2016重庆高考理科数学真题及答案.pdf

2 0 1 6 重 庆 高 考 理 科 数 学 真 题 及 答 案注 意 事 项：1.本 试 卷 分 第 卷(选 择 题)和 第 卷(非 选 择 题)两 部 分.第 卷 1 至 3 页，第 卷 3 至 5 页.2.答 题 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 本 试 题 相 应 的 位 置.3.全 部 答 案 在 答 题 卡 上 完 成，答 在 本 试 题 上 无 效.4.考 试 结 束 后，将 本 试 题 和 答 题 卡 一 并 交 回.第 卷一.选 择 题：本 大 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.（1）已 知(3)(1)i z m m 在 复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 四 象 限，则 实 数 m 的 取 值 范 围 是（A）(3 1)，（B）(1 3)，（C）(1,)+（D）(3)-，（2）已 知 集 合 1,A 2,3，|(1)(2)0,B x x x x Z，则 A B（A）1（B）1 2，（C）0 1 2 3，（D）1 0 1 2 3，（3）已 知 向 量(1,)(3,2)m，=a b，且()a+b b，则 m=（A）8（B）6（C）6（D）8（4）圆2 22 8 13 0 x y x y 的 圆 心 到 直 线1 0 a x y 的 距 离 为 1，则 a=（A）43（B）34（C）3（D）2（5）如 图，小 明 从 街 道 的 E 处 出 发，先 到 F 处 与 小 红 会 合，再 一 起 到 位 于 G 处 的 老 年 公 寓 参 加 志 愿 者活 动，则 小 明 到 老 年 公 寓 可 以 选 择 的 最 短 路 径 条 数 为（A）2 4（B）1 8（C）1 2（D）9（6）右 图 是 由 圆 柱 与 圆 锥 组 合 而 成 的 几 何 体 的 三 视 图，则 该 几 何 体 的 表 面 积 为（A）2 0（B）2 4（C）2 8（D）3 2（7）若 将 函 数 y=2 s i n 2 x 的 图 像 向 左 平 移1 2个 单 位 长 度，则 评 议 后 图 象 的 对 称 轴 为（A）x=k 26(k Z)（B）x=k 2+6(k Z)（C）x=k 21 2(k Z)（D）x=k 2+1 2(k Z)（8）中 国 古 代 有 计 算 多 项 式 值 的 秦 九 韶 算 法，右 图 是 实 现 该 算 法 的 程 序 框 图.执 行 该 程 序 框 图，若 输 入 的x=2，n=2，依 次 输 入 的 a 为 2，2，5，则 输 出 的 s=（A）7（B）1 2（C）1 7（D）3 4（9）若 c o s(4)=35，则 s i n 2=（A）72 5（B）15（C）15（D）72 5（1 0）从 区 间 0,1 随 机 抽 取 2 n 个 数1x,2x，nx，学 科&网1y，2y，ny，构 成 n 个 数 对 1 1,x y，2 2,x y，,n nx y，其 中 两 数 的 平 方 和 小 于 1 的 数 对 共 有 m 个，则 用 随 机 模 拟 的 方 法 得 到 的 圆 周 率 的近 似 值 为（A）4 nm（B）2 nm（C）4 mn（D）2 mn（1 1）已 知 F1，F2是 双 曲 线 E2 22 21x ya b 的 左，右 焦 点，点 M 在 E 上，M F1与 x 轴 垂 直，s i n2 113M F F,则 E 的 离 心 率 为（A）2（B）32（C）3（D）2（1 2）已 知 函 数 学.科 网()()f x x R满 足()2()f x f x，若 函 数1 xyx 与()y f x 图 像 的 交 点为1 1 2 2(,),(,),(,),m mx y x y x y 则1()mi iix y（A）0（B）m（C）2 m（D）4 m第 I I 卷本 卷 包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 部 分.第(1 3)题 第(2 1)题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第(2 2)题 第(2 4)题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答.二、填 空 题：本 大 题 共 3 小 题，每 小 题 5 分(1 3)A B C 的 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c，若 c o s A=45，c o s C=51 3，a=1，则 b=.(1 4)、是 两 个 平 面，m、n 是 两 条 直 线，有 下 列 四 个 命 题：（1）如 果 m n，m，n，那 么.（2）如 果 m，n，那 么 m n.（3）如 果，m，那 么 m.学 科.网（4）如 果 m n，那 么 m 与 所 成 的 角 和 n 与 所 成 的 角 相 等.