2022-2023学年高一升高二暑假7月测试数学试题含答案.pdf

2023 暑假衔接 高二 数学 试题 一、单项选择题（共 8 题）1.sin35cos25+cos35sin25 的值 等于()A 14 B 12 C 22 D 32 2.向量=(1,2)，=(2,)，=(3,1)，且+，则 实数=()A 3 B 3 C 7 D 7 3.设 是椭圆 225+216=1 上的点 若 1，2 是椭 圆的 两个 焦点，则 1+2=()A 4 B 5 C 8 D 10 4.设向量 1，2 满足：1=2，2=1，1，2 的夹角是 60，若 2 1+7 2 与 1+2 的夹角为 钝角，则 的范围 是()A 7,12 B 7,142 142,12 C 7,142 142,12 D(,7)12,+5.设数列 满足 log+1=1+log，且 1+2+100=100，则 101+102+200 的 值为()A 100 B 101 2 C 101 100 D 100 100 6.已知直线=(0)与双曲线 2 2 2 2=1(0,0)交于，两点，以 为直径的圆恰好 经过 双曲 线的 右焦 点，若 的面 积为 4 2，则 双曲线 的离 心率 为()A 2 B 3 C 2 D 5 7.已知 中，内角，所对的边分别为，且 cos+32=，若=1，3 2=1，则角 为A 4B 6 C 3 D 12 8.如图，已知直三棱柱 1 1 1，点，分别在 侧棱 1 和 1 上，=1，则 平面 把三 棱柱 分成 两部 分的 体 积比为A 2:1 B 3:1 C 3:2 D 4:3 9.若不等 式 2+0 的解 集是(1,2)，则 下列选 项正 确的 是()A 0 B+0 C+0 D不 等式 2+0 的 解集是(2,1)10.关于正 方体 1 1 1 1 有如下 四个 说法，其中 结论 正确 的是()A 若点 在 直线 1 上运 动 时，三 棱锥 1 的体积 不变 B 若点 是 平面 1 1 1 1 上 到点 和 1 距离相 等的 点，则 点的轨 迹是 过 1 点 的直线C 若点 在 线段 1（含 端 点）上 运动 时，直线 与 所 成角 的范 围为 0,60 D 若点 在 线段 1（含端 点）上 运动 时，直线 与 1 所 成的 角一 定是 锐角 11.在 Rt ABC 中，是 斜边 上的 高，如图，则 下列 等式 成立 的是()A 2=B 2=C.2=D 2=212.设，是抛物线 2=上的两 个不同的点，是坐标原点 若直线 与 的斜率之 积为 12，则()A+4 2 B 以 为直径 的圆 的面 积 大于 4 C 直线 过 定点(2,0)D 点 到直 线 的距 离不大 于 2 三、填空题（共 4 题）13.在 中，内角，所对 的边分别为，且 s in s in s in+s in=，=3，则 的周长 的最 大值 是 14.如图，在 中，点 是 的三等分 点（=2），过点 的直线分别 交、或其延长线于不同的两点、，且=，=，若 1+2=83，则+的值为 15.如图把椭圆 225+216=1 的长轴 分成 8 等 份，过每个分点作 轴 的垂线交椭圆的上半部 分于 1，2，7 七个 点，是椭圆 的 一个 焦点，则 1+2+7=16.设四边形 为矩形，点 为平面 外一点，且 平面，若=1，=2，点 是 的 中点，点 在 内，+的最 小值 四、解答题（共 6 题）17.已知椭 圆:2 2+2 2=1（0）的 一个 顶点为(0,1)，且离 心率 为 32(1)求 椭圆 的方 程；(2)直线:=+与椭 圆 交于，两点，且=，求 的 值18.设数列 满足 1=2，+1=+3 22 1(+)(1)求 2 和 3 的 值(2)求 数列 的 通项 公式(3)令=，求数 列 的前 项和 19.小李 下班后驾车 回家的路线有 两条路线 1 经 过三个红 绿灯路口，每个路口遇到 红灯的概率 都是13；路线 2 经过两 个红 绿灯 路口，第一 个路 口遇 到红 灯的概 率是 12，第二个 路口 遇到红 灯的 概率 是23假设 两条 路线 全程 绿灯 时的驾 车回 家时 长相 同，且每个 红绿 灯路 口是 否遇 到红灯 相互 独立(1)若 小李 下班 后选 择路线 1 驾车回 家，求至 少遇 到一个 红灯 的概 率(2)假设每 遇到一个 红灯驾 车回家时 长就会增 加 1 min，为使小李 下班后驾 车回家 时长的累 计增加时间（单 位：min）的 期望 最小，小李 应选 择哪 条路 线？