等 量 关 系，正 确 列 出 二 元 一 次 方 程 组 是 解 题 的 关 键 9.如 图，A B 是 O 的 直 径，B C 与 O 相 切 于 点 B，A C 交 O 于 点 D，若 A C B=5 0，则 B O D 等 于（）A.4 0 B.5 0 C.6 0 D.8 0【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 切 线 的 性 质 得 到 A B C=9 0，根 据 直 角 三 角 形 的 性 质 求 出 A，根 据 圆 周 角 定 理 计 算 即 可【详 解】B C 是 O 的 切 线，A B C=9 0，A=9 0-A C B=4 0，由 圆 周 角 定 理 得，B O D=2 A=8 0，故 选 D【点 睛】本 题 考 查 的 是 切 线 的 性 质、圆 周 角 定 理，掌 握 圆 的 切 线 垂 直 于 经 过 切 点 的 半 径 是 解 题 的 关 键 1 0.已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程（a+1）x2+2 b x+（a+1）=0 有 两 个 相 等 的 实 数 根，下 列 判 断 正 确 的 是（）A.1 一 定 不 是 关 于 x 的 方 程 x2+b x+a=0 的 根B.0 一 定 不 是 关 于 x 的 方 程 x2+b x+a=0 的 根C.1 和 1 都 是 关 于 x 的 方 程 x2+b x+a=0 的 根D.1 和 1 不 都 是 关 于 x 的 方 程 x2+b x+a=0 的 根【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 可 得 出 b=a+1 或 b=-（a+1），当 b=a+1 时，-1 是 方 程 x2+b x+a=0的 根；当 b=-（a+1）时，1 是 方 程 x2+b x+a=0 的 根 再 结 合 a+1-（a+1），可 得 出 1 和-1 不 都 是 关 于 x的 方 程 x2+b x+a=0 的 根【详 解】关 于 x 的 一 元 二 次 方 程（a+1）x2+2 b x+（a+1）=0 有 两 个 相 等 的 实 数 根，2 21 02 4 1 0ab a，b=a+1 或 b=-（a+1）当 b=a+1 时，有 a-b+1=0，此 时-1 是 方 程 x2+b x+a=0 的 根；当 b=-（a+1）时，有 a+b+1=0，此 时 1 是 方 程 x2+b x+a=0 的 根 a+1 0，a+1-（a+1），1 和-1 不 都 是 关 于 x 的 方 程 x2+b x+a=0 的 根 故 选 D【点 睛】本 题 考 查 了 根 的 判 别 式 以 及 一 元 二 次 方 程 的 定 义，牢 记“当=0 时，方 程 有 两 个 相 等 的 实 数根”是 解 题 的 关 键 二、细 心 填 一 填（本 大 题 共 6 小 题，每 小 题 4 分，满 分 2 4 分，请 把 答 案 填 在 答 題 卷 相 应 题 号 的 横 线 上）1 1.计 算：（22）0 1=_ _ _ _ _【答 案】0【解 析】【分 析】根 据 零 指 数 幂：a0=1（a 0）进 行 计 算 即 可【详 解】原 式=1-1=0，故 答 案 为 0【点 睛】此 题 主 要 考 查 了 零 指 数 幂，关 键 是 掌 握 a0=1（a 0）1 2.某 8 种 食 品 所 含 的 热 量 值 分 别 为：1 2 0，1 3 4，1 2 0，1 1 9，1 2 6，1 2 0，1 1 8，1 2 4，则 这 组 数 据 的 众 数为 _ _ _ _ _【答 案】1 2 0【解 析】【分 析】根 据 众 数 的 定 义：一 组 数 据 中 出 现 次 数 最 多 的 数 据 即 为 众 数【详 解】这 组 数 据 中 1 2 0 出 现 次 数 最 多，有 3 次，这 组 数 据 的 众 数 为 1 2 0，故 答 案 为 1 2 0【点 睛】本 题 主 要 考 查 众 数，解 题 的 关 键 是 掌 握 众 数 的 定 义：一 组 数 据 中 出 现 次 数 最 多 的 数 据 1 3.