2019年湖南省株洲市中考数学真题及答案.pdf

2 0 1 9 年 湖 南 省 株 洲 市 中 考 数 学 真 题 及 答 案一、选 择 题（每 小 题 有 且 只 有 一 个 正 确 答 案，本 题 共 1 0 小 题，每 小 题 3 分，共 3 0 分）1（3 分）3 的 倒 数 是（）A B C 3 D 32（3 分）（）A 4 B 4 C D 23（3 分）下 列 各 式 中，与 3 x2y3是 同 类 项 的 是（）A 2 x5B 3 x3y2C x2y3D y54（3 分）对 于 任 意 的 矩 形，下 列 说 法 一 定 正 确 的 是（）A 对 角 线 垂 直 且 相 等B 四 边 都 互 相 垂 直C 四 个 角 都 相 等D 是 轴 对 称 图 形，但 不 是 中 心 对 称 图 形5（3 分）关 于 x 的 分 式 方 程 0 的 解 为（）A 3 B 2 C 2 D 36（3 分）在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点 A（2，3）位 于 哪 个 象 限？（）A 第 一 象 限 B 第 二 象 限 C 第 三 象 限 D 第 四 象 限7（3 分）若 一 组 数 据 x，3，1，6，3 的 中 位 数 和 平 均 数 相 等，则 x 的 值 为（）A 2 B 3 C 4 D 58（3 分）下 列 各 选 项 中 因 式 分 解 正 确 的 是（）A x2 1（x 1）2B a3 2 a2+a a2（a 2）C 2 y2+4 y 2 y（y+2）D m2n 2 m n+n n（m 1）29（3 分）如 图 所 示，在 直 角 平 面 坐 标 系 O x y 中，点 A、B、C 为 反 比 例 函 数 y（k 0）上 不 同 的 三 点，连 接 O A、O B、O C，过 点 A 作 A D y 轴 于 点 D，过 点 B、C 分 别 作 B E，C F 垂 直 x 轴 于 点 E、F，O C 与 B E 相交 于 点 M，记 A O D、B O M、四 边 形 C M E F 的 面 积 分 别 为 S1、S2、S3，则（）A S1 S2+S3B S2 S3C S3 S2 S1D S1S2 S321 0（3 分）从 1，1，2，4 四 个 数 中 任 取 两 个 不 同 的 数（记 作 ak，bk）构 成 一 个 数 组 MK ak，bk（其 中 k 1，2 S，且 将 ak，bk 与 bk，ak 视 为 同 一 个 数 组），若 满 足：对 于 任 意 的 Mi ai，bi 和 Mj ai，bj（i j，1 i S，1 j S）都 有 ai+bi aj+bj，则 S 的 最 大 值（）A 1 0 B 6 C 5 D 4二、填 空 题（本 题 共 8 小 题，每 小 题 3 分，共 2 4 分）1 1（3 分）若 二 次 函 数 y a x2+b x 的 图 象 开 口 向 下，则 a 0（填“”或“”或“”）1 2（3 分）若 一 个 盒 子 中 有 6 个 白 球，4 个 黑 球，2 个 红 球，且 各 球 的 大 小 与 质 地 都 相 同，现 随 机 从 中 摸 出一 个 球，得 到 白 球 的 概 率 是 1 3（3 分）如 图 所 示，在 R t A B C 中，A C B 9 0，C M 是 斜 边 A B 上 的 中 线，E、F 分 别 为 M B、B C 的 中 点，若 E F 1，则 A B 1 4（3 分）若 a 为 有 理 数，且 2 a 的 值 大 于 1，则 a 的 取 值 范 围 为 1 5（3 分）如 图 所 示，过 正 五 边 形 A B C D E 的 顶 点 B 作 一 条 射 线 与 其 内 角 E A B 的 角 平 分 线 相 交 于 点 P，且 A B P 6 0，则 A P B 度 1 6（3 分）如 图 所 示，A B 为 O 的 直 径，点 C 在 O 上，且 O C A B，过 点 C 的 弦 C D 与 线 段 O B 相 交 于 点 E，满 足 A E C 6 5，连 接 A D，则 B A D 度 1 7（3 分）九 章 算 术 是 我 国 古 代 内 容 极 为 丰 富 的 数 学 名 著，书 中 有 如 下 问 题：“今 有 善 行 者 行 一 百 步，不 善 行 者 行 六 十 步 今 不 善 行 者 先 行 一 百 步，善 行 者 追 之，问 几 何 步 及 之？