请 说明 理由 20.设向量，满足=1 及 3 2=7（1）求，夹角 的大 小；（2）求 3+2 的 值21.如图，在三棱 柱 1 1 1 中，1 1 是边长为 4 的正方形平面 平面 1 1，=3,=5(1)求 证：1 平面；(2)求二 面角 1 1 1 的余 弦值；(3)证明：在 线段 1 上存在 点，使得 1，并求 1的值22.一个函 数()，如 果对任意一个三 角形，只要它 的三边长，都在()的定义域内，就有()，()，()也是某 个三 角形 的三边 长，则称()为“三角形 函 数”(1)判断 1()=，2()=，3()=2 中，哪些 是“三角形函数”，哪些不 是，并说明理由；(2)如果()是定 义在 上的 周 期函 数，且值 域为(0,+)，证 明()不是“三角 形函 数”；(3)若函数()=sin,(0,)是“三角形函数”，求 的最大值（可以利用公式 sin+sin=2sin+2cos 2）答案一、选择题（共 8 题）1.【答 案】D2.【答 案】B【解析】+=(3,2+)，=(3,1)，因为+，则 6+3=3，所以=3 故选 B 3.【答 案】D【解析】椭 圆方 程为 225+216=1，则椭圆 焦点 在 轴上，且 2=25，2=16，2=2 2=9，即=5，=4，=3，是椭 圆上 一点，则 1+2=2=10 4.【答 案】B5.【答 案】D【解析】因 为数 列 满足 log+1=1+log，所以 log+1 log=1，即 log+1=1，所以+1=，则数列 是等比 数列，公 比是，所以 1+2+100=1(1 10 0)1=100，则 101+102+200=101(1 100)1=1 100(1 1 00)1=100 100 故选 D 6.【答 案】D【解析】因 为以 为直径 的圆恰 好经 过双 曲线 的右 焦点，所以以 为直径 的圆 的方 程为 2+2=2，由对称 性知 的面积=2=2 12=4 2，即=4 2，即 点的 纵坐 标为=4 2，则由 2+4 2 2=2，得 2=2 4 2 2=216 4 2，在 双曲 线上，则 216 4 2 216 4 2 2=1，即 2 216 2 216 4 2(2 2)=1，即 2 216 2 21+2 2 2=1，即 2 216 2 2 2 2 2=1，即 2 216 2 2 2=1，即 2 2 1=16 2 2 2=2 2 2，得 16 4=(2 2)2，即 4 2=2 2，得 5 2=2，得=5，则离 心率=5=5；方法 2：设双 曲线 的左 焦点为，由 图象 的对 称性 得，圆 经过点，且=，设=，=，因为，所以=12=4 2，2+2=4 2，则=8 2，因为=2，所以=2，则 2 2+2=4 2，所以 4 2 16 2=4 2，即 2=5 2，则=5，即离心 率=5=5 7.【答 案】B【解析】因为 cos+32=，由正弦定理得 sin cos+32sin=sin=sin(+)，整 理得 cos=32，所以=6，又因为=1，3 2=1，所以 3sin 2sin=sin=12，即3sin 5 6 2sin=12，整理 得 cos+6=12，所以=68.【答 案】A【解析】设 到 的距离为，=，棱柱的高为，可得 四棱锥=16，三棱柱 1 1 1=12，四棱锥 三棱柱 1 1 1=13，所以平面 把三棱柱分成两部分的体积比为 1:2 二、不定项选择题（共 4 题）9.【答 案】A；B；D【解析】对 于 A，0，1，2 是方 程 2+=0 的 两个 根，所以 1+2=1=，1 2=，所以=，=2，所以 0，所以 A 正 确；令()=2+，对于 B，由 题意 可知(1)=+0，所以 B 正 确；对于 C，(1)=+=0，所以 C 错误；对于 D，因为 对于 方程 2+=0，设其两 根为 1，2，所以 1+2=1，1 2=2，所以两 根分 别为 2 和 1 所以不 等式 2+0 的解集 是(2,1)，所以 D 正 确10.