如 图，R t A B C 中，A C B=9 0，A B=6，D 是 A B 的 中 点，则 C D=_ _ _ _ _【答 案】3【解 析】【分 析】根 据 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 解 答【详 解】A C B=9 0，D 为 A B 的 中 点，C D=12A B=12 6=3 故 答 案 为 3【点 睛】本 题 考 查 了 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 的 性 质，熟 记 性 质 是 解 题 的 关 键 1 4.不 等 式 组3 1 32 0 x xx 的 解 集 为 _ _ _ _ _【答 案】x 2【解 析】【分 析】先 求 出 每 个 不 等 式 的 解 集，再 求 出 不 等 式 组 的 解 集 即 可【详 解】3 1 32 0 x xx 解 不 等 式 得：x 1，解 不 等 式 得：x 2，不 等 式 组 的 解 集 为 x 2，故 答 案 为 x 2【点 睛】本 题 考 查 了 解 一 元 一 次 不 等 式 组，能 根 据 不 等 式 的 解 集 得 出 不 等 式 组 的 解 集 是 解 此 题 的 关 键 1 5.把 两 个 同 样 大 小 的 含 4 5 角 的 三 角 尺 按 如 图 所 示 的 方 式 放 置，其 中 一 个 三 角 尺 的 锐 角 顶 点 与 另 一个 的 直 角 顶 点 重 合 于 点 A，且 另 三 个 锐 角 顶 点 B，C，D 在 同 一 直 线 上 若 A B=2，则 C D=_ _ _ _ _【答 案】3 1【解 析】【分 析】先 利 用 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 求 出 B C=2，B F=A F=1，再 利 用 勾 股 定 理 求 出 D F，即 可 得 出 结 论【详 解】如 图，过 点 A 作 A F B C 于 F，在 R t A B C 中，B=4 5，B C=2A B=2，B F=A F=22A B=1，两 个 同 样 大 小 的 含 4 5 角 的 三 角 尺，A D=B C=2，在 R t A D F 中，根 据 勾 股 定 理 得，D F=2 2A D A F=3 C D=B F+D F-B C=1+3-2=3-1，故 答 案 为3-1【点 睛】此 题 主 要 考 查 了 勾 股 定 理，等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质，正 确 作 出 辅 助 线 是 解 本 题 的 关 键 1 6.如 图，直 线 y=x+m 与 双 曲 线 y=3x相 交 于 A，B 两 点，B C x 轴，A C y 轴，则 A B C 面 积 的 最 小 值 为_ _ _ _ _【答 案】6【解 析】【分 析】根 据 双 曲 线 y=3x过 A，B 两 点，可 设 A（a，3a），B（b，3b），则 C（a，3b）将 y=x+m 代 入y=3x，整 理 得 x2+m x-3=0，由 于 直 线 y=x+m 与 双 曲 线 y=3x相 交 于 A，B 两 点，所 以 a、b 是 方 程 x2+m x-3=0的 两 个 根，根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 出 a+b=-m，a b=-3，那 么（a-b）2=（a+b）2-4 a b=m2+1 2 再 根 据 三 角形 的 面 积 公 式 得 出 S A B C=12A C B C=12m2+6，利 用 二 次 函 数 的 性 质 即 可 求 出 当 m=0 时，A B C 的 面 积 有 最 小值 6【详 解】设 A（a，3a），B（b，3b），则 C（a，3b）将 y=x+m 代 入 y=3x，得 x+m=3x，整 理，得 x2+m