2016河北考研数学二真题及答案.pdf

2 0 1 6 河 北 考 研 数 学 二 真 题 及 答 案一、选 择 题 1 8 小 题 每 小 题 4 分，共 3 2 分 当 0 x 时，若)(l n x 2 1，11)c os(x 均 是 比 x 高 阶 的 无 穷 小，则 的 可 能 取 值范 围 是（）（A）),(2（B）),(2 1（C）),(121（D）),(210【详 解】x x 2 2 1)(l n，是 阶 无 穷 小，211211 x x)c os(是2阶 无 穷 小，由题 意 可 知121所 以 的 可 能 取 值 范 围 是),(2 1，应 该 选（B）2 下 列 曲 线 有 渐 近 线 的 是（A）x x y s i n（B）x x y s i n 2（C）xx y1s i n（D）xx y12s i n【详 解】对 于xx y1s i n，可 知 1 xyxl i m 且 01 xx yx xs i n l i m)(l i m，所 以 有 斜 渐近 线 x y 应 该 选（C）3 设 函 数)(x f 具 有 二 阶 导 数，x f x f x g)()()(1 1 0，则 在,1 0 上（）（A）当 0)(x f 时，)()(x g x f（B）当 0)(x f 时，)()(x g x f（C）当 0)(x f 时，)()(x g x f（D）当 0)(x f 时，)()(x g x f【分 析】此 题 考 查 的 曲 线 的 凹 凸 性 的 定 义 及 判 断 方 法【详 解 1】如 果 对 曲 线 在 区 间,b a 上 凹 凸 的 定 义 比 较 熟 悉 的 话，可 以 直 接 做 出 判 断 显 然x f x f x g)()()(1 1 0 就 是 联 接)(,(),(,(1 1 0 0 f f 两 点 的 直 线 方 程 故 当 0)(x f时，曲 线 是 凹 的，也 就 是)()(x g x f，应 该 选（D）【详 解 2】如 果 对 曲 线 在 区 间,b a 上 凹 凸 的 定 义 不 熟 悉 的 话，可 令x f x f x f x g x f x F)()()()()()(1 1 0，则 0 1 0)()(F F，且)()(x f x F，故 当 0)(x f 时，曲 线 是 凹 的，从 而 0 1 0)()()(F F x F，即0)()()(x g x f x F，也 就 是)()(x g x f，应 该 选（D）4 曲 线 1 4722t t yt x,上 对 应 于 1 t 的 点 处 的 曲 率 半 径 是（）（）5010（）10010(）10 10（）10 5【详 解】曲 线 在 点)(,(x f x 处 的 曲 率 公 式3 21)(yyK，曲 率 半 径KR1 本 题 中 4 2 2 tdtdytdtdx,，所 以t ttdxdy 2124 2，3222122t ttdxy d，对 应 于 1 t 的 点 处 1 3,y y，所 以10 10113 2)(yyK，曲 率 半 径10 101 KR 应 该 选（C）5 设 函 数 x x f ar c t an)(，若)()(xf x f，则 220 xxl i m（）（）1（）32（）21（）31【详 解】注 意（1）211xx f)(，（2）)(ar c t an,3 3310 x o x x x x 时 由 于)()(xf x f 所 以 可 知xxxx ffar c t an)()(211，22)(ar c t anar c t anxx x，313133 3020220 xx o x x xx xx ar x xxx x x)()(l i m)(ar c t ant anl i m l i m6 设),(y x u 在 平 面 有 界 闭 区 域 D 上 连 续，在 D 的 内 部 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，且 满 足02 y xu及 02222yuxu，则（）（A）),(y x u 的 最 大 值 点 和 最 小 值 点 必 定 都 在 区 域 D 的 边 界 上；（B）),(y x u 的 最 大 值 点 和 最 小 值 点 必 定 都 在 区 域 D 的 内 部；（C）),(y x u 的 最 大 值 点 在 区 域 D 的 内 部，最 小 值 点 在 区 域 D 的 边 界 上；（D）),(y x u 的 最 小 值 点 在 区 域 D 的 内 部，最 大 值 点 在 区 域 D 的 边 界 上【详 解】),(y