2016湖南高考文科数学真题及答案.pdf

2016 湖南高考文科数学真题及答案注意事项：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷 1至 3页，第卷 3至 5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 1,3,5,7 A，|2 5 B x x，则 A B（）。（A）1,3（B）3,5（C）5,7（D）1,7【参考答案】B【答案解析】集合 A 与集合 B 公共元素有 3，5，故 3 5 A B，选 B。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章集合中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（）设(1 2 i)(i)a 的实部与虚部相等，其中 a为实数，则 a=（）。（A）3（B）2（C）2（D）3【参考答案】A【答案解析】设 i a a i a i)2 1(2)(2 1(，由已知，得 a a 2 1 2，解得 3 a，选 A.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（3）为美化环境，从红、黄、白、紫 4种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，学.科.网余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A）13（B）12（C）13（D）56【参考答案】A【答案解析】将 4 中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛，有 6 种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有 2 种，故概率为31，选 A.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章概率中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（4）ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c.已知5 a，2 c，2c os3A，则 b=（）。（A）2（B）3（C）2（D）3【参考答案】D【答案解析】由余弦定理得322 2 4 52 b b，解得 3 b（31 b 舍去），选 D.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（5）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（）。（A）13（B）12（C）23（D）34【参考答案】B【答案解析】如图，由题意得在椭圆中，1 1O F c,O B b,O D 2 b b4 2，在 R t O F B 中，|O F|O B|B F|O D|，且2 2 2a b c，代入解得2 2a 4c，所以椭圆得离心率得：1e2，故选 B.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十章直线与圆中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（6）若将函数 y=2sin(2x+6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（）。（A）y=2sin(2x+4)（B）y=2sin(2x+3)（C）y=2sin(2x4)（D）y=2sin(2x3)【参考答案】D【答案解析】函数 y 2 s i n(2 x)6 的周期为，将函数 y 2 s i n(2 x)6 的图像向右平移14个周期即4个单位，所得函数为 y 2 s i n 2(x)2 s i n(2 x)4 6 3，故选 D.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283，则它的表面积是（）。（A）17（B）18（C）20（D）28【参考答案】A【答案解析】由三视图可知其对应体应为一个切去了18部分的球，所以体积应为34 7 283 8 3（r），所以可 得 2 r，则 此 几 何 体 的 变 面 积 应 为78个 球 面，再 加 上 3 个14圆，所 以 表 面 积 为2 2 7 14 3()17 28 4（r）r，故选 A。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十章直线与圆中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及（8）若 ab0，0c1，则（）。（A）logaclogbc（B）logcalogcb（C）accb【参考答案】B【答案解析】对于选项 A：a b1 gc 1 gcl og c,l og cl g a l g b，0 c 1 1 gc 0，而 a b 0，所以 l g a l g b，但不能确定 l g a l g b、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项 B：c b1 ga 1 gbl og a,l og cl g c l g c,而l g a l g b，两边同乘以一个负数1l g c改变不等号方向所以选项 B 正确;对于选项 C：利用cy x 在第一象限内是增函数即可得到c ca b，所以 C错误;对于选项 D：利用xy c 在 R 上为减函数易得为错误.所以本题选 B.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（9）函数 y=2x2e|x|在2,2的图像大致为（）。（A）（B）（C）（D）【参考答案】D【答案解析】函数 f(x)=2x2e|x|在2,2上是偶函数，其图象关于y轴对称，因为2 2(2)8,0 8 1 f e e，所以排除,A B 选项；当 0,2 x 时，4xy x e 有一零点，设为0 x，当0(0,)x x 时，()f x 为减函数，当0(,2)x x 时，()f x 为增函数故选 D【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（10）执行右面的程序框图，如果输入的 0,1,x y n=1,则输出,x y的值满足（）。（A）2 y x（B）3 y x（C）4 y x（D）5 y x【参考答案】C【答案解析】第一次循环：0,1,2 x y n，第二次循环：1,2,32x y n，第三次循环：3,6,32x y n，此时满足条件2 236 x y，循环结束，3,62x y，满足 4 y x 故选 C【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十三章算法与统计中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（11）平 面过 正 文 体 ABCD A1B1C1D1 的 顶 点 A1 1/C B D 平面,A B C D m 平面，1 1A B B A n 平面，则 m，n 所成角的正弦值为（）。