x-3=0，则 a+b=-m，a b=-3，（a-b）2=（a+b）2-4 a b=m2+1 2 S A B C=12A C B C=12（3a-3b）（a-b）=12 3 b aa b（a-b）=12（a-b）2=12（m2+1 2）=12m2+6，当 m=0 时，A B C 的 面 积 有 最 小 值 6 故 答 案 为 6【点 睛】本 题 考 查 了 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 问 题：求 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 坐 标，把 两 个函 数 关 系 式 联 立 成 方 程 组 求 解，若 方 程 组 有 解 则 两 者 有 交 点，方 程 组 无 解，则 两 者 无 交 点 也 考 查 了 函数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征，根 与 系 数 的 关 系，三 角 形 的 面 积，二 次 函 数 的 性 质 三、专 心 解 一 解（本 大 题 共 9 小 题，满 分 8 6 分，请 认 真 读 题，冷 静 思 考 解 答 题 应 写 出 必 要 的 文 宇 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤，请 把 解 题 过 程 写 在 答 题 卷 相 应 题 号 的 位 置）1 7.解 方 程 组：14 10 x yx y【答 案】32xy【解 析】【分 析】方 程 组 利 用 加 减 消 元 法 求 出 解 即 可【详 解】14 10 x yx y 得：3 x=9，解 得：x=3，把 x=3 代 入 得：y=2，则 方 程 组 的 解 为32xy.【点 睛】此 题 考 查 了 解 二 元 一 次 方 程 组，利 用 了 消 元 的 思 想，消 元 的 方 法 有：代 入 消 元 法 与 加 减 消 元 法 1 8.已 知 平 行 四 边 形 A B C D，对 角 线 A C、B D 交 于 点 O，线 段 E F 过 点 O 交 A D 于 点 E，交 B C 于 点 F 求 证：O E=O F【答 案】证 明 见 解 析.【解 析】【分 析】由 四 边 形 A B C D 是 平 行 四 边 形，可 得 A D B C，O A=O C，继 而 可 利 用 A S A 判 定 A O E C O F，继而 证 得 O E=O F【详 解】证 明：四 边 形 A B C D 是 平 行 四 边 形，A D B C，O A=O C，O A E=O C F，在 A O E 和 C O F 中，O A E O C FO A O CA O E C O F，A O E C O F（A S A），O E=O F【点 睛】此 题 考 查 了 平 行 四 边 形 的 性 质 以 及 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 此 题 难 度 不 大，注 意 掌 握 数 形 结合 思 想 的 应 用 1 9.先 化 简，再 求 值：22 1 1(1)m mm m，其 中 m=3+1【答 案】33【解 析】【分 析】根 据 分 式 的 减 法 和 除 法 可 以 化 简 题 目 中 的 式 子，然 后 将 m 的 值 代 入 即 可 解 答 本 题【详 解】22 1 11m mm m=2 11(1)m m mm m m=11(1)m mm m m=11 m，当 m=3+1 时，原 式=1 1 33 3+1 1 3【点 睛】本 题 考 查 分 式 的 化 简 求 值，解 答 本 题 的 关 键 是 明 确 分 式 化 简 求 值 的 方 法 2 0.