x u 在 平 面 有 界 闭 区 域 D 上 连 续，所 以),(y x u 在 D 内 必 然 有 最 大 值 和 最 小值 并 且 如 果 在 内 部 存 在 驻 点),(0 0y x，也 就 是 0 yuxu，在 这 个 点 处x yuy xuByuCxuA 2 22222,，由 条 件，显 然 02 B A C，显 然),(y x u 不 是极 值 点，当 然 也 不 是 最 值 点，所 以),(y x u 的 最 大 值 点 和 最 小 值 点 必 定 都 在 区 域 D 的 边 界 上 所 以 应 该 选（A）7 行 列 式d cd cb ab a0 00 00 00 0等 于（A）2)(bc ad（B）2)(bc ad（C）2 2 2 2c b d a（D）2 2 2 2c b d a【详 解】200 0000 000 00 00 00 0)(bc add cb abcd cb aadd ccb abd cdb aad cd cb ab a 应 该 选（B）8 设3 2 1,是 三 维 向 量，则 对 任 意 的 常 数 l k,，向 量3 1 k，3 2 l 线 性 无 关 是向 量3 2 1,线 性 无 关 的（A）必 要 而 非 充 分 条 件（B）充 分 而 非 必 要 条 件（C）充 分 必 要 条 件（D）非 充 分 非 必 要 条 件【详 解】若 向 量3 2 1,线 性 无 关，则（3 1 k，3 2 l）Kl k),(),(3 2 1 3 2 11 00 1，对 任 意 的 常 数 l k,，矩阵 K 的 秩 都 等 于 2，所 以 向 量3 1 k，3 2 l 一 定 线 性 无 关 而 当0000100013 2 1,时，对 任 意 的 常 数 l k,，向 量3 1 k，3 2 l 线 性无 关，但3 2 1,线 性 相 关；故 选 择（A）二、填 空 题（本 题 共 6 小 题，每 小 题 4 分，满 分 2 4 分.把 答 案 填 在 题 中 横 线 上）9 125 21dxx x【详 解】1 112 2832 4 2121214 1 5 21)(|ar c t an)(xxdxdxx x1 0 设)(x f 为 周 期 为 4 的 可 导 奇 函 数，且 2 0 1 2,),()(x x x f，则)(7 f【详 解】当 2 0,x 时，C x x dx x x f 2 1 22)()(，由 0 0)(f 可 知 0 C，即 x x x f 22)(；)(x f 为 周 期 为 4 奇 函 数，故 1 1 1 7)()()(f f f 1 1 设),(y x z z 是 由 方 程472 2 z y x ey z确 定 的 函 数，则2121,|dz【详 解】设472 2 z y x e z y x Fy z),(，1 2 2 2 12 2 y zzy zy xy e F y z e F F,，当21 y x 时，0 z，21 zxFFxz，21 zyFFyz，所 以2121,|dz dy dx2121 1 2 曲 线 L 的 极 坐 标 方 程 为 r，则 L 在 点 2 2,),(r 处 的 切 线 方 程为【详 解】先 把 曲 线 方 程 化 为 参 数 方 程 s i n s i n)(c os c os)(r yr x，于 是 在2 处，20 y x,，22 2|s i n c osc os s i n|dxdy，则 L 在 点 2 2,),(r 处 的 切 线 方 程为)(022 x y，即.22 x y1 3 一 根 长 为 1 的 细 棒 位 于 x 轴 的 区 间 1 0,上，若 其 线 密 度 1 22 x x x)(，则 该 细棒 的 质 心 坐 标 x【详 解】质 心 坐 标20113512111 22102102 31010 dx x xdx x x xdx xdx x xx)()()()(1 4 设 二 次 型3 2 3 12221 3 2 14 2 x x x ax x x x x x f),(的 负 惯 性 指 数 是 1，则 a 的 取 值 范围 是【详 解】由 配 方 法 可 知232 23 223 13 2 3 12221 3 2 14 24 2x a x x ax xx x x ax x x x x x f)()()(),(由 于 负 惯 性 指 数 为 1，故 必 须 要 求 0 42 a，所 以 a 的 取 值 范 围 是 2 2,三、解 答 题1 5（本 题 满 分 1 0 分）求 极 限)l n()(l i mxxdt t e txtx 