其 中 正 确 的 命 题 有.(填 写 所 有 正 确 命 题 的 编 号）（1 5）有 三 张 卡 片，分 别 写 有 1 和 2，1 和 3，2 和 3。甲，乙，丙 三 人 各 取 走 一 张 卡 片，甲 看 了 乙 的 卡 片 后说：“我 与 乙 的 卡 片 上 相 同 的 数 字 不 是 2”，学.科 网 乙 看 了 丙 的 卡 片 后 说：“我 与 丙 的 卡 片 上 相 同 的 数 字 不 是1”，丙 说：“我 的 卡 片 上 的 数 字 之 和 不 是 5”，则 甲 的 卡 片 上 的 数 字 是。（1 6）若 直 线 y=k x+b 是 曲 线 y=l n x+2 的 切 线，也 是 曲 线 y=l n（x+2）的 切 线，则 b=。三.解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.1 7.（本 题 满 分 1 2 分）nS 为 等 差 数 列 na 的 前 n 项 和，且7=1 28.na S，记=l gn nb a，其 中 x 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数，如 0.9=0 l g 9 9=1，.（I）求1 1 1 1 0 1b b b，；（I I）求 数 列 nb 的 前 1 0 0 0 项 和.1 8.（本 题 满 分 1 2 分）某 险 种 的 基 本 保 费 为 a（单 位：元），继 续 购 买 该 险 种 的 投 保 人 称 为 续 保 人，续 保 人 的 本 年 度 的 保 费 与 其 上年 度 的 出 险 次 数 的 关 联 如 下：上 年 度 出险 次 数0 1 2 3 4 5保 费 0.8 5 a a 1.2 5 a 1.5 a 1.7 5 a 2 a设 该 险 种 一 续 保 人 一 年 内 出 险 次 数 与 相 应 概 率 如 下：一 年 内 出险 次 数0 1 2 3 4 5概 率 0.3 0 0.1 5 0.2 0 0.2 0 0.1 0 0.0 5（I）求 一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 的 概 率；（I I）若 一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费，求 其 保 费 比 基 本 保 费 高 出 6 0%的 概 率；（I I I）求 续 保 人 本 年 度 的 平 均 保 费 与 基 本 保 费 的 比 值.1 9.（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，菱 形 A B C D 的 对 角 线 A C 与 B D 交 于 点 O，A B=5，A C=6，点 E,F 分 别 在 A D,C D 上，A E=C F=54，E F 交 B D于 点 H.将 D E F 沿 E F 折 到 D E F 的 位 置，1 0 O D.学.科.网（I）证 明：D H 平 面 A B C D；（I I）求 二 面 角 B D A C 的 正 弦 值.2 0.（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 椭 圆 E:2 213x yt 的 焦 点 在 x 轴 上，A 是 E 的 左 顶 点，斜 率 为 k(k 0)的 直 线 交 E 于 A,M 两 点，点 N 在E 上，M A N A.（I）当 t=4，A M A N 时，求 A M N 的 面 积；（I I）当 2 A M A N 时，求 k 的 取 值 范 围.（2 1）（本 小 题 满 分 1 2 分）(I)讨 论 函 数xx 2f(x)x 2e 的 单 调 性，并 证 明 当 x 0 时，(2)2 0;xx e x(I I)证 明：当 0,1)a 时，函 数2x=(0)xe ax ag xx（）有 最 小 值.设 g（x）的 最 小 值 为()h a，求 函 数()h a 的 值 域.请 考 生 在 2 2、2 3、2 4 题 中 任 选 一 题 作 答,如 果 多 做,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分,做 答 时 请 写 清 题 号（2 2）（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-1：集 合 证 明 选 讲如 图，在 正 方 形 A B C D，E,G 分 别 在 边 D A,D C 上（不 与 端 点 重 合），且 D E=D G，过 D 点 作 D F C E，垂 足 为 F.(I)证 明：B,C,E,F 四 点 共 圆；(I I)若 A B=1，E 为 D A 的 中 点，求 四 边 形 B C G F 的 面 积.学 科&网（2 3）（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程在 直 线 坐 标 系 x o y 中，圆 C 的 方 程 为（x+6）2+y2=2 5.