求 证：相 似 三 角 形 对 应 边 上 的 中 线 之 比 等 于 相 似 比 要 求：根 据 给 出 的 A B C 及 线 段 A B，A（A=A），以 线 段 A B 为 一 边，在 给 出 的 图 形上 用 尺 规 作 出 A B C，使 得 A B C A B C，不 写 作 法，保 留 作 图 痕 迹；在 已 有 的 图 形 上 画 出 一 组 对 应 中 线，并 据 此 写 出 已 知、求 证 和 证 明 过 程【答 案】（1）作 图 见 解 析；（2）证 明 见 解 析【解 析】【分 析】（1）作 A B C=A B C，即 可 得 到 A B C；（2）依 据 D 是 A B 的 中 点，D 是 A B 的 中 点，即 可 得 到A D A BA D A B，根 据 A B C A B C，即 可 得到A B A CA B A C，A=A，进 而 得 出 A C D A C D，可 得C D A CkC D A C【详 解】（1）如 图 所 示，A B C 即 为 所 求；（2）已 知，如 图，A B C A B C，A B B C A CA B B C A C=k，D 是 A B 的 中 点，D 是 A B 的 中 点，求 证：C DC D=k 证 明：D 是 A B 的 中 点，D 是 A B 的 中 点，A D=12A B，A D=12A B，1212A BA D A BA D A BA B，A B C A B C，A B A CA B A C，A=A，A D A CA D A C，A=A，A C D A C D，C D A CC D A C=k【点 睛】本 题 考 查 了 相 似 三 角 形 的 性 质 与 判 定，主 要 利 用 了 相 似 三 角 形 的 性 质，相 似 三 角 形 对 应 边 成 比例 的 性 质，以 及 两 三 角 形 相 似 的 判 定 方 法，要 注 意 文 字 叙 述 性 命 题 的 证 明 格 式 2 1.如 图，在 R t A B C 中，C=9 0，A B=1 0，A C=8 线 段 A D 由 线 段 A B 绕 点 A 按 逆 时 针 方 向 旋 转 9 0 得 到，E F G 由 A B C 沿 C B 方 向 平 移 得 到，且 直 线 E F 过 点 D（1）求 B D F 的 大 小；（2）求 C G 的 长【答 案】（1）4 5；（2）1 2.5.【解 析】【分 析】（1）由 旋 转 的 性 质 得，A D=A B=1 0，A B D=4 5，再 由 平 移 的 性 质 即 可 得 出 结 论；（2）先 判 断 出 A D E=A C B，进 而 得 出 A D E A C B，得 出 比 例 式 求 出 A E，即 可 得 出 结 论【详 解】（1）线 段 A D 是 由 线 段 A B 绕 点 A 按 逆 时 针 方 向 旋 转 9 0 得 到，D A B=9 0，A D=A B=1 0，A B D=4 5，E F G 是 A B C 沿 C B 方 向 平 移 得 到，A B E F，B D F=A B D=4 5；（2）由 平 移 的 性 质 得，A E C G，A B E F，D E A=D F C=A B C，A D E+D A B=1 8 0，D A B=9 0，A D E=9 0，A C B=9 0，A D E=A C B，A D E A C B，A D A EA C A B，A B=8，A B=A D=1 0，A E=1 2.5，由 平 移 的 性 质 得，C G=A E=1 2.5【点 睛】此 题 主 要 考 查 了 图 形 的 平 移 与 旋 转，平 行 线 的 性 质，等 腰 直 角 三 角 形 的 判 定 和 性 质，解 直 角 三角 形，相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质，判 断 出 A D E A C B 是 解 本 题 的 关 键 2 2.