（A）32（B）22（C）33（D）13【参考答案】A【答案解析】如图所示1 1C B D 若平面平面平面1 1C B D，若设平面1 1C B D 平面1A B C D m，则1mm又平面 A B C D平面1 1 1 1A C B D，结合平面1 1B D C 平面1 1 1 1 1 1A C B D B D 1 1B D 1m，故1 1B D 1m同理可得：1C D n故m、n的所成角的大小与1 1B D、1C D 所成角的大小相等，即1 1C D B 的大小而1 1 1 1B C B D C D（均为面对交线），因此1 13C D B，即1 13s i n2C D B 故选 A【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章立体几何中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（12）若函数1()s i n 2 s i n3f x x-x a x 在,单调递增，则 a 的取值范围是（）。（A）1,1（B）11,3（C）1 1,3 3（D）11,3【参考答案】C【答案解析】用特殊值法：取 1 a，1s i n 2 s i n3f x x x x，21 c os 2 c os3f x x x，但 2 20 1 1 03 3f，不具备在,单调递增，排除 A，B，D故选 C【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。第 II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）设向量 a=(x，x+1)，b=(1，2)，且 a b，则 x=_.【参考答案】23【答案解析】由题意，20,2(1)0,.3a b x x x【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十五章常用逻辑语中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（14）已知是第四象限角，且 sin(+4)=35，则 tan(4)=_.【参考答案】34【答案解析】由题意，4 3 3c os(),t a n()t a n()t a n().t a n()4 5 4 4 2 4 4 4 4【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（15）设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2-2ay-2=0相交于 A，B 两点，若，则圆 C 的面积为_.【参考答案】4【答案解析】圆2 2:2 2 0 C x y ay，即2 2 2:()2 C x y a a，圆心为(0,)C a，由|2 3,A B C 到直线 2 y x a 的距离为|0 2|2a a，所以由2 2 22 3|0 2|()()22 2a aa 得22,a 所以圆的面积为2(2)4 a.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。学.科网该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B的利润之和的最大值为_元。【参考答案】216000【答案解析】如图将 2 1 0 0 9 0 0 z x y 变形，得73 9 0 0zy x，平行直线73y x，当直线73 9 0 0zy x 经过点 M 时，z 取得最大值.解方程组10 3 9005 3 600 x yx y，得 M 的坐标(6 0,1 0 0).所以当 6 0 x，1 0 0 y 时，m a x2100 60 900 100 216000 z【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第五章函数图像的画法及应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分 12 分）已知 na 是公差为 3 的等差数列，数列 nb 满足1 2 1 11=3n n n nb b a b b n b 1，.（I）求 na 的通项公式；（II）求 nb 的前 n 项和.【参考答案】（I）3 1;n（II）3 1(1)2 3n【答案解析】1 11 2 2 1 11123 13133 1(1)2 3n n nnn nn nn na b b nbna b b b aa nnb nbb bs【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第六章数列中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。18.（本题满分 12 分）如图，在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 E，连接 PE并延长交 AB 于点 G.（I）证明 G 是 AB 的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点 E在平面 PAC内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积【参考答案】（I）见解析；（II）13【答案解析】（I）由题意得 D 为正ABC中心，DP面 ABCPDABDE面 PABDEAB因此：AB面 PDGABDGG 为 AB中点（2）作法：在面 PAB中过 E作 EFPB，交 PA于 FPAPB，PBPCPB面 PACPBEFEF面 PAC1 1 1 1.3 3 2 3P D E F P E FV D E S D E P F E F【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章立体几何中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（19）（本小题满分 12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若n=19，求 y 与 x 的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于 0.5，求n的最小值；（III）假设这 100台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19个还是 20个易损零件？【参考答案】3800,0 19(1);(2)19;(3)500 5700,19xyx x 购买 20个更合理.