（I）以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，求 C 的 极 坐 标 方 程；（I I）直 线 l 的 参 数 方 程 是（t 为 参 数）,l 与 C 交 于 A、B 两 点，A B=，求 l 的 斜 率。（2 4）（本 小 题 满 分 1 0 分），选 修 4 5：不 等 式 选 讲已 知 函 数 f(x)=x-+x+，M 为 不 等 式 f(x)2 的 解 集.（I）求 M；（I I）证 明：当 a,b M 时，a+b 1+a b。2 0 1 6 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试理 科 数 学 答 案第 卷一.选 择 题：（1）【答 案】A（2）【答 案】C（3）【答 案】D（4）【答 案】A（5）【答 案】B（6）【答 案】C（7）【答 案】B（8）【答 案】C（9）【答 案】D（1 0）【答 案】C（1 1）【答 案】A（1 2）【答 案】C第 卷二、填 空 题(1 3)【答 案】2 11 3(1 4)【答 案】（1 5）【答 案】1 和 3（1 6）【答 案】1 l n 2 三.解 答 题1 7.（本 题 满 分 1 2 分）【答 案】（）10 b，1 11 b，1 012 b；（）1 8 9 3.【解 析】试 题 分 析：（）先 求 公 差、通 项na，再 根 据 已 知 条 件 求1 1 1 1 0 1b b b，；（）用 分 段 函 数 表 示nb，学.科.网 再 由 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 求 数 列 nb 的 前 1 0 0 0 项 和 试 题 解 析：（）设 na 的 公 差 为 d，据 已 知 有 7 2 1 2 8 d，学.科.网 解 得 1.d 所 以 na 的 通 项 公 式 为.na n 1 1 1 1 0 1 l g 1 0,l g 1 1 1,l g 1 0 1 2.b b b（）因 为0,1 10,1,10 100,2,100 1000,3,1000.nnnbnn 所 以 数 列 nb 的 前 1 0 0 0 项 和 为 1 9 0 2 9 0 0 3 1 1 8 9 3.考 点：等 差 数 列 的 的 性 质，前 n 项 和 公 式，学.科 网 对 数 的 运 算.【结 束】1 8.（本 题 满 分 1 2 分）【答 案】（）根 据 互 斥 事 件 的 概 率 公 式 求 解；（）由 条 件 概 率 公 式 求 解；（）记 续 保 人 本 年 度 的 保 费 为X，学.科 网 求 X 的 分 布 列 为，在 根 据 期 望 公 式 求 解.【解 析】试 题 分 析：试 题 解 析：（）设 A 表 示 事 件：“一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费”，则 事 件 A 发 生 当 且 仅 当 一 年 内 出险 次 数 大 于 1，故()0.2 0.2 0.1 0.05 0.55.P A（）设 B 表 示 事 件：“一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 比 基 本 保 费 高 出 6 0%”，则 事 件 B 发 生 当 且 仅 当 一 年 内 出 险次 数 大 于 3，故()0.1 0.05 0.15.P B 又()()P A B P B，故()()0.1 5 3(|).()()0.5 5 1 1P A B P BP B AP A P A 因 此 所 求 概 率 为3.1 1（）记 续 保 人 本 年 度 的 保 费 为 X，则 X 的 分 布 列 为X 0.8 5 aa1.2 5 a 1.5a 1.7 5 a 2 aP 0.3 0 0.1 5 0.2 0 0.2 0 0.1 0 0.0 50.8 5 0.3 0 0.1 5 1.2 5 0.2 0 1.5 0.2 0 1.7 5 0.1 0 2 0.0 51.2 3E X a a a a a aa 因 此 续 保 人 本 年 度 的 平 均 保 费 与 基 本 保 费 的 比 值 为 1.2 3考 点：条 件 概 率，随 机 变 量 的 分 布 列、期 望.【结 束】1 9.（本 小 题 满 分 1 2 分）【答 案】（）详 见 解 析；（）2 9 52 5.【解 析】试 题 分 析：（）证/A C E F，再 证D H O H，最 后 证D H A B C D 平 面；（）用 向 量 法 求 解.试 题 解 析：（I）由 已 知 得 A C B D，A D C D，又 由 A E C F 得A E C FA D C D，故/A C E F.因 此 E F H D，从 而E F D H.由 5 A B,6 A C 得2 20 4 D O B A B A O.由/E F A C 得14O H A ED O A D.学.科 网 所 以 1 O H，3 D H D H.