甲、乙 两 家 快 递 公 司 揽 件 员（揽 收 快 件 的 员 工）的 日 工 资 方 案 如 下：甲 公 司 为“基 本 工 资+揽 件 提 成”，其 中 基 本 工 资 为 7 0 元/日，每 揽 收 一 件 提 成 2 元；乙 公 司 无 基 本 工 资，仅 以 揽 件 提 成 计 算 工 资 若 当 日 揽 件 数 不 超 过 4 0，每 件 提 成 4 元；若 当 日 搅 件 数超 过 4 0，超 过 部 分 每 件 多 提 成 2 元 如 图 是 今 年 四 月 份 甲 公 司 揽 件 员 人 均 揽 件 数 和 乙 公 司 搅 件 员 人 均 揽 件 数 的 条 形 统 计 图：（1）现 从 今 年 四 月 份 的 3 0 天 中 随 机 抽 取 1 天，求 这 一 天 甲 公 司 揽 件 员 人 均 揽 件 数 超 过 4 0（不 含 4 0）的 概 率；（2）根 据 以 上 信 息，以 今 年 四 月 份 的 数 据 为 依 据，并 将 各 公 司 揽 件 员 的 人 均 揽 件 数 视 为 该 公 司 各 揽 件员 的揽 件 数，解 决 以 下 问 题：估 计 甲 公 司 各 揽 件 员 的 日 平 均 件 数；小 明 拟 到 甲、乙 两 家 公 司 中 的 一 家 应 聘 揽 件 员，如 果 仅 从 工 资 收 入 的 角 度 考 虑，请 利 用 所 学 的 统 计 知识 帮 他 选 择，井 说 明 理 由【答 案】（1）21 5；（2）3 9 件；仅 从 工 资 收 入 的 角 度 考 虑，小 明 应 到 乙 公 司 应 聘【解 析】【分 析】（1）根 据 概 率 公 式 计 算 可 得；（2）分 别 根 据 平 均 数 的 定 义 及 其 意 义 解 答 可 得【详 解】（1）因 为 今 年 四 月 份 甲 公 司 揽 件 员 人 均 揽 件 数 超 过 4 0 的 有 4 天，所 以 甲 公 司 揽 件 员 人 均 揽 件 数 超 过 4 0（不 含 4 0）的 概 率 为4 23 0 1 5；（2）甲 公 司 各 揽 件 员 的 日 平 均 件 数 为3 8 1 3 3 9 9 4 0 4 4 1 3 4 2 13 0=3 9 件；甲 公 司 揽 件 员 的 日 平 均 工 资 为 7 0+3 9 2=1 4 8 元，乙 公 司 揽 件 员 的 日 平 均 工 资 为 3 8 7 3 9 7 4 0 8 5 3 4 1 5 2 3 63 0=4 0+2 7 1 730 4+1 5 2 33 0 6=1 5 9.4 元，因 为 1 5 9.4 1 4 8，所 以 仅 从 工 资 收 入 的 角 度 考 虑，小 明 应 到 乙 公 司 应 聘【点 睛】本 题 主 要 考 查 概 率 公 式，解 题 的 关 键 是 掌 握 概 率=所 求 情 况 数 与 总 情 况 数 之 比 及 平 均 数 的 定 义及 其 意 义 2 3.如 图，在 足 够 大 的 空 地 上 有 一 段 长 为 a 米 的 旧 墙 M N，某 人 利 用 旧 墙 和 木 栏 围 成 一 个 矩 形 菜 园 A B C D，其 中 A D M N，已 知 矩 形 菜 园 的 一 边 靠 墙，另 三 边 一 共 用 了 1 0 0 米 木 栏（1）若 a=2 0，所 围 成 的 矩 形 菜 园 的 面 积 为 4 5 0 平 方 米，求 所 利 用 旧 墙 A D 的 长；（2）求 矩 形 菜 园 A B C D 面 积 的 最 大 值【答 案】（1）D 的 长 为 1 0 m；（2）当 a 5 0 时，S 的 最 大 值 为 1 2 5 0；当 0 a 5 0 时，S 的 最 大 值 为 5 0 a12a2【解 析】【分 析】（1）设 A B=x m，则 B C=（1 0 0 2 x）m，利 用 矩 形 的 面 积 公 式 得 到 x（1 0 0 2 x）=4 5 0，解 方 程 求得 x1=5，x2=4 5，然 后 计 算 1 0 0 2 x 后 与 2 0 进 行 大 小 比 较 即 可 得 到 A D 的 长；（2）设 A D=x m，利 用 矩 形 面 积 可 得 S=12x（1 0 0 x），配 方 得 到 S=12（x 5 0）2+1 2 5 0，根 据 a 的 取值 范 围 和 二 次 函 数 的 性 质 分 类 讨 论：当 a 5 0 时，根 据 二 次 函 数 的 性 质 得 S 的 最 大 值 为 1 2 5 0；当 0 a 5 0 时，则 当 0 x