“其 意 思 为：速 度 快 的 人 走1 0 0 步，速 度 慢 的 人 只 走 6 0 步，现 速 度 慢 的 人 先 走 1 0 0 步，速 度 快 的 人 去 追 赶，则 速 度 快 的 人 要 走步 才 能 追 到 速 度 慢 的 人 1 8（3 分）如 图 所 示，在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，在 直 线 x 1 处 放 置 反 光 镜，在 y 轴 处 放 置 一 个 有 缺 口的 挡 板，缺 口 为 线 段 A B，其 中 点 A（0，1），点 B 在 点 A 上 方，且 A B 1，在 直 线 x 1 处 放 置 一 个挡 板，从 点 O 发 出 的 光 线 经 反 光 镜 反 射 后，通 过 缺 口 A B 照 射 在 挡 板 上，则 落 在 挡 板 上 的 光 线 的长 度 为 三、解 答 题（本 大 题 共 8 小 题，共 6 6 分）1 9（6 分）计 算：|+0 2 c o s 3 0 2 0（6 分）先 化 简，再 求 值：，其 中 a 2 1（8 分）小 强 的 爸 爸 准 备 驾 车 外 出 启 动 汽 车 时，车 载 报 警 系 统 显 示 正 前 方 有 障 碍 物，此 时 在 眼 睛 点 A处 测 得 汽 车 前 端 F 的 俯 角 为，且 t a n，若 直 线 A F 与 地 面 l1相 交 于 点 B，点 A 到 地 面 l1的 垂 线 段A C 的 长 度 为 1.6 米，假 设 眼 睛 A 处 的 水 平 线 l2与 地 面 l1平 行（1）求 B C 的 长 度；（2）假 如 障 碍 物 上 的 点 M 正 好 位 于 线 段 B C 的 中 点 位 置（障 碍 物 的 横 截 面 为 长 方 形，且 线 段 M N 为 此 长 方形 前 端 的 边），M N l1，若 小 强 的 爸 爸 将 汽 车 沿 直 线 l1后 退 0.6 米，通 过 汽 车 的 前 端 F1点 恰 好 看 见 障 碍 物的 顶 部 N 点（点 D 为 点 A 的 对 应 点，点 F1为 点 F 的 对 应 点），求 障 碍 物 的 高 度 2 2（8 分）某 甜 品 店 计 划 订 购 一 种 鲜 奶，根 据 以 往 的 销 售 经 验，当 天 的 需 求 量 与 当 天 的 最 高 气 温 T 有 关，现 将 去 年 六 月 份（按 3 0 天 计 算）的 有 关 情 况 统 计 如 下：（最 高 气 温 与 需 求 量 统 计 表）最 高 气 温 T（单 位：）需 求 量（单 位：杯）T 2 5 2 0 02 5 T 3 0 2 5 0T 3 0 4 0 0（1）求 去 年 六 月 份 最 高 气 温 不 低 于 3 0 的 天 数；（2）若 以 最 高 气 温 位 于 各 区 间 的 频 率 估 计 最 高 气 温 位 于 该 区 间 的 概 率，求 去 年 六 月 份 这 种 鲜 奶 一 天 的 需求 量 不 超 过 2 0 0 杯 的 概 率；（3）若 今 年 六 月 份 每 天 的 进 货 量 均 为 3 5 0 杯，每 杯 的 进 价 为 4 元，售 价 为 8 元，未 售 出 的 这 种 鲜 奶 厂 家以 1 元 的 价 格 收 回 销 毁，假 设 今 年 与 去 年 的 情 况 大 致 一 样，若 今 年 六 月 份 某 天 的 最 高 气 温 T 满 足 2 5 T 3 0（单 位：），试 估 计 这 一 天 销 售 这 种 鲜 奶 所 获 得 的 利 润 为 多 少 元？2 3（8 分）如 图 所 示，已 知 正 方 形 O E F G 的 顶 点 O 为 正 方 形 A B C D 对 角 线 A C、B D 的 交 点，连 接 C E、D G（1）求 证：D O G C O E；（2）若 D G B D，正 方 形 A B C D 的 边 长 为 2，线 段 A D 与 线 段 O G 相 交 于 点 M，A M，求 正 方 形 O E F G 的 边长 2 4（8 分）如 图 所 示，在 平 面 直 角 坐 标 系 O x y 中，等 腰 O A B 的 边 O B 与 反 比 例 函 数 y（m 0）的 图 象相 交 于 点 C，其 中 O B A B，点 A 在 x 轴 的 正 半 轴 上，点 B 的 坐 标 为（2，4），过 点 C 作 C H x 轴 于 点 H（1）已 知 一 次 函 数 的 图 象 过 点 O，B，求 该 一 次 函 数 的 表 达 式；（2）若 点 P 是 线 段 A B 上 的 一 点，满 足 O C A P，过 点 P 作 P Q x 轴 于 点 Q，连 