【答 案】A；B【解析】对 于 A，因为 1 1，所以 1平面 1，则 到平面 1 的距离相等，由 1 的面积为定值，所 以点 在直线 1 上运动时，三棱 锥 1 的体积不变，故 A正确；对于 B，若点 是平面 1 1 1 1 上到点 和 1 距离相等的点，则 点的轨迹是平面 1 1 与 平面 1 1 1 1 的 交线 1 1，故 B 正确；对于 C，直线 与 所成角即为，当 与 1 重合时，最大，最大值为 arctan 2 60，故 C 错误；对于 D，当 与 1 重 合时，与 1 所成 的角 为 90，故 D 错误 所以 其中 结论 正 确的是 A，B 11.【答 案】A；B；D【解析】由=cos=，由射影 定理 可得 2=，即选 项 A 正 确，由=cos=，由射影 定理 可得 2=，即选 项 B 正 确，由=cos()0，即选 项 C 错 误，由图可 知 Rt ACD Rt ABC，所以=，由 选项 A，B 可得 2=2，即选项 D 正确 12.【答 案】C；D【解析】不 妨设 为第一 象限内 的点，当直 线 轴 时，=，由=12，得=22，=22，所以直 线，的方程 分别 为：=22 和=22 与抛物 线方 程联 立，得 2,2，2,2，所以直 线 的方 程为=2，此时+=2 6，以 为直径 的圆 的面 积=2，故 A、B 不正 确 当直 线 与 轴不 垂直时，设直 线 的方程 为=+，与抛物 线方 程联 立消 去，得 2+=0，则=1 4 0 设(1,1)，(2,2)，则 1 2=因为=12，所以 1 1 2 2=12，则 2 2 1=2 1=12 22，则 1 2=2，所以=2，即=2，所以直 线 的方 程为=2，即=(2)综上可 知，直线 为恒过 定点(2,0)的 动直 线，故 C 正确；易知当 时，原 点 到 直线 的距离 最大，最 大距 离为 2，即原点 到直线 的距离 不大于 2，故 D 正 确 三、填空题（共 4 题）13.【答 案】9【解析】对 已知 等式 进行 角化边 可得：2+2 2=，因为=3，所以 2+2 9=，即(+)2 9=3，因为 0，0，所以+22，所以(+)2 9 3+22，即+6，当且 仅当=3 时，(+)ma x=6，所以(+)ma x=9，即 的周 长的 最大值 为 9 故答案 为：9 14.【答 案】9415.【答 案】35【解析】如 图：设椭圆另一个焦点为，根据对称性，可得 1=7，2=6，3=5，且可求 得 4=1+7=7+7=2，同理 2+6=2，3+5=2，1+2+7=7=35 16.【答 案】212四、解答题（共 6 题）17.【答 案】(1)设椭 圆的 半焦 距为 由题意 得=1,=32,2=2+2.解得=2 所以椭 圆 的方 程为 24+2=1(2)由=+,24+2=1 得 5 2+8+4(2 1)=0 由=(8)2 4 5 4(2 1)0，解得 5 5 设(1,1)，(2,2)，则 1+2=8 5设线段 的中点 为，则=1+22=4 5，=+=5“=”等价 于“”所以 1 54 5=1 解得=53，符 合题 意所以=5318.【答 案】(1)=1 时，2=1+3 21=8；=2 时，3=2+3 23=32 所以 2=8，3=32(2)由题 知：+1=3 2 1，所以 2 1=3 21，3 2=3 23，4 3=3 25，1=3 22 3，左右分 别相 加得：1=3 21+3 23+3 25+3 22 3=32(1 4 1)1 4=22 1 2,所以=22 1 2+2=22 1(3)=22 1，=1 21+2 23+3 25+(1)22 3+22 1,4=1 23+2 25+3 27+(1)22 1+22+1,得：3=21+23+25+27+22 1 22+1=2(1 4)1 4 22+1=22+1323 22+1,所以=(3 1)22+1+2919.