a 时，根 据 二 次 函 数 的 性 质 得 S 的 最 大 值 为 5 0 a 12a【详 解】（1）设 A B=x m，则 B C=（1 0 0 2 x）m，根 据 题 意 得 x（1 0 0 2 x）=4 5 0，解 得 x1=5，x2=4 5，当 x=5 时，1 0 0 2 x=9 0 2 0，不 合 题 意 舍 去；当 x=4 5 时，1 0 0 2 x=1 0，答：A D 的 长 为 1 0 m；（2）设 A D=x m，S=12x（1 0 0 x）=12（x 5 0）2+1 2 5 0，当 a 5 0 时，则 x=5 0 时，S 的 最 大 值 为 1 2 5 0；当 0 a 5 0 时，则 当 0 x a 时，S 随 x 的 增 大 而 增 大，当 x=a 时，S 的 最 大 值 为 5 0 a 12a2，综 上 所 述，当 a 5 0 时，S 的 最 大 值 为 1 2 5 0；当 0 a 5 0 时，S 的 最 大 值 为 5 0 a 12a2【点 睛】本 题 考 查 了 一 元 二 次 方 程 及 二 次 函 数 的 应 用 解 决 第（2）问 时，要 注 意 根 据 二 次 函 数 的 性 质并 结 合 a 的 取 值 范 围 进 行 分 类 讨 论，这 也 是 本 题 的 难 点 2 4.已 知 四 边 形 A B C D 是 O 的 内 接 四 边 形，A C 是 O 的 直 径，D E A B，垂 足 为 E（1）延 长 D E 交 O 于 点 F，延 长 D C，F B 交 于 点 P，如 图 1 求 证：P C=P B；（2）过 点 B 作 B G A D，垂 足 为 G，B G 交 D E 于 点 H，且 点 O 和 点 A 都 在 D E 的 左 侧，如 图 2 若 A B=3，D H=1，O H D=8 0，求 B D E 的 大 小【答 案】（1）详 见 解 析；（2）B D E=2 0【解 析】【分 析】（1）根 据 已 知 条 件 易 证 B C D F，根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 F=P B C；再 利 用 同 角 的 补 角 相 等 证得 F=P C B，所 以 P B C=P C B，由 此 即 可 得 出 结 论；（2）连 接 O D，先 证 明 四 边 形 D H B C 是 平 行 四 边 形，根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 可 得 B C=D H=1，在 R t A B C 中，用 锐 角 三 角 函 数 求 出 A C B=6 0，进 而 判 断 出D H=O D，求 出 O D H=2 0，再 求 得 N O H=D O C=4 0，根 据 三 角 形 外 角 的 性 质 可 得 O A D=12 D O C=2 0，最 后 根 据 圆 周 角 定 理 及 平 行 线 的 性 质 即 可 求 解【详 解】（1）如 图 1，A C 是 O 的 直 径，A B C=9 0，D E A B，D E A=9 0，D E A=A B C，B C D F，F=P B C，四 边 形 B C D F 是 圆 内 接 四 边 形，F+D C B=1 8 0，P C B+D C B=1 8 0，F=P C B，P B C=P C B，P C=P B；（2）如 图 2，连 接 O D，A C 是 O 的 直 径，A D C=9 0，B G A D，A G B=9 0，A D C=A G B，B G D C，B C D E，四 边 形 D H B C 是 平 行 四 边 形，B C=D H=1，在 R t A B C 中，A B=3，t a n A C B=3A BB C，A C B=6 0，B C=12A C=O D，D H=O D，在 等 腰 D O H 中，D O H=O H D=8 0，O D H=2 0，设 D E 交 A C 于 N，B C D E，O N H=A C B=6 0，N O H=1 8 0（O N H+O H D）=4 0，D O C=D O H N O H=4 0，O A=O D，O A D=12 D O C=2 0，C B D=O A D=2 0，B C D E，B D E=C B D=2 0【点 睛】本 题 考 查 了 圆 内 接 四 边 形 的 性 质、圆 周 角 定 理、平 行 四 边 形 的 判 定 与 性 质、等 腰 三 角 形 的 性 质等 知 识 点，解 决 第（2）问，作 出 辅 助 线，求 得 O D H=2 0 是 解 决 本 题 的 关 键.2 5.