【答案解析】111200 19(0 19 3800(0 19200 19(9)500 19 500 5700 192(18=0.06+0.16+0.24=0.46(19=0.46+0.24=0.7193 100 200 19 300 20 300 2 10 39200 x xyx x x xP nP nnx（）由题意得：）（）（）（）由柱形图可得：）最小值为（）购买19个的费用：S 元平均费用21 23920100 200 20 300 10=4030020 x x 元若为20个：S 元购买 个更合理【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章函数的性质及其应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（20）（本小题满分 12 分）在直角坐标系 x O y中，直线 l:y=t(t0)交 y轴于点 M，交抛物线 C：22(0)y px p 于点 P，M 关于点 P的对称点为 N，连结 ON并延长交 C 于点 H.（I）求O HO N；（II）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由.【参考答案】(1)2;(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 无其它公共点.【答案解析】2 2222222 221,),(,)2 2:22(,2)|22(2)0(,2),2204=0t tt N tp ppO N y xttpx tpO HO Nt pM t x tp tpxpx px tt（）如图：易得P(则直线 为与y 联立得H点（，t),H 则直线MH为y=与y 联立消y得:除 H 以外，直线 MH 与 C 无其它公共点.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（21）（本小题满分 12 分）已知函数.（1）讨论 的单调性；（II）若 有两个零点，求a的取值范围.【参考答案】（1）见解析，（2）a0【答案解析】（1）=()0=()1=1()()3 1()0 1f xaf xf xf x Rf x x xf 当a0时，令f(x)0，则x=ln(2a）或x=1增区间为（1，+）,减区间为（，1）当 时，f(x)0，则x=ln(2a）或x=1增区间为（，），ln(2a),+；减区间为1，ln(2a)（2）ln(2a)，此时 恒成立此时 上为增（）ln(2a)，令，则 ln(2a)或 令()0 1(),1x xf x，则ln(2a)此时 增区间为，ln(2a）,则减区间为ln(2a）综上所述：,()2,()20()2ea f xea f x Rea f x 当 增区间为（，1),ln(2a),+,减区间为1，ln(2a)当 在 上为增当-，在增区间为，ln(2a）(1,+),减区间为ln(2a),1（II）0()0=a f xa当 时，此时 一定有两个零点当 时，若为第（1）种情况，则f(x)只有一个零点，不符合；若为第（2）种情况，则只能为fln(-2a)=0成立才有可能。当a=0时，f(x)只有一个零点综上，要使y f(x)有两零点应满足a0.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第四章函数的值域、最值求法及应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，OAB是等腰三角形，AOB=120以O 为圆心，OA为半径作圆.（I）证明：直线 AB与 O 相切；（II）点 C,D 在O上，且 A,B,C,D四点共圆，证明：ABCD.【参考答案】见解析【答案解析】（1）取 AB中点 P，连接 OP，因为OAB是等腰三角形，所以 OPAB因为AOB=120，所以AOP=BOP=60，在 RtAPO中，OP=OA cosAOP=12OA所以直线 AB 与圆 O相切。（II）设 C D的中点为 Q，四边形 C D 外接圆的圆心为，连接 C，D，C，D 因为 C D，所以 Q C D，因为 C D，所以 Q C D，所以，Q三点共线同理可得，三点共线，所以 Q，四点共线即 Q 过点，且 Q，Q C D【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十章直线与圆中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数，a0）。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=4cos.（I）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；（II）直线 C3的极坐标方程为=0，其中0满足 tan0=2，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a。（24）（本小题满分 10 分），选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)=x+1-2x-3.（I）在答题卡第（24）题图中画出 y=f(x)的图像；（II）求不等式f(x)1的解集。【参考答案】（I）2 22 s i n 1 0 a；（II）1 a【答案解析】（I）由c os1 s i nx a ty a t（t为参数）得 22 21 x y a（0 a）所以曲线1C 表示以 0,1 为圆心，半径为a的圆由 22 21 x y a 得：2 2 22 1 0 x y y a 因为2 2 2x y，s i n y，所以2 22 s i n 1 0 a 所以1C 的极坐标方程为2 22 s i n 1 0 a（II）由 4 c os 得24 c os 因为2 2 2x y，c os x，所以2 24 0 x y x 所以曲线1C 与曲线2C 的公共弦所在的直线方程为24 2 1 0 x y a，即2122ay x 由0，其中0 满足0t a n 2 得 2 y x，所以2102a，因为 0 a，所以 1 a【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（24）（本小题满分 10 分），选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)=x+1-2x-3.（I）在答题卡第（24）题图中画出 y=f(x)的图像；（II）求不等式f(x)1的解集。【参考答案】1,1,3 5,3【答案解析】：（I）4,131 2 3 3 2,1234,2x xf x x x x xx x 画出 y f x 的图象如图所示：(2)1()|=|4|1,5 3,13 1 1 3()|=|3 2|1 1,1 12 3 3 23 3()|=|+4|1 5 3,3 52 21()|1 1 3 53x f x x x x xx f x x x x x xx f x x x x x xf x 当 时，|解得 或 所以-当 1 时，|，解得 或 所以-或 当 时，|，解得 或 所以 或所以不等式|的解集为，【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章函数的性质及其应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。