1112112【分 析】先 用 等 价 无 穷 小 代 换 简 化 分 母，然 后 利 用 洛 必 达 法 则 求 未 定 型 极 限【详 解】21 121 1111112 2212 1122112 xxox xxx e xxdt t e txxdt t e txxxxtxxtx)(l i m)(l i m)(l i m)l n()(l i m1 6（本 题 满 分 1 0 分）已 知 函 数)(x y y 满 足 微 分 方 程 y y y x 12 2，且 0 2)(y，求)(x y 的 极 大 值 和 极小 值【详 解】解：把 方 程 化 为 标 准 形 式 得 到2 21 1 xdxdyy)(，这 是 一 个 可 分 离 变 量 的 一 阶 微 分 方 程，两 边 分 别 积 分 可 得 方 程 通 解 为：C x x y y 3 33131，由 0 2)(y 得32 C，即3231313 3 x x y y 令 01122yxdxdy，得 1 x，且 可 知3 22 2 2 22211 2 1 2)()()(yx y y xdxy d；当 1 x 时，可 解 得 1 y，0 1 y，函 数 取 得 极 大 值 1 y；当 1 x 时，可 解 得 0 y，0 2 y，函 数 取 得 极 小 值 0 y 1 7（本 题 满 分 1 0 分）设 平 面 区 域 0 0 4 12 2 y x y x y x D.,|),(计 算 Ddxdyy xy x x)s i n(2 2【详 解】由 对 称 性 可 得43211 212121202 22 2 2 2 2 2 DD D Ddr r r d dxdy xdxdyy xy x y xdxdy xy x ydxdy xy x x s i n)s i n()s i n()()s i n()s i n(1 8（本 题 满 分 1 0 分）设 函 数)(u f 具 有 二 阶 连 续 导 数，)c os(y e f zx 满 足x xe y e zyzxz222224)c os(若0 0 0 0)(,)(f f，求)(u f 的 表 达 式【详 解】设 y e uxc os，则)c os()(y e f u f zx，y e u f y e u fxze u fxzx x y xc os)(c os)(,)(c os 2 222;y e u f y e u fyzy e u fyzx x xc os)(s i n)(,s i n)(2 222；x x xe y e f e u fyzxz2 22222)c os()(由 条 件x xe y e zyzxz222224)c os(，可 知u u f u f)()(4这 是 一 个 二 阶 常 用 系 数 线 性 非 齐 次 方 程 对 应 齐 次 方 程 的 通 解 为：u ue C e C u f2221)(其 中2 1C C,为 任 意 常 数 对 应 非 齐 次 方 程 特 解 可 求 得 为 u y41*故 非 齐 次 方 程 通 解 为 u e C e C u fu u412221)(将 初 始 条 件 0 0 0 0)(,)(f f 代 入，可 得1611612 1 C C,所 以)(u f 的 表 达 式 为 u e e u fu u411611612 2)(1 9（本 题 满 分 1 0 分）设 函 数)(),(x g x f 在 区 间 b a.上 连 续，且)(x f 单 调 增 加，1 0)(x g，证 明：（1）b a x a x dt t gxa,)(0；（2）badt t g aadx x g x f dx x fba)()()()(【详 解】（1）证 明：因 为 1 0)(x g，所 以 b a x dt dt t g dxxaxaxa,)(1 0 即 b a x a x dt t gxa,)(0（2）令 xadt t g aaxadu u f du u g u f x F)()()()()(，则 可 知 0)(a F，且 xadt t g a f x g x g x f x F)()()()()(，因 为,)(a x dt t gxa 0 且)(x f 单 调 增 加，所 以)()()(x f a x a f dt t g a fxa 从 而0)()()()()()()()()(x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x Fxa，b a x,也 是)(x F 在 b a,单 调 增 加，则 0)()(a F b F，即 得 到 badt t g aadx x g x f dx x fba)()()()(2 0（本 题 满 分 1 1 分）设 函 数 1 01,)(xxxx f，定 义 函 数 列)()(x f x f 1，)()(x f f x f1 2，),()(,x f f x fn n 1 设nS 是 曲 线)(x f yn，直 线 0 1 y x,所 围 图 形 的 面 积 求 极 限nnn S l i m【详 解】xxxxxxx fx fx fxxx f2 11111 1112 1)()()(,)(，,)(xxx f3 13，利 用 数 学 归 纳 法 可 得.)