已 知 抛 物 线 y=a x2+b x+c 过 点 A（0，2）（1）若 点（2，0）也 在 该 抛 物 线 上，求 a，b 满 足 的 关 系 式；（2）若 该 抛 物 线 上 任 意 不 同 两 点 M（x1，y1），N（x2，y2）都 满 足：当 x1 x2 0 时，（x1 x2）（y1 y2）0；当 0 x1 x2时，（x1 x2）（y1 y2）0 以 原 点 O 为 心，O A 为 半 径 的 圆 与 拋 物 线 的 另 两 个 交 点 为B，C，且 A B C 有 一 个 内 角 为 6 0 求 抛 物 线 的 解 析 式；若 点 P 与 点 O 关 于 点 A 对 称，且 O，M，N 三 点 共 线，求 证：P A 平 分 M P N【答 案】（1）2 a 2b+2=0（a 0）；（2）y=x2+2；详 见 解 析.【解 析】【分 析】（1）由 抛 物 线 经 过 点 A 可 求 出 c=2，再 把（2，0）代 入 抛 物 线 的 解 析 式，即 可 得 2 a 2b+2=0（a 0）；（2）根 据 二 次 函 数 的 性 质 可 得 出 抛 物 线 的 对 称 轴 为 y 轴、开 口 向 下，进 而 可 得 出 b=0，由 抛 物 线 的对 称 性 可 得 出 A B C 为 等 腰 三 角 形，结 合 其 有 一 个 6 0 的 内 角 可 得 出 A B C 为 等 边 三 角 形，设 线 段 B C与 y 轴 交 于 点 D，根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 可 得 出 点 C 的 坐 标，再 利 用 待 定 系 数 法 可 求 出 a 值，即 可 求 得抛 物 线 的 解 析 式；由 的 结 论 可 得 出 点 M 的 坐 标 为（x1，21x+2）、点 N 的 坐 标 为（x2，22x+2），由O、M、N 三 点 共 线 可 得 出 x2=12x，进 而 可 得 出 点 N 及 点 N 的 坐 标，由 点 A、M 的 坐 标 利 用 待 定 系 数 法可 求 出 直 线 A M 的 解 析 式，利 用 一 次 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 可 得 出 点 N 在 直 线 P M 上，进 而 即 可 证 出P A 平 分 M P N【详 解】（1）抛 物 线 y=a x2+b x+c 过 点 A（0，2），c=2 又 点（2，0）也 在 该 抛 物 线 上，a（2）2+b（2）+c=0，2 a 2b+2=0（a 0）（2）当 x1 x2 0 时，（x1 x2）（y1 y2）0，x1 x2 0，y1 y2 0，当 x 0 时，y 随 x 的 增 大 而 增 大；同 理：当 x 0 时，y 随 x 的 增 大 而 减 小，抛 物 线 的 对 称 轴 为 y 轴，开 口 向 下，b=0 O A 为 半 径 的 圆 与 拋 物 线 的 另 两 个 交 点 为 B、C，A B C 为 等 腰 三 角 形，又 A B C 有 一 个 内 角 为 6 0，A B C 为 等 边 三 角 形 设 线 段 B C 与 y 轴 交 于 点 D，则 B D=C D，且 O C D=3 0，又 O B=O C=O A=2，C D=O C c o s 3 0=3，O D=O C s i n 3 0=1 不 妨 设 点 C 在 y 轴 右 侧，则 点 C 的 坐 标 为（3，1）点 C 在 抛 物 线 上，且