于 是 1 O H，2 2 2 23 1 1 0 D H O H D O，故D H O H.又D H E F，而 O H E F H，所 以D H A B C D 平 面.（I I）如 图，以 H 为 坐 标 原 点，H F 的 方 向 为 x 轴 的 正 方 向，学.科 网 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 H x y z，则 0,0,0 H，3,2,0 A，0,5,0 B，3,1,0 C，0,0,3 D，(3,4,0)A B，6,0,0 A C，3,1,3 A D.设 1 1 1,m x y z 是 平 面A B D 的 法 向 量，则00m A Bm A D，即1 11 1 13 4 03 3 0 x yx y z，所 以 可以 取 4,3,5 m.设 2 2 2,n x y z 是 平 面A C D 的 法 向 量，则00n A Cn A D，即22 2 26 03 3 0 xx y z，所 以 可 以 取 0,3,1 n.于 是14 7 5c os,25 50 10m nm nm n，2 9 5s i n,2 5m n.因 此 二面 角B D A C 的 正 弦 值 是2 9 52 5.考 点：线 面 垂 直 的 判 定、二 面 角.【结 束】2 0.（本 小 题 满 分 1 2 分）【答 案】（）14449；（）32,2.【解 析】试 题 分 析：（）先 求 直 线 A M 的 方 程，再 求 点 M 的 纵 坐 标，最 后 求 A M N 的 面 积；（）设 1 1,M x y，将 直 线 A M 的 方 程 与 椭 圆 方 程 组 成 方 程 组，消 去 y，用 k 表 示1x，从 而 表 示|A M，同 理 用 k 表 示|A N，再 由 2 A M A N 求 k.试 题 解 析：（I）设 1 1,M x y，则 由 题 意 知10 y，当 4 t 时，E 的 方 程 为2 214 3x y，2,0 A.由 已 知 及 椭 圆 的 对 称 性 知，直 线 A M 的 倾 斜 角 为4.因 此 直 线 A M 的 方 程 为 2 y x.将 2 x y 代 入2 214 3x y 得27 12 0 y y.解 得 0 y 或1 27y，学.科 网 所 以11 27y.因 此 A M N 的 面 积1 1 2 1 2 1 4 422 7 7 4 9.（I I）由 题 意 3 t，0 k，,0 A t.将 直 线 A M 的 方 程()y k x t 代 入2 213x yt 得 2 2 2 2 23 2 3 0 t k x t t k x t k t.由 2 21 23t kx tt k 得 21 233t t kxt k，故 221 26 213t kA M x t kt k.由 题 设，直 线 A N 的 方 程 为 1y x tk，故 同 理 可 得 226 13k t kA Nk t，由 2 A M A N 得2 223 3kt k k t，学 科&网 即 32 3 2 1 k t k k.当32 k 时 上 式 不 成 立，因 此 33 2 12k ktk.3 t 等 价 于 23 23 32 13 202 2k kk k kk k，即3202kk.由 此 得32 02 0kk，或32 02 0kk，解 得32 2 k.因 此 k 的 取 值 范 围 是 32,2.考 点：椭 圆 的 性 质，直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系.【结 束】（2 1）（本 小 题 满 分 1 2 分）【答 案】（）详 见 解 析；（）21(,.2 4e.【解 析】试 题 分 析：（）先 求 定 义 域，用 导 数 法 求 函 数 的 单 调 性，学 科&网 当(0,)x 时，()(0)f x f 证 明 结论；（）用 导 数 法 求 函 数()g x 的 最 值，在 构 造 新 函 数00h()2xeax，又 用 导 数 法 求 解.试 题 解 析：（）()f x 的 定 义 域 为(,2)(2,).22 2(1)(2)(2)()0,(2)(2)x x xx x e x e x ef xx x 且 仅 当 0 x 时，()0 f x，所 以()f x 在(,2),(2,)单 调 递 增，因 此 当(0,)x 时，()(0)1,f x f 所 以(2)(2),(2)2 0 x xx e x x e x（I I）2 2(2)(2)2()(),xx e a x xg x f x ax x 由（I）知，()f x a 单 调 递 增，对 任 意 0,1),(0)1 0,(2)0,a f a a f a a 因 此，存 在 唯 一0(0,2,x 使 得0()0,f x a 即0()0 g x，当00 x x 时，()0,()0,()f x a g x g x 单 调 递 减；当0 x x 时，()0,()0,()f x a g x g x 单 调 递 增.