【答 案】(1)设 路线 1 遇 到红 灯的个 数 的随 机变 量为，则 3,13，所以至 少遇 到一 个红 灯的 事件为(1)，由对立 事件 概率 公式，得(1)=1(=0)=1 C30130233=1 827=1927，所以若 小李 下班 后选 择路 线 1 驾车回 家，至少 遇到 一个红 灯的 概率 为 1927(2)设 路线 1 累计 增加 时 间的随 机变 量为 1，则 1 3,13，所以(1)=3 13=1，设路线 2 第 个路口 遇到 红灯为 事件(=1,2)，则(1)=12，(2)=23，设路线 2 累计增 加时 间的 随机变 量为 2，则 2 的所 有 可能取 值为 0，1，2，则(2=0)=1 2=1213=16，(2=1)=1 2+1 2=1223+1213=12，(2=2)=(1 2)=1223=13，所以(2)=0 16+1 12+2 13=76，因为(1)(2)，所以为 使小 李下 班后 驾车 回家时 长的 累计 增加 时间 的期望 最小，小 李应 选择 路线 1 20.【答案】（1）因为=1，3 2=7，所以 3 2 2=3 2 2=9 2 12+4 2=7，即 9 2 12+4 2=7，可得 13 12=7，解之得=12设，夹角 等于，则 cos=12，因为(0,)，所以=3，即，夹 角的 大小等 于 3；（2）因为=1，=12，3+2 2=9 2+12+4 2=9+12 12+4=19，所以 3+2=19 21.【答 案】(1)因为 1 1 为正 方形，所以 1 因为平 面 平面 1 1，且 1 垂直 于 这两 个平 面的 交线，所以 1 平面(2)由（1）知 1,1 由题知=3,=5,=4，所以 如图，以 为原 点建 立空 间直角 坐标 系，则(0,3,0),1(0,0,4),1(0,3,4),1(4,0,4).设平面 1 1 的法向量为=(,)，则 1=0,1 1=0,即3 4=0,4=0.令=3，则=0,=4，所以=(0,4,3)同理可得，平面 1 1 的法向量为=(3,4,0)所以cos,=1625.由题知二面角 1 1 1 为锐 角，所以二 面角 1 1 1 的余弦 值为 1625(3)设(1,1,1)是线段 1 上一点，且=1 所以(1,1 3,1)=(4,3,4).解得 1=4,1=3 3,1=4.所以=(4,3 3,4).由 1=0，即9 25=0,解得=925.因为 925 0,1，所 以在 线段 1 上存在 点，使得 1 此时 1=925.22.【答 案】(1)1()，2()是“三角 形函 数”，3()不是“三角 形函 数”，任给三 角形，设 它的 三边 长分别 为，则+，不妨假 设，由于+0，所以 1()，2()是“三角 形函 数”，对于 3()，3，3，5 可作为 一个 三角形 的三 边长，但 32+32 0 为()的一 个周 期，由于 其值 域为(0,+)，所以，存在 0，使得()=1，()=2，学科网（北京）股份有 限公司取正整 数，可知+，+，这三 个数 可作 为一个 三角 形的 三边 长，但(+)=1，(+)=1，()=2 不能作 为任 何一 个三角 形的 三边 长，故()不是“三 角形 函数”(3)的最 大值 为 5 6一方面，若 5 6，下证()不是“三 角形 函数”取 2，5 6，5 6(0,)，显然这 三个 数可 作为 一个 三角形 的三 边长，但 sin2=1，sin5 6=12，sin5 6=12 不能作 为任 何一 个三角 形的 三边 长，故()不是“三 角形 函数”另一方 面，以下 证明=5 6 时，()是“三角 形函 数”对任意 三角 形的 三边 长，若,0,5 6，则 分类 讨论 如下：+2，此时 2 b c 2 5656=3，同理，,3，所以，,3,5 6，故 sin,sin,sin 12,1，sin+sin 12+12=1 sin，同理可 证其 余两 式，所以 sin，sin，sin 可作 为某 个三 角形的 三边 长+，所以，0 2+22，由 sin 在 0,2 上的单 调性 可得 0 sin 2 sin+2 1，+22时，0 2 a+b22，同样，由 sin 在 0,2 上的 单调 性可得 0 sin 2 sin+2 1，总之，0 sin 2 sin+2 1，又由 cos 2 cos5 12 0，所以 sin+sin=2sin+2cos 2 2sin 2cos 2=sin，同理可 证其 余两 式，所以 sin，sin，sin 可作 为某 个三 角形的 三边 长，故=5 6 时，()是“三 角形 函数”，综上，的最 大值 为 5 6