结 O P，记 O P Q 的 面 积为 S O P Q，设 A Q t，T O H2 S O P Q 用 t 表 示 T（不 需 要 写 出 t 的 取 值 范 围）；当 T 取 最 小 值 时，求 m 的 值 2 5（1 1 分）四 边 形 A B C D 是 O 的 圆 内 接 四 边 形，线 段 A B 是 O 的 直 径，连 结 A C、B D 点 H 是 线 段 B D 上的 一 点，连 结 A H、C H，且 A C H C B D，A D C H，B A 的 延 长 线 与 C D 的 延 长 线 相 交 与 点 P（1）求 证：四 边 形 A D C H 是 平 行 四 边 形；（2）若 A C B C，P B P D，A B+C D 2（+1）求 证：D H C 为 等 腰 直 角 三 角 形；求 C H 的 长 度 2 6（1 1 分）已 知 二 次 函 数 y a x2+b x+c（a 0）（1）若 a 1，b 2，c 1 求 该 二 次 函 数 图 象 的 顶 点 坐 标；定 义：对 于 二 次 函 数 y p x2+q x+r（p 0），满 足 方 程 y x 的 x 的 值 叫 做 该 二 次 函 数 的“不 动 点”求证：二 次 函 数 y a x2+b x+c 有 两 个 不 同 的“不 动 点”（2）设 b c3，如 图 所 示，在 平 面 直 角 坐 标 系 O x y 中，二 次 函 数 y a x2+b x+c 的 图 象 与 x 轴 分 别 相 交于 不 同 的 两 点 A（x1，0），B（x2，0），其 中 x1 0，x2 0，与 y 轴 相 交 于 点 C，连 结 B C，点 D 在 y 轴 的 正半 轴 上，且 O C O D，又 点 E 的 坐 标 为（1，0），过 点 D 作 垂 直 于 y 轴 的 直 线 与 直 线 C E 相 交 于 点 F，满 足 A F C A B C F A 的 延 长 线 与 B C 的 延 长 线 相 交 于 点 P，若，求 二 次 函 数 的 表 达 式 2 0 1 9 年 湖 南 省 株 洲 市 中 考 数 学 试 卷参 考 答 案 与 试 题 解 析一、选 择 题（每 小 题 有 且 只 有 一 个 正 确 答 案，本 题 共 1 0 小 题，每 小 题 3 分，共 3 0 分）1 解：3（）1，3 的 倒 数 是 故 选：A 2 解：4 故 选：B 3 解：A、2 x5与 3 x2y3不 是 同 类 项，故 本 选 项 错 误；B、3 x3y2与 3 x2y3不 是 同 类 项，故 本 选 项 错 误；C、x2y3与 3 x2y3是 同 类 项，故 本 选 项 正 确；D、y5与 3 x2y3是 同 类 项，故 本 选 项 错 误；故 选：C 4 解：A、矩 形 的 对 角 线 相 等，但 不 垂 直，故 此 选 项 错 误；B、矩 形 的 邻 边 都 互 相 垂 直，对 边 互 相 平 行，故 此 选 项 错 误；C、矩 形 的 四 个 角 都 相 等，正 确；D、矩 形 是 轴 对 称 图 形，也 是 中 心 对 称 图 形，故 此 选 项 错 误 故 选：C 5 解：去 分 母 得：2 x 6 5 x 0，解 得：x 2，经 检 验 x 2 是 分 式 方 程 的 解，故 选：B 6 解：点 A 坐 标 为（2，3），则 它 位 于 第 四 象 限，故 选：D 7 解：当 x 1 时，中 位 数 与 平 均 数 相 等，则 得 到：（x+3+1+6+3）3，解 得 x 2（舍 去）；当 1 x 3 时，中 位 数 与 平 均 数 相 等，则 得 到：（x+3+1+6+3）3，解 得 x 2；当 3 x 6 时，中 位 数 与 平 均 数 相 等，则 得 到：（x+3+1+6+3）3，解 得 x 2（舍 去）；当 x 6 时，中 位 数 与 平 均 数 相 等，则 得 到：（x+3+1+6+3）3，解 得 x 2（舍 去）所 以 x 的 值 为 2 故 选：A 8 解：A、x2 1（x+1）（x 1），故 此 选 项 错 误；B、a3 2 a2+a a2（a 1），故 此 选 项 错 误；C、2 y2+4 y 2 y（y 2），故 此 选 项 错 误；D、m2n 2 m n+n n（m 1）2，正 确 故 选：D 9 解：点 A、B、C 为 反 比 例 函 数 y（k 0）上 不 同 的 三 点，A D y 轴，B E，C F 垂 直 x 轴 于 点 E、F，S3 k，S B O E S C O F k，S B O E SO M