(n xxx fn1)l n()()(nnndxn x ndxn xxdx x f Sn n 11111111101010，111 nnn Snnn)l n(l i m l i m 2 1（本 题 满 分 1 1 分）已 知 函 数),(y x f 满 足)(1 2 yyf，且 y y y y y f l n)()(),(2 12，求 曲 线0),(y x f 所 成 的 图 形 绕 直 线 1 y 旋 转 所 成 的 旋 转 体 的 体 积【详 解】由 于 函 数),(y x f 满 足)(1 2 yyf，所 以)(),(x C y y y x f 22，其 中)(x C 为 待 定的 连 续 函 数 又 因 为 y y y y y f l n)()(),(2 12，从 而 可 知 y y y C l n)()(2 1，得 到 x x y y x C y y y x f l n)()(),(2 1 2 22 2令 0),(y x f，可 得 x x y l n)()(2 12 且 当 1 y 时，2 12 1 x x,曲 线 0),(y x f 所 成 的 图 形 绕 直 线 1 y 旋 转 所 成 的 旋 转 体 的 体 积 为)l n(l n)()(452 2 2 121212 dx x x dx y V2 2（本 题 满 分 1 1 分）设 3 0 2 11 1 1 04 3 2 1A，E 为 三 阶 单 位 矩 阵（1）求 方 程 组 0 A X 的 一 个 基 础 解 系；（2）求 满 足 E A B 的 所 有 矩 阵【详 解】（1）对 系 数 矩 阵 A 进 行 初 等 行 变 换 如 下：3 1 0 02 0 1 01 0 0 13 1 0 01 1 1 04 3 2 11 3 4 01 1 1 04 3 2 13 0 2 11 1 1 04 3 2 1A，得 到 方 程 组 0 A X 同 解 方 程 组 4 34 24 132x xx xx x得 到 0 A X 的 一 个 基 础 解 系 13211（2）显 然 B 矩 阵 是 一 个 3 4 矩 阵，设4 4 43 3 32 2 21 1 1z y xz y xz y xz y xB对 矩 阵)(A E 进 行 进 行 初 等 行 变 换 如 下：1 4 1 3 1 0 01 3 1 2 0 1 01 6 2 1 0 0 11 4 1 3 1 0 00 1 0 1 1 1 00 0 1 4 3 2 11 0 1 1 3 4 00 1 0 1 1 1 00 0 1 4 3 2 11 0 0 3 0 2 10 1 0 1 1 1 00 0 1 4 3 2 1)(A E由 方 程 组 可 得 矩 阵 B 对 应 的 三 列 分 别 为 1321011214321cxxxx，1321043624321cyyyy，1321011134321czzzz，即 满 足 E A B 的 所 有 矩 阵 为 3 2 13 2 13 2 13 2 13 1 3 4 3 12 1 2 3 2 11 6 2c c cc c cc c cc c cB其 中3 2 1c c c,为 任 意 常 数 2 3（本 题 满 分 1 1 分）证 明 n 阶 矩 阵1 1 11 1 11 1 1 与n 0 02 0 01 0 0 相 似【详 解】证 明：设 A1 1 11 1 11 1 1，Bn 0 02 0 01 0 0 分 别 求 两 个 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量 如 下：11 1 11 1 11 1 1 nn A E)(，所 以 A 的 n 个 特 征 值 为 03 2 1 nn,；而 且 A 是 实 对 称 矩 阵，所 以 一 定 可 以 对 角 化 且00 A；10 02 01 0 nnnB E)(所 以 B 的 n 个 特 征 值 也 为 03 2 1 nn,；