因 此()g x 在0 x x 处 取 得 最 小 值，最 小 值 为0 0 00 0 00 2 20 0 0(1)+()(1)().2x x xe a x e f x x eg xx x x 于 是00h()2xeax，由2(1)()0,2(2)2x x xe x e ex x x 单 调 递 增所 以，由0(0,2,x 得00 2 201().2 0 2 2 2 2 4xe e e eh ax 因 为2xex 单 调 递 增，对 任 意21(,2 4e 存 在 唯 一 的0(0,2,x 0()0,1),a f x 使 得(),h a 所 以()h a 的 值 域 是21(,2 4e综 上，当 0,1)a 时，()g x 有()h a，()h a 的 值 域 是21(,.2 4e考 点：函 数 的 单 调 性、极 值 与 最 值.【结 束】请 考 生 在 2 2、2 3、2 4 题 中 任 选 一 题 作 答,如 果 多 做,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分,做 答 时 请 写 清 题 号（2 2）（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-1：几 何 证 明 选 讲【答 案】（）详 见 解 析；（）12.【解 析】试 题 分 析：（）证,D G F C B F 再 证,B C G F 四 点 共 圆；（）证 明,R t B C G R t B F G 四 边 形B C G F 的 面 积 S 是 G C B 面 积G C BS的 2 倍.试 题 解 析：（I）学 科&网 因 为 D F E C,所 以,D E F C D F 则 有,D F D E D GG D F D E F F C BC F C D C B 所 以,D G F C B F 由 此 可 得,D G F C B F 由 此0180,C G F C B F 所 以,B C G F 四 点 共 圆.（I I）由,B C G F 四 点 共 圆，C G C B 知 F G F B，连 结 G B，由 G 为 R t D F C 斜 边 C D 的 中 点，知 G F G C,故,R t B C G R t B F G 因 此 四 边 形 B C G F 的 面 积 S 是 G C B 面 积G C BS的 2 倍，即1 1 12 2 1.2 2 2G C BS S 考 点：三 角 形 相 似、全 等，四 点 共 圆【结 束】（2 3）（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程【答 案】（）212 c os 11 0；（）153.【解 析】试 题 分 析：（I）利 用2 2 2x y，c o s x 可 得 C 的 极 坐 标 方 程；（I I）先 将 直 线 l 的 参 数 方 程 化 为 普通 方 程，再 利 用 弦 长 公 式 可 得 l 的 斜 率 试 题 解 析：（I）由 c o s,s i n x y 可 得 C 的 极 坐 标 方 程212 c os 11 0.（I I）在（I）中 建 立 的 极 坐 标 系 中，学 科&网 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为()R 由,A B 所 对 应 的 极 径 分 别 为1 2,将 l 的 极 坐 标 方 程 代 入 C 的 极 坐 标 方 程 得212 c os 11 0.于 是1 2 1 212 c os,11,2 21 2 1 2 1 2|()4 1 4 4 c o s 4 4,A B 由|1 0 A B 得23 1 5c o s,t a n8 3，所 以 l 的 斜 率 为153或1 53.考 点：圆 的 极 坐 标 方 程 与 普 通 方 程 互 化，直 线 的 参 数 方 程，点 到 直 线 的 距 离 公 式.【结 束】（2 4）（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4 5：不 等 式 选 讲【答 案】（）|1 1 M x x；（）详 见 解 析.【解 析】试 题 分 析：（I）先 去 掉 绝 对 值，再 分12x，1 12 2x 和12x 三 种 情 况 解 不 等 式，即 可 得；（I I）采 用 平 方 作 差 法，再 进 行 因 式 分 解，进 而 可 证 当 a，b 时，1 a b a b 试 题 解 析：（I）12,21 1()1,2 212,.2x xf x xx x 当12x 时，学 科&网 由()2 f x 得 2 2,x 解 得 1 x；当1 12 2x 时，()2 f x；当12x 时，由()2 f x 得 2 2,x 解 得 1 x.所 以()2 f x 的 解 集|1 1 M x x.（I I）由（I）知，当,a b M 时，1 1,1 1 a b，从 而2 2 2 2 2 2 2 2()(1)1(1)(1)0 a b ab a b a b a b，因 此|1|.a b a b 考 点：绝 对 值 不 等 式，不 等 式 的 证 明.