E S C D F S O M E，S1 S2，S1 S3，S2 S3，A，B，C 选 项 错 误，故 选：D 1 0 解：1+1 0，1+2 1，1+4 3，1+2 3，1+4 5，2+4 6，ai+bi共 有 5 个 不 同 的 值 又 对 于 任 意 的 Mi ai，bi 和 Mj ai，bj（i j，1 i S，1 j S）都 有 ai+bi aj+bj，S 的 最 大 值 为 5 故 选：C 二、填 空 题（本 题 共 8 小 题，每 小 题 3 分，共 2 4 分）1 1 解：二 次 函 数 y a x2+b x 的 图 象 开 口 向 下，a 0 故 答 案 是：1 2 解：布 袋 中 有 6 个 白 球，4 个 黑 球，2 个 红 球，共 有 1 2 个 球，摸 到 白 球 的 概 率 是；故 答 案 为：1 3 解：E、F 分 别 为 M B、B C 的 中 点，C M 2 E F 2，A C B 9 0，C M 是 斜 边 A B 上 的 中 线，A B 2 C M 4，故 答 案 为：4 1 4 解：根 据 题 意 知 2 a 1，解 得 a 1，故 答 案 为：a 1 且 a 为 有 理 数 1 5 解：五 边 形 A B C D E 为 正 五 边 形，E A B 1 0 8 度，A P 是 E A B 的 角 平 分 线，P A B 5 4 度，A B P 6 0，A P B 1 8 0 6 0 5 4 6 6 故 答 案 为：6 6 1 6 解：连 接 O D，如 图：O C A B，C O E 9 0，A E C 6 5，O C E 9 0 6 5 2 5，O C O D，O D C O C E 2 5，D O C 1 8 0 2 5 2 5 1 3 0，B O D D O C C O E 4 0，B A D B O D 2 0，故 答 案 为：2 0 1 7 解：设 走 路 快 的 人 追 上 走 路 慢 的 人 所 用 时 间 为 t，根 据 题 意 得：（1 0 0 6 0）t 1 0 0，解 得：t 2.5，1 0 0 t 1 0 0 2.5 2 5 0 答：走 路 快 的 人 要 走 2 5 0 步 才 能 追 上 走 路 慢 的 人 故 答 案 是：2 5 0 1 8 解：当 光 线 沿 O、G、B、C 传 输 时，过 点 B 作 B F G H 于 点 F，过 点 C 作 C E G H 于 点 E，则 O G H C G E，设 G H a，则 G F 2 a，则 t a n O G H t a n C G E，即：，即：，解 得：a 1，则 4 5，G E C E 2，yC 1+2 3，当 光 线 反 射 过 点 A 时，同 理 可 得：yD 1.5，落 在 挡 板 上 的 光 线 的 长 度 C D 3 1.5 1.5，故 答 案 为 1.5 三、解 答 题（本 大 题 共 8 小 题，共 6 6 分）1 9 解：原 式+1 2+1 1 2 0 解：，当 a 时，原 式 4 2 1 解：（1）由 题 意 得，A B C，在 R t A B C 中，A C 1.6，t a n A B C t a n，B C 4.8 m，答：B C 的 长 度 为 4.8 m；（2）过 D 作 D H B C 于 H，则 四 边 形 A D H C 是 矩 形，A D C H B E 0.6，点 M 是 线 段 B C 的 中 点，B M C M 2.4 米，E M B M B E 1.8，M N B C，M N D H，E M N E H D，M N 0.6，答：障 碍 物 的 高 度 为 0.6 米 2 2 解：（1）由 条 形 统 计 图 知，去 年 六 月 份 最 高 气 温 不 低 于 3 0 的 天 数 为 6+2 8（天）；（2）去 年 六 月 份 这 种 鲜 奶 一 天 的 需 求 量 不 超 过 2 0 0 杯 的 概 率 为；（3）2 5 0 8 3 5 0 4+1 0 0 1 7 3 0（元），答：估 计 这 一 天 销 售 这 种 鲜 奶 所 获 得 的 利 润 为 7 3 0 元 2 3 解：（1）正 方 形 A B C D 与 正 方 形 O E F G，对 角 线 A C、B D D O O C D B A C，D O A D O C 9 0 G O E 9 0 G O D+D O E D O E+C O E 9 0 G O D C O E G O O E 在 D O G 和 C O E 中 D O G C O E（S A S）（2）如 图，过 点 M 作 M H D O 交 D O 于 点 H A M，D A 2 D M M D B 4 5 M H D H s i n 4 5 D M，D O c o s 4 5 D A H O D O D H 在 R t M H O 中，由 勾 股 定 理 得M O D G B D，M H D O M H D G 易 证 O H M O D G，得 G O 2则 正 方 形 O E F G 的 边 长 为 22 4 解：（1）将 点 O、B 的 坐 标 代 入 一 次 函 数 表 达 式：y k x 得：4 2 k，解 得：k 2，故 一 次 函 数 表 达 式 为：y 2 x，（2）过 点 B 作 B M O A，则 O C H Q P A O A B A B M，则 t a n，s i n，O B A B，则 O M A M 2，则 点 A（4，0），设：A P a，则 O C a，在 A P Q 中，s i n A P Q s i n，同 理 P Q 2 t，则 P A a t，O C t，则 点 C（t，2 t），T O H2 S O P Q（O C s i n）2（4 t）2 t 4 t2 4 t，4 0，T 有 最 小 值，当 t 时，T 取 得 最 小 值，而 点 C（t，2 t），故：m t 2 t 2 5 证 明：（1）D B C D A C，A C H C B D D A C A C H A D C H，且 A D C H 四 边 形 A D C H 是 平 行 四 边 形（2）A B 是 直 径 A C B 9 0 A D B，且 A C B C C A B A B C 4 5，C D B C A B 4 5 A D C H A D H C H D 9 0，且 C D B 4 5 C D B D C H 4 5 C H D H，且 C H D 9 0 D H C 为 等 腰 直 角 三 角 形；四 边 形 A B C D 是 O 的 圆 内 接 四 边 形，A D P P B C，且 P P A D P C B P，且 P B P D，A D C H，C D B C A B 4 5，C H D A C B 9 0 C H D A C B A B C D A B+C D 2（+1）C D+C D 2（+1）C D 2，且 D H C 为 等 腰 直 角 三 角 形 C H 2 6 解：（1）a 1，b 2，c 1 y x2 2 x 1（x 1）2 2 该 二 次 函 数 图 象 的 顶 点 坐 标 为（1，2）证 明：当 y x 时，x2 2 x 1 x整 理 得：x2 3 x 1 0（3）2 4 1（1）1 3 0 方 程 x2 3 x 1 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根即 二 次 函 数 y x2 2 x 1 有 两 个 不 同 的“不 动 点”（2）把 b c3代 入 二 次 函 数 得：y a x2+c3x+c 二 次 函 数 与 x 轴 交 于 点 A（x1，0），B（x2，0）（x1 0，x2 0）即 x1、x2为 方 程 a x2+c3x+c 0 的 两 个 不 相 等 实 数 根 x1+x2，x1x2 当 x 0 时，y a x2+c3x+c c C（0，c）E（1，0）C E，A E 1 x1，B E x2 1 D F y 轴，O C O D D F x 轴 E F C E，C F 2 A F C A B C，A E F C E B A E F C E B，即 A E B E C E E F（1 x1）（x2 1）1+c2展 开 得：1+c2 x2 1 x1x2+x11+c2 1 c3+2 a c2+2 c+4 a 0c2（c+2 a）+2（c+2 a）0（c2+2）（c+2 a）0 c2+2 0 c+2 a 0，即 c 2 a x1+x2 4 a2，x1x2 2，C F 2 2（x1 x2）2（x1+x2）2 4 x1x2 1 6 a4+8 A B x2 x1 A F C A B C，P P P F C P B A解 得：a1 1，a2 1（舍 去）c 2 a 2，b c3 4 二 次 函 数 的 表 达 式 为 y x2 4 x 2声 明：试 题 解 析 著 作 权 属 菁 优 网 所 有，未 经 书 面 同 意，不 得 复 制 发 布日 期：2 0 1 9/6/2 5 9:0 8:0 6；用 户：1 5 7 0 8 4 5 5 7 7 9；邮 箱：1 5 7 0 8 4 5 5 7 7 9；学 号：2 4 4 0 5 8 4 6